Bê tông atphan màu và các phương pháp chế tạo

Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 61 
BÊ TÔNG ATPHAN MÀU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHẾ TẠO 
ThS. Vũ Huyền Trân 
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung 
Tóm tắt: Bê tông atphan là vật liệu bền, chịu thời tiết tốt và được sử dụng hầu 
hết trên đường, bãi đỗ xe. Tuy nhiên, mặt đường atphan hầu như chỉ có màu 
đen và xám. Việc biến những màu sắc cũ buồn chán này thành các màu sắc 
khác đã được nghiên cứu và ứng dụng để tạo nên vẻ mỹ quan mới cho đô thị và 
sự thân thiện cho các con đường. Bài báo này giới thiệu một số tính năng và 
cách chế tạo loại bê tông mặt đường có màu sắc mới này. 
Từ khóa: Bê tông atphan, đá găm, chất tạo màu (pigment). 
1. Tính chất đặc biệt của bê tông 
atphan màu so với bê tông atphan 
truyền thống 
Khi thay thế màu đen truyền thống 
bằng các màu sắc khác sẽ giảm nhiệt độ 
bề mặt trong mùa nóng, do đó nâng cao 
độ bền nhiệt của lớp atphan và giảm sự 
lão hóa theo thời gian. Bên cạnh đó, 
hiệu ứng của các thuộc tính quang học 
của lớp phủ atphan màu sẽ cải thiện 
mức độ quan sát trong đêm. Ngoài ra, 
các màu sắc khác nhau như nâu, đỏ, 
xanh lá cây, xanh dương, hồng, vàng, 
màu be, nâu vàng mang lại sự thuận 
lợi, sự thoải mái khi tham gia giao thông 
và hiệu ứng thẩm mỹ, sự tao nhã của 
cảnh quan. 
Bê tông atphan màu thường được 
sử dụng với mục đích chỉ thị lối đi vào 
thành phố hay các giao lộ hoặc được 
dùng để phân biệc các không gian khác 
nhau để đi tới các điểm đến đặc biệt như 
trạm đỗ cho các trạm xe bus, xe đạp, xe 
máy. Ngoài ra chúng còn được sử dụng 
để cảnh báo giao thông cho các khách bộ 
hành đối với các vùng thường xuyên xảy 
ra tai nạn, các vòng xoay, nơi băng 
ngang cho người đi bộ ở những vùng có 
mật độ giao thông cao, (Hình 1). 
Hình 1. Ứng dụng của bê tông atphan màu 
2. Các phương pháp tạo màu cho bê 
tông atphan 
Để đạt được màu sắc như mong 
muốn thì có thể sử dụng một số phương 
pháp như: thêm chất tạo màu vào atphan 
trong quá trình sản xuất cùng với việc 
sử dụng đá dăm có màu phù hợp ở lớp 
nền; xử lý bề mặt sau khi phủ nền; sử 
dụng bitum thông thường với cốt liệu có 
màu sắc; sử dụng đá găm đã được tạo 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 62 
màu và sử dụng cốt liệu có màu sắc 
thích hợp với chất kết dính mờ. 
Thêm chất tạo màu vào trong 
atphan 
Màu chính của atphan được tạo ra 
bằng cách thêm chất tạo màu. Chất tạo 
màu thường sử dụng là oxit sắt ba 
Fe2O3. Cốt liệu có màu sắc phù hợp với 
màu chính cũng được sử dụng để tránh 
ảnh hưởng đến màu chính. Tuy nhiên, 
giá của oxit sắt khá cao nên việc sử dụng 
bê tông atphan có màu đỏ bị hạn chế. Có 
thể sản xuất bê tông atphan màu xanh 
đậm bằng cách sử dụng oxit crôm nhưng 
bê tông có màu này thì ít được sử dụng 
hơn bê tông có màu đỏ. Hiện nay đã có 
nhiều chất kết dính có các tính chất lưu 
biến và cơ học tương tự như bitum 
truyền thống nhưng dễ nhuộm màu hơn. 
Chẳng hạn bê tông atphan màu đỏ được 
sản xuất từ các chất kết dính mới này chỉ 
cần 1 - 2% chất tạo màu để có được màu 
sắc mong muốn trong khi bitum truyền 
thống thì cần đến 5% oxit sắt. 
Xử lý bề mặt có màu sắc sau khi 
phủ nền 
Có 3 dạng xử lý bề mặt để tạo màu 
