Về một phương pháp tính ổn định giá trị các toán tử tuyến tính không bị chặn

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH ỔN ĐỊNH GIÁ TRỊ CÁC TOÁN
TỬ TUYẾN TÍNH KHôNg bị chặn
NGUYỄN VĂN KÍNH PGS. TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học cơ bản, trường đại học Công nghiệp Thực phẩm thành phố Hồ Chí Minh
Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM TÓM TẮT
Bài báo này nghiên cứu một phương pháp tính ổn định giá trị của các toán tử tuyến tính không bị chặn theo các dữ liệu nhiễu. Phương pháp này là một cải tiến của phương pháp Morozov. Tính ổn định của phương pháp này được thiết lập.
Mở đầu
Bài toán tính gần đúng giá trị của các toán tử không bị chặn là một trong những bài toán quan trọng trong lĩnh vực toán học tính toán.
Giả sử A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tác động từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y với miền xác định D(A) c X và miền giá trị R(A) c Y . Khi đó, tồn tại một dãy xn E D(A),n = 1,2,..., sao cho ||Axn|| ^+<^,n ™. Lấy một phần tử x0 € D(A), kí hiệu y0 = Ax0. Đặt xn ô = x0 + ôxn và yn s = Axn ô, trong đó ô là một số dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta có:
IKs- y0 II = ô II Axll	+~, Vô > 0,
trong khi ||xn ô- x0|| = ô là nhỏ tùy ý. Hơn nữa, ô- xấp xỉ x8e X của x0thỏa ||xs - x0|| < ô, nói chung, xô Ể D(A), do đó không tồn tại giá trị Axô; còn nếu xô E D(A), thì Axô Ax0 khi ô^0, vì toán tử A không bị chặn. Do đó, bài toán tính giá trị của một toán tử không bị chặn là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]).
Trong trường hợp A là một toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y.V.A. Morozov đã đưa ra một phương pháp tính gần đúng Ax0 khi chỉ biết dữ liệu gần đúng xô (xem [15]). Đối với phương pháp này, giá trị gần đúng của y0 = Ax0 là ,Ya = AZa, trong đó Za l2 cực tiểu của phiếm hàm điều chỉnh
$a (z) = 1 z - xs||2 + a|| AzỊỊ2, z € D( A), a> 0	(1.1)
V. A. Morozov đã chứng minh được rằng, nếu a = q(ổ) —> 0 khi ớ —> 0, đảm bảoự= —> 0, thì ysa —> Ax0 khi ố —> 0. Đến nay, người ta đánh giá được bậc hội tụ của dãy {ỉ/ị} (xem [6,15])	x	\	, 4	4.	'	.	/,	,,
Một trường hợp khác, nếu A là một toán tử đơn điệu trên không gian Banach thực phản xạ lồi chặt X vào không gian liên hợp X*. thì người ta định nghĩa giá trị gần đúng của y0 = Ax0 là = —U(xsa — Xs)/a, với x5a là nghiệm duy nhất của phương trình
aAx + u(x — Xj) = 0,
trong đó u : X —> X* là ánh xạ đối ngẫu của không gian X (xem [12, 19, 20]). Khi đó, dãy {ỉ4} hội tụ (theo chuẩn trong không gian liên hợp X*) đến giá trị suy rộng y0 của toán tử A tại Xo nếu a —> 0, Qí —> 0, (xem [2]).
Trên thực tế, các dữ liệu chính xác, là toán tử A và Xo E D(Á) có được thông qua thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ...), do đó có sai số, nên thường chỉ biết gần đúng. Do đó, cần phải đưa ra một phương pháp tính ổn định giá trị của toán tử A tại điểm Xo, nếu chỉ biết các dữ liệu gần đúng của A và Xo, cụ thể như sau:
Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. cần đưa ra một phương pháp tính giá trị gần đúng của toán tử A tại điểm Xo G D(A) khi chỉ biết các dữ liệu gần đúng của chúng là toán tử Ah và x<5 G X thoả điều kiện:
||x 0,	(1.2)
trong đó Ah cũng là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y.
