Ứng xử động của dầm sandwich lõi từ vật liệu cơ tính biến thiên hai chiều chịu lực di động

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
 ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA DẦM SANDWICH LÕI TỪ VẬT LIỆU 
 CƠ TÍNH BIẾN THIÊN HAI CHIỀU CHỊU LỰC DI ĐỘNG 
TS. LÊ THỊ HÀ 
Đại học Giao thông vận tải 
 Tóm tắt: Bài báo phân tích dao động của dầm nhiệt theo nhiều hướng, vì thế việc nghiên cứu kết 
sandwich lõi làm từ vật liệu cơ tính biến thiên hai cấu dầm với các tính chất vật liệu biến đổi theo hai 
chiều (2D-FGM) chịu lực di động. Mặt đáy của dầm hoặc ba hướng không gian là rất quan trọng. Đối 
hoàn toàn bằng kim loại, mặt trên làm bằng gốm. với dầm sandwich cho vật liệu FGM thay đổi theo 
Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, sử dụng một hướng không gian, một số nhà khoa học trong 
phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp phương và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu. Chẳng 
pháp Newmark để tính đáp ứng động cho dầm. hạn, trên cơ sở lý thuyết dầm bậc ba cổ điển, Võ 
Ngoài ra, bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của tham Phương Thức và cộng sự [1] đã xây dựng phương 
số vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động của trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là 
dầm. Kết quả số trong bài báo sẽ minh họa ảnh vật liệu thuần nhất, lớp mặt trên và mặt dưới là FG 
hưởng của các tham số vật liệu, tỉ số hình học đến hoàn hảo và sử dụng phương pháp phần tử hữu 
đáp ứng tần số và tham số động cho dầm. hạn để tính tần số dao động riêng và dạng mode 
 dao động của dầm. Bằng lý thuyết dầm bậc ba cải 
 Abstract: This paper analysis vibration of 
 tiến, Nguyễn và cộng sự [2] phân tích dao động và 
sandwich beams with bi-directional functionally 
 mất ổn định của dầm sandwich với các điều kiện 
graded core excited by a moving concentrated load. 
 biên khác nhau. Tác giả đã chỉ ra rằng, tần số dao 
The lower face is made of isotropic metal, whereas 
 động tự do chịu ảnh hưởng nhiều bởi sự thay đổi 
the upper face is isotropic ceramic. Using the third-
 của chỉ số phân bổ vật liệu và ảnh hưởng bởi sự 
order shear deformation theory,a finite element 
 thay đổi chiều cao của lõi dầm Ngoài ra, Volkan 
formulation is derived and used in combination with 
 and Muhittin [3] phân tích dao động tự do và mất ổn 
the Newmark method in computing the vibration 
 định của dầm sandwich bằng phương pháp phần tử 
response. A parametric study is carried out to 
 hữu hạn nhiều bậc (multi-layer finite element). Với lý 
highlight the effect of the material distribution and 
 thuyết dầm bậc cao của Reddy, Lê Thị Hà và Trần 
moving load speed on the vibration characteristics 
 Thị Trâm [4] tính toán đáp ứng động của dầm 
of the beams. The numerical results show that the 
 sandwich lớp mặt trên và mặt dưới là FGM biến 
two grading indexes which govern the variation of 
 thiên một chiều chịu lực di động. Bài báo nghiên 
the effective material properties have opposite effect 
 cứu ảnh hưởng của tham số vật liệu FGM có lỗ 
on the natural frequencies, dynamic magnification 
 rỗng biến thiên theo chiều dày dầm, ảnh hưởng của 
factor.The influence of the aspect ratio on the 
 nhiệt độ, tỉ số giữa chiều cao lõi dầm và chiều cao 
dynamic behavior of the beams is also examined 
 dầm đến đáp ứng động lực học của dầm. 
and discussed. 
