Về vấn đề xây dựng nghiệm cơ sở cho một lớp các bài toán vỏ mỏng chịu uốn

TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 
97 
VỀ VẤN ĐỀ XÂY DỰNG NGHIỆM CƠ SỞ CHO MỘT LỚP 
CÁC BÀI TOÁN VỎ MỎNG CHỊU UỐN 
ON THE FUNDAMENTAL SOLUTION OF SOME CLASS OF THIN 
SHALLOW SHELL BENDING PROBLEMS 
Trần Đức Chính 1, Ngô Văn Tình2 
1Đại học xây dựng Hà Nội 
 td_chinh07@hcmutrans.edu.vn 
 2Đại học Giao thông vận tải Tp. Hồ chí Minh 
 ngovantinhgtvt@gmail.com 
Tóm tắt: Bằng cách biểu diễn nghiệm tổng quát của bài toán biên thuộc lý thuyết uốn vỏ mỏng 
dưới dạng các ma trận Green, các tác giả đã kiến nghị một phương pháp giải tích để giải hệ các 
phương trình vi phân của bài toán. Các tác giả đã đặt và giải bài toán đặt ra được dựa trên ý tưởng 
của phương pháp tải trọng bù. Nghiệm cơ sở được xem là tổng của hai nghiệm: Nghiệm riêng của bài 
toán có vế phải và nghiệm thuần nhất của bài toán không có vế phải. Để xây dựng nghệm riêng các 
tác giả đã sử dụng toán tử Dirac. Để nghiệm tổng quát thõa mãn điều kiện biên, nghiệm cơ sở được 
xây dựng dựa trên bài toán hai điểm: Điểm miền và điểm nguồn (điểm nhận ảnh hưởng của tải và 
điểm chất tải). Nghiệm tổng quát cũng như tải nguồn đều biểu diễn bằng chuỗi Fourrier, có các hệ số 
chưa biết được xác định bằng cách cho thỏa mãn hệ các điều kiện biên của vỏ. Kết quả là đưa đến hệ 
phương trình tích phân Fredholm mà có thể giải gần đúng bằng phương pháp tải trọng bù, bằng cách 
đưa chúng về hệ phương trình đại số với ẩn số là các tải trọng bù. Các kết quả có thể dùng để tính 
toán vỏ trụ kín hoặc vỏ có gờ cứng. 
Từ khóa: Lý thuyết tuyến tính vỏ, vỏ hình cầu, vỏ hình trụ, vỏ hình dạng tùy ý, lý thuyết uốn vỏ 
mỏng, phân tích vỏ mỏng, tải trọng bù. 
Chỉ số phân loại: 2.5 
Abstract: By expressing the general solution of the boundary problem of shell bending theory in 
the form of Green matrix, the authors proposed an analytical method to solve the differential 
equations of the problem. The authors have set and solved the problem with idea of compensating 
loading method. General solution is considered as the sum of the two solutions. The solution of 
problem with right-hand side, the hemogeneous solution of problem that hasn’t right - hand side. To 
obtain the solution of the first problem, the authors has used the Dirac operator. For the general 
solution to satisfy the boundary condition, the solution was built based on two point problem: Domain 
point and source point The general solution and source loads are reprenented by the Fourrier series. 
The unknown coefficients are determined by satisfying the boundary conditions general solution of the 
problem. As the result we obtained Fredhold integral equations that can be approximated by the 
compensating loading method, that introduced them to the algebraic equations system. The results can 
be used for solving the bending problem of circular cylindrical shell. 
Keywords: Linear theory of shell, spherical shell, cylindrical shell, shell of arbitrayry shape, shell 
bending theory, analytical method for thin shell, compensating loading method. 
Classification number: 2.5 
1. Giới thiệu
Trong bài báo này, với những bài toán 
đặc thù về uốn vỏ ở miền lân cận các điểm 
chịu lực tập trung, moment tập trung,,ứng 
xử của vỏ mô tả bởi các hàm u,, T1,H1 
biểu diễn độ võng, ứng suất và moment đã 
được xem xét. Nhóm tác giả sẽ thiết lập công 
thức tổng quát cho bài toán vỏ chịu uốn có 
hình dạng tùy ý, đồng thời thiết lập các 
phương trình moment của kết cấu vỏ mỏng 
theo lý thuyết tuyến tính. Các kết quả thu 
được ở dạng tổng quát của các bài toán đã 
giải trước đó trong trường hợp các vỏ mỏng 
có chức năng đặc biệt. Ví dụ, vỏ hình cầu 
chịu tải tập trung và moment đã được 
Gol’denveizer xem xét trong [1]. Vỏ hình trụ 
đã được xem xét bởi Darevskii [2]. Chernykh 
[3] đã nghiên cứu bài toán uốn các vỏ có 
hình dạng bất kỳ nhưng đã không giải quyết 
vấn đề đến kết quả cuối cùng. 
 98 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 
Để giải bài toán vỏ chịu uốn, các tác giả 
sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng 
dạng elliptic, tương tự như Gel’fond và 
Shilov [4], Levi [5], Ion [6], Lopatinkii [7]. 
2. Xây dựng nghiệm cơ sở cho các bài 
toán vỏ mỏng chịu uốn 
Ta sẽ xét ở dạng tường minh các kỳ dị 
xuất hiện trong các hàm chuyển vị u, v, w 