cho lớp bê tông atphan đó là: sử dụng 
bê tông được nhuộm màu sẵn, sử dụng 
lớp láng mặt và dùng sơn màu. Bê tông 
được nhuộm màu được chế tạo sẵn với 
nhiều màu sắc khác nhau. Tuy nhiên vì 
lớp bê tông này rất mỏng nên chúng 
thích hợp cho đường bộ hành và giao 
thông nhẹ. Sử dụng lớp láng mặt thì phù 
hợp cho hầu hết các loại cấp nhựa 
đường. Màu sắc cuối cùng của lớp láng 
mặt sẽ là màu đá dăm được sử dụng. 
Khi bề mặt được xử lý bằng sơn màu, 
các màu sơn được chế tạo sẵn để phủ 
lên các bề mặt đường màu đen và cách 
này thông thường chỉ phù hợp cho khu 
vực bộ hành, sân chơi như tenis. 
Sử dụng bitum thông thường với 
cốt liệu có màu sắc 
Khi trộn một bitum thông thường 
với cốt liệu, màu sắc của hỗn hợp nhận 
được tùy thuộc vào các yếu tố như màu 
của chính cốt liệu, chiều dày màng 
bitum bọc cốt liệu và tỷ lệ bề mặt hạt 
bọc chất kết dính bị lộ ra trên bề mặt và 
bị bào mòn bởi xe cộ. Trong điều kiện 
giao thông vừa và nặng, màu sắc tự 
nhiên của cốt liệu sẽ nhanh chóng lộ ra 
một cách rõ ràng nhưng ở điều kiện giao 
thông nhẹ thì phải mất một thời gian 
đáng kể. 
Sử dụng đá găm đã được tạo màu 
Đối với bê tông atphan rải nóng sử 
dụng cốt liệu có cỡ hạt tương đối nhỏ 
thì màu sắc có thể tạo ra bằng các rải 
các đá găm đã được tạo màu, kết hợp 
với quá trình lu lèn để găm bám vào bề 
mặt đường trong quá trình đầm nén. Đá 
găm này cần phải được trộn trước với 
bitum hoặc chất nhựa để gia tăng sự kết 
bám với bề mặt đường. Tuy nhiên, cách 
tạo màu này chỉ phù hợp ở nơi giao 
thông nhẹ, bộ hành vì ở các điều kiện 
khác thì bê tông atphan có hàm lượng 
đá cao nên đá găm đã được tạo màu 
không thể được lu lèn ép chặt vào bề 
mặt đường. 
Sử dụng cốt liệu có màu sắc 
thích hợp với chất kết dính mờ 
Một số chất kết dính được sử dụng 
trong bê tông atphan có màu trong hơn 
bitum nên chỉ cần lựa chọn màu sắc cốt 
liệu phù hợp thì có thể tạo ra các bề mặt 
có màu sắc. Ưu điểm của cách làm này 
là bề mặt sẽ có màu sắc cần thiết ngay 
khi vừa thi công xong. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 63 
3. Chế tạo bê tông atphan có màu 
bằng cách sử dụng chất tạo màu 
3.1. Giới thiệu về chất tạo màu 
Các chất tạo màu vô cơ như oxit 
sắt, oxit crom, đioxit titan và hỗn hợp 
các oxit thì rất phù hợp để chế tạo cho 
bê tông atphan màu vì chúng rất bền 
thời tiết và bền màu. Còn các chất tạo 
màu hữu cơ thì thường không bền thời 
tiết và khá đắt tiền để sử dụng trong bê 
tông atphan. Bên cạnh đó, sự phù hợp 
giữa chất tạo màu và chất kết dính 
trong bê tông cũng đóng vai trò quan 
trọng. Đối với các bitum màu tối, các 
chất tạo màu thường được sử dụng là 
oxit sắt và oxit crôm xanh. Oxit sắt có 
nồng độ và cường độ nhuộn màu cao 
nên có thể che đi màu tối của các bitum 
thông thường và có thể mang lại màu 
đỏ mong muốn. Do đó oxit sắt đỏ là 
chất tạo màu quan trọng nhất đối với 
ứng dụng này. Đối với bitum có màu 
nhạt thì loại chất tạo màu có thể sử 
dụng được sẽ nhiều hơn. Một điều cần 
lưu ý đối với hỗn hợp bê tông atphan 
rải nóng đó là tính bền màu sắc của 
một số oxit khi ở nhiệt độ cao. Oxit sắt 
vàng nâu khi ở nhiệt độ trên 180oC sẽ 
chuyển thành oxit sắt đỏ. Còn oxit sắt 
đỏ, oxit titan, oxit crom xanh lá cây và 
các hỗn hợp oxit khác thì bền màu khi 
