Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi - Chương 3: Lý thuyết về ứng suất - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1(35)
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
 I LI 
 L I
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2(35)
Chương 3
Lý thuyết về ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3(35)
NỘI DUNG
3.1. Định nghĩa về ứng suất3.1. Định nghĩa về ứng suất
3.2. Điều kiện cân bằng3.2. Điều kiện cân bằng
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.6. Ứng suất tiếp cực trị3.6. Ứng suất tiếp cực trị
3.7. Cường độ ứng suất3.7. Cường độ ứng suất
3.8. Bài tập tự giải3.8. Bài tập tự giải
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4(35)
3.1. Định nghĩa về ứng suất
Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các
phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác
dụng.
Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực
ΔP
ν
Nội lực: mặt cắt – pháp tuyến ν
Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν
điểm P(x1, x2, x3)
0
lim
A
Pp
Aν Δ →
Δ= Δ
JGJG
pν - ứng suất toàn phần
3.1. Định nghĩa về ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(35)
Phân tích vec tơ ứng suất pν
ν
pν3
pν1
pν2
1 2 31 2 3p p e p e p eν ν νν = + +
JG G G G
p νν νην σ σ= +
JG JG JG
2 2 2
1 2 3p p p pν ν ν ν= + +
2 2pν νν νησ σ= +
pνσνη σνν
ν
pν1, pν2, pν3 – các thành phần ứng suấttheo các phương 1, 2, 3
σνν – ứng suất pháp σi j
σνη – ứng suất tiếp
pháp tuyến phương ư.s
3.1. Định nghĩa về ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(35)
x2
x1
x3
33σ
22σ
11σ
xyσ
32σ
12σ
31σ
13σ
23σ
21σ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Tσ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Tenxơ ứng suất
Qui ước chiều dương của ứng suất
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các
trục tương ứng
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các
trục tương ứng
3.1. Định nghĩa về ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(35)
3.2.1. Đặt vấn đề:
Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:
( )* * * *1 2 3, ,f f f f• Lực bề mặt có cường độ
( )1 2 3, ,f f f f• Lực thể tích có cường độ
V
S
f*
f
3.2. Điều kiện cân bằng
Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các
mặt song song mặt phẳng toạ độ
- Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật
- Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện
Vật thể ở trạng thái cân bằng⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng.
3.2. Điều kiện cân bằng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(35)
3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy
(Điều kiện cân bằng phân tố loại 1)
- Lực tác động lên phân tố gồm:
- Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i
- Nội lực: các thành phần ứng suất σij
- Các thành phần ứng suất trên các
mặt lân cận xi, (xi+dxi): x
x
x
σ11 + σ11x
σ12 + σ12x
σ13 + σ13x
dx
dx
dx
σ11
σ12
σ13
K
M
P
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
11 21 31 1
1 1 2
1 2 3
0 0
u
X f
x x x dt
σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑
2
12 22 32 2
2 2 2
1 2 3
0 0
u
X f
x x x dt
σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑
σ σ σ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ + + + = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠∑
2
13 23 33 3
3 3 2
1 2 3
0 0
u
X f
x x x dt
là khối lượng riêngρ
3.2. Điều kiện cân bằng
(3.7)
2
20
ji i
i
j
uf
x dt
σ ρ∂ ⎛ ⎞∂+ = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
• Hệ phương trình cân bằng
Navier-Cauchy
• Hệ phương trình cân bằng
Navier-Cauchy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(35)
3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp ij jiσ σ= (3.8)
3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất
(điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)
σ22
f1
σ11
σ12
σ13
B
C
σ23
σ21
*
f2*
f3
*
ν
x2
x1
x3
A
Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện
σ σ σ= ⇒ + + =∑ *1 11 1 21 2 31 3 10 X l l l f
σ σ σ= ⇒ + + =∑ *2 12 1 22 2 32 3 20 X l l l f
σ σ σ= ⇒ + + =∑ *3 13 1 23 2 33 3 30 X l l l f
(3.9)
*
ji j il fσ =•Điều kiện biên:•Điều kiện biên:
- (3.7) và (3.9): điều kiện cân bằng
của toàn thể môi trường - (3.9) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân
( )cos ,i il xν= G JJG
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(35)
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
σ22
σ11
σ12
σ13
B
C
σ23
σ21
ν
x2
x1
x3
A
p
p
p ν1
ν2
ν3
Cosin chỉ phương của mặt nghiêng:
( )cos ,i il xν= G JJG
Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:
1 2 3, ,p p pν ν ν
νpν*
1 1p fν ≈
*
2 2p fν ≈
*
3 3p fν ≈
Từ (3.9):
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(35)
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
σ22
σ11
σ12
σ13
B
C
σ23
σ21
ν
x2
x1
x3
A
p
p
p ν1
ν2
ν3
Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:
νσ σ σ+ + =11 1 21 2 31 3 1l l l p
νσ σ σ+ + =12 1 22 2 32 3 2l l l p
νσ σ σ+ + =13 1 23 2 33 3 3l l l p
(3.10)
ji j il pνσ =
• Ứng suất trên mặt nghiêng:• Ứng suất trên mặt nghiêng:
• Ứng suất toàn phần:• Ứng suất toàn phần: 2 2 21 2 3p p p pν ν ν ν= + + (3.12)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(35)
• Ứng suất pháp:• Ứng suất pháp:
( )ννσ σ σ σ σ σ σ2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32l l l l l l l l l= + + + + +
• Ứng suất tiếp:• Ứng suất tiếp:
νη ν ννσ σ= −2 2p (3.14)
(3.13)
ν
σνν
σνη
3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần ứng suất lên pháp tuyến
νν ν ν νσ = + +1 1 2 2 3 3p l p l p l
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(35)
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4.1. Trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp
tất cả những thành phần ứng suất trên tất
cả các mặt cắt đi qua điểm đó.
