Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng - Lê Đức Thanh

 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 1 
Chương 7 
UỐN PHẲNG THANH THẲNG 
7.1 KHÁI NIỆM CHUNG 
♦ Thanh chịu uốn là thanh có 
 trục bị uốn cong dưói tác dụng 
 của ngoại lực. Thanh có trục nằm ngang 
 chịu uốn được gọi là dầm. 
(Thanh có trục thẳng đứng gọi là cột) 
♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, 
 lực phân bố q tác dụng vuông góc 
 với trục dầm hay momen (ngẫu lực) 
M nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1). 
♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực và trục dầm. 
Đường tải trọng: Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang. 
♦Giới hạn bài toán: 
 + Chỉ khảo sát các thanh mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng. 
 Trục đối xứng nầy và trục thanh hợp thành mặt phẳng đối xứng. 
 Tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng. 
 Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng, 
 Đường tải trọng cũng là trục đối xứng của mặt cắt ngang 
 Trục dầm sau khi bị cong vẫn nằm trong mặt phẳng ( π )được gọi là 
uốn phẳng. 
 + Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao. 
 ♦ H.7.3 ,7.4,7.5 : giới thiệu một số loại dầm đơn giản thường gặp 
P1 
P2 
P3 
P4 
P5 
01 
02 
H.7.1. Tải trọng tác dụng lên dầm
π
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 2 
 ♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà trên mặt cắt ngang dầm có các 
nội lực là lực cắt Qy và mômen uốn Mx . 
♦ Phân loại: 
 Uốn thuần túy phẳng: Nội lực chỉ có mômen uốn Mx=hằng số. 
 Uốn ngang phẳng : Nội lực gồm lực cắt Qy và mômen uốn Mx 
♦ Dầm ở H.7.4 có đoạn giữa CD chịu uốn thuần túy, dầm ở H. 7.5 chịu 
uốn thuần túy. Đoạn dầm AC và DB của dầm ở H.7.4 chịu uốn ngang 
phẳng. 
P 
q 
a 
L 
b
a) 
b)
c)
H.7.3. Các loại dầm: a) Dầm đơn giản 
b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa 
P 
+ 
_
 P
a) 
b) 
c) 
a)
b)
H.7.4. Dầm với vùng ở giữa chịu 
uốn thuần túy 
H.7.5. Dầm chịu uốn thuần túy 
P M
P P
L-2a aa 
 Q
 M
 Pa Pa 
A B
A B
A
B
B
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 3 
7.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 
 7.2.1 Định nghĩa: Thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt 
ngang chỉ có một nội lực Mx. 
Dấu của Mx : Mx > 0 khi căng (kéo) thớ dưới ( thớ y > 0 ) của dầm 
7.2.2 Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: 
 1. Thí nghiệm và quan sát biến dạng: 
 H. 7.6 a) Thanh trước khi biến dạng 
 b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng 
 Kẻ lên mặt ngoài một thanh thẳng chịu uốn như H.7.6a, những đường 
song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc và những đường 
vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang; các đường 
này tạo thành các lưới ô vuông (H.7.6a). 
 Sau khi biến dạng (H.7.6b), trục thanh bị cong, các đường thẳng song 
song với trục thanh thành các đường cong song song với trục thanh; những 
đường vuông góc với trục thanh vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghĩa là 
các góc vuông được bảo toàn trong quá trình biến dạng. 
Ngoài ra, nếu quan sát thanh thì thấy các thớ bên dưới dãn ra(bị kéo) 
và các thớ bên trên co lại (bị nén). Như thế, từ thớ bị dãn sang thớ bị co sẽ 
tồn tại các thớ mà chiều dài không thay đổi trong quá trình biến dạng, gọi là 
thớù trung hòa. Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến của 
lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa. Vì mặt cắt 
ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem như thẳng (H.7.6.c) 
H.7.6. a) Thanh trước khi biến dạng 
 b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 4 
Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn 
vi phân dz sẽ cắt nhau tại tâm cong O’ (H.7.7b) và hợp thành một góc dθ. 
Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ 
trung hòa. Độ dãn dài tương đối của một thớ ab ở cách thớ trung hòa một 
khoảng cách y cho bởi: 
( ) ( )
yy
d
ddy
dz
dzdyab
z κρθρ
θρθρθρε ==−+=−+=−=
21
21
00
00 (a) 
trong đó: κ - là độ cong của dầm. 
 Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến 
thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa 
 H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz 
M
1
1
a
O1 O2
b M
dz 2
2
y
O
ρdθ
M
a
O1 O2
bâ
My σσ
a) Truớc biến dạng b) Sau biến dạng
z
Phần bị nén
x 
y 
Phần bị kéo 
Lớp trung hoà 
Mặt phẳng tải trọng
Đường tải trọng
Đường trung hoà 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 5 
2. Thiết lập công thức tính ứng suất: 
Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chịu kéo hoặc 
 nén (các điểm bất kỳ trên mặt 
cắt ngang ở trạng thái ứng suất đơn). 
 Định luật Hooke ứng với trạng thái 
ứng suất đơn cho ta: 
yEE zz κ=ε=σ (b) 
Ứùng suất pháp tác dụng trên 
mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất 
 với khoảng cách y từ thớ trung hòa. 
Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang. 
+ Liên hệ giữa σz và Nz 
 0== ∫∫ FF z yFEdF κσ (định nghĩa N z =0) (c) 
Vì độ cong κ và môđun đàn hồi E là hằng số nên có thể đem ra ngoài 
dấu tích phân, ⇒ 0=∫F ydF (d) 
 (d) cho thấy mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục trung 
hoà x bằng không ⇔ trục trung hoà x đi qua trọng tâm mặt cắt ngang. 
 Tính chất này cho phép xác định trục trung hoà của bất kỳ mặt cắt 
ngang nào. Nếu trục y là trục đối xứng, thì hệ trục (x,y) chính là hệ trục 
quán tính chính trung tâm. 
+ Liên hệ giữa σz và Mx 
 ∫∫ == FF zx dFyEydFM 2κσ = κEJx (e) 
trong đó: ∫= Fx dFyJ 2 (g) 
là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x. 
Biểu thức (e) được viết lại như sau: 
x
x
EJ
M== ρκ
1
 (7.1) 
 EJx gọi là độ cứng uốn của dầm. 
Thế(7.1) vào (b) ⇒ Công thức tính ứng suất pháp tại một điểm trên mặt cắt 
ngang dầm: yJ
M
x
x
z =σ (7.2) 
Ứùng suất biến thiên bậc nhất theo tung độ y.và y là khoảng cách của điểm 
tính ứng suất kể từ trục trung hoà x .(M x và y mang dấu đại số) 
H.7.8. Ứng suất pháp và mô 
men uốn trên mặt cắt 
ngang của dầm chịu uốn 
Đường trung hoà
x
y z σz dF 
Mx 
y 
0 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 6 
 Công thức kỹ thuật: 
 Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng ( bị kéo ) thớ dưới, các thớ trên 
bị nén . Kết quả ngược lại nếu mômen uốn âm. Do vậy trong thực hành, ta 
có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất, 
 || yJ
M
x
x
z ±=σ (7.3) 
ta sẽ lấy: dấu (+) nếu Mx gây kéo tại điểm cần tính ứng suất. 
 dấu (–) nếu Mx gây nén tại điểm cần tính ứng suất. 
. 
7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị: 
♦ Biểu đồ ứng suất pháp: 
 +Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trị số ứng suất càng lớn. 
 +Những điểm cùng có khoảng cách tới thớ trung hòa sẽ có cùng trị số 
ứng suất pháp. 
Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diễn giá trị các ứng suất 
tại các điểm trên mặt cắt ngang. 
*Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình tròn, chữ nhật..) cho 
bởi H.7.9 
*Trường hợp mặt cắt ngang chỉ có một trục đối xứng (chữ I,U) cho bởi 
H.7.10. 
 Dấu (+) chỉ ứng suất kéo. 
 Dấu (-) chỉ ứng suất nén. 
+
_
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 7 
 H. 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có hai trục đối xứng 
 H. 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt có một trục đối xứng 
♦ Ứng suất pháp cực trị: 
Tính ưÙng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm 
ở những điểm xa đường trung hòa nhất. 