nhiệt độ trên 180oC. 
3.2. Hàm lượng chất tạo màu cần dùng 
Khi sử dụng bitum màu tối, cần 
thêm từ 3 - 4% oxit sắt đỏ tổng hợp với 
cường độ nhuộm màu cao. Nếu oxit sắt 
đỏ được sử dụng có cường độ nhuộm 
màu thấp thì cần phải sử dụng với hàm 
lượng cao hơn. Đối với các chất tạo 
màu khác, ví dụ xanh crom, thường ít 
phù hợp để che đi màu tự nhiên của 
bitum vì cường độ nhuộm màu thấp và 
phải sử dụng một lượng lớn. Cách duy 
nhất cải thiện màu tối của bitum lúc này 
là thêm vào các cốt liệu có màu tự nhiên 
xấp xỉ màu bitum cần nhuộm. Các loại 
bitum nhạt màu được đề cập trước đây 
đã được sử dụng ở một số nước. 
Nhược điểm của các sản phẩm này là 
giá khá cao và trong một số trường 
hợp lại không bền thời tiết. Tuy nhiên, 
sử dụng loại này để sản xuất bê tông 
atphan màu thì dễ dàng hơn. Ví dụ bê 
tông màu vàng và xanh được tạo ra 
bằng cách thêm chất tạo màu với hàm 
lượng từ 1 đến 2%. 
3.3. Quy trình sản xuất 
* Chuẩn bị đá và cát: Đá và cát 
được làm sạch bằng nước (có thể rửa 
trong máy hoặc rửa trên băng truyền), 
vận chuyển đến kho chứa và được gia 
nhiệt bằng thiết bị sấy. Thiết bị sấy có 
thể là các loại các thùng sấy ngắn cho 
từng mẻ, thùng sấy hình trụ quay hoặc 
tháp sấy. 
* Chuẩn bị bột đá: bột đá sau khi 
nghiền nhỏ được kiểm tra chất lượng 
và sau đó được chứa ở xilo riêng, không 
cần gia nhiệt. 
* Chuẩn bị bitum: bitum được 
gia nhiệt trong thiết bị đặc biệt. Đối 
với bitum quánh nhiệt độ từ 140 – 
160oC, còn đối với bitum lỏng từ 90 
– 100oC. Quá trình gia nhiệt nhằm 
đảm bảo cho bitum đạt tới độ nhớt có 
thể nhào trộn được và bám dính tốt 
với vật liệu khoáng. 
* Trộn bê tông asphalt: bê tông 
atphan có thể được trộn trong theo chu 
kỳ sấy nóng gián tiếp, chu kỳ cấp nhiệt 
trực tiếp hoặc trộn liên tục cấp nhiệt 
trực tiếp. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 64 
* Trộn màu: có hai cách trộn màu 
vào hỗn hợp bê tông atphan, đó là trộn 
theo mẻ (Hình 2) và trộn liên tục 
(Hình 3). 
Hình 2. Thêm màu bằng qui trình trộn mẻ 
Trong quy trình trộn mẻ, chất tạo 
màu có thể được thêm vào bằng điều 
khiển tự động hoặc bằng tay. Các bao 
đựng chất tạo màu làm bằng polyetylen 
được thêm trực tiếp vào hỗn hợp qua 
máng. Các bao đựng màu được cho luôn 
vào hỗn hợp vì polyetylen bị hòa tan ở 
130 - 140oC. Ưu điểm của phương pháp 
này là không gây bụi. Thời gian trộn 
khoảng 60 - 90 giây. Để ngăn chặn quá 
trình kết tụ (các cục hay mảng bột màu), bột 
màu nên được thêm trước bitum và được 
trộn trước với cốt liệu trong 10 - 15 giây. 
Trộn liên tục: Việc thêm bột màu 
bằng tay thì không thể thực hiện được 
trong quy trình trộn liên tục. Quy trình 
này có công suất khá lớn. 
Hình 3. Thêm màu theo quy trình trộn 
liên tục 
4. Kết luận 
Bên cạnh việc nâng cao chất 
lượng, việc sử dụng những màu sắc mới 
cho bê tông atphan sẽ góp phần nâng 
cao tính an toàn và tạo sự thoải mái cho 
người tham gia giao thông. Bên cạnh 
đó, cảnh quan đô thị cũng được cải 
thiện đáng kể. Công tác quy hoạch để có 
những đô thị mới không nên bỏ qua việc 
sử dụng bê tông atpha màu này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Công ty Shell Việt Nam. 9/1991. Cẩm nang bitum shell trong xây dựng công trình 
giao thông, NXB Giao thông vận tải. 