chứa trong các phương trình vi phân cân 
bằng của vỏ khi vỏ chịu tác dụng của một 
moment tập trung. 
Ta sẽ xây dựng nghiệm cơ sở của các 
phương trình vi phân L(ϕ)=0 và L(ϕ)=δ(ξ-
ξ0), trong đó L là toán tử vi phân: ξ = {ξ1, , 
ξn}, ξ0 = {ξ10, , ξn0} là vector ẩn số trong 
không gian n chiều, δ là hàm Dirac. 
Chú ý rằng, xét về phương diện cơ học 
độ lớn của lực tập trung có thể được xem như 
giới hạn của cường độ tải phân bố hoạt động 
trên phân tố ở lân cận điểm khảo sát hoặc có 
thể xem như lời giải của một phương trình vi 
phân chứa kỳ dị theo quan điểm toán học. 
Đầu tiên, ta sẽ sử dụng cách tiếp cận cơ học 
trong những điều kiện nhất định, sau đó sẽ sử 
dụng lý thuyết hàm tổng quát. 
Bài toán về lực tập trung đặt tại điểm ξ = 
0, được đưa về bài toán tìm giới hạn của 
chuỗi các tải phân bố đều cường độ qv đáp 
ứng các điều kiện sau: 
1. Với mỗi M >0 sao cho 
,.a M b M≤ ≤ trong đó a, b và v là các 
hằng số phụ thuộc M, ta có thể xác định. 
( )
b
v
a
q dξ ξ∫ 
2. Với a và b khác 0, ta có 
( )
0 ( 0, 0....... . . . . .. . . )
lim
1
. .
............ . .( 0 ). .
b
vv
a
a b a b
q d
a b
ξ ξ
→∞
〈 〈 〈 〈
=  〈 〈
∫ 
Hàm qv có các tính chất này được gọi là 
hàm số Dirac δ trong lý thuyết các hàm tổng 
quát [4]. Do đó, định nghĩa ở đây được áp 
dụng cho bài toán vỏ chịu lực tập trung mô tả 
bằng hàm Dirac δ. Chuỗi các hàm qv được 
gọi là chuỗi kiểu δ. 
Ta hãy tìm hiểu về khái niệm moment 
tập trung. Moment tập trung là giới hạn v→∞ 
của tải phân bố với cường độ qv , ứng xử của 
hàm được cho trên hình 1. 
Hình 1 
Các nhánh của hàm qv ở bên phải và bên 
trái điểm ξ=0, có dạng hàm Delta δ. Ta giả 
thiết rằng khi v→∞ các tải trọng này có 
cường độ không thay đổi và liên tục tới điểm 
ξ=0, và có trị số bằng 0 ở gốc tọa độ. 
Kết quả ta thu được phương trình: 
( ) ( )..... . . . . .......l ...im 1 0 (1.... )
b
vv
a
q d a bξ ξ ξ
→∞
= 〈 〈∫ 
Và kèm theo điều kiện: 
( ) ..... . . . .lim 0 ( 0 ............) (2)....
b
vv
a
q d a bξ ξ
→∞
= 〈 〈∫ 
Sử dụng phương pháp tích phân từng 
phần, từ (1) ta nhận được. 
( ) .....lim 1 ................. (. 3)
b b
vv
a a
d q dξ η η
→∞
= −∫ ∫ 
Trên cơ sở của (2) và (3) ta sẽ có. 
lim '(0)vv q δ→∞ = − 
Ở đây δ’ biểu thị đạo hàm của hàm δ, 
theo [4] được định nghĩa như sau: 
Giả sử φ(ξ) là hàm bất kỳ thuộc lớp thứ k 
(k≥2) các hàm tường minh. Ngoài ra, ta giả 
sử rằng: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0....... . . .' .
d
c
f d c dξ ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ= − 〈 〈∫ 
Trong đó f(ξ) = δ’(ξ-ξ0). Để thấy là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ............' .. 4
b
v
a
q dξ ϕ ξ ξ ϕ ξ= −∫ 
Vậy, tích phân từng phần (4) cho ta: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 
99 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )...............................
lim lim
li. m '. .
b
b
v v av v
a
b
vv
a a
q d q d
d q d
ξ
ξ ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ
ϕ ξ ξ η η
→∞ →∞
→∞
=
−
∫ ∫
∫ ∫
Biểu thức thứ nhất ở vế phải bằng 0 theo 
(2), biểu thức thứ hai bằng với φ’(0) theo (3), 
với a và b tùy ý. Để giải bài toán uốn vỏ, ta 
sử dụng hệ tọa độ trực giao (α, β). Với giả 
thiết là các lực tập trung đơn vị và của 
moment tập trung đơn vị phân bố dọc theo 
các đường tọa độ α và β, chúng có thể được 
mô tả nhờ các toán tử sau: 
2 2
1..... ... 1, ..,
AB AB AB
δ δ δ
β α
∂ ∂
−
∂ ∂
Trong đó A và B là các hệ số của dạng 
toàn phương thứ nhất, phương trình mặt giữa 
của vỏ. Ở đây, chúng ta giả định rằng mặt 
trung gian của vỏ được xét trong hệ tọa độ 
trực giao liên hợp. Các phương trình vi phân 
cân bằng và chuyển vị của vỏ có thể được 
biểu diễn dưới dạng sau: 
2
11 12 13
2
21 22 23
2
31 32 33
0 '
.
1-w = -
2Eh
1-w = - (5)........
2Eh
1-w = -
2E
.
h
ik ik ik
u v X
u v Y
u v Z
σ
σ
σ
∆ + ∆ + ∆
∆ + ∆ + ∆
∆ + ∆ + ∆
∆ = ∆ + ∆
Trong đó: 
u, v và w: Các hàm chuyển vị; 
X, Y và Z: Các tải trọng; 
 0ik∆ : Các toán tử có chứa các đạo hàm 
bậc cao; 
'
ik∆ : Các toán tử liên quan đến các điều 
kiện còn lại. 
Biểu diễn của toán tử ik∆ trong các phương trình cân bằng cho trong [9]. Dạng ma trận 
của các toán tử 0ik∆ như sau: 
2
2 2 2
1 1
1
2
2 2 2
2 2
2
2
................................... .............................
........... ...................................
1
2
.. ..............
3
1
2 3
..
hp D D q D D
R
hq D p D D D
R
h
αα ββ αβ α
αβ ββ αα β
σ
σ
− + ∆ 
 
