Áp dụng thừa số lagrange phân tích kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do chịu tải trọng tĩnh

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 33 
ÁP DỤNG THỪA SỐ LAGRANGE PHÂN TÍCH KẾT CẤU DÀN PHẲNG 
CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐA BẬC TỰ DO CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH 
TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
Tóm tắt: Phương pháp phần tử hữu hạn là một 
phương pháp quan trọng, được sử dụng thường 
xuyên và không thể thiếu của người kỹ sư khi phân 
tích và thiết kế kết cấu. Tuy nhiên, khi sử dụng 
phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu 
có điều kiện biên đa bậc tự do luôn là một vấn đề khó. 
Vì vậy, trong bài báo này sẽ trình bày cách áp dụng 
thừa số Lagrange và phương pháp phần tử hữu hạn 
để giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên 
đa bậc tự do chịu tải trọng tĩnh. 
Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Biên 
đa bậc tự do, Thừa số lagrange. 
Abstract: Finite element method (FEM) is now an 
important and frequently indispensable method of 
engineering analysis and design structure; However, 
using finite element method for ananysis of 
multifreedom equality constraints structures is 
always a difficult problem. Consequently, this paper 
will present combined finite element method and 
lagrange multiplier to analyse two demensional 
trusses with multi-freedom constraints under dead 
loads. 
Keywords: Finite Element Method; Multi-Free 
Constaints; Lagrange Multiplier. 
1. Đặt vấn đề 
Kết cấu dàn là kết cấu có rất nhiều ưu điểm như: 
tiết kiệm vật liệu, vượt khẩu độ lớn, nhẹ, kinh tế và 
đặc biệt về phương diện kiến trúc có thể tạo được 
nhiều hình dáng khác nhau. Vì vậy, kết cấu dàn là 
một trong những dạng kết cấu được sử dụng rộng 
rãi để xây dựng nhiều công trình trong nhiều ngành 
khác nhau như : công trình dân dụng và công nghiệp, 
công trình cầu đường, 
Các kết cấu dàn trong thực tế thường có số 
lượng thanh dàn lớn và bậc siêu tĩnh cao, một trong 
những phương pháp mà các Kỹ sư thiết kế thường 
sử dụng để phân tích nội lực, chuyển vị của kết cấu 
dàn là phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp 
phần tử hữu hạn là phương pháp rời rạc hóa kết cấu 
ra thành các phần tử liên kết với nhau tại các nút của 
phần tử, phương trình cân bằng cho toàn hệ kết cấu 
cuối cùng thường được đưa về viết dưới phương 
trình dạng ma trận. Các phép tính viết được dưới 
dạng ma trận thì có thể được thực hiện dễ dàng 
bằng các phần mềm tính toán toán học, nên việc giải 
bài toán có số ẩn lớn không còn là một vấn đề khó 
khi công nghệ thông tin điện tử phát triển như hiện 
nay. 
Các kết cấu thực tế thường có điều kiện biên rất 
đa dạng, một trong những dạng điều kiện biên là 
điều kiện biên làm cho chuyển vị thẳng tại nút biên 
chỉ có thể chuyển vị theo một phương cho trước, mà 
phương này không trùng với một trục tọa độ nào 
trong hệ trục tọa độ tổng thể. Điều này dẫn đến các 
nút biên này có các bậc tự do khác không nhưng 
không độc lập, mà với nhau ràng buộc nhau. Những 
nút biên có điều kiện như vậy được gọi là nút có điều 
kiện biên đa bậc tự do. Ví dụ cho kết cấu dàn chịu 
lực như hình 1, tại nút C trong hệ trục tọa độ tổng thể 
có 2 thành phần chuyển vị, nhưng hai thành phần 
này không độc lập với nhau mà ràng buộc nhau, nên 
nút C được gọi là nút có điều kiện biên đa bậc tự do. 
Việc phân tích kết cấu có điều kiên biên đa bậc 
tự do theo phương pháp phần tử hữu hạn luôn là 
một trong những vấn đề khó [7] và các tài liệu trình 
bày về phương pháp phần tử hữu hạn xuất bản tại 
Việt Nam tác giả cũng chưa thấy tài liệu nào trình 
bày [2,4,5]. Vì vậy trong nội dung bài báo này, tác giả 
sẽ trình bày cách áp dụng thừa số Lagrage để giải 
bài toán kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự do theo 
phương pháp phần tử hữu hạn. 
2. Phương pháp thừa số Lagrage 
Phương pháp thừa số Lagrange là phương pháp 
để đưa bài toán quy hoạch toán học có ràng buộc về 
bài toán quy hoạch toán học không ràng buộc [3,10]. 
Ví dụ xét bài toán quy hoạch toán học: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
34 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 
Hàm mục tiêu: 1 2 nZ F(x ,x ,...,x ) min (1a) 
Các ràng buộc:
j 1 2 ng (x ,x ,...,x ) 0 j 1 m;  
(1b) 
Theo phương pháp thừa số Lagrange [3,10] thì 
bài toán quy hoạch toán học có ràng buộc trên sẽ 
tương đương với bài quy hoạch toán học không ràng 
buộc với: 
Hàm mục tiêu mở rộng: 
m
1 2 n j j 1 2 n
j 1
L(X, ) F(x ,x ,...,x ) .g (x ,x ,...,x ) min
  
