Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí
CHƯƠNG VI:
Chuyển vị của dầm chịu uốn
Thời lượng: 5 tiết
21. Các khái niệm
 z v z 
11/04/2020
3
1. Các khái niệm
κ – độ cong của đường đàn hồi
ρ – bán kính cong của điểm uốn
Mx – mômen uốn của mặt cắt điểm uốn
E – môđun đàn hồi vật liệu
Ix – mômen quán tính của mặt cắt điểm uốn đối với trục trung hòa
σz - ứng suất pháp trong mặt cắt điểm uốn
4
2. Phương trình vi phân đường đàn hồi
1
1x z
x
M
EI Ey


52. Phương trình vi phân đường đàn hồi
62. Phương trình vi phân đường đàn hồi
 3
2 2
1
2
1
v z
v z

Từ hình học vi phân:
 3
2 2
3
1
x
x
v z M
EIv z
11/04/2020
7
Các phương pháp tính độ võng, góc xoay
83. Phương pháp tích phân
Do: 
3
2 2 20 1 1
5x
x
v z v z v z
M
v z
EI
  
 
Do độ cứng chống uốn của
tiết diện EIx thường không
đổi trong 1 đoạn dầm nên:
 5 6x xEI v z M z 
Đạo hàm 2 vế của (6) 6 7xx y
dM
EI v z Q z
dz
Đạo hàm 2 vế của (7) 7 8yx
dQ
EI v z w z
dz
93. Phương pháp tích phân
Tích phân PT (6)
1
1 2
x x x
x x
EI v z EI z M z dz C
EI v z M z dz dz C z C
 
  
Các hằng số C1, C2, C3, C4 được xác định nhờ điều kiện biên và điều
kiện liên tục: góc xoay θ, độ võng v, lực tập trung F, ngẫu lực M0 tại các
điểm đầu, cuối và tại các mặt cắt có các tải phân bố của đoạn dầm
đang xét.
Tích phân
PT (8)
1
1 2
2
1 2 3
3 2
1 2 3 4
;
;
;
2
;
6 2
x y
x x
x x
x
EI v z Q z w z dz C
EI v z M z dz w z dz C z C
z
EI v z EI z dz dz w z dz C C z C
z z
EI v z dz dz dz w z dz C C C z C

10
3. Phương pháp tích phân
11
3. Phương pháp tích phân
Dấu + của ngoại lực w, lực
cắt và mômen uốn
Dấu + của độ võng
12
3. Phương pháp tích phân
Con lăn
0; 0xv M 
Bản lề trụ
0; 0xv M 
Con lăn
0v 
Ngàm
0; 0v v 
Đầu tự do
0; 0y xQ M 
Liên kết bản lề
0xM 
Bản lề trụ
0v 
13
3. Phương pháp tích phân
14
3. Phương pháp tích phân
2
3
0;
2
0;
3
x
x
PL
EI
PL
EI


Tich phan - vi du 1.pdf
2
2
0;
2
2 3
0;
6
x
x
Pa
EI
Pa a b
EI


Tich phan - vi du 2.pdf
15
3. Phương pháp tích phân
3
0
4
0
0;
6
0;
8
x
x
w L
EI
w L
EI


3
0
4
0
0;
24
0;
30
x
x
w L
EI
w L
EI


Tich phan - vi du 3.pdf Tich phan - vi du 4.pdf
16
3. Phương pháp tích phân
2
0;
0;
2
x
x
ML
EI
ML
EI


2
2
3
0;
16
0;
16
0;
48
L
x
R
x
x
PL
EI
PL
EI
PL
EI



Tich phan - vi du 5.pdf
Tich phan - vi du 6.pdf
17
3. Phương pháp tích phân
2 2 2 2
2 2
1
3
2 2 22 2
1 max
2 2
1 1
2
0; 0;
6 6
0;
3
0;
3 9 3
3 4
0
2 48
L R
x x
C
x
x
x
Pb L b Pa L a
EI L EI L
Pa b
z a
EI L
Pb L bL b
z
EI L
Pb L bL
z
EI
 



Tich phan - vi du 7.pdf
3
0
3
0
4
0
0;
24
0;
24
5
0;
384
L
x
R
x
x
w L
EI
w L
EI
w L
EI