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp tính gần đúng giá trị của toán tử A tại điểm Xo G D(A) thông qua các dữ liệu gần đúng được cho bởi (1.2); đồng thời xét tính ổn định phương pháp này.
Cấu trúc của bài báo gồm 4 phần: Phần 1 dành cho việc đặt bài toán; phần 2 dành trình bày một phương pháp tính gần đúng giá trị của một toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trên không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y; phần 3 trình bày một phương pháp tính gần đúng giá trị của một toán tử đơn điệu hemi liên tục trên các không gian Banach thực phản xạ với không gian liên hợp là E— không gian, khi chỉ biết dữ liệu gần đúng thoả (1.2) và phần 4 trình bày một ví dụ minh hoạ.
Phương pháp tính ổn định giá trị của toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật
Trong mục này, chúng ta giả sử A : D(A) c X —> Y là một toán tử tuyến tính đóng tác động từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert y, có miền xác định D(A) trù mật trong X và Xo G D(A). Ta gọi (H, Xo) là dữ liệu chính xác.
ở đây thay vì biết dữ liệu chính xác (A,Xo), ta chỉ biết dữ liệu gần đúng (Aft,xj) của nó thoả điều kiện (1.2), trong đó Ah cũng là toán tử tuyến tính đóng tác động từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y, có miền xác định D(Ah) = D(A),\/h > 0, trù mật trong
Chúng ta đưa ra một phương pháp tính giá trị gần đúng của toán tử A tại điểm Xo thông qua dữ liệu gần đúng (Ah,Xg), như sau:
Trước tiên, chúng ta xác định phiếm hàm điều chỉnh
$a(*) = \\z - x5||2 + a ||4ftz||2 ,\/z E D(Ah),	(2.1)
trong đó a > 0 được gọi là tham số điều chỉnh và kí hiệu A = (À, ổ, aỴ
Tiếp theo, chúng ta xác định giá trị gần đúng của y0 = Ax0 là = Ahz&, trong đó ZA là cực tiểu của phiếm hàm điều chỉnh $a(z) trên miền xác định D(Ah) của toán tử Ah.
Định lí 2.1. (xem [9]) Mỗi A = (À, ổ, a), bài toán cực tiểu (2.1) tồn tại duy nhất nghiệm
trong đó = (/ + AftAh)1.
Vì Ah là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X nên Ah và AhAh là hai toán tử tuyến tính hên tục trên cả không gian X và Ah tự hên hợp, có tập phổ cr(Hfe) c [0,1] (xem [16], trang 308).
Để biểu diễn một số công thức ngắn gọn hơn, bằng cách đưa ra hàm số
Ta(í) = [q + (1 — «')/] 1, a > 0, t E [0,1].
Khi đó, ta có
yA = AhẲhTa(Ẳh)xs.	(2.5)
Ta kí hiệu
Vh,a = AhẦhTa^Ầh)xữ.	(2.6)
Bổ đề sau sẽ được sử dụng trong phép chứng minh Định lí 2.2.
BÓ đề 2.1. Với cấc giả thiết đã cho đối với toán tử nhiễu Ah, ta nhận được
AhAh — AhAh,
trong đó Ầh = ự + AhA))1.
Chứng minh. Ta kí hiệu
G(A) = {(x,Ahx) : X E D(Ah)}
VG^ = {(-Aly,yy.yED^}.
Vì Af, là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X nên G(Ah) và VG(A^) là hai phần bù trực giao với nhau trong không gian Hilbert tích X xY (xem [16], trang 307). Do đó, mỗi z E X, có phân tích duy nhất dưới dạng
(z, 0) = (x, Ahx) + (~A*hy, y), với X E D(Ah),y E D(A*h),	(2.7)
nên
Z = X- A*hy, 0 = Ahx + y.	(2.8)
Suy ra
X E D(A*hAh) và x + A*hAhx = z.