Gọi nk yy maxmax, lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở 
xa đường trung hòa nhất. Khi đó ứng suất chịu kéo lớn nhất σmax và ứng 
suất chịu nén lớn nhất σmin sẽ tính bởi các công thức: 
 k
x
xk
x
x
W
M
y
J
M == maxmaxσ (7.4a) 
 n
x
xn
x
x
W
M
y
J
M == maxminσ (7.4b) 
với: n
xn
xk
xk
x y
JW
y
JW
maxmax
 ;
'
== (7.5) 
Các đại lượng kxW và 
n
xW gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn 
của mặt cắt ngang. 
 Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà) cũng là trục đối xứng 
(mặt cắt chữ nhật, tròn, Ι,) thì: 
 2maxmax
hyy nk == 
khi đó: 
h
JWWW xx
n
x
k
x
2=== (7.6) 
và ứng suất nén và kéo cực đại có trị số bằng nhau: 
x
x
W
M=σ=σ minmax (7.7) 
∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h : 
+
_
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 8 
6
 ;
12
23 bhWbhJ xx == (7.8) 
∗ Mặt cắt ngang hình tròn: 
 3
3
4
4
1,0
32
 ;05,0
64
ddWddJ xx ≈=≈= ππ (7.9) 
 ∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính ngoài D, trong, d 
 )1(
32
 ;)1(
64
4
3
4
4
ηπηπ −=−= DWDJ xx với η = d/ D 
∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép định hình. 
Ý nghĩa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng lớn 
dầm chịu được mômen uốn càng lớn. 
7.2.4 Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản 
Điều kiện bền: 
 + Dầm bằng vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n 
 ⏐σmin⏐≤ [σ] n 
 σmax ≤ [σ] k (7.10a) 
 + Dầm bằng vật liệu dẻo: [σ] k = [σ] n = [σ] 
 max ⏐σz⏐≤ [σ] (7.10b) 
Ba bài toán cơ bản: 
 +Bài toán kiểm tra bền,(Đây là bài toán thâûm kế.) 
 +Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế). 
 +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp) 
Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra thanh chịu lực có đảm bảo 
độ bền hay không. Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra. 
Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang của một dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen 
uốn Mx = 7200 Nm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép khi kéo 
và nén khác nhau: 
` [σ ]k = 20 MN/m2; [σ]n = 30 MN/m2 ` 
` Kiểm tra bền biết rằng: Jx = 5312,5 cm4 
Giải. 
Ta có: ykmax = 75 mm= 7,5.10–2 m 
 ynmax = 125 mm = 12,5.10–2 m 
H. 7.11 
z 
125
 75
Dầm chữ T chịu uốn
Mx 
y 
x O 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 9 
 362
8
max
m103,708
105,7
105,5312 −
−
−
×=×
×== k xkx y
JW 
 362
8
max
m10425
105,12
105,5312 −
−
−
×=×
×== nxnx y
JW 
 [ ]kk
x
x
W
M σ<=×=×==σ −
226
6max MN/m 20,10N/m1020,10103,708
7200 
 [ ]nn
x
x
W
M σ<=×=×==σ −
226
6min MN/m 17N/m101710425
7200 
vậy dầm đủ bền. 
 Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang sao cho dầm thỏa điều 
kiện bền. 
 Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn và kích thước 
của mặt cắt ngang sẽ được xác định. 
Thí dụ 7.2 Cho dầm chịu lực như H.7.12. 
Dầm làm bằng hai thép chữ , Chọn số 
hiệu của thép chữ  để dầm thỏa điều kiện 
bền. Biết [σ ] = 16 kN/cm2. 
 Giải. 
Dầm chịu uốn thuần túy; trên mọi mặt cắt 
ngang của dầm có mômen uốn Mx=60 
kNm. 
 Áp dụng công thức (7.7) và (7.10b) ta được: 3max cm 375
16
100.60
][
==σ≥
MWx 
Tra bảng thép hình ta chọn 2  20 có Wx = 2 × 184 = 368 cm3. 
Kiểm tra lại điều kiện bền ta có: 
 2maxmax kN/cm 3,16368
100.60 ===σ
xW
M 
sai số tương đối: %9,1%100
16
163,16 =×− ; vậy dầm đủ bền. Chọn 2  20 
Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện 
bền. 
 Thí dụ 7.3 Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như H.7.13. Xác định trị 
số mômen uốn cho phép(mômen có chiều như hình vẽ). Biết: 
[σ ] κ = 1,5 kN/cm2 . 
 Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong 
dầm là bao nhiêu? 
 Cho biết Jx = 25470 cm4 
x
H.7.12 
M = 60 kNmM = 60 KNm 
  
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 10 
 Giải. 
 Từ điều kiện bền k
x
xk
x
x
W
M
y
J
M == maxmaxσ ≤ [σ] k 
⇒ [ ] [ ] Ncm5,3537
8,10
254705,1
max
k
y
JM k
x
kx =×== σ 
Tương ứng ta có: 
 [ ] 2maxmin N/cm 67,2 19,2 54702
5,3537 ky
J
M n
x
x −=×−=−=σ 
7.2.5 Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang. 
 Hình dáng hợp lý là sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất 
nhưng đồng thời ít tốn vật liệu nhất. Điều kiện: 
k
k
x
x y
J
M σσ ==
maxmax
 , 
n
n
x
x y
J
M σσ ==
maxmin
Lập tỉ số các ứng suất : [ ] ασ
σ ==
n
k
n
k
y
y
max
max 
- Nếu vật liệu dòn: α < 1 vì : 
nk
σσ p nên nk yy maxmax p 
 Ta chọn mặt căùt ngang không đối xứng qua trục trung hoà. 
 - Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên nk yy
maxmax
= 
Ta chọn mặt căùt ngang đối xứng qua trục trung hoà. 
Theo biểu đồ ứng suất ta thấy càng gần trục trung hoà ứng suất càng nhỏ, 
nên tại đó vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hòa, vì vậy 
thường cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu xa trục trung hòa . ví dụ 
hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng 
H.7.13 
z 
192mm
108mm
M 
y 
x
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 11 
7.3 UỐN NGANG PHẲNG 
7.3.1 Định nghĩa- Dầm gọi là chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt cắt 
ngang có 2 nội lực là: mômen uốn Mx và lực cắt Qy ( H 7.14). 
7.3.2 Các thành phần ứng suất: 
 1- Thí nghiệm và quan sát biến dạng 
Kẻ những đường song song và vuông góc với trục thanh (H.7.16a). 
Sau biến dạng các góc vuông không còn vuông ( H.7.16b). 
 2- Trạïng thái ứng suất: 
Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp σz do mômen 
Mx gây ra còn có ứng suất tiếp τzy do lực cắt Qy gây ra. Trạng thái ứng suất 
của một phân tố có các mặt song song các trục tọa độ biểu diển như hình 
7.15 và 7.16c 
a) 
1 2 
dz
P
P b) 
τ yz 
c)
τ zy 
H. 7.16. a) Tha ... 60 kN
1 m 6 m 1 m
60 kNm
60 kN
60 kN 
Qy 
Mx 
H.7.21 
zo 
b 
h/2 
h/2 
d 
t 
A 
H.7.22 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 24 
 c
x
c
xy
bI
SQ=maxτ với 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
×==
×=
×==
kN 
cm 
cm 
cm 
4
3
60
53,022
21202
11122
y
c
x
x
c
x
Q
db
J
SS
Suy ra: 2kN/cm 96,253,0221202
111260
max =×××
××=τ 
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: 
 [ ] [ ] max82162 τστ >=== 2kN/cm 
vậy phân tố này thỏa điều kiện bền. 
 * Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: đó là phân tố ở nơi tiếp giáp 
giữa lòng và đế tại mặt cắt nầy có: 
kNm 60max, =xM và kN 60max, =yQ 
( ) 221,1496,011
21202
6000 kN/cm =−××=
A
xσ 
3cm 626,165
2
96,01196,02,82 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×××=cxS 
2kN/cm 21,2
53,0221202
626,16560 =×××
×=Aτ 
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: 
( ) ( )
/,,, 2
2
222
3 3814212421144 cmkNAAt =+=+= τσσ 
vậy phân tố này thỏa điều kiện bền. 
 Kết luận: Chọn 2 [ 22. 
Thí dụ 7.8 Xác định tải trọng cho phép [P] của dầm cho trên H.7.25. 
