Phương pháp phần tử biên tính nội lực và chuyển vị hệ dầm trên nền đàn hồi theo mô hình winkler

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
6 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN TÍNH NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ HỆ 
DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH WINKLER 
TS. VŨ THỊ BÍCH QUYÊN, TS. ĐỖ XUÂN TÙNG 
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
KS. NGUYỄN THẾ THỊNH 
Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp Thái Nguyên 
Tóm tắt: Bài báo trình bày bài toán dầm trên nền 
đàn hồi bằng phương pháp phần tử biên. Hệ phương 
trình giải được xác định từ nghiệm phương trình vi 
phân dầm trên nền đàn hồi Winkler. Từ đó đưa ra 
trình tự và thực hiện tính nội lực và chuyển vị hệ dầm 
theo phương pháp phần tử biên. 
Từ khóa: Dầm trên nền đàn hồi, mô hình Winkler, 
phương pháp phần tử biên. 
Abstract: This paper presents the solution of 
beams on elastic foundation using boundary element 
method. Based on Winkler foundation, the deflection 
of the beam is solution of four-order differential 
equation. Then the internal forces and displacements 
of the beam system are calculated by using boundary 
element method.. 
Key: Beam on elastic foundation, Boundary 
element method (BEM), Winkler foundation. 
1. Đặt vấn đề 
Mô hình dầm trên nền đàn hồi là một mô hình 
tương đối phức tạp được xây dựng trên cơ sở tương 
tác giữa đất nền và dầm [9,11]. Việc tìm nghiệm giải 
tích tường minh cho dầm trên nền đàn hồi chỉ có thể 
áp dụng cho trường hợp đơn giản. Các hàm nội lực 
và chuyển vị của dầm trên nền đàn hồi có thể xác 
định theo phương pháp giải tích số là phương pháp 
phần tử biên (Boundary Element Method) [6,8]. 
Phương pháp phần tử biên [7] được xây dựng trên 
cơ sở rời rạc hóa vật thể tại các biên hình học, trạng 
thái ứng suất biến dạng bên trong phần tử được xác 
định theo phương trình tích phân từ biên tới điểm 
đang xét. Về mặt toán học, phương pháp phần tử 
biên có ưu điểm phương trình giải được là được xây 
dựng trên cơ sở dạng mạnh (strong form) so với các 
phương pháp số khác như phần tử hữu hạn [10] hay 
sai phân được xây dựng trên cơ sở dạng yếu (weak 
form). Tuy nhiên quá trình giải bài toán bằng phương 
pháp phần tử biên phức tạp hơn các phương pháp 
khác do cần thực hiện một số thủ thuật toán học để 
xây dựng phương trình đại số xác định các thông số 
biên. Bài báo dưới đây sẽ trình bày nội dung chi tiết 
cách tính nội lực và chuyển vị trong hệ dầm trên nền 
đàn hồi theo phương pháp phần tử biên. 
2. Cơ sở lý thuyết tính nội lực và chuyển vị dầm 
trên nền đàn hồi mô hình Winkler bằng phương 
pháp phần tử biên 
2.1 Phương trình vi phân đường đàn hồi theo mô 
hình Winkler [1,5] 
Hình 1. Dầm trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler 
Phương trình vi phân liên hệ hàm chuyển vị y(x) 
dọc theo trục x và tải trọng q(x) dầm trên nền đàn hồi 
(hình 1) theo mô hình nền một thông số Winkler có 
dạng: 
EI
IV 4 q xy x + 4α y x = ; 
4EI
4
kα = (1) 
 Với: EI là độ cứng chịu uốn của mặt cắt ngang; k 
là hệ số nền; 
2.2 Thiết lập hàm nội lực và chuyển vị 
Hàm chuyển vị được xác định nghiệm phương 
trình vi phân thuần nhất [3] và nghiệm riêng là hàm 
của tải trọng tác dụng q(x). Để biểu diễn tính gián 
đoạn của hàm tải trọng sử dụng hàm [12] delta Dirac 
– δ và hàm đơn vị Heviside – H và quy ước dấu “+” 
như sau: 
PM q
R(x) xM 
xP 
xq1
xq2 
0 L 
y
x
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 7 
 +
0, khi x a 0, khi x a
x - a = ;H x - a =
x - a, khi x > a 1, khi x > a
(2) 
Hàm tải trọng được biểu diễn dưới dạng: 
 y p M q1 q2q x = Pδ x - x +Mδ x - x + q H x - x - H x - x (3) 
Nghiệm của hàm chuyển vị và các đạo hàm được xác định phụ thuộc vào các thông số ban đầu và tải trọng 
tác dụng như sau: 
EI EI
EI EI
1 2 3 4 1
5 1 2 3 2
6 5 1 2 3
7 6 5 1 4
.Y x A x A x -A x -A x y 0 B x
.φ x A x A x -A x -A x φ 0 B x
= +
M x -A x -A x A x A x M 0 -B x
Q x -A x -A x A x A x Q 0 -B x
   