 (2) 
Trong hàm mục tiêu Lagrange L(X, ) , ta xem các thừa số Lagrange cũng là các ẩn số của bài toán, vì vậy 
điều kiện cần để hàm L(X, ) có cực trị là: 
 i
j
L 0 i 1 n;
x
L 0 j 1 m;
   
  
  
 (3) 
Khai triển (3) ta được hệ phương trình gồm 
(n+m) phương trình độc lập, tương ứng với (n+m) ẩn 
là: 1 2 n 1 2 mx ,x ,...,x , , ,...,   . Giải hệ phương trình 
(3) sẽ tìm được giá trị các ẩn số của bài toán. 
3. Áp dụng thừa số Lagrange giải bài toán kết 
cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự do theo 
phương pháp phân tử hữu hạn 
Giả sử hệ kết cấu dàn được rời rạc ra thành m phần tử 
với tổng số bậc tự do của toàn hệ là n. Theo nguyên lý thế 
năng toàn phần [1,6,8,9], thế năng toàn phần của hệ là: 
            
m T TT T
ee e e e
e 1
1 ' H K ' H ' ' H F '
2 
     

(4) 
trong đó:  eK ' : là ma trận độ cứng của phần tử 
trong hệ trục tọa độ chung; ' : là véctơ chuyển vị 
nút của toàn hệ trong hệ trục tọa độ chung; eF' : là 
tải trọng tác dụng nút của phần tử trong hệ trục tọa 
độ chung;  TeH : là ma trận định vị phần tử trong hệ 
kết cấu. 
Khi bài toán không có điều kiện biên đa bậc tự do, 
thì dựa vào nguyên lý dừng thế năng toàn phần của 
hệ kết cấu ta xây dựng được phương trình cân bằng 
cho toàn hệ kết cấu có dạng: 
    K ' ' F ' (5) 
trong đó: 
 
' ' '
11 12 1n
' ' '
21 22 2n
' ' '
n1 n2 nn
k k k
k k k
K ' ;
k k k


   

  T1 2 n' ' ' ... ' ;     
T
1 2 nF' F ' F ' ... F ' 
Khi tại một biên nào đó của kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do và giả sử gọi ' 'i i 1,   lần lượt 
là các số hiệu bậc tự do tại nút biên, thì lúc đó: 
' '
i 0 i 1k . 0   
(6) 
Như vậy khi áp dụng nguyên lý dừng thế năng toàn phần vào bài toán, ta sẽ được bài toán quy hoạch toán 
học có ràng buộc: 
Hàm mục tiêu: 
            
m T TT T
ee e e e
e 1
1 ' H K ' H ' ' H F' min
2 
     
 (7) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 35 
Điều kiện ràng buộc:
' '
i 0 i 1g( ') k . 0    
(8) 
Áp dụng phương pháp thừa số Lagrange đã trình bày ở mục 2 vào, sẽ đưa bài toán quy hoạch toán học có 
ràng buộc đưa về bài toán quy hoạch toán học không ràng buộc bằng các thêm ẩn số là thừa số Lagrange, 
hàm Lagrange của bài toán lúc này là: 
             
m T TT T ' '
i 0 i 1ee e e e
e 1
1L ' H K ' H ' ' H F' k . min
2 
       
 (9) 
Số ẩn số của bài toán lúc này sẽ thêm 1 ẩn số so với số ẩn số ban đầu. Như vậy bài toán lúc này có (n+1) 
ẩn số:  T1 2 n' ' ' ... '     
Từ biểu thức (9) ta có: 
  