Do tính duy nhất của phân tích (2.7), nên X xác định duy nhất theo z và vì thế nên tồn tại toán tử ngược (I + A*hAh)~l xác định trên X.
Lập luận tương tự như trên, ta cũng chứng minh được tồn tại toán tử ngược (I + AhAfr)-1 xác định trên Y.
Từ đẳng thức (2.8) suy ra
Ahự + A^Ah) 1 = Ự + AhA*^) 1Ah,
tức là AhẰh = ẦhAh.
Hơn nữa, Ah, Ah là hai toán tử tuyến tính bị chặn và
(xem [16], trang 308).
Định lí 2.2. Nếu D(AhA*hAh) = D(AA*A),\/h > 0, Xo E D(AA*A), và a = a(h,ỏ) —> o,ỏ2/a —• 0, khi h,ỗ —> 0 thì dẫy {?/a} hội tụ đến Ax0.
Chứng minh. Đặt cư = (I + AhA*h)Ahx0- Khi đó Ahx0 = Âhw. Vì AhẦh = ẦhAh (Bổ đề 2.1) và Ahxữ = Ah(jj nên ta có
yh,a-Ahxữ = Ah (X - ịal + (1 - OỘĂ]) (al + [(1 - a) x0
= a(Ah — I)Ta(Ah)AhW.
Vì ||rQ,(Âft)ÂftII 0, nên từ đẳng thức trên suy ra
linWfoa = Ahx0,Vh > 0.
a—>0
Mặt khác, vì ||7k(Ăfe)|| < nên ta có
Il?/A - ?/h,a||2 = (^AhẢhTa(Ảh)(xs - x0),AhẢhTa(Ảh)(xs - X()ộ = ^A*hAhẢhTa(Ảh)(xs - x0),ẢhTa(Ảh)(xs - XũỶỳ = (ự - Ẳh)Ta(Ảh)(xs - Xo),ẦhTa(Ảh)(xs - Xo)\
Suy ra
I|?/A - yh,a\\ —* 0, khi a(h, ỏ) —* 0,	—> 0.	(2.9)
a
Ta có
||?/A-Aa;o|| < Il?/A - yh,a\\ + \\yh,a - AuEoll + IIA^O - Aroll	(2.10)
< Il?/A - Vh,a\\ + \\yh,a - A^oll + h.
Từ (2.10) suy ra
7/A —> Ax0, as h, ô —> 0, a —> 0.
Định lí được chứng minh xong.
Chúng ta lấy
Z/A = AhẢh ^al + (1 - Oí)Ă] xs, với A = (h, ô, a),
là giá trị gần đúng của toán tử A tại điểm x0.
Như vậy phương pháp tính giá trị gần đúng của toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong không gian Hilbert X theo các dữ liệu theo (1.2) đã nêu ở trên, là ổn định.
Nhận xét 2.1. Nếu toán tử A biết chính xác, còn x0 chỉ biết gần đúng bởi Xs, thoả điều kiện
ll^ố - ^o|| <	0,
thì giá trị gần đúng của toán tử A tại điểm x0, theo phương pháp đã nêu ở trên là
yỗa = Aự + aA*Ã) ìxg.
Đặt
ya = AẢTa(Ầ)x0.
Khi đó, theo dõi phép chứng minh Định lí 2.2, ta suy ra
Do đó, ta nhận được đánh giá tốc độ hội tụ như sau:
Kết quả này như trong bài báo [6].
Phương pháp tính ổn định giá trị toán tử đơn điệu Hemi liên tục
Trong mục này, ta coi X là một không gian Banach thực phản xạ lồi chặt có không gian liên hợp X* là một E— không gian. Giả sử A : X —> X* là một toán tử đơn điệu hemi liên tục trên miền xác định D(A) c X vào X* (có thể là toán tử đơn trị hoặc đa trị) và y là một phần tử cho trước thuộc X*. Khi đó, ta xét ba bài toán sau đây:
Tìm nghiệm của phương trình
Ax = y,	(3.1)
Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân
{Ax — y,x — z) 0, v.x G D(A),	(3.2)
Tính giá trị của toán tử A tại điểm Xo G X, với A và Xo chỉ biết gần đúng.