       
(4) 
Trong đó: 
φ(x), M(x), Q(x) – hàm góc xoay, mô men uốn và lực cắt ngang có mối liên hệ với hàm chuyển vị :
EI EI
2 3
2 3
dy d y M(x) d y Q(x)
= φ(x); = - ; = -
dx dx dx
1 2 3 2
4 53
2 3
6 7
chαx.sinαx +shαx.cosαx shαx.sinαxA (αx) = chαx.cosαx;A (αx) = ;A (αx) = ;
2α 2α
chαx.sinαx - shαx.cosαx
A (αx) = ;A (αx) = -α chαx.sinαx - shαx.cosαx
4α
A (αx) = -2α shαx.sinαx;A (αx) = -2α chαx.sinαx +shαx.cosαx
 
1 3 M + 4 P 8 q1 + 8 q2 +
2 2 M + 4 P 4 q1 + 4 q2 +
3 1 M + 4 P 3 q1 + 3 q2 +
4
4 4 M +
B x = M.A [α(x - x ) ]+P.A [α(x - x )]+ q A (x - x ) - A (x - x )
B x = M.A [α(x - x ) ]+P.A [α(x - x )]+ q A (x - x ) - A (x - x )
B x = M.A [α(x - x ) ]+P.A [α(x - x )]+ q A (x - x ) - A (x - x )
B x = M. -4α .A [α(x - x ) ]
1 P 2 q1 + 2 q2 ++P.A [α(x - x )]+ q A (x - x ) - A (x - x ) 
 Viết (4) dưới dạng rút gọn: Y x = A x X 0 +B x (5) 
Trong đó: 
 Y(x) - ma trận cột hàm chuyển vị và nội lực dọc 
theo trục thanh (véctơ trạng thái của thanh); 
 A(x) - ma trận vuông nghiệm cơ bản của phương 
trình vi phân thuần nhất; 
 X(0) - ma trận cột chuyển vị và nội lực tại điểm có 
tọa độ x=0 (véctơ thông số ban đầu); 
 B(x) - ma trận cột hàm chuyển vị và nội lực do tải 
trọng tác dụng dọc theo trục thanh (véctơ tải trọng); 
 Tại biên x=L hệ (4) trở thành hệ phương trình đại 
số với các ẩn số là thông số nội lực và chuyển vị tại 
biên của phần tử. 
3. Xây dựngtrình tự tính nội lực và chuyển vị dầm 
trên nền đàn hồi [4] 
Bước 1. Rời rạc hóa hệ thành các phần tử 
Chia hệ theo biên hình học thành m các phần tử 
được liên kết với nhau bởi các nút. Đánh số nút và 
mũi tên chỉ hướng xác định biên đầu và cuối mỗi 
thanh (hình 2). 
Hình 2.Rời rạc hóa và đánh số nút phần tử 
Bước 2. Thiết lập hệ phương trình xác định trạng thái của hệ. 
P1 P2 P3
0 1 2 3 4
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
8 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 
Hệ phương trình trạng thái của hệ được lập bằng cách ghép nối phương trình trạng thái (4) của từng phần 
tử theo thứ tự rời rạc hóa đã thực hiện ở bước 1. 
1 1 1 1
i i i i
m m m m
Y x A x X 0 B x
... ... ... ...
Y x = A x X 0 + B x
... ... ... ...
Y x A x X 0 B x
   
   
   