     
 
       
T
1 2 n 1 n
LL L L L L... 0
' ' ' ' '
(10) 
Từ điều kiện (10) ta sẽ được phương trình: 
' ' ' ' ' '
11 1i 1(i 1) 1n 1 1
' ' ' ' ' '
i1 ii i(i 1) in i i
' ' ' ' '
(i 1)1 (i 1)i (i 1)(i 1) (i 1)n 0 i 1 i 1
' ' ' ' '
n1 ni n(i 1) nn n
0
k k k k 0 F
k k k k 1 F
k k k k k F
k k k k 0
0 1 k 0 0
 
 
   
  
   
 
      
 
 
     
 
 
'
'
nF
0
 
 
 

 (11) 
Như vậy khi giải bài toán kết cấu dàn phẳng có 
một biên nào đó có điều kiện biên đa bậc tự do, giả 
sử gọi ' 'i i 1,   lần lượt là các số hiệu bậc tự do tại nút 
biên và có điều kiện ràng buộc (6) lúc đó phương 
trình cân bằng cho toàn hệ có kể đến một điều kiện 
biên đa bậc tự do được viết dưới dạng ma trận như 
biểu thức (11). Theo biểu thức này, ma trận độ cứng 
của kết cấu khi kể đến một điều kiện biên đa bậc tự 
do được mở rộng thêm một hàng và một cột so với 
ma trận độ cứng của kết cấu khi chưa kể đến điều 
kiện biên đa bậc tự do. Các thừa số trong hàng và cột 
được mở rộng của ma trận độ cứng được xác định 
như sau: ' 'n 1,i i,n 1k k 1; 
' '
n 1,i 1 i 1,n 1 0k k k , các 
thừa số còn lại bằng “0”. Véctơ tải trọng tác dụng nút 
được mở rộng thêm một hàng, giá trị thừa số trong 
véctơ tải trọng tác dụng tại hàng được mở rộng thêm 
là 'n 1F 0 . 
Mở rộng ra khi hệ có r điều kiện biên đa bậc tự do 
thì ma trận độ cứng sẽ mở rộng thêm r hàng, r cột; 
véctơ chuyển vị, véctơ tải trọng tác dụng nút thêm r 
hàng và các giá trị tại các cột và hàng trong các ma 
trận được mở rộng được xác định tương tự như với 
hệ có một điều kiện biên đa bậc tự do. 
4. Một số ví dụ phân tích 
Ví dụ 1: Cho kết cấu dàn chịu lực như hình 1, 
biết: Mô đun đàn hồi vật liệu của các thanh: 
 4 2E 2.10 kN / cm ; diện tích mặt cắt ngang các 
thanh: 2A 10 cm ; tải trọng tác dụng: P= 10 (kN). 
Hãy xác định các thành phần chuyển vị tại các nút và 
nội lực trong các thanh dàn. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
36 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 
D
y'
4m
A

3m
C
x'

4m
B
P
C(3,4)

B(1,2)
4m
3m
D(5,6) 
1
x'
3
5
A(0,0)
y'
4m
2
4
Hình 1. Ví dụ 1 Hình 2. Số hiệu bậc tự do và phần tử 
Lời giải: 
Kết cấu dàn được rời rạc hóa thành các phần tử. Số hiệu phần tử và số hiệu mã bậc tự do của các thành 
phần chuyển vị tại các nút trong hệ tọa độ chung được đánh số như hình 2. 
Phương trình cân bằng toàn hệ khi chưa kể đến điều kiện biên đa bậc tự do tại C: 
  
  
   
