Thiết kế tối ưu bộ giảm chấn động lực cho hệ chính có cản chịu kích động xoắn sử dụng tiêu chí bình phương tối thiểu cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 44.2018 64
KHOA HỌC
THIẾT KẾ TỐI ƯU BỘ GIẢM CHẤN ĐỘNG LỰC 
CHO HỆ CHÍNH CÓ CẢN CHỊU KÍCH ĐỘNG XOẮN 
SỬ DỤNG TIÊU CHÍ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU 
CHO PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG 
OPTIMAL DESIGN OF DYNAMIC VIBRATION ABSORBER FOR DAMPED PRIMARY SYSTEM UNDER TORSIONAL 
EXCITATION USING EQUIVALENT LINEARATION METHOD BASED ON LEAST SQUARE CRITERION 
Vũ Đức Phúc1,2,*, 
Lê Văn Thoài2, Nguyễn Quốc Dũng3 
TÓM TẮT 
Dao động xoắn xuất hiện nhiều trong máy và thiết bị, người ta thường làm giảm dao động này bằng phương pháp cân bằng động. Có rất ít nghiên cứu sử dụng 
TMD (tuned mass damper) để giảm dao động này, đặc biệt với hệ chính có cản, nguyên nhân có thể do giải pháp giải tích cho hệ chính có cản là rất khó khăn hoặc kết 
quả thu được rất phức tạp khó sử dụng trong thực tế. Mục tiêu của bài báo này cung cấp một hướng tiếp cận đơn giản để xác định một giải pháp phân tích xấp xỉ sử
dụng tiêu chuẩn tối ưu H∞ cho các bộ giảm chấn động lực gắn trên hệ chính có cản chịu kích động xoắn. Ý tưởng chính của nghiên cứu này là thay thế xấp xỉ hệ chính 
có cản ban đầu bằng một hệ không cản tương đương sử dụng tiêu chí bình phương tối thiểu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương, dạng biểu thức giải tích 
tường minh được đưa ra cho việc thay thế này. Các tham số tối ưu của bộ giảm chấn động lực tiếp tục được tìm dựa trên kết quả giải tích đã biết từ phương pháp hai
điểm cố định, kết quả giảm dao động của hệ chính được xác nhận dựa trên đáp ứng tần số và đáp ứng thời gian của hệ đã cho thấy hiệu quả mạnh mẽ của giải pháp 
này cho hệ chính có cản tại vùng cộng hưởng. 
Từ khóa: Giảm chấn động lưc, tối ưu hóa H∞, phương pháp tuyến tính hóa tương đương, biểu thức giải tích, giảm dao động xoắn. 
ABSTRACT 
Tosinal vibration occurs much in the machine and equipment, it is usually reduced by vibration by dynamic balancing. Very few studies have been conducted using 
to reduce this vibration, especially with the damped primary system, which may be due to analytical solutions for the damped primary system is very difficult, or very 
complicated TMD (tuned mass damper) results in practice. This paper article provides a simple approach to determine the approximation analytical solutions for the 
H∞ optimization of the dynamic vibration absorber attached to the damped primary system under tosional excitation. The main idea of the study to replace 
approximately the original damped primary system by an equivalent undamped system using the least-squares criterion of the equivalent linearization method, then, 
closed-form formulae of optimized parameters were derived for this active. The optimal parameters of the damper continue to be derived based on the results of the 