 Cho: a = 80 cm, [σ ] = 16 kN/cm2 
Giải 
 ♦ Biểu đồ lực cắt Qy và mômen uốn Mx 
 (H.7.25). Mặt cắt nguy hiểm có: 
PaMx 4
7= và PQy 4
7= 
Mặt cắt I 10 có:h = 10 cm; Jx = 198 cm4 
 Wx = 39,7cm3; Sx = 23cm3 , 
5/4P 
P/4 
7/4P 
5/4Pa 
7/4Pa 
Mx 
Qy 
a a2øa 
P
2øP 
10 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 25 
 d = 0,45 cm; t = 0,72 cm; b = 5,5 cm 
 ♦ Từ điều kiện bền của phân tố ở 
 TTỨS đơn nguy hiểm ta có: 
][
4
7 σ≤
xW
Pa ⇒ kN 537,4
80
7,3916
7
4][
7
4 =××=σ≤
a
WP x 
 Ta chọn [P] = 4,53 kN. 
♦ Với trị số của P đã chọn, ta kiểm tra bền các phân tố còn lại ở TTỨS 
trượt thuần túy và TTỨS phẳng đặc biệt. 
++ Phân tố ở TTỨS trượt thuần túy ; ở trục trung hòa của mặt cắt có: 
 kN 923,753,44
7
4
7 =×== PQy 
⇒ 22max kN/cm 82
][][kN/cm 046,2
45,0198
2353,4
4
7 =σ=τ<=×
××=τ 
⇒ phân tố này thỏa điều kiện bền. 
++ Phân tố ở TTỨS phẳng đặc biệt; ở nơi tiếp giáp giữa lòng và đế tại 
mặt cắt có: 
kNm 342,68,053,4
4
7
4
7 =××== PaMx và kN 923,74
7 == PQy 
 3cm 37,182
)72,010(72,05,5 =−××=′cxS 
 2kN/cm 634,145,0198
37,1853,4
4
7
=×
××
=τzy 
 2kN/cm 71,1372,02
10
198
2,634 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −×=σz 
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại: 
( ) ( )
22
2222
3
kN/cm 16][kN/cm 09,14 
634,1471,134
=σ<=
×+=τ+σ=σ zyzt
♦ Kết luận: Tải trọng cho phép [P] = 4,53 kN 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 26 
 Thí du ï7.10:Cho dầm ABC chịu lực như hình vẽ . 
 Định [q] cho[σ ] = 16 kN/cm2. [τ ]=9kN/cm2 
 h=20cm,b=0,76cm 
 d =0,72cm,t=0,9cm 
 JX=1520cm4 ,WX=152cm3 
 SX=87,8cm3, 
Tính: 42
3
65702116510
12
13162 cmJJ xX =+××+×= )),(( 
 [ ]σσ ≤=
x
x
z W
M
Max
max
 , với 33597
11
6570
2
cm
H
J
W Xx ,=== 
q 2ql 
l 
ql 
l 4l 
2ql2 
B
A 
C
16×1cm
16×1cm
N 0 20
Y 
X
H
2,2ql 4,8ql 
ql 2,2ql 
3,8ql 
1,8ql 
3ql2
ql2
2,42ql2 
0,8ql2
+ +
+
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 27 
 ⇒ [ ] [ ] mkN
l
W
q x /,
),(
, 214
513
359716
3 22
=×=×≤ σ , với 23qlMx =max 
Kiểm tra lại ứng suất tiếp với q vừa tìm. 
[ ]ττ ≤== 2074 cmkN
bJ
SQ
c
x
c
xy /,max , với 
=××==
×==
==
××+=
80,94kN1,514,23,83,8ql Q 
cm , 
,,cm 
cm ),( 
y
4
3
52022
516570
5101162
db
mlJ
SS
c
x
x
c
x
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 28 
7.5 QUĨ ĐẠO ỨNG SUẤT CHÍNH 
Trong phần bên trên chúng ta chỉ mới xác định trị số của ứng suất 
chính đối với một phân tố bất kỳ mà chưa đề cập đến phương của chúng. 
Những kết quả đạt được khá tốt đối với vật liệu có ứng suất cho phép khi 
kéo và khi nén là như nhau. Tuy nhiên, đối với các vật liệu như bê tông cốt 
thép, việc xác định phương của ứng suất chính tại mọi điểm rất cần thiết, để 
từ đó có thể đặt cốt thép gia cường theo các phương này. 
