Phân tích động lực phi tuyến của panel trụ có gân gia cường bằng vật liệu có cơ tính biến thiên dưới tác dụng của lực khí động

108 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC PHI TUYẾN CỦA PANEL TRỤ 
 CÓ GÂN GIA CƯỜNG BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH 
BIẾN THIÊN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG
Phạm Thị Toan1* 
Tóm tắt: Trên cơ sở lý thuyết vỏ Donnell, có kể đến thành phần biến dạng phi tuyến hình học von Kármán 
và kỹ thuật san đều tác dụng gân, các phương trình chuyển động của panel trụ bằng vật liệu có cơ tính biến 
thiên (FGM) có gân gia cường với dòng khí chuyển động vượt âm đã được thiết lập trong bài báo này. Đối 
tượng nghiên cứu là tìm số Mach tới hạn của dòng khí làm cho vỏ mất ổn định khi thay đổi các tham số hình 
học của vỏ và chỉ số tỷ lệ thể tích các vật liệu thành phần. Tiêu chuẩn ổn định động lực phi tuyến của vỏ 
được áp dụng theo Budiansky-Roth để xác định lực tới hạn động. Kết quả số chỉ ra ảnh hưởng của các tham 
số hình học, các tính chất vật liệu và điều kiện đầu đến các đặc trưng động lực phi tuyến của panel trụ FGM.
Từ khóa: Panel trụ; vật liệu FGM; hiện tượng tự dao động.
Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels shell under 
aerodynamic load
Abstract: Based on the shell theory Donnell, taking into account the strains components of the geometrical 
nonlinearity in von Karman sense and the smeared stiffeners technique, the governing equations of motion of 
cylindrical panel by eccentrically stiffened functionally graded material (FGM) with the moving hypersonic air-
flow are established in this paper. The research target is to find out critical Mach numbers of airflow, which made 
the shell unstable when geometrical parameters of shell and volume fraction index of the constituent material 
are varied. The nonlinear dynamic buckling of loads are found acccording to the criterion suggested by Budian-
sky-Roth for defined dynamic critical forces. Numerical results show the influences of geometrical parameters, 
the material properties and initial conditions to the nonlinear flutter characteristics of FGM cylindrical shell.
Keywords: Cylindrical panel; FGM material; flutter.
Nhận ngày 10/8/2017; sửa xong 8/9/2017; chấp nhận đăng 26/9/2017 
Received: August 10th, 2017; revised: September 8th, 2017; accepted: September 26th, 2017
1. Lời giới thiệu
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được nghiên cứu đầu tiên bởi một nhóm các nhà khoa học vật 
liệu của Nhật vào năm 1984 [1]. Có nhiều loại vật liệu cơ tính biến thiên nhưng loại được dùng phổ biến nhất 
hiện nay là loại hai thành phần được tạo nên từ gốm và kim loại biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt 
này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu. Vật liệu FGM thường được sử dụng trong các kết cấu chịu 
nhiệt như các cấu kiện cơ bản trong máy bay và lò phản ứng hạt nhân [2].
Đối với phân tích động lực của vỏ FGM, có nhiều nghiên cứu tập trung vào các đặc trưng dao động 
của vỏ. Huang và Han [3] đã trình bày bài toán ổn định động lực phi tuyến của vỏ trụ là vật liệu có cơ tính 
biến thiên chịu tác dụng của tải trọng dọc trục phụ thuộc thời gian bằng cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định 
động lực của Budiansky - Roth. Bích và cộng sự [4] đã tiến hành phân tích động lực học panel trụ FGM có 
gân gia cường chịu tác dụng của tải trọng động. Liew và cộng sự [5] đã trình bày các phân tích dao động 
phi tuyến cho panel trụ nhiều lớp của vật liệu FGM và chịu tác dụng của gradien nhiệt dọc theo chiều dày 
của panel. 
Đối với vỏ thoải FGM, Alijani và cộng sự [6], Chorfi và Houmat [7] và Masunaga [8] đã nghiên cứu 
dao động phi tuyến chịu tải của vật liệu FGM của vỏ thoải hai độ cong. Phân tích động lực phi tuyến của 
1TS, Trường Đại học Giao thông vận tải.