 (6) 
Bước 3. Thiết lập hệ phương trình đại số xác định các thông số biên của các phần tử. 
Hệ phương trình đại số được xây dựng trên cơ sở thay các giá trị tọa độ biên x=0 và x=l của mỗi phần tử 
vào hệ phương trình (6) và nhận được: 
 Y l = A l X 0 +B l A l X 0 - Y l = -B l (7) 
Các ẩn số cần tính là nội lực và chuyển vị biên 
của các phần tửnằm trong hai ma trận X(0) và Y(l). 
Để đưa phương trình trên về hệ phương trình đại số 
tuyến tính cần gán các điều kiện biên tĩnh học và 
hình học vào các phần tử. Sau đó thực hiện các thủ 
tục toán học để loại bỏ các ẩn số bằng không và di 
chuyển các ẩn số khác không từ véc tơ Y(l) sang 
X(0) nhận được hệ 
 A * l X * 0,l = -B l (8) 
Bước 4. Tính nội lực và chuyển vị của dầm 
 Giải hệ phương trình (7) tính nội lực và chuyển vị 
biên củacác phần tử. Từ đó xác định được hàm nội 
lực và chuyển vị của mỗi phần tử theo (4) hoặc cả hệ 
theo (6). 
4.Trình tự tính nội lực và chuyển vị dầm trên nền 
đàn hồi 
Hình 3. Sơ đồ ví dụ tính dầm trên nền đàn hồi 
Thực hiện ví dụ tính nội lực và chuyển vị cho 
dầm trên nền đàn hồi như trong hình 3. Biết: 
L1=10m; L2=45m; L3=15m; P1= 100kN; 
P2=150kN; M=200kN.m; q=10kN/m; k=1.10
4 
kN/m3; E=2.107 kN/m2, các đoạn dầm có tiết 
diện: b1=1,0m; h1=0,8m; b2=1,5m; h2=1,0m ; 
b3=1,0m; h3=0,4m. 
Trình tự tính dầm theo phương pháp phần tử biên 
được thực hiện theo các bước trình bày tại mục 3. 
a. Rời rạc hóa hệ thành các phần tử (hình 4). 
Hình 4. Rời rạc hóa và đánh số nút phần tử 
b. Thiết lập hệ phương trình xác định trạng thái (6) của hệ: 
L2/3
L2 L3
L2/3 L3/3 L3/3 L3/3
M qP1 P2
L1/2 L1/2 L2/3
L1
b
h
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 9 
3 41 0-1 1 0-1 2 0-1 0-1 0-1
1 0-1 5 0-
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
1-2
1-2
3 2-3
3 2-3
2-3
2-3
EI .y(x) A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
EI .φ(x) A (x)
M(x)
Q(x)
EI .y(x)
EI .φ(x)
=
M(x)
Q(x)
EI .y(x)
EI .φ(x)
M(x)
Q(x)
 
 
 
3
3 4
3
1 1 0-1 2 0-1 0-1
6 0-1 5 0-1 1 0-1 2 0-1
7 0-1 6 0-1 5 0-1 1 0-1
1 1-2 2 1-2 1-2 1-2
5 1-2 1 1-2 2 1-2 1-2
A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (x) A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0
3 4
3
6 1-2 5 1-2 1 1-2 2 1-2
7 1-2 6 1-2 5 1-2 1 1-2
1 2-3 2 2-3 2-3 2-3
5 2-3 1 2-3 2 2-3 2-3
6 2-3 5 2-3 1
0 0 0
0 0 0 0 -A (x) A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x)
0 0 0 0 0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x)
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (
1 0-1
1 0-1
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
1-2
1-2
3 2-3
3 2-3
2-3 2 2-3 2-3
7 2-3 6 2-3 5 2-3 1 2-3 2-
EI .y(0)
EI .φ(0)
M(0)
Q(0)
EI .y(0)
EI .φ(0)
M(0)
Q(0)
EI .y(0)
EI .φ(0)
x) A (x) M(0)
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (x) A (x) Q(0)
11 0-1
21 0-1
31 0-1
41 0-1
11 1-2
21 1-2
31 1-2
41 1-2
11 2-3
21 2-3
31 2-3
3 41 2-3
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
+
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
  