− + ∆ 
 
2 2
3 3 2
1 2
(6)
1 1 1 1
3
.....................................
.......... ......
2 3 2
......
3
h hD pD D pD
R Rα αββ β ααβ
σ σ   − −
∆ + ∆ − ∆   
   
Trong đó: 
2
21 3i i
hp
R
= + , 
2 2
2
1 2
1 1
2 3 2 3i i
h hq
R R R
σ σ+ −
= + − (i=1, 2) 
1 2
1 1p
R R
= − , 
2 2
2 2 2 2
1 1
A Bα β
∂ ∂
∆ = +
∂ ∂
, 
2
3
1 2
1
3
hp
R R
= + 
Ngoài ra: 
1D
Aα α
∂
=
∂
, 
2
2
2 2
1D
Aαα α
∂
=
∂
, 1 ,....D
Bβ β
∂
=
∂
R1 và R2 là bán kính cong; 2h là bề dày của vỏ. Giả sử rằng A và B ≠ ∞ . 
Ta sẽ biểu diễn lik là các toán tử đại số tương đương của 0ik∆ trong ma trận 
0
ik∆ và ta có 
dạng sau đây của ma trận ikl . 
 100 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 
2 2
2 2 2 2 2 2 2
13
1
2 2
2 2 2 2 2 2 2
23
2
2 2
2 2
31
1 2
... ...
... ...
...
1 1 1, ,
3 2 3 2 3 2
1 1 1, ,
3 2 3 2 3 2
1 1,
3 2 3 2
h h hD D D D D r D
R
h h hD D D D D r D
R
h hD D r D D D
R R
αα ββ αβ α αα ββ
αβ ββ αα β ββ αα
α αα ββ β
σ σ σ
σ σ σ
σ σ
 − + − + ∆ − ∆ − + ∆  
   