*Tác giả chính. E-mail: phamthitoan155@yahoo.com.
109TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
của vỏ thoải FGM không hoàn hảo chịu tải trọng nén trục và tải trọng ngang đã được nghiên cứu bởi Bích 
và Long [9], Dũng và Nam [10]. Các phương trình chuyển vị, ổn định và tương thích biến dạng của các cấu 
trúc đều sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển. Các đáp ứng tức thời phi tuyến của vỏ trụ và vỏ thoải hai độ cong 
chịu kích động của tải trọng ngoài đã đạt được và các tải trọng ổn định tiêu chuẩn động lực đã được đánh 
giá trên cơ sở các đáp ứng chuyển vị bằng cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định động lực Budiansky-Roth [11].
Tuy nhiên có rất ít nghiên cứu về các bài toán động lực phi tuyến của vỏ FGM có gia cường gân. Gần 
đây, Najafizadeh và cộng sự [12] đã nghiên cứu ứng xử động lực tĩnh của vỏ trụ FGM. Bích và cộng sự [13] 
đã nghiên cứu sau ổn định tĩnh phi tuyến của tấm và vỏ thoải FGM có gia cường gân lệch tâm. 
Tải trọng khí động lực được xét đến khi tính toán kết cấu của các thiết bị bay và kết cấu của các công 
trình có độ cao hoặc chiều dài lớn như nhà cao tầng, cầu dây văng, tháp ăng ten. Quân và cộng sự [14] đã 
nghiên cứu dao động của vỏ thoải mỏng FGM hai độ cong trên nền đàn hồi bằng cách sử dụng lý thuyết khí 
động lực phi tuyến Ilyushin. Trong [15], Trần Thế Văn đã nghiên cứu ổn định của tấm composite lớp chịu tải 
trọng khí động bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết Piston.
Chen và cộng sự [16] đã nghiên cứu bài toán dạng tự dao động uốn xoắn kết hợp với sự rung của 
cầu dây văng có nhịp chính lớn dưới tác dụng của dòng khi bị nhiễu, sử dụng mô hình lực khí động phi 
tuyến. Tác giả Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Võ Thông [17] đã khảo sát điều kiện ổn định khí động của công 
trình theo mô hình khí động lực thực nghiệm là một hàm bậc hai với dịch chuyển, kết quả đã chỉ ra điều kiện 
ổn định của hiện tượng tự dao động không chỉ phụ thuộc vào vận tốc gió mà còn phụ thuộc vào độ lệch ban 
đầu. Harry và Homer [18] đã sử dụng lý thuyết Piston phi tuyến để xác định hiện tượng tự dao động của 
cánh máy bay hình chữ nhật với tốc độ bay lớn, kết quả thực nghiệm tại các số Mach M = 3 và M = 6,86 
phù hợp với kết quả tính toán lý thuyết. Ebraheem Al-Qassar [19] đã tính toán hiện tượng tự dao động uốn 
xoắn cánh máy bay, sử dụng mô hình lực khí động theo lý thuyết Piston phi tuyến để tính toán và xác định 
ranh giới hiện tượng tự dao động ở các chế độ bay khác nhau tương ứng với các số Mach. Mc Namara và 
cộng sự [20] đã nghiên cứu ứng xử khí động của cánh thiết bị bay trong chế độ bay siêu âm, sử dụng mô 
hình lực khí động theo lý thuyết Piston, có xét đến ảnh hưởng của hiệu ứng nhiệt.
Trong bài báo này tác giả tiến hành phân tích động lực của panel trụ FGM có gân gia cường dưới tác 
dụng của tải trọng khí động bằng cách sử dụng lý thuyết Piston.