Ta có thể xác định phương của ứng suất chính thông qua vòng tròn 
Mohr. Giả sử σα và τα là các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên 
mặt phẳng vuông góc với trục dầm và có trị số dương: 
 y
J
M
x
x
z =+= σσα và c
x
c
xy
zy bJ
SQ=+= ττα 
τ α = τ zy 
σ a = σ z 
τzy
σ 1 σ3
σβ = 0τβ = τzy 
A
B 
τ
−τ 
C
MN 
σ
τ 
P 
Phương σ1
H. 7.26
Phương σ3 
Sau khi vẽ vòng tròn Mohr ứng suất chúng ta nhận thấy phương chính 
là phương nối từ điểm cực P(0,+τzy) với hai điểm A và B ở hai đầu đường 
kính của vòng tròn Mohr: PA chỉ phương ứng suất chính σ1, còn PB chỉ 
phương ứng suất chính σ3. 
 H.7.26 cho thấy, các vòng tròn Mohr ứng suất và các phương chính tại 
nhiều điểm khác nhau trên mặt cắt ngang. Ta giả sử rằng mômen uốn và 
lực cắt tại một mặt cắt mang dấu dương. Ứng suất chính thay đổi với biên 
mặt cắt ngang. Gần những biên, một trong các ứng suất chính bằng không, 
trong khi ứng suất chính kia có phương song song với trục dầm; còn ở trục 
trung hoà, các ứng suất chính có phương hợp với trục dầm một góc 45o. 
 Bằng phương pháp tương tự, ta có thể xác định được phương của ứng suất 
chính ở nhiều điểm trên dầm (H.7.27) Ta vẽ các đường cong có tiếp tuyến 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 29 
là phương của ứng suất chính và gọi các đường đó là quỹ đạo ứng suất 
chính của dầm chịu uốn. Các quỹ đạo này hợp thành hai họ đường cong 
vuông góc nhau, một họ là quỹ đạo ứng suất kéo và một họ là quỹ đạo ứng 
suất nén. Các phương của ứng suất chính tùy thuộc vào loại tải trọng và 
điều kiện biên của dầm. 
Trên H.7.28, quỹ đạo ứng suất kéo được biểu diễn bằng đường nét 
đậm còn quỹ đạo ứng suất nén biểu diễn bằng đường nét đứt. 
Người ta thường dùng các phương pháp thực nghiệm để xác định quỹ 
đạo ứng suất chính như phương pháp quang đàn hồi, phương pháp dùng 
sơn dòn. 
7.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN PHẲNG 
A 
q
B 
l
H. 7.28. Quỹ đạo ứng suất chính của dầm 
tựa đơn chịu tải phân bố đều 
Mx 
Qy 
σmin σmin 
σmax σmax 
σ σ 
τ 
τ 
τmax 
τmax 
σ σ τ 
B 
A 
C 
D 
E 
σ 
τ 
C 
σ3
σ 
τ 
C σ1
σ 
τ 
C 
Phương 
 kéo σ1 
τmax
Phương nén σ3 
σ 
τ 
C 
σ 
τ
σ 
τ 
C 
σ 
τ 
H.7.25 
Phương 
 nén σ3 
Phương 
 kéo σ1 
Phương 
 kéo σ1 Phương nén σ3 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 30 
 Trong chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT, ta đã có công thức tính thế 
năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố là: 
 ( )[ ]133221232221 221 σσσσσσμσσσ ++−++== EVUu (7.29) 
 Trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng suất của phân 
tố là phẳng nên một thành phần ứng suất chính bằng không, σ2 chẳng hạn, 
khi đó biểu thức của thế năng riêng biến dạng đàn hồi có dạng: 
 [ ]312321 221 σμσσσ −+== EdVdUu (7.30) 
trong đó: σ1 và σ3 là các ứng suất chính được suy từ σz và τzy theo công thức: 
 2
2
1 22 zy
zz τ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ σ+σ=σ (7.31) 
 2
2
3 22 zy
zz τ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ σ−σ=σ (7.32) 
thay vào (7.30) ⇒ 