 + − − − ∆ + ∆ − + ∆  
   
 − −
− + ∆ − 
 
2 2 2
32
1,
2
...r Dββ αα
σ  −
+ ∆ ∆ 
 
Trong đó: 
13 23
2 1 1 2
..1 3 1 3,
2 2
..r r
R R R R
σ σ− −
= − = − , 31 32
2 1 1 2
....1 1 1 1,
2 2
r r
R R R R
σ σ+ +
= − = − 
Hệ phương trình cân bằng là hệ các 
phương trình vi phân dạng elliptic và toán tử 
elliptic Λ có dạng: 
( )0 4 4 4 22 3 11 22 3ik
h p D p D p Dαααα ααββ ββββ
σ−
Λ = ∆ = + + ∆ 
Ở đây, ta bỏ qua vô cùng bé bậc cao 
2 ../ 3 ( , 1, 2)i kh R R i k = vì chúng nhỏ hơn 1. 
Sau đó ta đặt: 
2
4................1 (7)
2
...
3
..hσ−Λ = ∆ 
Ta sẽ giới hạn ở bài toán vỏ chịu lực tập 
trung có phương song song với trục tọa độ. Ở 
vế phải của phương trình (5), ta thay 
./ , 0.X AB Y Zδ= = = và ta thu được 
nghiệm của hệ phương trình: 
2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
2
0
0
u v w
Eh AB
u v w
u v w
σ δ−
∆ + ∆ + ∆ = −
∆ + ∆ + ∆ =
∆ + ∆ + ∆ =
Sử dụng lời giải của Levi [5], ta có thể 
biểu diễn các hàm chuyển vị u, v, w dưới 
dạng sau: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
11 0 0
11 1 0 0
12 0 0
12 2 0 0
13 0 0
13 3 0 0
, , ,
, , , , , ,
, , ,
, ,
....
.... ..., , , , (8)
, , ,
, , , , , ,....
G
G
G
u l
l f d d
v l
l f d d
w l
l f d d
α β α β
α β ξ η ξ η α β ξ η
α β α β
α β ξ η ξ η α β ξ η
α β α β
α β ξ η ξ η α β ξ η
= Φ
+ Φ
= Φ
+ Φ
= Φ
+ Φ
∫∫
∫∫
∫∫
Trong đó fi vẫn là hàm chưa biết, 
( )0 0, , ,α β α βΦ là nghiệm cơ sở của phương 
trình. 
( )0 02
2 ,
1
Eh AB δ α β
σ
− ΛΦ =
−
Levi đề xuất phương pháp tổng quát để 
tìm Φ . Đối với trường hợpΛ có dạng (7) thì 
phần chính của nghiệm cơ sở ψ , là phần có 
chứa số mũ cao nhất, ta có: 
( )
( ) ( )
6 2
3
2 22 2 2
0 0
3 ln
36 64 2 1
r r
h
r A B
ψ
π σ
α α β β
= −
× × +
= − + −
Đặt φ ψ= −Ψ . Trong đó, Ψ chứa các 
kỳ dị bậc thấp.Ψ có thể tồn tại trong các biểu 
diễn khác nhau, ở các dạng khác nhau, chẳng 
hạn như: 
( )
( )
4 2 2 2 2
22 2 2 2 2
0
2 2 2
3
ln , ln...
..
4 64 32
ln ln
64 32
6ln ,
1
.
8
r r r r
D r r A r
D r
h
αα
αα
χ χ
ψ ψ
π π
χ χ
ψ α α
π π
χ
ψ χ
π σ
∆ = − +Ψ ∆ = − +Ψ
×
∆ = − − − +Ψ
∆ = − +Ψ =
+
Các biểu diễn của ψ∆ và 2ψ∆ trong tọa 
độ cong β có thể thiết lập một cách tương tự. 
Để xác định các hàm ẩn fi ta xây dựng hệ 
phương trình tích phân Fredholm loại hai 
bằng cách thay (8) vào các phương trình thứ 
nhất. Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề ta 
quan tâm vì mục tiêu của nhóm tác giả là tìm 
ra những kỳ dị cơ bản chứa ở vế phải của (8). 
Trong trường hợp hệ phương trình ban đầu 
chứa các hệ số cần xác định thì các biểu thức 