[2] LANXESS Deutschland GmbH Business Uni. January 2002. Inorganic Pigments, 
Technical Information, Competence Center Construction. 
[3] Phạm Duy Hữu. Bê tông asphalt, NXB Giao thông vận tải. 
[4]  
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 65 
HAI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA TẤM MỎNG CHỮ NHẬT 
BIẾN DẠNG LỚN KHI CHỊU TÁC DỤNG CỦA LỰC THAM SỐ 
THEO VON KÁRMÁN 
KS. Võ Văn Nam 
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung 
Tóm tắt: Như đã biết, tấm chữ nhật là một trong những kết cấu được sử dụng 
phổ biến trên thế giới. Bởi vậy, việc tìm hiểu về độ bền của loại kết cấu này 
trở nên quan trọng. Nội dung của bài báo này, tác giả đề cập đến hai phương 
trình vi phân của tấm chữ nhật dưới tác dụng của những tải trọng động có 
tính chu kỳ trong mặt phẳng dưới dạng y y0 ytn t n n cos t (lực tham 
số) trên hai cạnh biên đối diện nhau khi xét đến lý thuyết biến dạng lớn theo 
von Kármán. 
 As is shown, the rectangular plate is one of the commonly used structures 
on the world. Therefore, the researching of endurance of this structure becomes 
important. In this paper, the author regards two difference equations of 
retangular plate under in-plane periodic forces in form  y y0 ytn t n n cos t 
(parametric force) at two opposite edges when von Kármán's large-deflection 
theory is considered. 
Keyword: plates, large-deflection theory,. 
Lý thuyết kết cấu tấm được nghiên cứu từ cuối những năm của thế kỷ 19. Có hai 
lý thuyết về tấm được chấp nhận và sử dụng rộng rãi là: lý thuyết Kirchhoff (lý thuyết 
tấm cổ điển) và lý thuyết Mindlin–Reissner (lý thuyết tấm dày). Các lý thuyết tấm này 
được trình bày trong rõ trong cuốn sách Theory of Plates and Shells [11] của tác giả S. 
Timoshenko và S. Woinowsky-Krieger; Stresses in Plates and Shells-Second edition 
của tác giả Ansel C. Ugural [10] và một số cuốn sách khác. Trong luận văn này, tác 
giả chỉ tóm tắt lý thuyết nhằm vận dụng để làm cơ sở tính toán cho đề tài này, đó là lý 
thuyết tấm mỏng biến dạng lớn theo Von Kármán. 
Hình 1. Mô hình tấm chịu tác dụng của lực kích thích tham số 
1. Lý thuyết tấm biến dạng lớn 
Lý thuyết tấm mỏng biến dạng lớn được G. R. Kirchhoff phát triển và công bố 
năm 1877. Sau đó, Von Kármán phát triển lý thuyết này và giới thiệu hai phương trình 
vi phân căn bản của tấm gọi là phương trình Von Kármán vào năm 1910. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 66 
Hình 2. Mô hình tấm mỏng cơ bản 
Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày h nhỏ hơn rất nhiều so với kích 
thước của hai phương còn lại. Mặt phẳng cách đều hai mặt bên trên và dưới của tấm 
được gọi là mặt trung bình của tấm. Khi chịu uốn mặt trung bình của tấm bị cong đi. 
Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm được gọi là cạnh biên của tấm 
(hay chu vi tấm). Đối tượng nghiên cứu trong luận văn này được thừa nhận là mỏng và 
phẳng lúc ban đầu; vật liệu chế tạo của tấm là vật liệu đàn hồi, đồng nhất và đẳng 
hướng. Điều kiện biên của tất cả bốn biên đều là liên kết tựa đơn giản. 
1.1. Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị 
1.1.1. Bài toán tấm chịu uốn 
Trong không gian hai chiều (x,y) các thành phần biến dạng: 
x y xy yx
u v u v; ;
x y y x
   