 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 2
22
2
22
22
2
2
2
2
2
2
1
zy
zz
zy
zz
E
u τσσμτσσ 
rút gọn ta được: 
 ( )
EE
u zyz μτσ +⋅+= 12
22
22
 (7.33) 
 Ngoài ra, giữa các hằng số của vật liệu E, G, μ tồn tại hệ thức sau: 
 ( )μ+= 12
EG (7.34) 
thay vào (7.33) và rút gọn, cuối cùng ta được: 
GE
u zyz
22
22 τ+σ= (7.35) 
thay biểu thức của σz và τzy bằng (7.2) và (7.11) ta được: 
 ( )( )22
22
2
2
2
22 cx
c
xy
x
x
bGJ
SQ
y
EJ
Mu += (7.36) 
 Thế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz là: 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 31 
 ( )( )∫ ∫∫ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+===
F c
x
c
xy
x
x
F
dF
bGJ
SQ
y
EJ
MdzudFdzdFudzdU 22
22
2
2
2
22
 . (a) 
với: xF JdFy =∫ 2 và nếu ta ký hiệu: 
 ( )( ) η=∫F c
c
x
x
dF
b
S
J
F
2
2
2 (b) 
ta được: dz
GF
Q
dz
EJ
MdU y
x
x
22
22
η+= (c) 
 Do đó, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài L là: 
 ∫ ∫+= Lo Lo y
x
x dz
GF
Q
dz
EJ
MU
22
22
η (7.37) 
 Với thanh có độ cứng thay đổi từng đoạn hay luật biến thiên của Mx và 
Qy thay đổi từng đoạn thanh, công thức trên có thể rút gọn lại: 
 ∑ ∑∫∫
= =
+=
n
i
n
i
L yL
x
x ii dz
GF
Q
dz
EJ
MU
1 1
0
2
0
2
22
η (7.38) 
trong đó: Li - chiều dài mỗi đoạn thanh, n - số đoạn thanh 
 η − hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. 
 Bằng cách áp dụng công thức tính η ta có thể tính được hệ số này đối 
với một số tiết diện thông thường 
 - Mặt cắt ngang hình chữ nhật: η = 1,2 
 - Mặt cắt ngang hình tròn: 9/10=η 
- Mặt cắt ngang chữ Ι: lòngFF /=η 
 trong đó: F - là diện tích toàn bộ mặt cắt. 
 Flòng là diện tích phần lòng (phần bản bụng) của chữ Ι. 
7.7 DẦM CHỐNG UỐN ĐỀU 
Trong trường hợp dầm có mặt cắt 
ngang không đổi, ta đã chọn kích thước 
của theo mặt cắt có mô men uốn lớn 
nhất. Cách sử dụng vật liệu như vậy chưa 
hợp lý vì khi ứng suất tại những điểm 
nguy hiểm trên mặt cắt có mô men uốn 
P 
A
P/2 P/2
z
l/2 l/2
Pl/4
H. 7.29
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 32 
lớn nhất đạt đến trị số ứng suất cho phép thì ứng suất tại những điểm nguy 
hiểm trên các mặt cắt khác còn nhỏ hơn rất nhiều so với ứng suất cho 
phép. Như vậy ta chưa sử dụng hết khả năng chịu lực của vật liệu ở các 
mặt cắt khác. Để tiết kiệm được vật liệu ta phải tìm hình dáng hợp lý của 
dầm sao cho ứng suất tại những điểm nguy hiểm trên mọi mặt cắt ngang 
đều cùng đạt đến giá trị ứng suất cho phép. Dầm có hình dáng như vậy gọi 
là dầm chống uốn đều. 
Ta xét vài thí dụ cụ thể sau đây. 
Giả sử, ta có dầm chịu lực như trên hình vẽ (H.7.29), mô men uốn Mx 
và lực cắt Qy trên mặt cắt 1-1 nào đó cách gối tựa A bên trái một khoảng 
cách có trị số là: 
 2
2
x
y
pM z
pQ
=
=
Giả thiết mặt cắt ngang có hình dáng là một hình tròn. Như vậy trị số 
ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt được tính với công thức: 
 max 3
.
0,1
x
x
M P z
W d
σ = = 
Với điều kiện ứng suất cực đại trên mọi mặt cắt cùng đạt tới trị số ứng 
suất cho phép [σ], ta tìm được luật biến thiên của đường kính d theo biến số 
z như sau: 
 [ ]3
.