11 12 13, , w.. . l. =u l v lφ φ φ= = sẽ cho ta nghiệm 
của bài toán. 
Việc tìm nghiệm của hệ phương trình có 
các hệ số biến thiên sẽ được tiến hành tương 
tự tại các điểm lân cận với điểm đặt lực tập 
trung. Bers [8] đã xác định được kỳ dị chứa 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 
101 
trong nghiệm của hệ phương trình vi phân có 
các hệ số biến thiên trong miền lân cận của 
lực tập trung, kể cả các kỳ dị có trong 
nghiệm cơ sở của phương trình vi phân hệ số 
hằng và kỳ dị bậc thấp hơn chứa trong các hệ 
số chính. 
Các trường hợp còn lại (cho các lực tập 
trung Y và Z) có thể tiến hành tương tự. Kết 
quả tính toán cho trong bảng 1. Ta xét bài 
toán vỏ chịu tác dụng của moment tập trung, 
khi xem tải trọng này là giới hạn của một tải 
phân bố đều, ta có hệ phương trình sau: 
11 12 13 1
21 22 23 2
2
31 32 33
..........
.... ...
1w=0 (M )
1w=0 (M ) (9)
1-w= ( 1,2)
2E
...
h i
u v D
AB
u v D
AB
u v M i
β
α
δ
δ
σ
∆ + ∆ + ∆ =
∆ + ∆ + ∆ = −
∆ + ∆ + ∆ =
Trong đó M1 là moment đặt trên đường 
tọa độ α, còn M2 là moment đặt trên đường 
tọa độ β. Hệ phương trình (9) có thể giải 
bằng phương pháp tương tự. Bây giờ ta tìm 
nghiệm của phương trình. 
2
1
1
2 i
M
Eh
σ−
ΛΦ = 
Theo lý thuyết hàm tổng quát, nếu ϕ là 
nghiệm cơ sở của phương trình φ δΛ = , thì 
/φ α∂ ∂ sẽ là nghiệm của phương trình 
/φ δ αΛ = ∂ ∂ . Ở đây, các phần chính của 
nghiệm trong một vài trường hợp có thể thu 
được bằng cách, tách các phần chính của các 
hàm uz , vz và wz ứng với vỏ chịu lực tập 
trung Z, chứa trong vế phải phương trình thứ 
ba của (9). Khi đó, lời giải bài toán sẽ nhận 
được khá dễ dàng. Chẳng hạn, khi vỏ chịu 
moment tập trung đặt dọc theo đường tọa độ 
α, thì lời giải có dạng 
1 1 1 1,.., , ,..,..z z z zu D u w D w T D T H D Hβ β β β= = = =
với T1,H1 là các ứng suất và moment trong 
vỏ. Moment dọc theo đường tọa độ β có thể 
xác định nhờ các liên hệ 
1 1,...,z zu D u H D Hβ α= − = − . 
Xét các phương trình cho vỏ mỏng có độ 
cong Gausian (tương ứng với trường hợp 
phương trình vi phân có dạng elliptic). Ta có 
nhận xét là ma trận của toán tử của hệ ik∆ bao 
gồm các ma trận chính và ma trận phụ, với 
0 '
ik ik ik∆ = ∆ + ∆ . Trong các phương trình vi 
phân cân bằng theo chuyển vị [9] ta hãy viết 
ở dạng ma trận. 
2 2 2
1 2
0 2 2 2
1 2
11
1 2 1 2
......... .......
..... ........ ...
... ..
1 1 1
2 2
....
1 1 1
2 2
1 1 2......
ik
D D D D
R R
D D D D
R R
D D r
R R R R
αα ββ αβ α
αβ αα ββ β
α β
σ σ σ
σ σ σ
σ σ
 − +
+ − + 
 