 Theo như tác giả biết thì mới có một số ít tác giả 
1. Giới thiệu 
 nghiên cứu về kết cấu dầm FGM với tính chất vật 
 Kết cấu dầm được làm từ vật liệu FGM với khả liệu thay đổi theo hai hướng là chiều dài và chiều 
năng kháng nhiệt tốt đang ngày càng được ứng dày của dầm, gọi tắt là dầm 2D- FGM. Điển hình, 
dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại. Simsek [5] đã nghiên cứu sự mất ổn định của dầm 
Các bài toán tĩnh học và động học về kết cấu dầm 2D Timoshenko FGM, các tính chất vật liệu thay đổi 
FGM đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước theo cả chiều dày và chiều dài của dầm nhưng bằng 
quan tâm nghiên cứu nhưng chủ yếu là xét đến kết quy luật mũ. Tải trọng mất ổn định tới hạn của dầm 
cấu với các tính chất vật liệu biến đổi theo một 2D- FG thu được bằng phương pháp Ritz. Tác giả 
hướng không gian. Trong thực tế, kết cấu dầm như đã chỉ ra rằng ứng xử mất ổn định của dầm 2D- FG 
vậy sẽ không thể chống lại được các tác dụng cơ và chịu ảnh hưởng lớn bởi các tham số vật liệu. Dao 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 23 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
động tự do và cưỡng bức của dầm 2D Timoshenko tham số phân bố vật liệu theo chiều dài và dày dầm, 
FG dưới tác động của tải trọng di động cũng được ảnh hưởng tốc độ của lực di động, ảnh hưởng của 
nghiên cứu bởi Simsek [6], phương trình chuyển các tỉ số giữa chiều cao của lõi dầm và chiều cao 
động được giải với sự trợ giúp của phương pháp của dầm đến dao động của dầm sẽ được khảo sát 
tích phân Newmark-β ẩn, kết quả nhận được chỉ ra chi tiết trong bài báo. 
rằng các đáp ứng tự do và cưỡng bức cũng chịu 
ảnh hưởng bởi các tham số vật liệu. Gần đây, bằng 2. Dầm sandwich chịu tác dụng của lực di động 
phương pháp phần tử hữu hạn, Nguyễn và cộng sự Hình 1 minh họa dầm sandwich có lõi làm từ 
[6] nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm vật liệu 2D-FGM và lớp bề mặt trên và dưới dầm là 
Timoshenko 2D-FGM chịu tác dụng của lực di động. vật liệu thuần nhất và dầm chịu tác dụng của lực di 
Trong đó, dầm được cấu tạo bởi bốn vật liệu thành động với vận tốc không đổi. Giả thiết lực F là một 
phần, tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của phân bố đại lượng không đổi. Trên hình vẽ, trục 0x được 
vật liệu, tốc độ lực di động đến dao động của dầm. chọn ở giữa dầm và trục 0z vuông góc với mặt 
 phẳng giữa dầm. Trong bài báo này, giả thiết dầm 
 Trong bài báo này, tác giả phân tích đáp ứng 
 có chiều dài L, chiều cao h, chiều cao lõi dầm hc, lõi 
động của dầm sandwich có lõi làm bằng vật liệu 2D-
 của dầm luôn luôn đối xứng qua trục giữa của dầm. 
FGM chịu lực di động, lớp bề mặt trên làm từ vật Lực di chuyển trên dầm luôn bám dính với dầm 
liệu gốm và lớp dưới hoàn toàn là vật liệu thuần trong suốt quá trình di chuyển từ đầu dầm đến cuối 
nhất kim loại. Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc dầm và lực chuyển động với tốc độ không thay đổi 
cao của Shi [7], bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của trong suốt chiều dài dầm. 