2. Panel trụ mỏng FGM có gân gia cường lệch tâm dưới tác dụng của lực khí động 
2.1 Vật liệu FGM
Vật liệu có cơ tính biến thiên trong bài báo này, được giả thiết được làm từ hỗn hợp của ceramic 
(gốm) và kim loại với tỷ lệ thể tích của vật liệu thành phần được cho theo qui luật hỗn hợp:
 (1)
trong đó: h là chiều dày của panel; k ≥ 0 là chỉ số tỷ lệ thể tích các vật liệu thành phần; z là tọa độ chiều dày 
; Các chỉ số dưới c và m để chỉ thành phần gốm và kim loại tương ứng. Theo quy luật hỗn hợp, 
mô đun Young và mật độ khối có thể biểu diễn dưới dạng:
 (2)
hệ số Poisson ν được giả thiết hằng số.
2.2 Các hệ thức liên hệ ứng suất - biến dạng của panel trụ FGM
Xét panel trụ mỏng với độ dày h, bán kính mặt giữa là R và chiều dài các cạnh trong mặt phẳng chiếu 
lần lượt là a và b. Giả thiết hình chiếu của vỏ trên mặt phẳng có dạng hình chữ nhật hoặc hình vuông. Mặt 
phẳng trung bình của vỏ nói chung được xác định trong hệ tọa độ cong, tuy nhiên đối với vỏ trụ có thể thay 
thế hệ tọa độ cong bằng hệ tọa độ Descartes với x1 và x2 nằm trong mặt trung bình của vỏ còn trục z vuông 
góc với mặt giữa vỏ trụ, có chiều dương hướng vào phía trong (Hình 1). Giả thiết vỏ được gia cường bởi hệ 
gân thuần nhất lệch tâm, các gân trực giao nhau, kích thước nhỏ, được đặt cách đều nhau, mặt cắt ngang 
của gân là chữ nhật không đổi. Gân được giả thiết là mảnh, mau, được bố trí ở mặt dưới của panel trụ.
110 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
 Theo lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán, các thành phần biến dạng tại mặt 
giữa và độ cong, độ xoắn của panel trụ liên hệ qua các thành phần chuyển vị u, v và w như sau [13]:
 (3)
Các thành phần biến dạng tại điểm cách mặt giữa một khoảng z được xác định bởi:
 (4)
Từ (4) nhận được phương trình tương thích biến dạng của vỏ như sau:
 (5)
Quan hệ ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke:
- Đối với vỏ:
 (6a)
- Đối với gân:
 (6b)
trong đó: E0 là mô đun Young của gân. 
Trong bài báo này chọn gân là kim loại nên E0 = Em.
Để tính đến vai trò của gân ta sử dụng phương pháp san đều tác dụng gân của Lekhnitskii [23] và bỏ 
qua tác dụng xoắn của gân. Như đã nói ở trên, các gân được giả thiết có kích thước nhỏ, đặt mau và mảnh 
nên hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp san đều tác dụng gân. Tích phân các biểu thức định nghĩa của 
nội lực màng và mô men, ta nhận được biểu thức cho nội lực và mô men của vỏ như sau [4]: 
 (7)
 (8)
trong đó:
 (9)
với:
111TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
 (10)
trong đó: s1, s2 là khoảng cách giữa hai gân dọc và ngang liên tiếp; h1, h2 là chiều cao của gân; A1, A2 là diện 
tích mặt cách ngang của gân; d1, d2 là chiều dài của gân (Hình 1). 
Từ (7) biểu diễn ngược lại, ta có:
 (11)
trong đó:
 (12)
Thay thế (11) vào (8) ta nhận được:
 (13)
Ở đây: 
 (14)
2.3 Các phương trình cơ bản của panel trụ FGM chịu tải trọng khí động
Giả thiết panel trụ FGM nằm dọc theo luồng khí chuyển động với vận tốc vượt âm 
Hình 1. Gân dọc và gân ngang của panel trụ 
Dòng khí tác dụng lên mặt của vỏ áp lực q0 hướng theo pháp tuyến của mặt vỏ.
Phương trình chuyển động của vỏ có dạng [13]:
112 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
 (15)
 (16)
 (17)
trong đó:
 (18)
Ở đây ρo = ρm cho gân là thép, ρo = ρc cho gân là ceramic. 