   
   
 (1.1a) 
Hình 3. Biến dạng dài và biến dạng góc 
Trong không gian 3 chiều có thêm 3 thành phần biến dạng: 
z xz zx yz zy
w u w v w; ;
z z x z y
    
    
    
 (1.1b) 
Hình 4. Mô hình tấm có chiều dày không đổi trước và sau khi biến dạng 
Trong giả thiết tính toán kết cấu tấm (giả thiết a và c), giả thuyết mặt phẳng 
 m,n vẫn phẳng trước và sau khi chịu biến dạng uốn. Điều này có nghĩa là biến dạng 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 67 
cắt thẳng đứng xz và yz nhỏ và chúng ta xem như không tồn tại. Đồng thời, chiều 
dày của tấm không đổi nên biến dạng dài theo phương z cũng có thể bỏ qua. Do đó, 
chúng ta chỉ quan tâm đến các biến dạng chính trong mặt phẳng (x,y). Như vậy, ta 
nhận được kết quả như sau: 
x y xy
z xz yz
u v u v; ; 
x y y x
0; 0; 0
  
  
   
   
 (1.2) 
với w w x, y . Theo tính chất quan hệ hình học chúng ta nhận thấy: 
wu z
x


 và wv z
y


 (1.3) 
Thế (1.3) vào (1.2) ta nhận được kết quả: 
2 2 2
x y xy2 2
w w wz ; z ; 2z
x y x y
  
  
   
 (1.4) 
Độ cong  của một mặt phẳng được xem như tỉ lệ của sự thay đổi góc dốc của 
đường cong. 
  
             
x y xy
x y xy
1 w 1 w 1 w; ; 
r x x r y y r x y
 (1.5) 
Từ (1.4) và (1.5) ta có mối liên hệ như sau: 
x x y y xy xyz ; z ; 2z      (1.6) 
1.1.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên 
Xét một phần tử tấm (dxdy) tại một điểm nằm giữa mặt phẳng trung hòa của tấm. 
Dưới tác dụng của tải trọng tác dụng, phần tử thẳng AB bị dịch chuyển và trở thành 
A'B'. 
Hình 5. Mô hình phần tử bị biến dạng do chuyển vị 
Vì phần tử nằm trên mặt phẳng trung hòa giữa tấm nên ứng suất không xuất hiện 
do đó dx không đổi. Đồng thời, hình chiếu của A'B' lên phương chuyển vị thẳng đứng 
w là w dx
x


. Do đó, chiều dài A'B' được xác định như sau: 
1/ 22 2
2 w 1 wdx dx dx dx ...
x 2 x
     
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 68 
Do đó, kết quả biến dạng dài tương đối của phân tố dx: 
2
x
1 w
2 x

  
 (1.7) 
Tương tự, chúng ta cũng có thể xác định được biến dạng dài theo phương y: 
2
y
1 w
2 y

 
  
 (1.8) 
Để tìm biến dạng cắt do chuyển vị w gây ra, ta xét một phân tố nhỏ như hình 3 
(b). Ta nhận thấy chuyển vị lần lượt là của OA vàOB lần lượt là O' A' và O' B' . Sự 
chênh lệch giữa góc A' O' B' và góc 2 chính là biến dạng cắt tương ứng với chuyển 
vị w. Để xác định sự chênh lệch, chúng ta xem xét mặt phẳng 1B O' A' , xoay mặt phẳng 
này bởi một góc nhỏ w y  sao cho mặt phẳng 1B O' A' trùng với mặt phẳng B' O' A' . 
Điểm 1B di chuyển đến vị trí điểm C . Như vậy, chuyển vị: 
1
wB C dy
y


 (1.9) 
và góc nghiêng của 1B C với 1B B' là góc nhỏ w x  . Từ tam giác 1B CB' ta thấy: 
w wCB' dy
x y
 
 
 (1.10) 
Góc CO' B' đặc trưng cho biến dạng cắt tương ứng do chuyển vị w gây ra: 
w wCO' B'
x y
 
 
 (1.11) 
1.1.3. Biến dạng của tấm khi xét đến biến dạng lớn theo Von Kármán 
Người ta thấy rằng khi xét một tấm mỏng biến dạng lớn sẽ tồn tại cả hai biến dạng 
kể trên. Do đó, kết hợp hai biến dạng ta thu được kết quả biến dạng của tấm như sau: 
                    