Ba bài toán này là đối tượng nghiên cứu chính của lý thuyết về các bài toán không ổn định. Trong [2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15] đã nghiên cứu tìm nghiệm gần đúng của các bài toán trên cho một lớp toán tử đơn điệu đặc biệt.
Như chúng ta đã biết (xem [1]), nghiệm của (3.1) là phần tử X € D(A) thoả Ax — y nếu A là đơn trị và là phần tử y G Ax nếu A là toán tử đơn điệu cực đại (có thể đa trị); còn nếu A là toán tử đơn điệu tuỳ ý thì nghiệm của (3.1) là phần tử X e X thoả
(Ax — y,x — x)	D(Á).	(3.3)
Khi đó, người ta nói X là nghiệm suy rộng của phương trình (3.1).
Ta cũng đã biết (xem [1]), nếu A là toán tử hemi liên tục và D(A) là tập mở hoặc là tập trù mật trong X, hoặc nếu A là toán tử đơn điệu cực đại, thì nghiệm suy rộng X trùng với nghiệm tương ứng X, và (3.3) tương đương với bao hàm thức y G Ax.
Trong mục này ta sẽ đưa ra một phương pháp tính tính giá trị của toán tử A tại điểm Xo khi chỉ biết các dữ liệu xấp xỉ Ah,xg của A và Xo tương ứng thoả (1.2), trong đó Ah cũng là toán tử đơn điệu hemi liên tục tác động từ X vào X* với miền xác định D(Ah) = D(Á) = X.
Ta kí hiệu tập hợp các giá trị của toán tử A tại điểm Xo
Rxo = {y £ X* ■ y £ Ax0},
và kí hiệu
MXo = {y E x*| (Ax -y,x-x0}^ 0,Vrr G X} .
MXo được goi là tập các giá trị suy rộng của toán tử A tại điểm xữ. Khi đó, đễ thấy
Rxữ c MXữ.
Bổ đề 3.1. (xem [9]) Mxo là một tập lồi đóng trong X*; hơn nữa, tồn tại duy nhất một phần tử Vo G MXn sao cho
Vì X là một không gian Banach thực phản xạ lồi chặt có không gian liên hợp X* là một E— không gian, nên theo [12, 19, 20], ánh xạ đối ngẫu u của không gian X và ánh xạ đối ngẫu V của không gian đối ngẫu X*
u :X —> X*, V > X,
là các toán tử đon điệu ngặt, đon trị, thuần nhất, hemi hên tục và thoả điều kiện
VUx = X, Vx G X; UVy = yyy G X*.
Ta xét phương trình
aAfrX + u(x — xị) = 0, a > 0.	(3.4)
Định lí sau nói về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của phương trình (3.4).
Định lí 3.1. Với các giả thiết cho ở trên đối với các không gian X, X* và toán tử Ah, thì mỗi A = (À, ỏ, q) cho trước, phương trình (3.4) tồn tại duy nhất nghiệm X/ỵ.
Chứng minh. Ta gọi Ah là toán tử đơn điệu cực đại mở rộng của Ah (theo bổ đề Zorn thì tồn tại toán tử AỴ Do đó, toán tử aAhx + u(x — %s) cũng là một toán tử đơn điệu cực đại (xem [17]) và từ định lí Browder (xem [5]) suy ra phương trình (3.4) tồn tại nghiệm ĨA, (tức là, 0 G Af/XA + [/(Ta — xg)Ỵ Từ đó suy ra
(aAhx + u(x — Xj), X — Ta) V 0, Vx G X.
Do đó, Ta trùng với nghiệm suy rộng của phương trình (3.4).