known analysis from the fixed point method, resulting in the vibration of the damped primary system is confirmed based on frequency response and Time response of 
the system has shown the strong effect of this solution for the damped primary system in the resonant region. 
Keywords: Tuned mass damper, H∞ optimization, equivalent linearization method, closed-form expression, torsional vibration suppression. 
1 Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
2 Khoa Cơ khí, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên 
3 Trường Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên 
*Email: ducphuc26@gmail.com 
Ngày nhận bài: 01/12/2017 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 29/01/2018 
Ngày chấp nhận đăng: 26/02/2018 
1. MỞ ĐẦU 
Việc sử dụng các thiết bị phụ trợ làm tiêu tán năng 
lượng của hệ chính như TMD hay còn gọi là DVA (dynamic 
vibration absorber) để giảm dao động đã được đề xuất đầu 
tiên bởi P.Watt [1] và Frarm [2] khi họ sử dụng TMD không 
cản, nó chỉ có tác dụng trong một vùng hẹp của dải tần số 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 44.2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 65
kích động. Sau đó, Omndroyd và Den Hartog [3] đã phát 
triển lý thuyết và sử dụng TMD có cản, điều này có tác dụng 
mở rộng hiệu quả của TMD cho một dải rộng tần số. Một số 
tiêu chí hay được sử dụng trong thiết kế tối ưu các tham số 
của TMD là tối ưu H∞ được sử dụng bởi Den - Hartog [3], 
Asami et al [4], Asami and Nishihara [5,6], tối ưu H2 được sử 
dụng bởi Crandall and Mark [7], Iwata [8] và tiêu chí cực đại 
độ ổn định được Yamaguchi [9] sử dụng để làm giảm 
nhanh biên độ dao động của hệ. 
Với hệ chính có cản sử dụng phương pháp đạo hàm 
truyền thống để tìm các tham số tối ưu của TMD là rất phức 
tạp và không khả thi, để giải quyết bài toán này, Igusa và Der 
Kiureghian [10, 11] đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn để 
tìm các tham số tối ưu cho DVA. Phát triển phương pháp 
nhiễu loạn, Fujino và Abe [12] đã thiết kế tối ưu cho hệ chính 
có cản chịu kích động điều hòa và kích động ngẫu nhiên, kết 
quả thu được các biểu thức giải tích cho hệ chính có cản, tuy 
nhiên các biểu thức này chỉ sử dụng tốt khi tỷ lệ khối lượng 
µ < 0,02 và hệ số cản của hệ chính là nhỏ. E. Pennestri [13] đã 
sử dụng tiêu chí min - max của Chebyshev để thiết kế tối ưu 
các tham số của bộ TMD có cản, kết quả dẫn tới giải hệ gồm 
6 phương trình đại số phi tuyến với 7 ẩn, vì thế phải chọn 1 
tham số trước và cần tìm nghiệm ban đầu phù hợp. A. Ghosh 
và B. Basu [14] dựa trên giả thuyết là giảm chấn nhẹ và giả 
định tồn tại 2 điểm cố định đã đưa ra biểu thức giải tích cho 
việc xác định tỷ lệ tần số tối ưu khi thiết kế tham số cho TMD. 
Kết hợp tiêu chí min - max và kết quả của A. Ghosh và B. Basu 