B
B
C
C
D
D
u 0512 đx
v 00 954,667
u 00 192 756
v 0256 144 192 144
u 0192 0 500 0 1000
v 100 666,667 0 0 0 666,667
Điều kiện biên tại biên C:   0 3 4tan30 . ' ' 0 
Vì vậy, khi kể đến điều kiện biên đa bậc tự do tại C thì ma trận độ cứng, ma trận tải trọng trong phương 
trình cân bằng của toàn hệ được mở rộng thêm. Sau khi mở rộng thêm, phương trình cân bằng toàn hệ được 
viết lại như sau: 
   
   
    
B
B
C
C
D
D
512 đx u 0
0 954,667 v 0
0 192 756 u 0
256 144 192 144 v 0
192 0 500 0 1000 u 0
0 666,667 0 0 0 666,667 v 10
3 00 0 1 0 0 0
3
Kết quả phân tích các thành phần chuyển vị và nội 
lực của bài toán như sau: 
B
B
C
C
D
D
u 0,0043(cm)
v 0,0404(cm)
u 0,0151(cm)
;
v 0,0087(cm)
u 0,0076(cm)
v 0,0554(cm)
  
  
  
1
2
3
4
5
N 8,333(kN)
N 8,333(kN)
N 3,780(kN)
N 3,780(kN)
N 10(kN)
  
  
  
0 100 200 300 400 500 600 700 800
-100
0
100
200
300
Hình 3. Hình dạng kết cấu dàn trước và sau khi biến dạng 
Để kiểm tra độ chính xác của kết quả phân tích, tác giả đã so sánh kết quả phân tích theo phương pháp đề 
xuất trong bài báo với kết quả phân tích bằng phương pháp tách mắt và được thể hiện như bảng 1: 
(cm) 
(cm) Tr­ í c biÕn d¹ng
Sau biÕn d¹ng
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 37 
Bảng 1. Bảng so sánh kết quả nội lực 
Nội lực 
1N (kN) 2N (kN) 3N (kN) 4N (kN) 5N (kN) 
Phương pháp PTHH -8,3333 -8,3333 3,7799 3,7799 10 
Phương pháp tách mắt -8,3333 -8,3333 3,7799 3,7799 10 
Theo kết quả so sánh (trong bảng 1) thấy: Khi áp dụng thừa số Lagrange để giải bài toán kết cấu dàn có 
điều kiện biên đa bậc tự do theo phương pháp phần tử hữu hạn cho kết quả là trùng khớp. 
Ví dụ 2: Cho kết cấu chịu lực như hình 4 biết: các thanh có mô đun đàn hồi: 4 2E 2.10 kN / cm ; diện tích 
mặt cắt ngang các thanh là: 2A 18 cm 2A 18 cm ; tải trọng tác dụng: P 20 kN . Hãy xác định nội 
lực trong các thanh. 
Px'
(3,4)
P
(9,10)
P
(17,18)
P
2
20
4
21
6
810
(4,6)
12
(11,12)
18
(19,20)
19
y' 
(0,0)
(13,14)(21,22)
3
16
5
17
7

9
(1,2)
11
(7,8)
13
(15,16)
14
1
15
1m
1m
1m1m


1m 1m1m
Hình 4. Ví dụ 2 
Lời giải 
Kết cấu dàn được rời rạc hóa thành các phần tử. Số 
hiệu phần tử và số hiệu mã bậc tự do của các thành 
phần chuyển vị tại các nút trong hệ tọa độ chung 
được đánh số như hình 4. 
Điều kiện biên đa bậc tự do tại A : 
0
1 2tan30 . ' ' 0  
Điều kiện biên đa bậc tự do tại C : 11 12' ' 0  
Phương trình cân bằng toàn hệ sau khi kể đến điều 
kiện biên tại A và B: 
' ' ' ' ' 0
1,1 1,2 1,11 1,12 1,22
' ' ' ' '
2,1 2,2 2,11 2,12 2,22
' ' ' ' '
11,1 11,2 11,11 12,12 11,22
' ' ' ' '
12,1 12,2 12,11 12,12 12,22
' ' ' ' '
22,1 22,2 22,11 22,12 22,22
0
k k k k k tan30
k k k k k 1
k k k k k 0
k k k k k 0
k k k k k 0
tan30 1 0
 