 F 
 Gốm 
 x 
 z 
 2D- FGM x 
 0 hc 
 Kim loại 
 Hình 1. Dầm sandwich có lõi làm bằng vật liệu 2D-FGM chịu lực F di động 
 Thể tích vật liệu của dầm theo các lớp được giả thiết theo quy luật số mũ: 
 3 hc h
 Vc ( x , z ) 1 z ;
 22
 m n
 xz 1 hh
 2 cc (1) 
 Vc ( x , z ) 1 z ;
 lh 2c 2 2
 hh
 1 cc
 Vc ( x , z ) 0 z ;
 22
 trong đó: - thể tích của vật liệu gốm Tính chất hiệu dụng P (mô đun đàn hồi, mô đun 
trong các lớp của dầm (k=1, 2, 3), m,n lần lượt là 
 trượt, mật độ khối,) cho dầm sandwich có lõi làm 
chỉ số mũ của vật liệu khi phân bố theo chiều dài và 
chiều dày dầm, x - biến minh họa cho vật liệu thay từ vật liệu 2D- FGM được viết như sau: 
đổi theo trục x và z - biến minh họa vật liệu thay đổi kk
 P(,)()(,) x z Pc P m V c x z P m (2) 
theo trục z. 
24 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
 trong đó: Pc, Pm - tính chất hiệu dụng của gốm và trong đó: t - biến thời gian, , u0(x, t) và 
 k
kim loại, P - tính chất hiệu dụng cho tầng thứ k của w0(x, t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển 
dầm. vị ngang của điểm bất kì nằm trên trục giữa của 
 dầm, γ0 - góc quay sinh ra do sự trượt của thiết diện 
 Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của ngang của dầm, z - khoảng cách từ điểm đến trục 
 giữa dầm. 
Shi [8], chuyển vị dọc trục u(x,z,t) và chuyển vị 
 Biến dạng dọc trục và biến dạng trượt , 
ngang w(x, z, t) tại điểm nào đó, được cho như sau: 
 tính được dựa trên trường chuyển vị (3). 
 3 3
 u(x, z,t) u0 z( 0 w0,x ) z  0 xx u0, x z  0, x w 0, xx z  0, x
 (3) (4)
 w(x, z,t) w 2
 0 xz 003 z 
 Từ đó, trường ứng suất tiếp và ứng suất pháp được tính toán: 
 3
 x E(,). x z  xx E (,)[ x z u0, x z (  0, x w 0, xx ) z  0, x ]
 E(,) x z (5) 
  G( x , z )   3 z2 
 xz xz 2(1  ) 00
 trong đó: E(x,z) và G(x,z) tương ứng là mô đun đàn hồi và mô đun trượt phụ thuộc vào hai biến x, z, 
biểu thức cho hàm năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm sandwich lõi 2D- FGM được viết như sau: 
 L 22
 1 A110, ux 2 A 120, u x ( 0, x w 0, xx ) A 22 ( 0, x w 0, xx )
 U dx (6) 
 2 2 2 2 
 0 2A34 u 0,0,x  x 2 A 440,  x (  0, x w 0, xx ) A 660,  x B 440 
 trong đó, A11, A12, A22, A34, A44, A66 và B44 là các độ cứng của dầm được định nghĩa như sau: 
 (AAAAAA , , , , , )(,) xz Exzk (,)(1,,,,,) zzzzzdA2 3 4 6
 11 12 22 34 44 66 
 A
 (7) 
 B(,) x z Gk (,)(16 x z z2 9 2 z 4 ) dA
 44 
 A
 Trong biểu thức (7), A là diện tích thiết diện ngang của dầm, Ek(x,z), Gk(x,z) tương ứng là mô đun đàn 
hồi và mô đun trượt tầng thứ k của dầm sandwich. 