Theo lý thuyết Piston phi tuyến bậc hai, lực khí động xác định theo công thức [15]:
 (19)
trong đó: γ là tỷ số nhiệt dung của chất khí; a∞ là vận tốc âm; P∞ là áp suất khí chưa bị nhiễu; M là số Mach; 
, U là vận tốc dòng khí. Do dòng khí tác động ở phía vỏ ngoài của panel trụ, gân gia cường ở phía 
trong nên vận tốc gió không ảnh hưởng đến vai trò của gân. Vì vậy hoàn toàn có thể áp dụng lý thuyết Piston 
vào tính toán.
Sử dụng giả thiết Volmir, , vì u << w,v << w, hai phương trình (15,16) thỏa mãn 
đồng nhất khi ta đưa vào hàm ứng suất φ sao cho:
 (20)
Phương trình (17) đưa về dạng:
 (21)
Thay (11) vào phương trình (5) và sử dụng (20) đưa phương trình tương thích về:
 (22)
Thay (13) vào phương trình (18) và sử dụng (20) ta có phương trình chuyển động:
 (23)
Các phương trình (22,23) chứa 2 ẩn φ và w dưới tác dụng của lực khí động được sử dụng nghiên 
cứu dao động phi tuyến và ổn định động lực của panel trụ FGM.
3. Phân tích động lực phi tuyến của panel trụ FGM
Giả thiết panel trụ tựa đơn ở các cạnh, điều kiện biên có dạng:
w=0, M1=0, N1=0, N12=0 tại x1=0 và x1=a
w=0, M2=0, N2=0, N12=0 tại x2=0 và x2=b 
(24)
113TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
Điều kiện (24) thỏa mãn nếu ta đặt nghiệm như sau [14]:
 (25)
Thay (25) vào phương trình (22), và giải phương trình này ta xác đinh hàm ứng suất φ như sau:
 (26)
ở đây ký hiệu
 (27)
Thay thế các biểu thức (25) - (26) vào phương trình (23) và áp dụng phương pháp Galerkin, ta được 
hệ phương trình với m chẵn và lẻ. 
Hệ phương trình với m lẻ:
 (28)
hay thế các biểu thức (25,26) vào phương trình (23) và áp dụng phương pháp alerkin, ta đ c 
hệ ph ng trình v i chẵn và lẻ.
114 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
 (29)
Hệ phương trình với m chẵn:
 (30)
 (31)
Từ hệ trên ta nhận được hệ thức xác định tần số dao động riêng ω của vỏ: |(K - ω2H)| = 0 (32)
trong đó: 
115TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
Hệ các phương trình vi phân phi tuyến (28-31) mô tả dao động của vỏ, kết hợp với điều kiện đầu và 
sử dụng phương pháp Runge - Kutta bậc 4 và chương trình phần mềm Matlab ta sẽ nhận được đáp ứng 
động lực của vỏ. 
Vấn đề đặt ra là với các giá trị khác nhau của vận tốc dòng khí U, tương ứng với số Mach , 
ta cần xác định vận tốc dòng để với vận tốc này trong khoảng thời gian khảo sát đáp ứng động lực của vỏ 
tăng liên tục theo thời gian. Ta gọi số Mach tương ứng này là số Mach tới hạn, ký hiệu là Mth. Khi M ≥ Mth, 
panel trụ mất ổn định. 
4. Kết quả số và thảo luận
4.1 Đánh giá độ tin cậy
Để đánh giá độ tin cậy của chương trình tính toán, tần số dao động riêng của panel trụ FGM đạt được 
từ biểu thức (27) được so sánh với Bích và cộng sự [4]. Theo [4], xét panel trụ FGM gồm các thành phần 
từ nhôm và ôxit nhôm với các tính chất vật liệu Em = 70.109 N/m
2, ρm = 2720kg/m
3, Ec = 380.109 N/m
2, ρc = 
3800kg/m3, νc = νm = 0,3, ta đưa các số liệu này vào chương trình tính toán của bài báo, kết quả nhận được 
tần số dao động riêng để so sánh độ tin cậy.
So sánh tần số dao động riêng được thể hiện ở Bảng 1. Do mô tả lý thuyết vỏ cũng như phương pháp 
mà Bích và cộng sự [4] sử dụng nên sai số không đáng kể.
