Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 9: Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1(31)
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƢỜNG LIÊN TỤC 
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i 
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2(31)
Chƣơng 9
Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3(31)
NỘI DUNG
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung
9.2. Hàm ứng suất
9.4. Bài toán đối xứng trục
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên
( Bài toán Flamant)
9.6. Bài toán Boussinesq
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4(31)
• Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực
thuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc. Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng thái
ứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, 
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
Động cơ máy bay và hệ thống rôtor
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(31)
9.1.1. Liên hệ giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ cực

r
X
Ycosrx sinry 
22 yxr 
y
arctg
x




















rrxrx
r
x
sin
cos



















rryry
r
y
cos
sin
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(31)
















rrrrrrrx
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2 11
cossin2
11
sincos
















rrrrrrry
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2 11
cossin2
11
cossin
















rrrrrrryx
2
2
22
2
2
22
22 11
sincos
11
cossin

r
X
Y
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(31)


r r r
r
dr

d
r

K
r

9.1.2. Phân tố trong hệ toạ độ cực
Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r, )
là hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và
các bán kính r và r+dr
- r : trục theo hướng bán kính
-  : trục đi qua K và vuông góc với r
- u : chuyển vị theo phương r
- v : chuyển vị theo phương 
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính
r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương bán kính
r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương tiếp 
tuyến (phương vòng)
er – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(31)
9.1.3. Các phương trình cân bằng 
- các thành phần lực thể tích theo hai phương r, ,rf f
9.1.4. Các phương trình hình học Cauchy
1 r
r



r
r


r
r  0rf 
1 2
0r r f
r r r
  

  

 
 
(9.1) 
r
u
r
e


1u v
r r
e



1
r
u v v
r r r


 
 
(9.2) 
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(31)
9.1.4. Các phương trình vật lý
1
( )r r v
E
e   
1
( )rv
E
 e   
1 2(1 )
r r r
v
G E
    
21
( )
1
r r
v v
E v
e  
1 2(1 )
r r r
v
G E
    
21
( )
1
r
v v
E v
 e  
v
1
v
v 
1 21
E
E

E
Ứng suất phẳng Biến dạng phẳng
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(31)
9.1.6. Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục
• Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ
trục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cân
bằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng
với trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu
tính ) , hoặc trùng với trục y (nếu tính )xx yy
K
y
x


r
xx

xy
r

r


rr

yy

yx
r

r
 
rr
2 2cos sin sin 2xx rr r        
2 2sin cos sin 2yy rr r        
cos2 ( )sin cosxy r rr        
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(31)
Toạ độ cực Toạ độ vuông góc
Toạ độ vuông góc Toạ độ cực 
cos2 sin 2
2 2
r r
x r
 

   
   
cos2 sin 2
2 2
r r
y r
 

   
   
sin 2 cos2
2
r
xy r


 
   
cos2 sin 2
2 2
x y x y
r xy
   
   
cos2 sin 2
2 2
x y x y
xy
   
   
sin 2 cos2
2
x y
r xy
 
   
9.1. Các phƣơng trình cơ bản
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(31)

r
X
Y
Ứng suất
2
2 2
1 1
rr
r r r


 
 
2
2r




1
r
r r



  
  
Toán tử Laplace
2
2
22
2
2
2
2
2
2 11










 
rrrryx
2
2
2
22
2
4 11






 
rrrr
Toán tử bi-điều hoà
9.2. Hàm ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(31)
Điều kiện biên
l

r
 0

0
0r  
0 
 

0r   
0ql
r 
9.2. Hàm ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(31)
- Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đập
chắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậc
nhất, ...)
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
a a
r
q
K
x
y
P
sr
bChiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh.
Xác định các thành phần ứng suất tại điểm K(r, )
r : khoảng cách từ K đến đỉnh nêm.
 : góc hợp bởi r và trục x
x : trục nêm (trục đối xứng)
2 : góc mở (góc đỉnh) nêm.
Phương pháp giải: Phương pháp nửa ngược- cho trước dạng hàm và
làm chính xác hàm khi cho thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán.
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(31)
Nhận xét: Ứng suất tại điểm K phụ thuộc vào các trị số P, r, , , . Ứng
suất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể giả thiết dạng của hàm
ứng suất:
 rr
P
k f
r
  
k là hệ số 
 f  là hàm của q
Theo tính chất hàm Airy thì: 
2
2 2
1 1
rr
P
k f
r r r r r
 
 
 
=> giả thiết hàm ứng suất Airy dạng: 
( )rf  (*)
Thay (*) vào phương trình bi-điều hoà ta nhận được phương trình vi phân:
4 2
4 2
2 0
d f d f
f
d d 
Nghiệm của phương trình này là: cos sin cos sinf A B C D       
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(31)
Do đó chọn dạng hàm ứng suất 
 1 2 3 4cos sin cos sinr C C C C       
 4 3
2
cos sinrr C C
r
   
0r   
Điều kiện biên:  = ± => 0r   
Các hằng số C3 ,C4 xác định bằng cách xét cân bằng 
phần nêm phía trên mặt trụ bán kính r 
a a
r
q
x
y
P
b
3
cos
0
2 sin 2
P
Y C


4
sin
0
2 sin 2
P
X C


2 sin cos
cos sin
2 sin 2 2 sin 2
rr
P
r
 
  
0r   
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(31)
Các trường hợp riêng:
• Nêm chịu nén 
2
 
2 cos
2 +sin2
rr
P
r


Ứng suất tại các điểm nằm trên 
đường x=L hoặc / osr L c  
22 cos
2 +sin2
rr
P
L


Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4):
42 cos
2 +sin2
xx
P
L


32 cos sin
2 +sin2
xy
P
L
 

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx
x
y
P
L
 xx
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
18(31)
P
x
y
L
 xx
• Nêm chịu uốn 0 
2 sin
2 -sin2
rr
P
r


Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông
góc với trục x theo công thức (9.4):
2sin2 cos
2 sin2
xx
P
L
 

2sin 2
2 sin2
xy
P
L


biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
19(31)
Bài toán đối xứng trục: Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc 
X √
9.4. Bài toán đối xứng trục
9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
20(31)
2
2 2
1 1
rr
r r r


 
 
2
2r




1
r
r r



  
  
2
2
dr
d 
 
dr
d
r
r

1
 0r 
0
11
2
2
2
22
2
224 






   

rrrr
Đối xứng trục
Đối xứng trục
0
1
2
2
2
dr
d
rdr
d
Đối xứng trục )(r 0 



-Chuyển vị u = u(r); v = 0.
Đ
Ặ
C
 Đ
IỂ
M
 B
À
I 
T
O
Á
N
 Đ
Ố
I 
X
Ứ
N
G
 T
R
Ụ
C
9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
21(31)
Phƣơng trình cân bằng 
Phƣơng trình hình học 
Phƣơng trình vật lý 
2
( )
1
rr
E du u
v
dr r


2
( )
1
E u du
r dr
 

0  r
dr
du
rr e r
u
 e 0 e r
0 
rdr
d rrrr 
Đ
Ặ
C
 Đ
IỂ
M
 B
À
I 
T
O
Á
N
 Đ
Ố
I 
X
Ứ
N
G
 T
R
Ụ
C
9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
22(31)
Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị
Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trình 
cân bằng ta nhận được phương trình:
Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng: 
0
1
22
2
r
u
dr
du
rdr
ud
Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:
2
1
C
u C r
r
1 22 2
1
[ (1 ) ]
1
rr
E
C C
r

 


Các hằng
số xác định
theo điều
kiện biên
tuỳ từng
bài toán cụ
thể.
9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
23(31)
Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong pa, 
áp lực ngoài pb
0r r a 0r r b 
r ar a
p
 r br b p 
Điều kiện biên: 
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1a b a bp a p b p p a bu r
E b a E b a r
  
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 1a b a b
rr
p a p b p p a b
b a b a r

2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 1a b a bp a p b p p a b
b a b a r

9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
24(31)
Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suất
phẳng hay biến dạng phẳng. Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuông
góc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứng
suất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiều
dài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng.
9.4. Bài toán đối xứng trục
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
25(31)
Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung P
vuông góc với đường biên
y
x
P
r
r rK
d

Đây là trường hợp riêng của bài toán nêm
với 2 = và  = /2
1. Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là 
d - đường kính đường tròn đi qua điểm đặt 
lực và điểm tính ứng suất
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
2 cos 2
rr
P P
r d


=> những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất srr như nhau
=> Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn 
Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực 
– nguyên lý Saint-Venant)
 0r   
cosr d  
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
26(31)
Thí nghiệm quang đàn hồi - những đường vân đẳng ứng suất chính
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
27(31)
3
2
2 2
2
xx
P x
x y

2
2
2 2
2
yy
P xy
x y

2
2
2 2
2
xy
P x y
x y

• Trong nhiều trường hợp ta cần phải xác định các thành phần ứng suất
trong hệ toạ độ vuông góc (áp lực theo phương thẳng đứng và nằm
ngang khi tính toán nền móng)
• Dùng công thức chuyển hệ trục toạ độ. Ứng suất trong hệ toạ độ
vuông góc xy
• Trị số của các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx và
ứng suất trượt sxy ở khoảng cách x = H kể từ biên của bán phẳng:
3
2
2 2
2
xx
P x
x y

2
2
2 2
2
yy
P xy
x y

2
2
2 2
2
xy
P x y
x y

9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
28(31)
Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang và áp lực trượt
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
P
h
b
v 3
v 3P/8 b
c
v 3
v 3P/8 c
y
x
 xy
 xx
 yy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
29(31)
y
x
P
r
r rK
d

2. Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng
- u - chuyển vị theo phương bán kính r
- v - chuyển vị theo phương vòng q
 12
sin cos ln sin cos
PP
u B C r
E E

    
12
cos sin sin sin cos
PP
v B C Dr
E E

     
Các hằng số B, C, D xác định từ điều kiện biên
- Giả thiết trên trục x (q = 00) ở khoảng cách x=H nào đó không có chuyển vị 
theo phương thẳng đứng (thích hợp với bài toán nền móng)
- Chuyển vị u đối xứng qua trục x, chuyển vị v trên trục đối xứng x phải bằng 0
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
30(31)
 12
ln cos sin
PP H
u
E r E

  
12 2
ln sin lsin sin cos
PP H P
v
E r E E

    
3. Chuyển vị tại các điểm trên biên
Các chuyển vị tại các điểm trên biên suy ra từ công thức trên 
với q=p/2 và q =-p/2
0
1 P
u
E

0
12
ln
PP H
v
E r E

Độ lún
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
31(31)
9.6. Bài toán Boussinesq
Vật thể đàn hồi chiếm phần k
hông gian z>=0 chịu lực tập tr
ung P vuông góc với mặt giới h
ạn z=0
z
Là bài toán đối xứng trục nên:
0r z v   
2
1 2
4
v RP r z
u
R R z R 
2
2
2 1
4
P z
w v
R R 
 2
2 3
1 2 3
2
rr
v RP r z
R R z R

2
1 2
3
v P R z
R R z R

3
2 3
3
2
zz
P z
R R

2
2 3
3
2
rz
P rz
R R

2 2 2 2R x y z 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
32(31)