 Từ trường chuyển vị (3), biểu thức động năng cho dầm sandwich có thể được xây dựng dưới đây: 
 L 2 2 2 2 2
 1 I110( u w 0 ) I 220 ( w 0,xx ) I 660  2 I 1200 u (  w 0, )
 T dx (8) 
 2 
 0 2 I34 u 0  0 2 I 44  0 (  0 wox , )
 Trong biểu thức (8), I11, I12, I22, I34, I44, I66 là các mô-men khối lượng được định nghĩa như sau: 
 (,IIIIII , , , , )(,) xz k (,)(1,,,,,) xz zzzzzdA2 3 4 6 (9) 
 11 12 22 34 44 66 
 A
 trong đó: - mật độ khối lớp thứ k của vị và góc trượt ngang được nội suy từ các chuyển vị 
dầm sandwich có lõi là vật liệu 2D- FGM. nút như sau: 
 Thế năng của lực di động (V) được viết như sau: u0 = Nu.d, w0 = Nw.d, γ0 = Nγ.d (11) 
 trong đó: Nu, Nw và Nγ tương ứng là kí hiệu các 
 V Fw()() x x vti (10) 
 ma trận hàm dạng cho u0,w0 và γ0. Ở đây hàm dạng 
 trong đó: δ(.) - hàm Dirac delta và x - tọa độ tuyến tính được sử dụng cho chuyển vị dọc trục 
được đo từ đầu trái đến đầu phải của dầm. Sử dụng u0(x, t) và góc trượt ngang γ0, hàm dạng Hermit cho 
phương pháp phần tử hữu hạn, ta chia dầm thành chuyển vị ngang. Ngoài ra, d là vec tơ chuyển vị nút 
nhiều phần tử, mỗi phần tử chiều dàilvà mỗi phần tử cho một phần tử dầm và được khởi tạo từ nút phần 
có 2 nút, mỗi nút có 4 bậc tự do. Từ đó các chuyển tử dầm dựa trên trường chuyển vị (3). Sử dụng các 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 25 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
hàm nội suy, biểu thức của năng lượng biến dạng Trên biểu thức (12), k là ma trận độ cứng phần 
đàn hồi được viết dưới dạng: tử được biểu diễn dưới dạng: 
 1 T
 U d kd k = k11 + k12 + k22 + k34 + k44 + k66 + ks (13)
 2 (12) 
 và: 
 ll
 kk NTT A N dx; 2 N A ( N N ) dx ;
 11 u , x 11 u , x 12 u , x 12 , x w , xx
 00
 ll
 kk (N N )TT A ( N N ) dx ; 2 N A N dx ;
 22  ,xwxx , 22  , xwxx , 34 ux , 34  , x
 00
 ll
 kk 2 NTT A ( N N ) dx ; 2 N A N dx ; (14) 
 44  ,x 44  , x w , xx 66  , x 66  , x
 00
 l
 k NT B N dx
 s 44
 0
 T
 1 dd 
 Tương tự, động năng của dầm được viết dưới dạng: T m (15) 
 2 tt 
 trong đó: m - ma trận khối lượng phần tử nhất quán biểu diễn như sau: 
 m = m11 + m12 + m22 + m34 + m44 + m66 (16) 
 và 
 ll
 mm NNINNdxTT ; 2 NINNdx ;
 11 u w 11 u w 12 u 12  w , x 
 00
 ll
 T
 mm NN INNdx ; 2 NINdxT ; (17) 
 22 w , x 22 y w , x 34 u 34
 00
 ll
 mm 2 NINNdxTT ; 2 NINdx ;
 44  ,x 44 y w , x 66  66 
 00
 Các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng kg/m3,ν=0.3). Tham số tần số trong bài báo được 
phần tử được ghép nối lại để tạo thành ma trận độ chuẩn hóa theo công thức: 
cứng và ma trận khối lượng tổng thể cho dầm. 
  L2 
Phương trình vi phân chuyển động cho dầm  1 m (19) 
sandwich theo ngôn ngữ phần tử hữu hạn được hEm
thiết lập: Trong công thức (19), µ - tham số tần số cơ bản 
 ex của dầm, ω1 - tần số dao động cơ bản của dầm. 
 MD KD F (18) Tham số động học cho dầm được chuẩn hóa theo 
 trong đó: D,M và K tương ứng là véc-tơ chuyển công thức (20) như: 
vị nút, ma trận khối lượng và ma trận độ cứng tổng 
 w (L / 2,t) 
thể của kết cấu dầm, trong (18) ma trận cản được D max 0 (20) 
 d w 
bỏ qua. Sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp st 
 Trong (20), Wst = F L3/48EmI là độ võng tĩnh 
Newmark giải ra được các đáp ứng động cho dầm. 
 của dầm thép chịu tác dụng lực F tại giữa dầm. Tần 
Fex trong (18) là vectơ lực nút của dầm. 