các tác giả Liu và coppla [15] đã tìm các tham số của các bộ 
giảm chấn cho hệ chính có cản dịch chuyển tịnh tiến, theo 
đó, biểu thức giải tích tìm được cho tỷ lệ tần số tối ưu còn tỷ 
số cản tối ưu xác định bằng việc giải hệ 6 phương trình đại số 
phi tuyến nên phụ thuộc nhiều vào kỹ thuật tìm nghiệm ban 
đầu. Anh và đồng nghiệp [16,17] đã đưa ra tiêu chí đối ngẫu 
cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương để thiết kế 
tối ưu các tham số cho TMD, kết quả biểu thức giải tích gần 
đúng cho các tham số tối ưu của DVA được đưa ra. Như vậy, 
tất cả các nghiên cứu trên đều tập trung giải quyết bài toán 
tối ưu các tham số của TMD gắn trên hệ chính chuyển động 
tịnh tiến. 
Với hệ chính không cản chịu kích động xoắn, các tác giả 
của [18] đã sử dụng phương pháp hai điểm cố định đưa ra 
dạng giải tích cho các tham số tối ưu của DVA gắn trên hệ 
chính không cản chịu kích động xoắn. Các tham số độ cứng 
của DVA được lựa chọn theo chiều cao của hai điểm cố 
định trong hàm đáp ứng tần số khi chúng bằng nhau và 
cản nhớt của bộ DVA được xác định khi hai điểm này là cực 
đại trong hàm đáp ứng tần số. Trong trường hợp hệ chính 
có cản chịu kích động xoắn, theo hiểu biết của chúng tôi 
chưa có nghiên cứu nào tiếp cận theo hướng giải tích để 
giải quyết vấn đề này. Trên cơ sở ý tưởng của phương pháp 
tuyến tính hóa tương đương [19, 20, 21], sử dụng tiêu chí 
bình phương nhỏ nhất, nghiên cứu này tiến hành thay thế 
hệ chính có cản chịu kích động xoắn bằng một hệ không 
cản tương đương, sau đó sử dụng kết quả của lý thuyết hai 
điểm cố định đã biết để tìm các tham số tối ưu cho các TMD 
gắn trên hệ chính có cản chịu kích động xoắn, biểu thức 
giải tích được đưa ra cho việc thay thế này. Hiệu quả của 
các bộ giảm chấn động lực với các tham số tối ưu tìm được 
được xác nhận thông qua so sánh đáp ứng tần số và đáp 
ứng thời gian của hệ tại cộng hưởng khi lắp và không lắp 
DVA đã cho thấy hiệu quả mạnh mẽ của các bộ giảm chấn 
trong việc giảm dao động xoắn của hệ. 
2. MÔ HÌNH HỆ CHÍNH CÓ CẢN CHỊU KÍCH ĐỘNG XOẮN 
Hình 1 biểu diễn hệ chính có cản chịu kích động xoắn 
lắp các bộ TMD có cản được xem xét trong nghiên cứu này, 
hệ chính có cản là trục máy một bậc tự do (1 DOF) chịu kích 
động bởi mô men xoắn dạng sin, trục độ cứng là ks, và có 
hệ số cản là cs được kết nối với bộ giảm chấn động lực 
thông qua 1 roto có bán kính quán tính ρs và mô men quán 
tính là Js. Các bộ giảm chấn gồm các lò xo thẳng có độ cứng 
kj và các cản nhớt có hệ số cản cj được gắn với đĩa có bán 
kính quán tính ρa và mô men quán tính Ja. e1 và e2 lần lượt là 
bán kính xác định vị trí lắp lò xo và cản nhớt. 
Hình 1. Mô hình trục 1 DOF lắp các bộ DVA 
Áp dụng phương trình Lagrange loại 2 ta thiết lập được 
phương trình vi phân chuyển động của hệ: 
s a r a a s r s r 0
n n
2 2
a r a j 2 a j 1 a
j 1 j 1
(J J ) J c k M sin( t)
j (1...n)
J ( ) c e k e 0
   