 
  
c. Thiết lập hệ phương trình đại số xác định các thông số biên của các phần tử 
Thay các giá trị tọa độ biên x=0 và x=l của mỗi phần tử vào hệ phương trình và hoán đổi nhận được (7). 
3 4
3
3 4
1 0-1 2 0-1 0-1 0-1
5 0-1 1 0-1 2 0-1 0-1
6 0-1 5 0-1 1 0-1 2 0-1
7 0-1 6 0-1 5 0-1 1 0-1
1 1-2 2 1-2 1-2
A (l) A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
A (l) A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (l) A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (l) -A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 A (l) A (l) -A (l) -A
3
3 4
1-2
5 1-2 1 1-2 2 1-2 1-2
6 1-2 5 1-2 1 1-2 2 1-2
7 1-2 6 1-2 5 1-2 1 1-2
1 2-3 2 2-3 2-3 2-3
5 2-3 1 2
(l) 0 0 0 0
0 0 0 0 A (l) A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 -A (l) A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 -A (l) -A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) A (l) -A (l) -A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) A (l)
3
1 0-1
1 0-1
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
-3 2 2-3 2-3
6 2-3 5 2-3 1 2-3 2 2-3
7 2-3 6 2-3 5 2-3 1 2-3
EI .y(0)
EI .φ(0)
M(0)
Q(0)
EI .y(0)
EI .φ(0)
-A (l) -A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (l) -A (l) A (l) A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (l) -A (l) A (l) A (l)
1 0-1
1 0-1
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
1-2 1-2
1-2 1-2
3 2-3 3 2-3
3 2-3 3 2-3
2-3 2-3
2-3 2-
EI .y(l)
EI .φ(l)
M(l)
Q(l)
EI .y(l)
EI .φ(l)
-
M(0) M(l)
Q(0) Q(x)
EI .y(0) EI .y(l)
EI .φ(0) EI .φ(l)
M(0) M(l)
Q(0) Q(l)
 
 
 
11 0-1
21 0-1
31 0-1
41 0-1
11 1-2
21 1-2
31 1-2
41 1-2
11 2-3
21 2-3
31 2-3
3 41 2-3
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
B (l)
  
 
  
 Gán các điều kiện biên tĩnh học và hình học vào 
X(0) và Y(l). Từ đó thiết lập các ma trận A* và X* theo 
quy tắc: 
- Loại bỏ các hàng có giá trị bằng không trong 
X(0) và Y(l). Khi loại bỏ hàng thứ i” có giá trị bằng 
không của X(0) cho toàn bộ cột thứ ”i” của A(l) giá trị 
bằng không. Trong bài toán đang xét các thông số 
EI1y(0)0-1, EI1φ(0)0-1, EI2y(0)1-2, EI3y(0)2-3 hàng 1, 2, 5, 
9 của X(0) có giá trị bằng không, do đó gán giá trị 
toàn bộ cột 1, 2, 5, 9 của A(l) giá trị không. 
- Chuyển ghép các thông số khác không từ Y(l) 
sang X(0), bao gồm: 
+ Các thông số độc lập Q(l)0-1, Q(l)1-2, M(l)2-3, 
Q(l)2-3 chỉ có trong Y(l) chuyển sang các hàng có giá 
trị bằng không trong X(0) (đánh dấu bằng mũi tên 
đường thẳng liền như hình dưới); 
+ Các thông số không độc lập EI1φ(l)0-1, M(l)0-1, 
EI2φ(l)1-2, M(l)1-2 được ghép chung với các thông số 
liên hệ trong X(0) (đánh dấu bằng mũi tên đường 
thẳng đứt nét như hình dưới); 
+ Khi chuyển đổi và ghép nối các thông số từ 
hàng thứ ”i” của Y(l) sang hàng thứ ”k” X(0) cần bổ 
sung các hệ số bù vào số hạng Aik tại hàng ”i” và cột 
”k” của A (các số hạng được chỉ mũi tên như hình 
dưới).
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
10 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 
3 0-1 4 0-1
2 0-1 3 0-1
1 0-1 2 0-1
5 0-1 1 0-1
2 1-2 3 1-2 4 1-2
1 1-2 2 1-2 3 1-2
5 1-2 1 1-2
0 0 -A (l) -A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -A (l) -A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 A (l) A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 A (l) A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -A (l) A (l) 2 1-2
6 1-2 5 1-2 1 1-2
2 2-3 3 2-3 4 2-3
1 2-3 2 2-3 3 2-3
5 2-3 1 2-3 2 2-3
6 2-3 5 2-3 1 2-3
A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -A (l) A (l) A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -A (l) A (l) A (l)
1 0-1 1 0-1
1 0-1 1 0-
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
1-2
1-2
3 2-3
3 2-3
2-3
2-3
EI .y(0) =0 EI .y(l) =0
EI .φ(0) =0 EI .φ(l)
M(0)
Q(0)
EI .y(0) =0
EI .φ(0)
-
M(0)
Q(0)
EI .y(0) =0
EI .φ(0)
M(0)
Q(0)
 