Bảng 1. Các tần số dao động riêng khác nhau (rad/s) của panel trụ tương ứng với 
a = b = 1.5m, k = 1, h = 0.008m 
R(m) k
Bài báo Bich và cộng sự [4]
Không gân (m,n) Có gân (m,n) Không gân (m,n) Có gân (m,n)
1.5
0.2 1172(1,3) 1571(1,2) 1172.51(1,3) 1571.27(1,2)
1 981(1,3) 1433(1,2) 982.14(1,3) 1435.02(1,2)
5 820(1,3) 1264(1,2) 822.19(1,3) 1266.54(1.2)
10 781(1,3) 1222(1,2) 783.56(1.3) 1224.47(1,2)
3
0.2 804(1,2) 1192(1,2) 803.92(1.2) 1192.51(1,2)
1 686(1,2) 1127(1,2) 686.91(1,2) 1128.4(1,2)
5 556(1,2) 1010(1,1) 556.39(1,2) 1011.97(1,1)
10 518(1,2) 922(1,1) 519.9(1,2) 924.63(1,1)
4.2 Đáp ứng hiện tượng tự dao động phi tuyến và số Mach tới hạn
Dưới đây, tác giả sử dụng phương pháp Runge - Kutta 
bậc 4 và ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình 
(28-31). Để minh họa cho cách tiếp cận này, ta xét panel trụ 
FGM nhôm-oxit nhôm với các tham số hình học và vật liệu 
sau đây [4]: h=0,003m, R=3m, a=1.5m, b=1.5m, k=1, Ec = 
380 x 109N/m2, ρc = 3800kg/m
3, Em=70.10
9N/m2, ρm=2720kg/
m3, ν=0.3, s1=s2=0.15m, d1=d2=0.003m, h1=h2=0.015m và 
các đặc trưng của lực khí động [15]: γ = 1,4, P∞ = 99473,4 
N/m2, a∞ = 340m/s. Điều kiện đầu f1(0)=1e-10, f ̇1(0)=0, 
f2(0)=1e-10, f ̇2(0)=0. Với kích thước vỏ trụ và gân ở trên, có 
thể gia cố được 10 gân tăng cường, như vậy số gân là mau 
và mảnh, hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp san đều 
tác dụng gân.
Ta khảo sát ở giai đoạn gần mất ổn định đáp ứng động 
lực của vỏ thể hiện như thế nào. Hình 2 là đáp ứng động lực 
tự dao động phi tuyến của panel trụ có gân FGM với M = 6.7221, vỏ chưa mất ổn định. Hàm f2 dao động 
điều hòa với biên độ nhỏ. Hàm f1 dao động với biên độ tăng trong khoảng thời gian đầu t < 0,07s sau đó 
giảm dần và với t > 0,07s thực hiện dao động điều hòa.
Hình 2. Đáp ứng động lực của panel trụ 
với số Mach M=6.7221
116 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
Khi số Mach tăng xấp xỉ 0,0001 (tương ứng vận tốc tăng 
≈ 0,034m/s), tức là Mth=6.7222 đáp ứng động lực bắt đầu tăng 
liên tục, vỏ mất ổn định (Hình 3).
a) Ảnh hưởng của tỷ số a/b và chiều dày của panel trụ
Bảng 2 thể hiện giá trị của Mth với các chiều dày và tỷ số 
a/b khác nhau. Ta thấy khi tỷ số a/b tăng, Mth giảm nhanh. Rõ 
ràng khi có gân, Mth tăng đáng kể so với khi không có sự tăng 
cường của gân.
Khi tăng chiều dày của vỏ, Mth tăng. Ta xét vỏ nêu trên với 
k=1, a=1.5m, b=1.5m, R=3m và h=0,004m, khi đó Mth = 7.3555 
khi không có gân, Mth = 11.8522 khi có gân, trạng thái mất ổn 
định xẩy ra thể hiện trên Hình 4 và Hình 5.
Hình 3. Đáp ứng động lực của panel trụ 
mất ổn định với Mth =6.7222
Hình 4. Đáp ứng động lực của panel trụ không gân 
mất ổn định với Mth=7.3555 
Hình 5. Đáp ứng động lực của panel trụ có gân 
mất ổn định với Mth=11.8522
Khảo sát cho thấy trong giai đoạn chưa mất ổn định, sự thay đổi của số Mach ảnh hưởng không đáng 
kể đến tần số dao động. Khi chiều dày h của vỏ trụ tăng, Mth tăng nhanh.