   
  
 
  
   (1) 
3. HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CHO HỆ DAO ĐỘNG XOẮN 
Giả sử hàm kích động là i t0M M e
 , khi đó ta tìm 
nghiệm của hệ (1) bằng phương pháp hàm đáp ứng tần số 
như sau: 
i t i t
r r a a
ˆ ˆ(t) ( )e ; (t) ( )e      (2) 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 44.2018 66
KHOA HỌC
Thay các biểu thức trên vào hệ phương trình vi phân (1) 
và khử i te  ta được: 
j
2 2
s a r a a
s r s r 0
n
2 2 2
a r a a j 1 a
j 1
n
2
2 a
j 1
ˆ ˆJ J J
ˆ ˆc i k M
ˆ ˆ ˆJ J k e
ˆi c e 0 j (1...n)
  
  
   
  


 
 
 
 (3) 
Trong đó các mô men quán tính khối của trục và đĩa lắp 
TMD tính như sau: 
2 2
s s s a a aJ m ; J m (4) 
Đặt: 
ja a s1 2
j s 2
s s s s a s s
j
j a j j s s s s j
s s j j
km ke e; ; ; ; ; ;
m m m
c 2m ;c J ; ; ;
      
  
      
   
 (5) 
Thay các đại lượng trên vào (3) và giải hệ phương trình 
này ta được: 
0
r 2 2s s
2 4 4
n n
2 2 2 2 2
j j j
j 1 j 1
M 1ˆ
k 1 1 i2
i2
 
    
  
       
 
(6)
Đặt : 
 2 2 s
2 4 4
n n
2 2 2 2 2
j j j
j 1 j 1
1H
1 1 i2
i2
    
  
       
 
 (7) 
Ta gọi H là hàm khuếch đại của hệ. Đặt: 
j
j
n
2 4 4 2 2 2 2
j
j 12 2
n 2
n n
2 2 2 2 4 2 2 2 2
j j
j 1 j 1
n
3 4 5 2
j j
j 1
n s 2
n n
2 2 2 2 4 2 2 2 2
j j
j 1 j 1
a 1 (1 )
4
2
b 2
4
       
   
        
     
   
        

 

 
 (8) 
Áp dụng lý thuyết về số phức ta có: 
2 2
n n
1H
a b
 (9) 
Yêu cầu đặt ra khi thiết kế giảm chấn động lực để giảm 
dao động xoắn là tìm hai tham số j j;  trong (8), (9) sao 
cho biên độ dao động của hệ tại tần số cộng hưởng là cực 
tiểu và hai đỉnh của đường cong đáp ứng biên độ tần số (9) 
bằng nhau, hai tham số tìm được này gọi là các tham số tối 
ưu của DVA và ký hiệu là: opt opt;  . Sử dụng lý thuyết hai 
điểm cố định các tác giả của [18] đã đưa ra biểu thức xác 
định các tham số j j;  tối ưu cho hệ chính không cản với 
bộ DVA là các lò xo và cản nhớt giống nhau như dưới đây: 
 opt 2n 1

  
 (10) 
4 2
2
opt 4 2
3
8 n (1 )
 
 
 
 (11) 
4. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG 
ĐƯƠNG DỰA TRÊN TIÊU CHÍ BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU 
ĐỂ THIẾT KẾ TỐI ƯU CÁC THAM SỐ CỦA DVA 
Trong phần này, chúng ta xem xét các dao động phi 
tuyến của hệ 1 bậc tự do (1DOF) chịu kích động ngẫu nhiên 
Gaussian với hàm phi tuyến phụ thuộc vào dịch chuyển và 
vận tốc: 
2
0x x x g(x,x, t) f(t)       (12) 
Với giả thiết rằng β và η là nhỏ hay hệ có cản nhẹ hoặc 
yếu, thành phần phi tuyến g(x,x, t) bao gồm cả dịch 
chuyển và vận tốc phụ thuộc vào thời gian của hệ. 
Chúng ta viết lại (12) dưới dạng: 
2
eq eqx x x e(x,x, t) f(t)      (13) 
Ở đây, eq và 
2
eq lần lượt là là cản và độ cứng tuyến 
tính tương đương của hệ, hệ số e(x, x, t) là sai số, nếu cản 
nhỏ thì sai số e(x, x, t) được bỏ qua và công thức (13) trở 
thành tuyến tính, khi đó ta có thể giải dễ dàng, còn nếu ta 
chọn eq và 
2
eq hợp lý thì giá trị của e(x, x, t) sẽ là nhỏ 
nhất. Công cụ toán học hay được sử dụng trong trường 
hợp này là tiêu chí bình phương nhỏ nhất. Từ các công thức 
phía trên ta có: 
2 2
eq 0 eqe(x,x,t) ( )x ( )x g(x,x, t)        (14) 
Sai số trung bình bình phương trong một chu kỳ được 
xác định như sau: 
2
T
22 2
eq 0 eqT
T
e (x,x, t)
1lim ( )x ( )x g(x,x, t) dt
2T 
      