 số và tham số động lực học trong bảng 1 và 2 được 
3. Kết quả số tính toán khi cho m=0 và sử dụng các thông số hình 
 học và vật liệu theo tài liệu so sánh. Từ bảng 1 và 2, 
 Cho dầm sandwich lõi FGM gồm hai pha, gốm 
 các kết quả mà bài báo thu được hoàn toàn đáng tin 
 3
(alumina-Al2O3, Ec= 380 Gpa, ρc = 3960 kg/m cậy. Các kết quả tính toán cho dầm sandwich dưới 
,ν=0.3) và kim loại (nhôm-Al, Em= 70 Gpa, ρm= 2702 đây khi cho tỉ số L/h=20. 
26 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
 Bảng 1. So sánh tham số tần số của dầm sandwich lõi FGM (hc/h = 0.5, m=0) 
 L/h n=0 n=0.5 n=1 n=2 n=5 n=10 
 Tài liệu [2] 5 4.0691 3.7976 3.6636 3.5530 3.4914 3.4830 
 Bài báo 4.0685 3.7878 3.6484 3.5356 3.4799 3.4795 
 Tài liệu [2] 20 4.2445 3.9695 3.8387 3.7402 3.7081 3.7214 
 Bài báo 4.2446 3.9696 3.8379 3.7392 3.7077 3.7215 
 Bảng 2. Tham số động học của dầm tương ứng với tốc độ lực di động (hc=h, m=0) 
 n Dd [8] Dd [bài báo] v(m/s) [8] v(m/s) [bài báo] 
 0.2 1.0344 1.0395 222 221 
 0.5 1.1444 1.1497 198 197 
 1 1.2503 1.2561 179 177 
 2 1.3376 1.3441 164 162 
 Gốm 0.9328 0.9373 252 251 
 Kim loại 1.7324 1.7408 132 130 
 Hình 2 minh họa tham số tần số của dầm mà tăng dần thì tham số tần số cũng tăng dần 
sandwich có lõi làm từ vật liệu 2D-FGM với các lên. 
giá trị khác nhau của n và m. Trên hình vẽ, tác 
 Hình 3 chỉ ra mối quan hệ giữa tham số động 
giả cố định tỉ số L/h=20, tỉ số hc/h thay đổi học và tốc độ của lực di động, hình bên trái cố định 
(hc/h=14, 1/2, 2/3, 3/4). Từ hình 2, ta thấy rõ ảnh tham số vật liệu theo chiều dày (n=0.5), thay đổi giá 
hưởng của tham số vật liệu, tỉ số hc/h đến tham trị tham số vật liệu theo chiều dài (m=0, 0.5,1, 1.5), 
số tần số cơ bản của dầm. Với một giá trị n cho hình bên phải cố định tham số vật liệu theo chiều 
trước thì tham số tần số có xu hướng giảm dần dài và thay đổi giá trị tham số vật liệu theo chiều dày 
khi tăng dần n. Đồng thời sự giảm này rõ hơn khi (n=0, 0.5,1, 1.5). Hình vẽ đã minh họa, khi tăng 
giá trị m cao. Ảnh hưởng của tham số vật liệu tham số vật liệu n, m lên thì tham số động học cũng 
theo chiều dài dầm m cũng giống như ảnh tăng nhẹ bất kể tham số vật liệu nào thay đổi hay cố 
hưởng của tham số vật liệu theo chiều dày dầm. định. Ngoài ra, hình 3 chỉ ra sự tăng giảm của tham 
Ngoài ra, hình 2 cũng chỉ ra ảnh hưởng của tỉ số số động học khi tham số vận tốc của lực di động 
 thay đổi. 