Bảng 2. Mth khi tỷ số a/b thay đổi, k = 1, R = 3m
h (m) 0.002 0.003 0.004 0.005
a/b Không gân Có gân Không gân Có gân Không gân Có gân Không gân Có gân
1 1.4595 3.3404 3.8734 6.722 7.3555 11.8522 12.7158 19.4647
1.5 0.9598 1.6946 2.4723 3.4214 4.8383 6.2436 8.2055 9.8097
2 0.6935 1.0735 1.8175 2.2511 3.4535 3.8577 5.8296 6.2701
2.5 0.4758 0.7803 1.2394 1.5566 2.3953 2.7433 4.1879 4.5623
3 0.3591 0.614 0.9028 1.18 1.8181 2.1216 3.1279 3.404
3.5 0.2821 0.5001 0.704 0.9488 1.4628 1.7295 2.341 2.5983
4 0.2202 0.4149 0.5753 0.7938 1.1442 1.3654 1.8468 2.0842
Hình 6 biểu diễn sự biến thiên của Mth theo 
chiều dày h của vỏ (k=1, R=3m, a=b=1.5m), Mth lớn 
nhất khi h = 0.005m tương ứng với Mth = 19.4647.
Ảnh hưởng của tỷ số a/b đến đáp ứng động 
lực của vỏ FGM được chỉ ra trên Hình 3 và 7. Với 
a/b=1 (Hình 3), vỏ mất ổn định khi Mth = 6.7222, với 
a/b=2 (Hình 7), vỏ mất ổn định khi Mth = 2.2511.
Hình 8 biểu diễn sự thay đổi của Mth khi a 
tăng với h=0.003m, b=1.5m, k=1. Mth giảm nhanh 
ở giai đoạn từ a=1.5m đến a=2.5m, sau đó giảm 
chậm hơn.
Hình 6. Đồ thị Mth biến thiên theo chiều dày 
h của vỏ
117TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
Hình 7. Đáp ứng động lực của panel trụ 
mất ổn định với Mth=2.2511 
Hình 8. Đồ thị của Mth theo chiều dài a
b) Ảnh hưởng của điều kiện đầu
Xét trường hợp thay đổi điều kiện đầu. Tại t = 0, f1(0)=1e-5, f2(0)=1e-5 và t = 0, ḟ1(0)=0, ḟ2(0)=0, a=3m, 
b=1.5m. Đáp ứng động lực thể hiện trên các Hình 9 và 10. Hình 9 với số Mach M = 2.251, đồ thị thể hiện 
dao động giảm dần. Khi M = 2.2511, hiện tượng mất ổn định như Hình 7 không xảy ra. Do ảnh hưởng của 
điều kiện đầu, biên độ dao động lúc đầu giảm sau đó có xu hướng là dao động điều hòa.
Như vậy khi thay đổi điều kiện đầu, tần số dao động không thay đổi. Do yếu tố lực cản khí động và 
yếu tố phi tuyến trong các phương trình (28-31) biên độ dao động không tăng đến vô cùng mà đến thời điểm 
nào đó hiện tượng tự dao động là điều hòa.
Hình 9. Đáp ứng động lực của panel trụ với 
số Mach M=2.251 khi thay đổi điều kiện đầu
Hình 10. Đáp ứng động lực của vỏ trụ với 
Mth=2.2511 khi thay đổi điều kiện đầu
c) Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích k
Khi cho chỉ số thể tích k thay đổi, Mth thay đổi. Khi k = 0, vật liệu hoàn toàn là kim loại, Mth nhỏ, khi k = 
∞, vật liệu hoàn toàn là ceramic, Mth tăng rõ rệt. Điều này hợp lý vì môđun đàn hồi của thép nhỏ hơn ceramic 
nhiều. Trên Bảng 3 thể hiện số Mth thay đổi khi k, h thay đổi của vỏ với a/b=2.