 
 (15) 
Khi đó để tìm để tìm eq và 
2
eq ta sử dụng các thủ tục 
tìm cực tiểu của 2e (x,x, t) theo các biến eq và 
2
eq như 
dưới đây: 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 44.2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 67
2 2
2
eq eq
e (x,x, t) e (x,x, t)
0; 0
   
  
 
 (16) 
Tiếp theo, sử dụng tiêu chí bình phương tối thiểu ở trên 
để thiết kế tối ưu các tham số của DVA cho hệ chính có cản 
tuyến tính, theo đó ta sẽ thay thế hệ chính có cản thành hệ 
chính không cản tương đương như hình 2 bằng phương 
pháp tuyến tính hóa tương đương. 
Hình 2. Hệ dao động xoắn không cản tương đương với hệ có cản 
Theo đó ta có phương trình vi phân chuyển động của 
hệ hình 2a và 2b như sau: 
s s
s r s r s r r r r
s s
eq
s r eq r r r
s
c kJ c k 0 0
J J
k
J k 0 0
J
      
     
   
 
 (17) 
Đặt: eq2 2s ss s s eq
s s s
kc k2 ; ;
J J J
     
Thì (17) trở thành: 
2
r s s r s r
2
r eq r
2 0
0
       
   
 

 (18) 
Với ωeq là tần số dao động riêng của hệ được quy đổi 
Sai số giữa hai phương trình vi phân trong (18) xác định 
như sau: 
2 2
s s r s r eq re(x,x,t) 2        (19) 
Từ (19) ta thấy nếu thay thế đại lượng s s2   bằng đại 
lượng 2 2s eq r   thì 2 phương trình vi phân dao động 
của (18) sẽ như nhau. Để xác định 2eq theo tiêu chí bình 
phương tối thiểu ta sử dụng phiếm hàm sau: 
 2
eq
22 2 2
s s r s r eq rD D
e (x,x, t) 2 min

         (20) 
Với: 
D
2
DD
0
1e (x,x, t) . (.)dt
D
 
(21) 
Ở đây miền D là 1 miền lấy tích phân được chọn sau, 
trong (21) hằng số 2eq được xác định như sau: 
2
D
2
eq
e (x,x, t)
0



 (22) 
Từ (20) ta suy ra: 
2
D
2 2 2 2 2 2 2 2 2
s s r s s s eq r r s eq r D
e (x,x, t)
4 4 ( ) ( )            

 
 (23) 
Đạo hàm biểu thức (23) theo 2eq và thay vào phương 
trình (22) rồi giải phương trình với ẩn 2eq ta được: 
s s r r2 2D
eq s2
r D
2   
 


 (24) 
Sử dụng: 
T
0
D
0
1x(t) x(t) x(t)dt
T
1f(x) f(x) f(x) f(x)d 0


   
 (25) 
Trong đó: Φ=ωeqD thì (25) được viết lại dưới dạng: 
s s r r2 2
eq s2
r
2


   
 


 (26) 
Theo (18) ta có phương trình vi phân của hệ không cản 
tương đương: 
2
r eq r 0    (27) 
Tìm nghiệm của phương trình (27) dưới dạng: 
r r eq r eq
eq 0 eq o
a cos( t) b sin( t)
acos( t ) acos ( t )
  
   
 (28) 
Từ đây suy ra: 
2 2 2 2
r
1 cos2a cos a
2
 (29) 
Sử dụng (25) ta được: 
2
2
r
2
eq
r r
a sin2( );
2 2
a
(cos2 1)
4


 
  
 
     

 (30) 
Thay (30) vào (24) và giải phương trình với ẩn ωeq ta được: 
2
2
s s s s s
eq
(cos2 1) (1 cos2 ) 4sin2 sin2( ) ( )
2 2
2
  
      
   