0,1
p zd σ= (a) 
 Như vậy hình dáng của thanh phải có dạng đường nét đứt như trên 
hình vẽ (H. 7.30). 
Ta thấy tại hai đầu mút, mặt cắt có diện tích bằng không, điều đó hoàn 
toàn phù hợp với điều kiện biến thiên của mô men uốn, vì tại đó mô men 
uốn bằng không. Song, như vậy không thoả mản điều kiện bền của lực cắt 
Qy. Quả vậy, trên mọi mặt cắt của dầm ta đều có một trị số lực cắt 2y
PQ = và 
lực cắt đó sinh ra ứng suất tiếp lớn nhất max
4
3
yQ
F
τ = . Vì thế diện tích của mặt 
cắt cần phải đủ để chịu cắt. Do đó phải chọn đường kính với điều kiện: 
H. 7.30 
d1
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 33 
[ ]max 43 y
Q
F
τ τ= ≤ 
⇔ đường kính có trị số bé nhất cũng phải là: 
 [ ]21
4
3 .
yQd d τ π= = (b) 
Vì điều kiện chế tạo, rất khó gia công để thanh có thể có hình dáng 
đường cong được biểu diễn theo biểu thức (a), nên trong thực tế người ta 
thường làm các trục hình bậc, nghĩa là đường kính của các mặt cắt thay đổi 
từng đoạn một, gần sát với đường chống uốn đều (H. 7.31). 
Các lò xo có sơ đồ chịu lực như (H.7.31), thường được ghép bởi các lá 
thép như (H.7.32). Các lá thép được ghép theo hình dáng của dầm chống 
uốn đều, hình dáng đó làm lò xo có trọng lượng nhỏ và chuyển vị lớn. Loại 
lò xo này thường dùng làm díp của các trục bánh xe. 
Đối với dầm có sơ đồ chịu lực như (H.7.33), nếu chiều cao của dầm 
không đổi thì dầm chống uốn đều có hình dáng như trên (H. 7.34). Mặt cắt 
ở đầu tự do có diện tích khác không vì dầm còn chịu lực cắt. Diện tích đó 
được xác định tuỳ theo trị số của lực cắt. 
H. 7.33 H. 7.34
H. 7.31 H. 7.32
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 34 
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 
7.1 Xác định chiều dài nhịp lớn nhất cho dầm tựa đơn có mặt cắt ngang 
hình chữ nhật (140 mm × 240 mm) chịu tác dụng của tải phân bố đều 
cường độ q = 6,5 kN/m nếu ứng suất cho phép là 8,2 MPa (trọng lượng 
của dầm đã kể trong q. 
 Trả lời: 3,68 m 
7.2 Một dầm thép mặt cắt ngang hình chữ I tựa đơn và có hai đầu mút thừa 
như trên H.7.2. Dầm chịu tác dụng của lực phân bố đều cường độ q = 10 
kN/m ở mỗi đầu mút thừa. Giả sử mặt cắt ngang chữ Ι có số hiệu 16 có 
mômen chống uốn (hay suất tiết diện) là 109 cm3. Xác định ứng suất 
pháp cực đại trong dầm do uốn, σmax do q. 
 q = 10 kN/m q = 10 kN/m
2 m 4 m 2 m
H 7.2 
7.3 Một dầm bằng gỗ ABC có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b, tựa đơn 
tại A và B chịu tải trọng phân bố đều q = 1,5 kN/m trên phần mút thừa 
BC (H.7.3). Tính cạnh của hình vuông b, giả sử chiều dài nhịp L = 2,5 m 
và ứng suất cho phép [σ] = 12 MPa. Hãy kể đến trọng lượng riêng của 
dầm biết rằng trọng lượng riêng của gỗ là γ = 5,5 kN/m3. 
 q = 1,5 kN/m
L = 2,5 m L = 2,5 m
A 
B C
b
b
H. 7.3 
7.4 Một máng nước có mặt cắt ngang như H.7.4. 
Máng đặt lên hai cột cách nhau 6 m. Vật liệu làm 
máng có trọng lượng riêng γ = 18 kN/m3. Hỏi khi 
chứa đầy nước thì ứng suất pháp và ứng suất tiếp 
cực đại là bao nhiêu? 
16 
12
4
4 4 
H. 7.4