 + −
∆ = + − + 
 
   
− + − +   
   
Trong đó ma trận đại số lik là ma trận đối 
xứng trong trường hợp nhất định, nghĩa là lik 
= lki; 1, k=1, 2 và các phần tử của nó có 
dạng: 
( )
( )
2 2 2 2
11 11 122
1
2 2
13 13
1 2
2 2
22 112
2
2 2 2
23 23 33
2 1
.....
.....
1 11 ,
2
1 1
2
11
1 1 1,
2 2
l r D D l p D
R
l D D r D
R R
l D r D
R
l D r D D l
R R
αα ββ αβ
α αα ββ
αα ββ
β αα ββ
σ σσ
σ σ
σσ
σ σ σ
 + −
= − + = − 
 
  −
= + +  
  
 +
= − + 
 
  − −
= + + = ∆  
  
11 132 2
1 1 2 2 1 2
23
2 1
..1 1 2 1 2 1, ,
2
2 1
..r r
R R R R R R
r
R R
σ σ
σ
  +
= + + = − 
 
+
= −
Hàm 0ikΛ = ∆ và có dạng: 
( )( ) 22 2 2
2 1
1 1 1 1
2
D D
R Rαα ββ
σ σ− −  
Λ = + 
 
 102 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 
Bảng 1 
 X Y Z 
u 21 ln rχ− 2 2
xy
r
χ 
( )
(1)
3 13
2 2 2 21 / ln
D m
py r r r
αχ
σ
 −
− + 
v 2 2
xy
r
χ 21 ln rχ− ( )
(1)
3 23
2 2 2 21 / ln
D m
px r r r
βχ
σ
 +
+ + 
w (1) 2 2 2 23 31 2 / lnD m py r r rαχ  −  
(1) 2 2 2 2
3 32 2 / lnD m px r r rβχ  − +  
2 2
4 lnr rχ− 
Trong đó: 
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 3 4 3
1 2
(1) (1) (1) (1)
13 23 31 32
2 1 1 2 2 1 1 2
0 0
3 13 1 1 1 1 1, , , , ,... ..
16 8 64 32
1 1 5
. ... ... ..
... ... .3 1 1 5 3 1 3 2 1 3 2, , ,
2 2
,
.
... ..., .
p
Eh Eh Eh Eh R R
m m m m
R R R R R R R R
x A y B
σσ σ σ σ
χ χ χ χ
π π π π
σ σ σ σ σ σ
α α β β
−− + + +
= = = = = −
   + − + − − −
= − = − = − = −   
   
= − = − ( ) ( )2 0 0r A Bα α β β= − + −
Bảng 2 
 X Y Z 
T1 
( ) 2
2
2.............
1 3 ln
8
2(1 )
D r
y
r
α σπ
σ
− + +

+ + 

( ) 2
2
2............
1 1 ln
8
( ). 2 1
D r
y
r
β σπ
σ
 − −

− + 

( )
(2) 2
13
2 2
4....
1 l 2
4
.
n
1
m r t
x yp
r
π
σ
 − −
 
− +  
 
T2 
( ) 2
2
2............
1 1 ln
8
( ). 2 1
D r
x
r
α σπ
σ
 − −

− + 

( ) 2
2
2.............
1 3 ln
8
2(1 )
D r
x
r
β σπ
σ
− + +

+ + 

( )
(2) 2
23
2 2
4....
1 l 2
4
.
n
1
m r t
x yp
r
π
σ
 + +
 
− +  
 
S1 
( ) 2
2
2.............
1 1 ln
4
2(1 )
D r
y
r
β σπ
σ
− − +

+ + 

( ) 2
2
2.............
1 1 ln
4
2(1 )
D r
x
r
α σπ
σ
− − +

+ + 

( )
2 (2)
33
2 2
1 2
8
1 ln.....
D m t
t r r
αβπ
σ
 + +
+ + 
G1 
]
2
3 (2)
41
2 2.................
24
2 ln
h D m
t r r
αββπ
 +
+
]
2
3 (2)
42
2 2.................
24
2 ln
h D m
t r r
ααβπ
 +
+
( ) 2
2
2.............
1 1 ln
4
2(1 )
r
x
r
σ
π
σ
 + +