 
(31) 
Trong (31) giá trị Φ là hằng số được chọn tùy ý, ở đây ta 
chọn 
2
 
để r r,  không phụ thuộc Φ. Thay giá trị của 
Φ vào (31) ta nhận được: 
2
s s
eq s 2
4 21
  
  
 (32) 
Ở đây, ωs và ξs lần lượt là tần số dao động riêng và tỷ số 
cản của hệ chính có cản còn ωeq là tần số dao động riêng của 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 44.2018 68
KHOA HỌC
hệ không cản tương đương. Sau khi đã thay thế được hệ 
chính có cản thành hệ chính không cản tương đương ta tiếp 
tục sử dụng các biểu thức giải tích đã biết từ phương pháp 
điểm cố định để tìm các tham số tối ưu của DVA (αopt; ζopt). 
Sử dụng kết quả trong biểu thức (10), (11) và (32) ta được 
các tham số tối ưu của DVA cho hệ chính có cản như sau:
2
eopt eq s s
opt 22
s
4 2
opt 4 2
4 21
n 1
3
8 n (1 )
   
    
 
 
 
 (33) 
Trong (33), αeopt là một tham số tối ưu của DVA cho hệ 
chính không cản và được xác định trong (10). 
Như vậy, biểu thức (31) là biểu thức tổng quát để xác 
định tần số dao động riêng của hệ không cản tương đương 
và biểu thức (32) là một trường hợp riêng của (31) khi ta lấy 
giá trị cụ thể của Φ. Các biểu thức tối ưu của TMD tìm được 
bên trên cho phép làm giảm biên độ dao động lớn nhất 
của hệ chính, khi đó có thể giảm đáp ứng của hệ chính chịu 
kích động xoắn ở 1 dải tần số. 
5. MÔ PHỎNG SỐ 
Để mô tả và giải thích các kết quả ở trên, ta tính toán cho 
bộ tham số của hệ chính chịu kích động xoắn dạng sin như 
hình 2a, bộ số liệu của hệ chính, các kết quả tính toán và các 
kích thước cho ở bảng 1. Ta chọn trước tỷ lệ khối lượng giữa 
TMD và hệ chính, sau đó tính toán các giá trị của các tham số 
tối ưu tương ứng với các giá trị n và ξs khác nhau. 
Bảng 1. Các tham số đầu vào của hệ 
Thông số Đơn vị Giá trị Thông số Đơn vị Giá trị 
ms kg 5 ma1 kg 0,2 
ks Nm/rad 10000 Ja=ma. ρa2 Kg.m2 0,002 
ρs m 0,1 Js=ms. ρs2 Kg.m2 0,05 
e1 m 0,06 γ=e1/ρs 0,9 
e2 m 0,09 λ=e2/ρs 0,6 
ρa m 0,1 μ1=ma1/ms 0,04 
M0 Nm 5,0 η= ρa/ ρs 1 
cs1 Nms/rad 0,1 ξs1 0,0022 
cs2 Nms/rad 0,4 ξs2 0,0089 
cs3 Nms/rad 0,6 ξs3 0,0134 
Bảng 2 cho ta các tham số tối ưu của các bộ DVA tương 
ứng với 3 giá trị khác nhau của n và ξs, tương ứng với nó là 
các giá trị của hàm khuyếch đại H và góc xoắn của hệ chính 
khi không lắp và lắp TMD với cùng μ = 0,04. 
Bảng 2. Giá trị αopt, ζopt và Hmax, θr của hệ ứng với n và ξs khác nhau 
cs 
Nms 
rad 
n=1 n=5 n=9 Hmax 
αopt 
ζopt 
αopt 
ζopt 
αopt 
ζopt 
Không 
lắp 
TMD 
Lắp 
TMD 
0,1 1,6003 0,089 0,7157 0,0398 0,5334 0,0297 223,6 6,998 
0,4 1,5935 0,089 0,7126 0,0398 0,5312 0,0297 55,9 6,579 
0,8 1,5889 0,089 0,7106 0,0398 0,5296 0.0297 37,27 6,32 