22
x y xy
u 1 w v 1 w u v w w; ; 
x 2 x y 2 y y x x y
 (1.12) 
1.2. Quan hệ ứng suất biến dạng 
1.2.1. Bài toán tấm chịu uốn 
Trong không gian ba chiều, theo định luật Hooke ta có mối quan hệ giữa ứng 
suất và biến dạng: 
xy
x x y z xy
yz
y y x z yz
xz
z z x y xz
1 
E G
1 
E G
1 
E G

     

     

     
 (1.13) 
với E là mô đun đàn hồi 
  là hệ số Poisson 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 69 
 G là mô đun đàn hồi trượt 
EG
2 1 
Mà theo giả thuyết tấm mỏng ta có: 
 z xz yz 0   
Thế vào phương trình (1.13) ta tìm được hàm ứng suất theo biến dạng: 
        
 
 x x y y y x xy xy2 2
E E, , G
1 1
 (1.14) 
1.2.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên: 
Tương tự theo định luật Hooke ta có mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: 
      xyx x y y y x xy
N1 1N N ; N N ; 
Eh Eh Gh
 (1.15) 
Như vậy, ta cũng rút ra được ứng suất theo biến dạng: 
     
 
 x x y y y x xy xy2 2
Eh EhN ; N ; N Gh
1 1
 (1.16) 
1.3. Các thành phần nội lực 
1.3.1. Bài toán tấm chịu uốn 
Lúc này trong tấm tồn tại mô men và lực cắt. Kết hợp (1.6) và (1.14) ta có: 
2 2
x x y2 2 2 2
2 2
y y x2 2 2 2
2
xy xy
Ez Ez w w
1 1 x y
Ez Ez w w
1 1 y x
Ez Ez w
1 1 x y
   
 
   
 
 
 
  
   
  
   

  
 (1.17) 
Gọi xM là mô men uốn trên một đơn vị chiều dài. Ta có: 
h/ 2 h/ 2
x x x
h/ 2 h/ 2
M dy z dydz dy z dz 
Hay: 
h/ 2
x x
h/ 2
M z dz
Các bước tương tự ta thu được kết quả: 
x xh / 2
y y
h / 2
xy xy
M
M zdz
M


 
  
  
  
 (1.18) 
Và các giá trị lực cắt tương ứng: 
h/ 2
x xz
y yzh/ 2
Q
dz
Q


  
  
  
 (1.19) 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 70 
Như vậy, ta nhận thấy một vấn đề xảy ra đó là theo giả thuyết tính toán tấm 
mỏng chúng ta bỏ qua các biến dạng xz và yz nhưng lực theo phương thẳng đứng xQ 
và yQ thì không thể bỏ qua. Điều này nhằm đảm bảo cho hệ lực được cân bằng. 
Thế (1.17) vào (1.18) ta thu được: 
2 2
x x y 2 2
2 2
y y x 2 2
2
xy xy
w wM D D
x y
w wM D D
y x
wM D 1 D 1
x y
  
  
  
  
   
  
   

 
 (1.20) 
với: 
3
2
EhD
12 1 
 Ứng suất lúc này cũng có thể biểu diễn theo mô men: 
   y xyxx y xy3 3 3
12M z 12M z12M z ; ; 
h h h
 (1.21) 
Xét cân bằng lực trong một phân tố tấm chịu uốn có kích thước dxdy chịu tải 
trọng phân bố đều như Hình 4. Chú ý, phân tố có kích thước rất nhỏ nên xem như các 
thành phần nội lực được xem như phân bố đều trên các biên: 
Hình 6. Phân bố nội lực trên một phần tử tấm chịu uốn 
Từ hình vẽ trên chúng ta xét phương trình cân bằng mô men cho phân tố theo các 
trục. Đối với trục x lấy tổng mô men với trục x bỏ qua các vi phân bậc cao ta thu được 
phương trình cân bằng mô men: 
y xy
y
M M
dxdy dxdy Q dxdy 0
y x
 
 
 (1.22) 
Hay: y xyy
M M
Q
y x
 
 
 (1.23a) 
Tương tự, ta cũng tính được giá trị lực cắt đơn vị: 
 xyxx
MMQ 0
x y

 
 (1.23b) 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 71 
Thế phương trình (1.20) vào phương trình (1.23a) và (1.23b) ta thu được giá trị 
lực cắt tính theo chuyển vị: 
2 2
x 2 2
2 2
y 2 2
w wQ D 
x x y
w wQ D
y y x
   