+ − 

G2 
]
2
3 (2)
51
2 2.................
24
2 ln
h D m
t r r
αββπ
 −
−
]
2
3 (2)
52
2 2.................
24
2 ln
h D m
t r r
ααβπ
 −
−
( ) 2
2
2.............
1 1 ln
2
2(1 )
r
y
r
σ
π
σ
 + +

+ − 

H1 
( )
2 2
2 2
61 2
2
2 2 2
4 2
1
..............
1ln
6
. 2.
h xD m r
R r
x y yp
r R r
β
σ
π
+− −

+ + 

( )
2 2
2 2
62 2
1
2 2 2
4 2
2
..............
1ln
6
. 2.
h yD m r
R r
x y xp
r R r
α
σ
π
+
−
− −

+ 

2
1
2
xy
r
σ
π
−
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 29-08/2018 
103 
Trong đó: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
13 23 33 41
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2
42 51 52 61 62
1 2 2 1 1 2 1 2 2
.. .. ..1 5 1 3 1 5 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2, , , ,
4 4 2
2 1 2
..
... ... ..
2 11 5 1 3 3 2 3 2 3 3, .., .,.,
x yt m m m m
R R R R R R R R R R
m m m m m
R R R R R R R R R
σ σ σ σ σ σ σ
σσ σ
     + − + − − + −
= + = − = − = + = +     
     
++ −
= − − = − = + = − = −
( )
1
2
R
σ+
Bảng 3 
 X Y Z 
U ( )3 211 1lnm rχ− 
2 1 1
2
1
x yp
r
χ 
( ( )
) ( )
2
3(3) 2 1
13 1 23 2
1
2 1
2
ln
D
ym r m
r
α
χ σ− + −

− − 

V 2 1 12
1
x yp
r
χ ( )3 2
22 1lnm rχ− 
( ( )
) ( )
2
3(3) 2 1
13 1 23 2
1
2 1
2
ln
D
xm r m
r
β
χ σ− + +