  
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 1 1-2
0-1 1-2
0-1
2 1-2
2 1-2 2 2-3
1-2 2-3
1-2
3 2-3
3 2-3
2-3
2-3
=EI .φ(l)
M(l) =M(0)
Q(l)
EI .y(l) =0
EI .φ(l) =EI .φ(l)
M(l) =M(0)
Q(l)
EI .y(l) =0
EI .φ(l) =0
M(l)
Q(l)
 
 
 
Nhận được kết quả:
0-1
1-2
0-1
0-1
2-3
2 1-2
1-2
1-2
2-3
3 2-3
2-3
2-3
Q(l)
Q(l)
M(0)
Q(0)
M(l)
EI .φ(0)
X * (0,l)
M(0)
Q(0)
Q(l)
EI .φ(0)
M(0)
Q(0)
 
 
 
*
3 0-1 4 0-1
2 0-1 3 0-1 1 2
1 0-1 2 0-1
5 0-1 1 0-1
2 1-2 3 1-2 4 1-2
1 1-2 2 1-2 3 1-2 2 3
5
0 0 -A (l) -A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -A (l) -A (l) 0 -I I 0 0 0 0 0 0
0 0 A (l) A (l) 0 0 -1 0 0 0 0 0
-1 0 A (l) A (l) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l) 0 -I I 0 0
A
0 0 0 0 0 -A (
1-2 1 1-2 2 1-2
6 1-2 5 1-2 1 1-2
2 2-3 3 2-3 4 2-3
1 2-3 2 2-3 3 2-3
5 2-3 1 2-3 2 2-3
6 2-3 5 2-3 1 2-
l) A (l) A (l) 0 0 -1 0
0 -1 0 0 0 -A (l) A (l) A (l) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 A (l) -A (l) -A (l)
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -A (l) A (l) A (l)
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -A (l) A (l) A (l) 3
Thay các số liệu vào nhận được hệ phương trình (8):
0 0 -147,4 -143,9 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -0,7 -34,2 0 -0,34 0 0 0 0 0 0
0 0 -3,5 0,7 0 0 -1 0 0 0 0 0
-1 0 -1,7 -3,5 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 3533,7 -131366 -75495 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -220,7 -3533,7 -23360,6 0 -23,58 0 0
0 0 0 0 0 302 -220,7 3533,7 0 0 -1 0
0 -1 0 0 0 93,4 -302 -220,7 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0-1
1-2
0-1
0-1
2-3
2 1-2
1-2
1-2
2-3
3
Q(l)
Q(l)
M(0)
Q(0)
M(l)
EI φ(0)
M(0)
Q(0)
0 0 0 119,7 584,5 974,1 Q(l)
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 164,2 -119,7 229,1 EI .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -91,9 164,2 119,7
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -21,6 91,9 164,2
2-3
2-3
2-3
-25967
780
-9305
7574
51569
315940
=-
-240769
91169
-1137003
111425φ(0)
-469466M(0)
-345990Q(0)
  
  
  
Bước 4. Tính nội lực và chuyển vị của hệ. 
Giải hệ phương trình xác định được các ẩn số biên và thay vào (6) nhận được: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 11 
1 0-1 1 0-1 2 0-1 3 0-1 4 0-1
1 0-1 5 0-
0-1
0-1
2 1-2
2 1-2
1-2
1-2
3 2-3
3 2-3
2-3
2-3
EI .y(x) A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
EI .φ(x) A (x)
M(x)
Q(x)
EI .y(x)
EI .φ(x)
=
M(x)
Q(x)
EI .y(x)
EI .φ(x)
M(x)
Q(x)
 
 
 