hc/h đến tham số tần số của dầm. Khi tỉ số hc/h 
 Hình 2. Mối quan hệ giữa tham số tần số và các tham số vật liệu n và m 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 27 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
 Hình 3. Mối quan hệ giữa tham số động học và tốc độ của lực di động (hc/h=1/2) 
 Hình 4 minh họa mối quan hệ giữa tham số động bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Dựa trên hàm 
học và tham số vật liệu n,m khi cho một số giá trị dạng tuyến tính cho chuyển vị dọc trục và góc trượt 
của tỉ số hc/h(hc/h=14, 1/2, 2/3, 3/4). Hình vẽ chỉ ra ngang, hàm dạng Hermit cho chuyển vị ngang, tác 
ảnh hưởng rất rõ nét của tham số vật liệu theo giả thiết lập được ma trận độ cứng và ma trận khối 
chiều dày và chiều dài dầm lên tham số động học lượng cho dầm sandwich. Dưới sự hỗ trợ của 
của dầm. Khi tham số vật liệu n,m tăng dần lên thì 
 Maple và Matlap, tham số tần số cơ bản của dầm 
tham số động học tăng mạnh khi tỉ số h /h=14, ½, 
 c được tính cho một vài giá trị khác nhau của tham số 
tăng nhẹ khi tỉ số hc/h= 2/3, ¾. Điều này rất dễ hiểu, 
 vật liệu,n,m. Kết quả bài báo đã chỉ ra rằng, tham số 
vì tỉ số hc/h tăng đồng nghĩa lõi dầm 2D-FGM tăng 
lên làm dầm cứng hơn. Hình 4 chỉ ra rằng, khi tỉ số tần số, tham số động học của dầm sandwich có lõi 
hc/h có xu hướng tăng dần thì tham số động học lại làm từ vật liệu 2D-FGM chịu ảnh hưởng nhiều bởi 
có xu hướng giảm dần. tham số vật liệu và tốc độ của lực di động. Các 
4. Kết luận tham số tần số giảm dần khi tham số vật liệu n, m, 
 tăng lên. Tuy nhiên, khi tỉ số hc/h của dầm tăng lên 
 Bài báo đã phân tích đáp ứng động của dầm 
 thì tham số động học của dầm lại giảm đi. 
sandwich lõi 2D-FGM tựa giản đơn chịu lực di động 
 Hình 4. Mối quan hệ giữa tham số động học và tham số vật liệu (v=100m/s) 
28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 5. M. Simsek (2016). Buckling of timoshenko beams 
 composed of two-dimensional functionally graded 
1. Vo, T.P., H.T.Thai, T.K.Nguyen, A.Maheri, and J. 
 material (2d-fgm) having different boundary conditions. 
 Lee (2014). Finite lement model for vibration and 
 Composite Structures, 149, 304–314. 
 buckling of functionally graded sandwich beams 
 6. M. Simsek (2015). Bi-directional functionally graded 
 based on a refined shear deformation theory. 
 materials (bdfgms) for free and forced vibration of 
 Engineering Structures, 64, pp. 12-22. 
 timoshenko beams with various boundary conditions. 
2. Nguyen, T.K., T.T.P. Nguyen, P.T. Vo, and H.T.Thai 
 Composite Structures, 133, 968–978. 
 (2015). Vibration and buckling analysis of FG 
 sandwich beams by a new higher-order shear 7. G.shi and K. Y. Lam (1999). Finite element formulation 
 deformation theory. Composite Part B, 76, pp. 273- vibration analysis of composite beams based on 
 285. higher-order beam theory. Journal of Sound and 
3. Volkan Kahyaa and Muhittin Turana (2018). Vibration Vibration, 219, pp. 696-610. 
 and stability analysis of functionally graded sandwich 8. Şimşek, M., and T. Kocatürk. Free and forced vibration 
 beams by a multi-layer finite element. Composites Part of a functionally graded beam subjected to a 
 B, 146, pp. 198-2012. concentrated moving harmonic load, Composite 
4. Lê Thị Hà, Trần Thị Trâm (2016). Phân tích ứng xử Structures 90(2009), pp.465–473. 
 động của dầm sandwich có vỏ là FGM chịu lực di Ngày nhận bài: 31/01/2019. 
 động. Tạp chí giao thông vận tải, số 58, trang 34. Ngày nhận bài sửa lần cuối: 26/3/2019. 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2019 29