Tich phan - vi du 8.pdf
18
3. Phương pháp tích phân
2
max
2
1
2
0;
6
0;
3
0;
3 9 3
0
2 16
L
x
R
x
x
x
ML
EI
ML
EI
L ML
z
EI
L ML
z
EI




2
max
2
1
2
0;
3
0;
6
0;
3 9 3
0
2 16
L
x
R
x
x
x
ML
EI
ML
EI
L ML
z L
EI
L ML
z
EI




Tich phan - vi du 9-10.pdf
19
3. Phương pháp tích phân
3
0
3
0
4
0
max
4
0
1
2
7
0;
360
8
0;
360
0.519 0.006522 0;
5
0
2 768
L
x
R
x
x
x
w L
EI
w L
EI
w L
z L
EI
L w L
z
EI




3
0
3
0
4
0
5
0;
192
5
0;
192
0;
120
L
x
R
x
x
w L
EI
w L
EI
w L
EI



Tich phan - vi du 11.pdf Tich phan - vi du 12.pdf
20
3. Phương pháp tích phân
 6x xEI v z M z 
 7xx y
dM
EI v z Q z
dz
 8yx
dQ
EI v z w z
dz
Khi dầm có nhiều đoạn với
các loại tải trọng khác nhau
cần 1 phương pháp biểu
diễn các biểu thức w(z), Qy(z)
và Mx(z) bằng 1 đa thức đại
số để không phải chia đoạn,
giảm phức tạp cho bài toán
21
3. Phương pháp tích phân
Đối với n ≥ 0
Hàm đặc biệt: n = -1; -2
0 khi
khi
0
n
n
z a
z a
z a z a
n
1
1
n
n z a
z a dz C
n
1 0 khi
khi
z a
w P z a
P z a
2
0
0
0 khi
khi
z a
w M z a
M z a
1
; 1, 2
n n
z a dz z a n
Khi tích phân
Khi tích phân
223. Phương pháp tích phân
23
3. Phương pháp tích phân
Viết phương
trình biểu thức
của w(z), Qy(z)
và Mx(z).
Ham gian doan - vi du 1.pdf
24
3. Phương pháp tích phân
Viết phương trình biểu thức của w(z), Qy(z) và Mx(z).
Ham gian doan - vi du 2.pdf
25
3. Phương pháp tích phân
Tìm độ võng của điểm C và D.
Ham gian doan - vi du 3.pdf
11/04/2020
26
3. Phương pháp tích phân
Tìm độ võng của trung điểm đoạn BC
A B C
D
E
Ham gian doan - vi du 4.pdf
11/04/2020
27
3. Phương pháp tích phân
A B C D
Tìm độ võng và góc xoay của điểm D
Ham gian doan - vi du 5.pdf
28
3. Phương pháp tích phân
Tìm độ võng và góc xoay của điểm D
6 4
200 GPa;
6.87 10 mx
E
I 
 