+ − 

W 
( ( )
) ( )
2
3(3) 2 1
13 1 23 2
1
2 1
2
ln
D
ym r m
r
α
χ σ− + −

− − 

 ( ( )
) ( )
2
3(3) 2 1
13 1 23 2
1
2 1
2
ln
D
xm r m
r
β
χ σ− + +

+ − 

 2 2 2
1 1ln2
r rχ ∆ 
Trong đó: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 0 1 1 0 1 2 0 1 0
22 2
3 3 1 21 2 (3) (3)2 1 1 2
11 22 13 232 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, ,
1 2 4 1 2 4, , , ,
.... ....
. . . . 2
16
x R A y R B r R A R B
R RR RR R R Rm m m m
R R R R R R Eh R R R R
α α β β α α α α
σ σ χ
π
= − = − = − + −
−−+ +
= + + = + + = = =
Bảng 4 
 X Y Z 
T1 21 1
2
1 ln
4
R D r
R απ
 21
1
2
1 ln
4
R D r
R βπ
− 1 2 2 2
1ln4
R R
D rααπ
− 
T2 22 1
1
1 ln
4
R D r
R απ
− 22 1
1
1 ln
4
R D r
R βπ
 1 2 2 2
1ln4
R R
D rββπ
− 
S1 22 1
1
1 ln
4
R D r
R βπ
 21
1
2
1 ln
4
R D r
R απ
 1 2 2 2
1ln4
R R
D rαβπ
Trong đó: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2 2
1 i 2 i 1 i2 2
2 2.. .. ..2, , ( , , )
3 13
.
1 3 1
.Eh Eh EhG D D w G D D w H D w i X Y Zαα ββ αα ββ αβσ σ σσ σ
= − + = − + = =
+− −
Chú ý: Chỉ số i cho thấy w phải được lấy từ bảng 3 cho lực tương ứng. Ở đây, R1 và R2 
có cùng một dạng. Vì vậy Λ là một toán tử dạng elliptic. 
3. Kết luận 
Phương pháp trình bày ở trên có thể tiến 
hành tương tự như đối với phương trình 
moment. Vì vậy việc làm này có thể bỏ qua. 
Chỉ cần lưu ý một điều là hàm ψ biểu thị 
phần chính của nghiệm cơ sở của phương 
trình. 
21
2Eh AB
σ δ−
ΛΦ = 
Đối với vỏ mỏng, ta có: 
( )
( ) ( )
1 2 2 2
1 1
2 2 2
1 2 0 1 0
ln
16 1
R R
r r
Eh
r A R B R
ψ
π σ
α α β β
=
−
= − + −
 104 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 29, Aug 2018 
Thực hiện tính toán tương tự với các 
phép tính trước, ta thu được các đặc trưng cơ 
bản của các hàm u, v và w (bảng 3). 
Các thành phần biến dạng ε1,,τ có thể 
được xác định bằng cách sử dụng các hàm u, 
v và w. Các ứng suất và moment T1,,H1 
được biểu diễn theo các biến dạng ε1,,τ dựa 
trên các quan hệ của vật liệu đàn hồi. Các kết 
quả cho trong các bảng từ 2 đến 4. 
Kết quả tính toán cho vỏ trụ tròn chịu 
uốn đã được so sánh với các kết quả thu được 
bởi Darevskii [2]. Ở đây, cũng tìm được 
nghiệm tiệm cận cho u, v, T1, T2, S1 và S2 
trong trường hợp vỏ chịu tác dụng của các 
lực tập trung X và Y; trong trường hợp vỏ 
chịu lực Z, ta có kết quả giống như trong [2]; 
các trường hợp còn lại có sự sai khác do đặc 
điểm riêng của từng phương pháp tính toán 
được sử dụng. 
Đối với bài toán vỏ cầu, kết quả của 
nhóm trùng hoàn toàn với [9] 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Gol’ denveizer, A.L, Napriazhennoe sostoianie 
sfericeskoi obolochki (State of stress of a 
spherical shell). PMM Vol. 8, No. 6, 1994. 
[2]. Darevskii, V.M, Nekotorye voprosy teorii 
tsilindricheskoi obolochki (Some problems of the 
theory of a cylindrical shell). PMM Vol.15, No. 
5, 1951; PMM Vol. 27, No. 2, 1953. 
[3]. Chernykh, K.F, Sviaz’ mezhdu dislokatsiiamii 
sosredotochennymi vozdeistviiami teorii 
obolochek (Relation between dislocations and 
concentrated loadings in the theory of shells). 
PMM Vol. 23, No. 2, 1959. 
[4]. Gel’fand, I.M. and shilov, G.E., obobshchennye 
funktsii i deistviia pod nimi (Generalized 
Functions and Operations with them). Fizmatgiz, 
1958. 
[5]. Levi, E.E, O lineinykh ellipticheskikh 
uravneniiakh v chastnykh proizvodnykh (On 
linear elliptic partial differential equations). 
[6]. Ion, F, Ploskie volny i sfericheskie (Plane Wave 
and Spherical Means). IL, 1958. [7]. Lopatinskii, 
Ia.B., Fundamental’naia sistema reshenii sistemy 
lineinykh differentsial’nykh uravnenii elliptickeskogo 
tipa (Fundamental system of solutions of linear 
differential equations of the elliptic type). Dokl. Akad. 
Nauk SSSR Vol. 71, No. 3, 1950. 
[8]. Bers, L, Local behavior of solutions of general 
linear elliptic equations. Math. 8, No. 4, 1955. 
[9]. Gol’denveizer, A.L, Teoriia tonkikh uprugikh 
obolochek (Theory of Thin Elastic Shells). 
Gostekhteoretizdat, 1953. 
[10]. J. Michael Rotter, Adam J. Sadowski, 
Cylindrical shell bending theory for orthotropic 
shells under general axisymmetric pressure 
distributions, (2012). 
[11]. Interlaminar stresses in thick cylindrical shell 
with arbitrary laminations and and boundary 
conditions under transverse loads, (2016). 
[12]. Vincenzo Vullo, Bending theory of circular 
cylindrical shells under axisymmetric loads, 
(2013). 
[13]. S. Jafari Mehrabadi, B. Sobhani Aragh, Stress 
analysis of functionally graded open cylindrical 
shell reinforced by agglomerated carbon 
nanotubes, (2014). 
 Ngày nhận bài: 30/5/2018 
 Ngày chuyển phản biện: 2/6/2018 
 Ngày hoàn thành sửa bài: 22/6/2018 
 Ngày chấp nhận đăng: 29/6/2018