Vậy, mỗi A = (À, ố, Of) cho trước, phương trình (3.4) có duy nhất nghiệm Xa = Ta
Ta xét dãy
?/A =-[/(ax - at5)/a-	(3.5)
Từ sự tồn tại duy nhất của :Z’A suy ra Ỉ/A được xác định duy nhất theo A = (À, ố, Of). Rõ ràng Ỉ/A e Ầhx/,.
Ta sẽ gọi Ỉ/A là giá trị gần đúng của toán tử đơn điệu hemi hên tục A tại điểm x0 tính theo dữ liệu gần đúng (Ah,xg) của (A,x0).
Định lí 3.2. Với các giả thiết đã cho ở trên đối với các không gian X, X* và toán tử Ah, nếu a(h, Ỗ) —> o,ỗ/a —> 0, khi /i, ớ —> 0, thì dãy {ỉ/a} hội tụ đến giá trị suy rộng yo G MXữ của toán tử A tại điểm x0.
Chứng minh. Tác động ánh xạ đối ngẫu V : X* —> X vào (3.5), ta nhận được
aVy& + (xa - xỗ) = 0.	(3.6)
Ta kí hiệu M^o là tập hợp các giá trị suy rộng của toán tử Ah tại điểm Xo, tức là
Mx0 = {yh e X* : (Ahx -yh,x -Xo) > 0,Vi E X} .
Theo [2] thì A//o í 0.
Từ (3.6) suy ra
- Vh,x& - xữ) + (ỉ/A -yh,xo~xs) + a{y&- yh,Vy&} = ũ,Vyh G M%0.	(3.7)
Vì (xo, yù) E grẨh nên
(z/A - yh, Xa - Xo) 0.	(3.8)
Từ (3.7) và (3.8), suy ra
(z/A - yh, Xo -x5) + a (yA - yh, Vy&) < 0,
do đó,
a IIVy&II2 - a ||yft|| IIVyAII - Il?/A - yh\\ ||íEo - M < 0,
hay
a II^aII2 - (a ||ỉfo|| + ổ) ||ỉ/a|| - ô llỉ/hll < 0,\/yh G M*o.	(3.9)
Từ (3.9), suy ra
IIỉ/aII < 11^11+25/0,7^ G M^o.
Từ (1.2) và nhận xét ỏ đầu mục này, suy ra
\\yh - 2/11 < G MXo,Yyh G MXq.
Do đó,
||ỉ/a|| < \\y\\+2ỏ/a + h,Vy e Mxo,
suy ra
||ỉ/a|| 0.	(3.10)
Vì X* là E— không gian nên từ (3.10) và sử dụng kết quả trong [2], suy ra dãy {y&} hội tụ đến y0 khi a(h, ỏ) —> o,ỏ/a —> 0, h,ỗ —> 0.
Định lí được chứng minh xong.
Như vậy, chúng ta đã đưa ra một phương pháp tính gần đúng giá trị của một toán tử đơn điệu hemi liên tục theo các dữ liệu gần đúng của nó được xác định bởi (1.2). Phương pháp này ổn định đối với bài toán đã cho.
Ví dụ minh họa
Trong mục này, ta đưa ra một ví dụ cụ thể minh hoạ cho phương pháp tính giá trị của một toán tử không bị chặn đã trình bày ỏ phần 2.
Giả sử A là toán tử đạo hàm yếu trong không gian Hilbert L2(R). Khi đó, A là toán tử tuyến tính không bị chặn xác định trên không gian Sobolev /f1(R) của các hàm số có đạo hàm yếu (trong Z/2(R)), được cho bởi
Bài toán đặt ra là cần tính giá trị gần đúng của A tại một điểm Xo E H1(R), khi chỉ biết những dữ liệu gần đúng Xg G L2(R) và Ah, trong đó Ah cũng là toán tử đạo hàm yếu xác định trên H1(R) được cho bởi
dx
AhX —
dt
thoả các điều kiện
ll^á — •'z;o|| < b, ịịAhx — Ac|| < h,\/x G //* (DT).	(4-1)
Giá trị gần đúng của toán tử A tại x0, tính theo các dữ liệu gần đúng (xg, Ah) thoả điều kiện (4.1), được xác định bởi (2.3). Bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier, (2.3) có thể viết lại dưới dạng
cra(s - t)rrổ(í),
trong đó nhân ơa được cho bởi
TÀI LIÊU THAM KHẢO
A. Abramov and A. N. Gaipova, (1972) The existence of solutions of certain equations that contain monotone discontinuous transformation, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz, 12(1).