Ham gian doan - vi du 6.pdf
11/04/2020
29
3. Phương pháp tích phân
500 N.m 400 N/m 100 N/m
300 N
300 N/m
400 N
Tìm độ võng và góc xoay lớn nhất trong dầm
Ham gian doan - vi du 9.pdf
z
30
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
A
B
C
1
EI 2EIM
Momen ngau luc tren dam nhieu doan.pdf
31
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
B
C
A
1
EI 2EI
P
Luc tap trung tren dam nhieu doan.pdf
32
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
C
A 1EI
2
EI
w
B
Phan bo deu tren dam nhieu doan.pdf
33
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
C
A 1EI
2
EI
w
B
Phan bo tuyen tinh tren dam nhieu doan.pdf
34
3. Phương pháp tích phân
Tìm độ võng và góc xoay của điểm A
7
4
10 psi;
40 inx
E
I
 Ham gian doan - vi du 7.pdf
35
3. Phương pháp tích phân
Tìm độ võng và góc xoay của điểm A
Ham gian doan - vi du 8.pdf
36
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
1
EI
2
EI 3EI
w 1P 2P
a b
A
B
D
C
Phuong phap tich phan - dam nhieu do cung_vi du.pdf
37
3. Phương pháp tích phân – dầm nhiều độ cứng
1w
2w 3w
1P
1M
2P 3P 4P
2M
a b c d
1
EI 
2
EI 
3
EI 
4
EI
1 2 1 2
3 1 2 3 4
7 4 4 4 4
1 2 3 4
60 in.; 50 in.; 50 in.; 60 in.;
1000 lb.in.; 500 lb.in.; 50 lb/in.; 40 lb/in.;
30 lb/in.; 500 lb; 600 lb; 700 lb; 200 lb;
10 psi; 60 in ; 70 in ; 80 in ; 90 in .
a b c d
M M w w
w P P P P
E I I I I
PP tich phan ham gian doan voi EI khac nhau - Tong hop.pdf
38
4. Phương pháp độc lập tác dụng
Khi dầm chịu tác dụng bởi nhiều tải trọng thì góc xoay, độ
võng và đường đàn hồi của dầm bằng tổng đại số các đại
lượng trên do từng tải trọng riêng lẻ tác dụng.
Sử dụng kết quả của các trường hợp dầm với các tải
trọng cơ bản (slides 14-19) và các bảng tra cứu để tính
toán.
 ;a b c a b cv v v   
Beer F.B..pdf Craig R.R..pdf Gere J.M..pdf Hibbeler R.C..pdf
11/04/2020
394. Phương pháp độc lập tác dụng
Tìm độ võng và góc xoay của trọng tâm dầm
Doc lap tac dung - vi du 1.pdf
11/04/2020
404. Phương pháp độc lập tác dụng
Tìm độ võng và góc xoay của trọng tâm dầm
Doc lap tac dung - vi du 2.pdf
414. Phương pháp độc lập tác dụng
Tìm độ võng và góc xoay của điểm C
Doc lap tac dung - vi du 3.pdf
424. Phương pháp độc lập tác dụng
= +
+ +
Tìm độ võng và góc xoay của điểm C
Doc lap tac dung - vi du 4.pdf
43
5. Phương pháp diện tích – mômen
0
x x
x
x
x
x
z
x
x
EI v z M z
dv d M
v z
dz dz EI
M
d dz
EI
M
z dz
EI



B
x
B A B A
xA
M
dz
EI
   
Diện tích biểu đồ

 
từ A đến B
Góc xoay của
mặt cắt B so
với A
=
44
5. Phương pháp diện tích – mômen
B B
x x
AA B
x xA A
B B
x x
BB A
x xA A
M M
t z dz z dz
EI EI
M M
t z dz z dz
EI EI
 
 
Độ lệch tiếp
tuyến của điểm
A so với B
=
Diện tích biểu đồ

 
* tọa độ
trọng tâm  của
nó tính từ A
Độ lệch tiếp
tuyến của điểm
B so với A
=
Diện tích biểu đồ

 
* tọa độ
trọng tâm  của
nó tính từ B
455. Phương pháp diện tích – mômen
Dấu của góc xoay tương đối θB/A
θB/A > 0 θB/A < 0
Dấu của độ lệch tiếp tuyến tương đối tB/A
tB/A > 0 tB/A < 0
46
5. Phương pháp diện tích – mômen
Nguyên tắc: Tích phân có nghĩa là giới hạn của tổng các
phần tử khi số lượng phần tử tiến đến vô cùng, hay bằng
tổng hữu hạn của các phần từ chuẩn mực
;
;
;
;
B
x
B A i
xA
B
x
A B i
xA
B
x
A AA B i
xA
B
x
B BB A i
xA
M
dz A
EI
M
dz A
EI
M
t z dz z A
EI
M
t z dz z A
EI


  
  
 
 
 
 
 
• Tính các PLLK trong dầm
• Chọn 1 mặt cắt bất kỳ, coi nó
như ngàm
• Vẽ biểu đồ do từng ngoại lực
gây nên đối với ngàm mặt cắt
mà ta vừa chọn
 Nghĩa là ta sẽ tách biểu đồ

 
của dầm ra nhiều thành phần nhỏ
theo 1 mặt cắt nào đó trên dầm.
47
5. Phương pháp diện tích – mômen

 
z

 
z
600 N.m
xEI
600 N.m
xEI
21 600 N.m 1 600 N.m 500 N.m
3 2
2 2
i
x x x
A
EI EI EI
     