Bảng 3. Mth khi cho tỷ số thể tích k và chiều dày h thay đổi của vỏ với a/b=2
R
h (m)
0 0.2 0.5 1 2 5 ∞
0.002 0.3976 0.7409 0.917 1.0735 1.2301 1.4126 1.6982
0.003 0.9336 1.4417 1.8562 2.2511 2.6315 3.1117 3.8339
0.004 1.5328 2.4441 3.1674 3.8577 4.5851 5.47 6.9078
0.005 2.4263 3.9545 5.1398 6.2701 7.478 8.9972 11.5997
Hình 11 và 12 thể hiện đáp ứng động lực của vỏ khi mất ổn định với k = 0,5 và k = 5. Khi k = 0.5, 
Mth= 1.8562, panel trụ mất ổn định. Khi k = 5, Mth = 3.1117, panel trụ mất ổn định.
118 TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
Hình 11. Đáp ứng động lực của panel trụ có 
gân mất ổn định với Mth =1.8562 khi k = 0.5
Hình 12. Đáp ứng động lực của panel trụ có 
gân mất ổn định với Mth=3.1117 khi k = 5
d) Ảnh hưởng của độ cong vỏ đến giá trị của số Mach tới hạn
Bảng 4 thể hiện giá trị của Mth khi cho R tăng. Ta thấy Mth giảm dần khi bán kính R của vỏ trụ tăng 
lên. Đặc biệt khi R=∞, tức là vỏ trụ là tấm chữ nhật, Mth giảm rõ rệt. Ta thấy rõ Mth tăng nhanh khi tăng chiều 
dày của vỏ trụ.
Bảng 4. Mth khi cho R và h thay đổi (a=b=1.8m, k=1)
R
h (m)
2 3 5 8 10 ∞
0.002 3.1664 2.4147 1.7908 1.412 1.2768 0.7168
0.003 6.4712 4.9016 3.5157 2.6577 2.3616 0.956
0.004 11.7558 8.8892 6.3557 4.6385 4.0993 1.3455
0.005 18.6131 14.0794 9.9626 7.4883 6.2701 1.9358
5. Kết luận
Trong bài báo đã tiếp cận cách phân tích đáp ứng động lực của hiện tượng tự dao động phi tuyến 
của panel trụ mỏng FGM có gân gia cường dưới tác dụng của lực khí động theo lý thuyết Piston bằng cách 
sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển. Các kết quả số của đáp ứng động lực của panel trụ FGM đã nhận được bằng 
áp dụng phương pháp Runge - Kutta bậc bốn và nhận biết giá trị tới hạn của vận tốc dòng khí qua số Mach 
tới hạn. Với các kết quả tính toán và các hình ảnh minh họa ta rút ra các nhận xét sau đây:
- Khi chỉ số tỷ lệ thể tích k tăng, tức là lượng ceramic tăng, Mth tăng, vỏ ổn định hơn.
- Các tham số hình học đóng vai trò quan trọng trong hiện tượng tự dao động của vỏ FGM. Khi chiều 
dày h tăng, Mth tăng nhanh. Khi tỷ số a/b tăng, Mth giảm nhanh.
- Điều kiện ban đầu có ảnh hưởng đến giá trị của Mth.
- Hiệu quả gia cường của gân thể hiện một cách rõ ràng.
- Khi bán kính của vỏ trụ tăng, Mth giảm. 
Tài liệu tham khảo
1. Koizumi M. (1993), “The concept of FGM”, Ceram Trans Funct Grad Mater, 34:3-10.
2. Miyamoto Y., Kaysser W.A., Rabin B.H., Kawasaki A., Ford R.G. (1999), “Functionally graded materials: 
design, processing and applications”. London: Kluwer Academic Publishers.
3. Huang H., Han Q. (2010), “Nonlinear dynamic buckling of functionally graded cylindrical shells subjected 
to a time-dependent axial load”, Compos Struct, 92:8-593.
4. Dao Huy Bich, Dao Van Dung, Vu Hoai Nam (2012), “Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiff-
ened functionally graded cylindrical panels”, Composite Structures, 94(8):2465-73. 