Ứng suất: mặt cắt – pháp tuyến ν
điểm P(x1, x2, x3)Trạng thái ứng suất: 
- điểm P(x1, x2, x3) x2
x1
x3
33σ
22σ
11σ
xyσ
32σ
12σ
31σ
13σ
23σ
21σ
Qui ước chiều dương của ứng suất
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các
trục tương ứng
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các
trục tương ứng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(35)
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ
'
ij ik jl klc cσ σ= - hệ trục ban đầu xi- hệ trục mới 'ix
ijc- cosin chỉ phương của góc giữa hệ trục mới và cũ:
3.4.3. Tenxơ ứng suất
x2
x1
x3
33σ
22σ
11σ
xyσ
32σ
12σ
31σ
13σ
23σ
21σ11 12 13
21 22 23
31 32 33
Tσ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
• Ten xơ ứng suất:• Ten xơ ứng suất:
Tenxơ hạng 2, đối xứng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(35)
• Ten xơ lệch ứng suất:• Ten xơ lệch ứng suất:
0T D Tσ σ σ= +
σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
11 tb 12 13
21 22 tb 23
31 32 33 tb
D
• Ten xơ cầu ứng suất:• Ten xơ cầu ứng suất:
σ
σ
σ
σ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
tb
tb
tb
0 0
T 0 0
0 0
Biến đổi
hình dáng
Biến đổi
thể tích
3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(35)
σ11
σ33
σ 22
σ33 - σtb
σtb
σtb
σtb
= σ11 - σtb
σ22 - σtb
Biến đổi
hình dáng
Biến đổi
thể tích
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(35)
- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.
- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính
- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
Giả sử phương chính có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, 
ứng suất chính là σ
. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có
phương trùng với pháp tuyến và có giá trị bằng σ: i ip lν σ=
Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng
2 2 2
1 2 3 1l l l+ + =
( )11 1 21 2 31 3 0l l lσ σ σ σ− + + =
( )12 1 22 2 32 3 0l l lσ σ σ σ+ − + =
( )13 1 23 2 33 3 0l l lσ σ σ σ+ + − =
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
18(35)
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
Các ứng suất chính σ xác định từ phương trình đặc trưng:
3 2
1 2 3 0I I Iσ σ σ− + − =
1 11 22 33I σ σ σ= + +
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ= + +
11 12 22 23 11 13
2
12 22 23 33 13 33
I
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
=
11 12 13
3 12 22 23
13 23 33
I
(3.23)
Điều kiện để hệ phương trình không có nghiệm tầm thường cho ta
phương trình đặc trưng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
19(35)
- Phương chính ν của ứng suất chính σi có các cosin chỉ phương trong hệ
xi là li xác định từ 3 trong hệ 4 phương trình: 
( )σ σ σ σ− + + =11 1 21 2 31 3 0i l l l
( )σ σ σ σ+ − + =12 1 22 2 32 3 0il l l
( )σ σ σ σ+ + − =13 1 23 2 33 3 0il l l
2 2 2
1 2 3 1l l l+ + =
(3.24)
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
20(35)
3.6. Ứng suất tiếp cực trị
τmax
σ
τ
1σ2σ3σ
x2
x3
σ2
σ3 x1
σ1
1 1 2
max 2
σ στ −=
2 2 3
max 2
σ στ −= 3 1 3max 2
σ στ −=
Mặt có ứng suất tiếp cực trị là
những mặt có pháp tyến nghiêng
góc 450 so với các trục ứng suất
chính.
3.6. Ứng suất tiếp cực trị3.6. Ứng suất tiếp cực trị
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
21(35)
3.7. Cường độ ứng suất
Cường độ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai
của tenxơ lệch ứng suất
•Cường độ ứng suất tiếp•Cường độ ứng suất tiếp ( )2i I Dστ =
( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 116iτ σ σ σ σ σ σ= − + − + −
( )23i I Dσσ =•Cường độ ứng suất pháp•Cường độ ứng suất pháp
( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 122iσ σ σ σ σ σ σ= − + − + −
3.7. Cường độ ứng suất
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
22(35)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
23(35)