 
800 N.m
xEI
200 N.m
xEI
600 N.m
xEI
21 200 N.m 1 800 N.m 1 600 N.m 500 N.m
1 2 2
2 2 3
i
x x x x
A
EI EI EI EI
       
z
Chọn C làm ngàm Chọn B làm ngàm
Biểu đồ toàn phần
48
5. Phương pháp diện tích – mômen
Mômen ngẫu lực
z
Bz
A0M
B
0
x
M
EI
 0
x
M
EI
0
2
;
B
x
M L
A
EI
L
z
Lực tập trung
z
A
B
P
Bz
x
PL
EI
2
;
3
2
B
x
PL
A
EI
L
z

 
49
5. Phương pháp diện tích – mômen
Phân bố đều
A
Bz
Bz
0w
2
0
2 x
w L
EI
3
0 ;
4
6
B
x
w L
A
EI
L
z

 
Phân bố tuyến tính
0w
A
B
z
Bz
 
2
0
6 x
w L
EI
3
0
5
;
24
B
x
w L
A
EI
L
z
50
5. Phương pháp diện tích – mômen
z
1000 N400 N.m
Tìm:
• Góc xoay tương đối của mặt cắt A so với B: θA/B
• Góc xoay tương đối của mặt cắt B so với A: θB/A
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt A so với B: tA/B
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt B so với A: tB/A
 Bằng 4 mặt cắt A, B, C, D
Bieu do momen uon tung phan - vi du 1.pdf
51
5. Phương pháp diện tích – mômen
z
400 N/m 500 N
Tìm:
• Góc xoay tương đối của mặt cắt A so với B: θA/B
• Góc xoay tương đối của mặt cắt B so với A: θB/A
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt A so với B: tA/B
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt B so với A: tB/A
 Bằng bất kỳ 1 mặt cắt nào
Bieu do momen uon tung phan - vi du 2.pdf
52
5. Phương pháp diện tích – mômen
400 lb/ft
z
Tìm:
• Góc xoay tương đối của mặt cắt A so với B: θA/B
• Góc xoay tương đối của mặt cắt B so với A: θB/A
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt A so với B: tA/B
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt B so với A: tB/A
 Bằng bất kỳ 1 mặt cắt nào
Bieu do momen uon tung phan - vi du 3.pdf
53
5. Phương pháp diện tích – mômen
200 N/m 600 N/m
z
Tìm:
• Góc xoay tương đối của mặt cắt A so với B: θA/B
• Góc xoay tương đối của mặt cắt B so với A: θB/A
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt A so với B: tA/B
• Độ lệch tiếp tuyến tương đối của mặt cắt B so với A: tB/A
 Bằng bất kỳ 1 mặt cắt nào
Bieu do momen uon tung phan - vi du 4.pdf
545. Phương pháp diện tích – mômen
Dầm công xon Dầm chịu tải đối xứng
;
;
D D A
D D A
v t
 
;
;
C B C
B B C
v t
 
;
;
D D C B C
D D C
v t t
 
555. Phương pháp diện tích – mômen
4 kN 2 kN
z
C
Cho dầm công xon với mặt cắt hình chữ nhật có chiều
rộng 50 mm, chiều cao h. Xác định chiều cao h tối thiểu
của dầm nếu biết độ võng tối đa của dầm được phép là
10 mm. Cho E = 10 GPa.
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 1.pdf
11/04/2020
565. Phương pháp diện tích – mômen
z
80 lb/ft
Xác định độ võng và góc xoay của điểm C cách tường 6
ft, cho E = 1.5E6 psi và Ix = 40 in
4.
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 2.pdf
11/04/2020
575. Phương pháp diện tích – mômen
z
250 N 2 kN.m
Xác định độ võng của đầu A của dầm
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 3.pdf
11/04/2020
585. Phương pháp diện tích – mômen
z
900 lb 200 lb/ft
C
Xác định độ võng và góc xoay của điểm C, cho E = 1.5E6
psi và Ix = 60 in
4.
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 4.pdf
595. Phương pháp diện tích – mômen
600 N/m 600 N/m
Xác định độ võng của trọng tâm C của dầm
C
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 5.pdf
605. Phương pháp diện tích – mômen
Xác định độ võng của trọng tâm C của dầm
Dien tich momen - cong xon - doi xung - vi du 6.pdf
615. Phương pháp diện tích – mômen
B A
A
t
L
 