1 1 0-1 2 0-1 3 0-1
6 0-1 5 0-1 1 0-1 2 0-1
7 0-1 6 0-1 5 0-1 1 0-1
1 1-2 2 1-2 3 1-2 4 1-2
5 1-2 1 1-2 2 1-2 3 1-2
A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
-A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x) 0
6 1-2 5 1-2 1 1-2 2 1-2
7 1-2 6 1-2 5 1-2 1 1-2
1 2-3 2 2-3 3 2-3 4 2-3
5 2-3 1 2-3 2 2-3 3 2-3
6 2-3 5 2-3 1
0 0 0
0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (x) A (x) 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x)
0 0 0 0 0 0 0 0 A (x) A (x) -A (x) -A (x)
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (
11 0-1
21 0-
2-3 2 2-3
7 2-3 6 2-3 5 2-3 1 2-3
B (x)0
B (x)0
-13,6
17,3
0
-863,3
+
-49,6
42,6
0
-30328,6
x) A (x) -16042,5
0 0 0 0 0 0 0 0 -A (x) -A (x) A (x) A (x) 13353,0
 
  
  
1
31 0-1
41 0-1
11 1-2
21 1-2
31 1-2
41 1-2
11 2-3
21 2-3
31 2-3
41 2-3
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
B (x)
Các biểu đồ nội lực và chuyển vị thể hiện trong hình 5. 
Hình 5.Biểu đồ chuyển vị và nội lực dầm 
4. Nhận xét 
Sử dụng phương pháp phần tử biên tính được 
kết quả là các hàm nội lực, chuyển vị trên dầm. 
Các phức tạp về mặt toán học trong quá trình giải 
có thể khắc phục bằng cách sử dụng các phần 
mềm lập trình. Trong [2] tác giả đã viết các 
chương trình tính nội lực và chuyển vị dầm trên 
nền đàn hồi bằng phần mềm Matlab. Các kết quả 
nội lực và chuyển vị bằng phương pháp phần tử 
biên hoàn toàn trùng khớp với kết quả giải tích 
trong tài liệu Sức bền vật liệu [1]. Tuy nhiên nếu 
so sánh với kết quả tính bằng phần mềm SAP có 
chênh lệch do phương pháp phần tử hữu hạn là 
phương pháp gần đúng. Có thể thấy sử dụng 
phương pháp phần tử biên tính nội lực và chuyển 
vị dầm trên nền đàn hồi Winkle đã kết hợp được 
ưu điểm của cả hai phương pháp là giải tích và 
số. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Lê Ngọc Hồng (2011), Sức bền vật liệu,NXB Khoa 
học và Kỹ thuật, Hà Nội. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
12 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2017 
[2] Nguyễn Thế Thịnh (2017), Nghiên cứu tính nội lực và 
chuyển vị dầm trên nền đàn hồi bằng phương pháp 
phần tử biên,Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học kiến 
trúc Hà Nội, Hà Nội. 
[3] Trần Đức Văn (2005), Lý thuyết phương trình vi phân 
đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội. 
[4] Vũ Thị Bích Quyên (2015), “Phương pháp phần tử 
biên giải bài toán tĩnh hệ thanh biến dạng đàn hồi”, 
Tập 2 - Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ 
học vật rắn biến dạng lần thứ 12, Đà Nẵng. 
[5] Edward Tsudic (2013), Analysis of structures on 
Elastic Foundation,J. Ross Publishing, USA. 
[6] Iancu-Bogdan Teodoru (2016), Analysis of beams on 
elastic foundation, The finite defference approach, 
Gheorghe Asachi Techniacl Universiry. 
[7] P.K. Banerjee and R. Butterfield (1981), Boundary 
Element Methods in Engineering Science,McGraw-
Hill Book Company (UK) Limited. 
[8] Teodoru I.B (2007), “Analysis of beams on elastic 
foundation: the finite differences approach”, 
Proceedings of ‘Juniorstav 2007’, 9-th Technical 
Conference for Doctoral Study, Brno University of 
Technology, Czech Republic. 
[9] Dinev D (2012), “Analytical solution of beam on 
elastic foundation by singularity functions”, 
Engineering MECHANICS, Vol. 19, No. 6, p. 381–
392. 
[10] Fareh Hamrit, Brahim Necib, Zied Driss (2015), 
“Analysis of Mechanical Structures Using Beam Finite 
Element Method”, International Journal of Mechanics 
and Applications, 5(1): 23-30. 
DOI: 10.5923/j.mechanics.20150501.04. 
[11] I.E. Avramidis, K. Morfidis (2006), “Bending of beams 
on three-parameter elastic foundation”, International 
Journal of Solids and Structures 43, pp. 357–375. 
[12]Лазарян В.А., Конашенко С.И. (1974), 
Обобщенные функции в задачах механики,Киев.: 
Наукова думка. 
Ngày nhận bài: 18/5/2017. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 17/7/2017.