    
   
    
 (1.24) 
Dựa trên Hình 4 ta nhận thấy các thành phần lực thẳng khi chiếu lên phương trục 
z bao gồm: 
yx
x x y y
yx
QQ pdxdy Q dx dy Q dy Q dy dx Q dx
x y
QQpdxdy dxdy dxdy
x y
    

 
 (a) 
1.3.2. Bài toán tấm chịu tác dụng của lực mặt ở biên: 
Xét một phân tố tấm chữ nhật chịu lực mặt ở biên, kết quả nội lực được cho trên 
hình vẽ: 
Hình 7. Lực tác dụng trên một phân tố nằm ở giữa tấm 
với: xy yxN N ; ' dxx

 
  
Dựa theo Hình 5 ta nhận thấy khi chiếu các lực xN lên phương trục x ta nhận 
được kết quả: 
x
x x
NN dx dy cos ' N dy cos
x
 
  
 (b) 
 mà 
21/ 22 21cos 1 sin 1 sin ... 1
2 2

   
 Vì  khá nhỏ nên có thể xem 2 2 0 cos 1  : 
Tương tự ta cũng thu được: cos ' 1 . Như vậy, biểu thức (b) chỉ còn 
 xN x dxdy  . Tương tự, ta cũng thu được xyN chiếu lên phương trục x. Từ điều kiện 
hệ lực cân bằng theo phương trục x xF 0  dẫn đến phương trình: 
yxx NN 0
x y

 
 (1.25a) 
Tương tự theo phương trục y ta cũng thu được: 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 72 
y xyN N 0
y x
 
 
 (1.25b) 
Xét các lực xN khi chiếu theo phương trục z: 
x
x x
NN dx dy sin ' N dy sin
x
 
  
 (c) 
Vì  và ' khá nhỏ, sin w x    và sin sin '  nên ta thu được: 
2
2
w w' dx dx
x x x

 
      
Thế vào biểu thức (b) bỏ qua những vi phân bậc cao ta nhận được: 
2 2
x x
x x x2 2
N Nw w w w wN dx dy dx N dy N dxdy dxdy
x x x x x x x
              
 (d) 
Tương tự, ta cũng thu được các thành phần lực yN theo phương z: 
2
y
y 2
Nw wN dxdy dxdy
y y y
 
  
 (e) 
Hợp lực theo phương z gồm các lực cắt xyN trên các biên x được xác định như 
sau. Độ dốc của mặt biến dạng theo phương y do các lực trên biên y là w y  và 
 2w y w x y dx     . Theo biên x ta có các thành phần lực cắt chiếu lên phương z là 
xyN dy và xy xyN N x dx dy   
2
xy
xy xy
2
xy
xy
Nw w wN dy N dx dy dx
y x y x y
Nw w N dxdy dxdy
x y x y
    
      
 
   
 (g) 
Tương tự, ta cũng thu được hợp lực theo phương z của lực cắt dọc theo biên y: 
2
yx
yx
Nw wN dxdy dxdy
x y y x
 
   
 (h) 
1.3.3. Khi tấm chịu tải trọng tổng quát 
Khi xảy ra cả hai trường hợp trên ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. Kết hợp 
hai hình: Hình 5 và Hình 4, ta nhận thấy các thành phần lực thẳng trên Hình 5 không 
gây ra mômen nên kết quả phương trình (1.24) được xem như là không đổi. 
Từ điều kiện cân bằng lực ta có tổng lực thẳng theo phương z phải bằng 0, nghĩa 
là zF 0  . Từ đó, chúng ta có được: 
2 2
y yx x
x y2 2
2 2
xy yx
xy yx
Q NQ Nw w w wp N N ...
x y x x x y y y
N Nw w w w ... N N 0
x y x y x y y x
      
         
     
         
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 73 
2 2 2
yx
x y xy2 2
yx y xyx
QQ w w wp N N 2 N ...
x y x y x y
N N NN w w ... 0
x y x y x y
   
     
     
       
 (1.26) 
Thế hai phương trình (1.25a) và (1.25b) vào phương trình (1.26) ta được: 
2 2 2
yx
x y xy2 2
QQ w w wp N N 2N 0
x y x y x y
   
     
 (1.27) 
Thế phương trình (1.24) vào phương trình (1.27) ta nhận được phương trình vi 
phân chủ đạo của tấm mỏng: 
4 4 4 2 2 2
x y xy4 2 2 4 2 2
w w w 1 w w wp N N 2N
x x y y D x y x y
      