5. Liew K.M., Yang J., Wu Y.F. (2006) “Nonliear vibration of a coating-FGM55-substrate cylindrical panel 
subjected to a temperature gradient”, Comput Methods Appl Mech Eng, 195:1007-26.
119TẬP 11 SỐ 509 - 2017
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNG
6. Alijani F., Amabili M., Karagiozis K., Bakhtiari-Nejad F. (2011), “Nonlinear vibrations of functionally graded 
doubly curved shallow shells”, J Sound Vib, 330:54-1432.
7. Chorfi S.M., Houmat A. (2010), “Nonlinear free vibration of a finctionally graded doubly curved shallow 
shell of elliptical plan-form”, Compos Struct 2010, 92:81-2583.
8. Matsunaga H.(2008), “Free vibration and stability of functionally graded shallow shells according to a 2-D 
higher-order deformation theory”, Compos Struct, 84:132-46.
9. Bich Dao Huy, Long Vu Do (2010), “Non-linear dynamical analysis of imperfect functionally graded mate-
rial shallow shells”, Vietnam J Mech 2010, 32(1):1-14.
10. Dung Dao Van, Nam Vu Hoai (2010), “Nonlinear dynamic analysis of imperfect FGM shallow shells with 
simply supported and clamped boundary conditions”. In: Proceedings of the tenth national conference on 
deformable solid mechanics, Thai Nguyen, 41-130.
11. Budiansky B., Roth R.S. (1962), “Axisymmetric dynamic buckling of clamped shallow spherical shells”. 
NASA technical note D_510, 597-609.
12. Najafizadeh M.M., Hasani A., Khazaeinejad P. (2009), “Mechanical stability of functionally graded stiff-
ened cylindrical shells”, Appl Math Model, 54(2):179-307.
13. Dao Huy Bich, Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong (2011), “Nonlinear postbuckling of eccentrically stiff-
ened functionally graded plates and shallow shells”, Vietnam J Mech 2011, 33(3):132-47.
14. Tran Quoc Quan, Dao Huy Bich, Nguyen Dinh Duc (2015), “Nonlinear flutter of double curved thin FGM 
shallow shells on elastic foundations using Ilyushin nonlinear supersonic aerodynamic theory”, Proccedings 
of the XII National conference on solid Mechanics, 2:1178-1185.
15. Tran The Van (2012), Nghiên cứu ổn định của tấm composite lớp chịu tải trọng khí động, Luận án tiến 
sĩ kỹ thuật.
16. Chen X., Kareem A., Haan Jr.F.L. (2000), ”Nonlinear Aerodynamic Analysis of Bridges under Turbulent 
Winds: The New Frontier in Bridge Aerodynamics”, University of Notre Dame, IN 46556-0767, USA.
17. Nguyễn Đăng Bích, Nguyễn Võ Thông (1999), “Ổn định hệ tự dao động có cưỡng bức khi lực khí động 
có yếu tố phi tuyến bậc hai với dịch chuyển của công trình”, Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị CH-
VRBD toàn quốc lần thứ VI, Hà Nội, 53-59.
18. Harry L.R., Homer G.M. (1961), Flutter at very high speeds, Technical Note D-942, National Aeronautics 
and Space Administration Washington.
19. Ebraheem Al-QASSAE A.A. (2008), “Numerical modeling and dynamic simulations of nonlinear aerother-
moelastic of a double-wedge lifting surface”, Journal of Engineering Science and Technology, 3(3):213-223.
20. McNamara J.J., Friedmann P.P., Powell K.G., Thuruthimattam B.J. (2005), “Three-dimensional Aero-
elastic and Aerothermoelastic behavior in Hypersonic Flow”, 46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, 
Structural Dynamics & Material Conference 18-21, Texas.
21. Brush D.D., Almroth B.O. (1975), Buckling of bars, plates and shells, Mc.Graw-Hill, New York.
22. Kuglera S.T., Fotiura P.A., Murinb J. (2013) “The numerical analysis of FGM shells with enhanced finite 
elements”, Engineering Structure 49, 920-935.
23. Lekhnitskii S.G. (1968), Anisotropic plates, Gordon and Breach Science Publishers.