D A D A   
D
B A
D D A
v ED EF
t
v t z
L
625. Phương pháp diện tích – mômen
80 lb/ft
C
Xác định độ võng của điểm C của dầm
Dien tich momen - mut thua - vi du 1.pdf
11/04/2020
635. Phương pháp diện tích – mômen
600 N.m
400 N.m400 N/m 200 N/m200 N
C D E
Xác định độ võng của điểm E của dầm
Dien tich momen - mut thua - vi du 2.pdf
11/04/2020
64
6. Phương pháp đồ toán / dầm giả tạo
65
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
Phuong phap Morh-Vereshagin.pdf
66
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
A B C D
E
2 ,A E 3 ,2A E , 2A E
P 3P 2P
l l l l
Tìm chuyển vị của mặt cắt E theo q, l, E, A
Morh-Vereshagin_Keo-nen_VD1.pdf
67
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
A
B
C
 1
 2
l
P Cho 2 thanh có cùng tiết
diện A và môđun đàn
hồi E, liên kết bản lề tại
A. Tác dụng lực P theo
phương thẳng đứng vào
A, tìm chuyển vị theo
phương ngang và dọc
của điểm A đó.
Morh-Vereshagin_Keo-nen_VD2.pdf
68
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
l l l l
3 ,G d 2 ,2G d ,3G d
B
A
C D
E2M 4M M
Tìm góc xoay của mặt cắt E theo M, l, G, d
Morh-Vereshagin_Xoan_VD1.pdf
69
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
A
P
l
, xE IO
Tìm độ võng và góc xoay của mặt cắt A theo P, l, E, Ix
Morh-Vereshagin_Uon_VD1.pdf
70
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
A
B
C K
ql
2ql
q
l l l
Tìm góc xoay của mặt cắt K theo q, l, E, Ix
Morh-Vereshagin_Uon_VD2.pdf
71
7. Phương pháp Morh - Vereshagin
B
l l l
A
K
2ql
2ql C
q
Tìm độ võng của mặt cắt K theo q, l, E, Ix
Morh-Vereshagin_Uon_VD3.pdf
11/04/2020
72
8. Phương pháp thế năng
11/04/2020
73
9. Tính toán theo độ cứng của dầm
74
10. Dầm siêu tĩnh
• Xác định hiện diện của các phản lực liên kết có trong dầm:
• Viết các phương trình
cân bằng tĩnh học giữa
các PLLK (*) Thiếu bao
nhiêu PT thì siêu tĩnh bấy
nhiêu bậc
• Sử dụng hàm Macaulay
để xác định biểu thức
Mx(z)
• Giải PT vi phân, có 2
hằng số C1, C2, dùng điều
kiện biên kết hợp với (*)
để tìm PLLK và hằng số.
11/04/2020
75
10. Dầm siêu tĩnh
3ql 5ql2
2q
l l
A B
C
EIx
Xác định các phản lực liên kết tại B và C
của dầm cùng độ võng điểm A.
Sieu tinh - tich phan ham gian doan - vi du 1.pdf
11/04/2020
76
10. Dầm siêu tĩnh
2ql 4ql2
q
l 2l
A B
C
EIx
l
2ql2
Xác định các phản lực liên kết tại A, B và C
Sieu tinh - tich phan ham gian doan - vi du 2.pdf
11/04/2020
77
10. Dầm siêu tĩnh
78
11. Tính toán kết cấu theo tải trọng giới hạn
(Năng lực chịu tải)
Tinh toan ket cau theo tai trong gioi han.pdf
ch
ch
z
ch


ch
79
11. Tính toán kết cấu theo tải trọng giới hạn
(Năng lực chịu tải)
Xác định mômen giới
hạn uốn của dầm có mặt
cắt như hình vẽ, biết giới
hạn chảy của vật liệu
làm nên dầm là σch = 240
MPa.
80
11. Tính toán kết cấu theo tải trọng giới hạn
(Năng lực chịu tải)
A B
C
P
Tìm tải
trọng giới
hạn Pgh
trong dầm
sau.
Tai trong gioi han - vi du 1.pdf
81
11. Tính toán kết cấu theo tải trọng giới hạn
(Năng lực chịu tải)
A B C
P
Tìm tải trọng giới hạn Pgh trong dầm sau.
P
D E
Tai trong gioi han - vi du 2.pdf
82
11. Tính toán kết cấu theo tải trọng giới hạn
(Năng lực chịu tải)
A B C
q
P ql 
D
ch


ch
Tai trong gioi han - vi du 3.pdf