         
 (1.28) 
2. Hai phương trình vi phân von Kármán 
- Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng trong tấm biến dạng lớn: 
221 1; ; 
2 2
  
                 
x y xy
u w v w v u w w
x x y y x y x y
 (2.1) 
- Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: 
+ Với f là hàm ứng suất Airy ta có: 
2 2 2
2 2; ; x y xy
f f fN h N h N h
y x x y
  
   
 (2.2) 
+ Theo định luật Hooke: 
 1 1; ;      xyx x y y y x xy
N
N N N N
Eh Eh Gh
 (2.3) 
Thế phương trình (2.2) vào (2.3) ta được: 
 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 11 1; ; 

    
     
       
x y xy
f f f f f
E y x E x y E x y
 (2.4) 
- Từ (1.28) ta có phương trình vi phân chủ đạo của tấm mỏng: 
4 4 4 2 2 2
4 2 2 4 2 2
12 2x y xy
w w w w w wp N N N
x x y y D x y x y
      
         
 (2.5) 
với: 
3
212 1
EhD

Khi xét đến trường hợp tấm chịu tải trọng động thì lúc này hàm chuyển vị w 
và hàm ứng suất f là những hàm theo tọa độ và thời gian, có nghĩa là , ,w w x y t 
và , ,f f x y t . Nếu có xét đến lực quán tính 
2
2
wF h
t


 thì phương trình (2.5) 
trở thành: 
4 4 4 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 2
12 2x y xy
w w w w w w wp N N N h
x x y y D x y x y t
       
          
 (2.6) 
Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 1-2014 74 
Đối với tấm chữ nhật chịu tác dụng của tải trọng tham số như trong luận văn này 
không xét đến lực phân bố đều vuông góc bề mặt tấm. Có nghĩa là p 0 . Do đó, 
phương trình (2.6) trở thành: 
4 4 4 2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 2
12 2x y xy
w w w w w w wN N N h
x x y y D x y x y t
       
          
 (2.7) 
- Phương trình tương thích: 
22 22 2 2 2
2 2 2 2
y xyx w w w
y x x y x y x y
       
         
 (2.8) 
Thế (2.2) và (2.4) lần lượt vào (2.7) và (2.8) ta thu được hai phương trình von 
Kármán: 
4 2
, , ,xy xx yyf E w w w  (2.9) 
4
, , , , , , ,2yy xx xx yy xy xy tt
hw f w f w f w w
D
  (2.10) 
với: 
4 4 4
4
4 2 2 4x x y y
  
 
   
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Yamaki N, Nagai K. 1975. Dynamic stability of rectangular plates under periodic 
compressive forces, Report No. 288 of the Institute of high speed mechanics, Tohoku 
University, pp. 27 - 103. 
[2] G.L. Ostiguy, H. Nguyen. 1998. Recent developments on the dynamic stability and 
response of paramatrically-excited rectangular plates. 
[3] H. Poicaré. 1892. Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris. 
[4] Guan-Yuan Wu, Yan-Shin Shih. 2005. Dynamic instability of rectangular plate 
with an edge crack, Computers and Structure, pp. 1 - 10. 
[5] T. Takahashi, Y. Konishi. 1987. Dynamic stability of rectangular plate subjected 
to distributed in-plane dynamic force, pp. 115 - 126. 
[6] Kazuyuki Yagasaki. 1990. Dynamics of a weakly nonlinear system subjected to 
combined parametric and external excitation, Department of Mechanical Engineering, 
Tamagawa University, pp. 1 - 9. 
[7] Wang S, Dawe D J. 2002. Dynamic instability of composite laminated rectangular 
plates and prismatic plate structures, Computer methods applied mechanics and 
engineering, p. 1791 - 1826. 
[8] Chuen-Yuan-Chia. 1980. Nonlinear Analysis of Plates. McGRAW-HILL Inc. 
[9] L.S. Ramachandra, Sarat Kumar Panda. 2009. Dynamic stability of composite 
plates subjected to non-uniform in-plane load, Journal of Sound and Vibration, 
Elsevier, pp. 53 - 65. 
[10] Ansel C. Ugural. 1999. Stress in Plates and Shells, Second edition, Mc Graw-Hill Inc. 
[11] S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. 1959. Theory of Plates and Shells, 
Second edition.