 
       
 
 
       
 

' '
1 1
' '
2 2
' '
11 11
' '
12 12
' '
22 22
1
1F
2F
11F
12F
22F
230 0 0 0
  
 
    
  
   
 
 

Phương trình cân bằng toàn hệ sau khi kể đến điều kiện biên tại A, B và C : 
'' ' ' ' 0
11,1 1,2 1,11 1,12
'' ' ' '
22,1 2,2 2,11 2,12
'' ' ' '
1111,1 11,2 11,11 12,12
'' ' ' '
1212,1 12,2 12,11 12,12
0
1
k k k k tan30 0
k k k k 1 0
k k k k 0 1
k k k k 0 1
tan30 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
 
 
 
  
  
 
 
       
 
 
       
 
 
'
1
'
2
'
11
'
12
2
1F
2F
11F
12F
230
240
  
  
   


A B C 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
38 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 
Giải phương trình trên sẽ xác định được các thành phần chuyển vị tại các nút, sau khi xác định được các 
thành phần chuyển vị sẽ xác định được nội lực trong các thanh và kết quả nội lực trong các thanh dàn được 
thể hiện như bảng 2. 
Bảng 2. Kết quả nội lực trong các thanh dàn 
Thanh 1 2 3 4 5 6 7 
N(kN) 8,281 8,281 -12,531 -20,812 0 0 -27,710 
Thanh 8 9 10 11 12 13 14 
N(kN) -19,188 -19,188 -19,188 -19,188 -27,710 20 0 
Thanh 15 16 17 18 19 20 21 
N(kN) -40,812 0 20 -0,574 28,859 28,859 -0,574 
Kết quả hình dáng kết cấu dàn trước và sau khi biến dạng được thể hiện như hình 5. 
0 100 200 300 400 500 600
-50
0
50
100
Hình 5. Hình dạng kết cấu dàn trước và sau khi biến dạng 
5. Kết luận 
Qua các nội dung trình bày trong bài báo, có thể 
rút ra các kết luận sau đây: 
- Việc áp dụng thừa số Lagrange để giải bài toán 
phân tích tuyến tính kết cấu dàn phẳng có điều kiện 
biên đa bậc tự do chịu tải trọng tĩnh tương đối đơn 
giản do không phải thay đổi lại giá trị các số hạng 
trong ma trận độ cứng, véctơ tải trọng tác dụng nút. 
- Kết quả phân tích tuyến tính bài toán kết cấu 
dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do chịu tải 
trọng tĩnh khi áp dụng phương pháp thừa số 
Lagrange là tin cậy. Vì vậy, phương pháp trình bày 
trong nội dung bài báo có thể áp dụng phân tích tĩnh, 
tuyến tính kết cấu dàn có các điều kiện biên đa bậc 
tự do khác nhau. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Phạm Văn Đạt (2017), Tính toán kết cấu hệ thanh theo 
phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây dựng. 
[2] Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp 
phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây dựng. 
[3] Lê Xuân Huỳnh (2006), Tính toán kết cấu theo lý thuyết 
tối ưu, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 
[4] Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu 
hạn, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 
[5] Nguyễn Trâm (2013), Phương pháp phần tử hữu hạn 
và dải hữu hạn, Nhà xuất bản Xây dựng. 
[6] Bathe. K.J (1996), Finite Element Procedure, Prentice 
Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458. 
[7] Felippa. C (2016), Introduce Finite Element Method, 
Public web site for the graduate core course ASEN 
5007. 
[8] Hutton. D.V (2004), Fundamentals of Finite Element 
Analysis, The McGraw−Hill Companies. 
[9] Reza. B, Farhad. S (2013), Advanced Finite Element 
Method, Public web site for the graduate core course ASEN 
6367. 
[10] William. R. S, Kieth. M.M (2009), Structural 
Optimization, Springer Science+Business Media. 
Ngày nhận bài: 09/11/2017. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 07/02/2018. 
(cm) 
(cm) Tr­ í c biÕn d¹ng
Sau biÕn d¹ng