Ya. I. Al’ber and p. Ryazantseva, (1979) Solution of nonlinear problems involving monotonic discontinuous mapping, Diff. Uravneniya, 15(2).
F. E. Browder, (1966) Existence and approximation of solution of nonlinear inequalities, Proc. Nation. Acad. Sci. USA, 56(4).
F. E. Browder, (1966) On the unification of the calculus of variations and the theory monotone nonlinear in Banach spaces, Proc. Nation. Acad. Sci. USA, 56(2).
F. E. Browder, (1968) Nonlinear maximal monotone operators in Banach spaces, Math. Ann., 175(2).
c. V. Groetsch and o. Scherzer, (1993) The optimal order of convergence for stable evaluation of differential operators, Elec. J. Diff. Eqns. No. 04, 1-10.
J. Hadamard, (1902) Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique, Bull. Univ. Princeton, No. 13.
Nguyễn Văn Kính, Nguyễn Minh Chương and R. Gorenflo, (1996) Regularization method for nonlinear variational inequalities, Tuyển tập các báo cáo khoa học, Hội thảo Khoa học "Tối ưu và Điều khiển", Quy Nhơn 27/5 - 01/6/1996, trang 53-64.
Nguyễn Văn Kính, (2001) On the stable method of computing values of unbounded operators, Thông báo khoa học Trường Đại học Sư phạm Quy Nhơn, số 14, trang 27-38. (The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Italy, Preprint: IC/98/45. Available at:  ictp.trieste.it).
Nguyễn Văn Kính, (2007) Lavrentiev regularization method for nonlinear ill-posed problems, Tạp chi Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, số 1, trang 13-28.
Nguyễn Văn Kính, (2013) về một phương pháp tính gần đúng giá trị của toán tử không bị chặn, Hội nghị Khoa học và Công nghệ lần thứ 13 (Phân ban Toán ứng dụng), 31/1001/11/2013, Nxb Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, 74-80.
J. L. Lions, (1972) Methods of solution of nonlinear boundary-values problems, Mir, Moscow, (Russian translation).
o. A. Liskovets, (1983) Regularizaion problem with monotone discontinuous perturbations of operators, Dokl. Akad. Nauk USSR, 272(1).
o. A. Liskovets, (1983) Solution of the first kind operator equations with non-monotone perturbations, Dokl. Akad. Nauk USSR, 272(2).
V. A. Morozov, (1984) Methods for solving incorrectly posed problems, Springer-Verlag, New York.
s. Riesz and B. Sz-Nagy, (1955) Functional analysis, Ungar, New York.
R. T. Rockafellar, (1970) On the maximality of sum of nonlinear monotone operators, Ann.
Math. Soc., 149(1).	
A. N. Tikhonov and V. Ya. Arsenin, (1971) Methods of solving incorrectly posed problems, Nauka, Moscow, (in Russian).
I. M. Vaiberg, (1972) The variational method and the monotonic-operator method, Nauka, Moscow, (in Russian).
E. Zeidler, (1989) Nonlinear functional analysis and its applications II/B (nonlinear monotone operators), Springer-Verlag.
ON THE STABLE METHOD OF COMPUTING VALUES OF
UNBOUNDED OPERATORS
ABSTRACT
In this paper we shall be concerned with the stable method of computing values of unbounded linear operators having perturbations. The method is a modification of the Morozov method. The stability is established for this method.