Căn cứ giá trị các tham số tối ưu ở bảng 2, ta có các đáp 
ứng tần số và đáp ứng thời gian của hệ ứng với 3 giá trị của 
cs ở các hình 3, 4, 5. Chú ý rằng, các đáp ứng thời gian của 
hệ được xét ở giai đoạn chuyển động bình ổn và tần số số 
kích động bằng tần số dao động riêng của hệ chính. 
Hình 3. Đáp ứng tần số và thời gian của hệ khi n = 1, 5, 9 và αopt và ζopt ứng 
với cs= 0,1 
Hình 4. Đáp ứng tần số và thời gian của hệ khi n = 1,5,9 và αopt và ζopt ứng 
với cs= 0,4 
Hình 5. Đáp ứng tần số và thời gian của hệ khi n = 1, 5, 9 và αopt và ζopt ứng 
với cs= 0,6 
Từ đáp ứng thời gian của hệ ta có góc xoắn của hệ khi 
không lắp và lắp TMD cho ở bảng 3, hiệu quả giảm chấn 
của DVA cũng được đưa ra. 
Bảng 3. Góc xoắn của hệ chính và hiệu quả giảm dao động khi lắp và không 
lắp DVA 
cs 
Nms 
rad 
n=1 n=5 n=9 θr10-3 (rad) Hiệu 
quả 
(%) 
αopt 
ζopt 
αopt 
ζopt 
αopt 
ζopt 
Không 
lắp 
TMD 
Lắp 
TMD 
0,1 1,6003 0,089 0,7157 0,0398 0,5334 0,0297 109,5 3,415 96,88 
0,4 1,5935 0,089 0,7126 0,0398 0,5312 0,0297 27,86 3,174 88,61 
0,8 1,5889 0,089 0,7106 0,0398 0,5296 0.0297 18,59 3,029 83,71 
Căn cứ vào các kết quả ở bảng 2 và các đồ thị biểu diễn 
đáp ứng của hệ ứng với các giá trị khác nhau của n và ξs 
hình 3, 4, 5 ta thấy rằng: Khi thay đổi giá trị n thì giá trị các 
tham số tối ưu αopt và ζopt thay đổi nhưng giá trị của hàm 
khuếch đại không đổi, điều đó chúng tỏ hệ lắp nhiều lò xo 
và cản nhớt có độ cứng và hệ số cản giống nhau sẽ tương 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 44.2018 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 69
đương với hệ lắp 1 lò xo và 1 cản nhớt. Từ bảng 3 cho thấy 
khi hệ số cản của hệ chính nhỏ (cs = 0,1) thì hiệu quả giảm 
dao động của các bộ DVA tại tần số cộng hưởng là rất lớn 
(96,88%), khi hệ số cản của hệ chính càng lớn thì hiệu quả 
giảm dao động của DVA càng giảm (88,61% và 83,71%) 
tương ứng với (cs = 0,6 và cs = 0,4), điều đó là phù hợp với 
phương pháp tuyến tính hóa tương đương vì giả thiết của 
phương pháp này là sử dụng cho hệ có cản nhỏ. 
6. KẾT LUẬN 
Bài báo này nghiên cứu vấn đề tối ưu hóa các tham số 
cho bộ DVA gắn vào hệ chính có cản chịu kích động xoắn, ý 
tưởng chính của nghiên cứu là sử dụng phương pháp 
tuyến tính hóa tương đương dựa trên tiêu chí bình phương 
nhỏ nhất để thay thế hệ chính có cản thành hệ chính 
không cản tương đương, sau đó giải pháp giải tích cho tỷ lệ 
tần số tối ưu và tỷ lệ giảm chấn tối ưu được đưa ra dựa trên 
kết quả đã biết từ phương pháp hai điểm cố định cho hệ 
không cản, kết quả mô phỏng đáp ứng thời gian của hệ ở 
tần số cộng hưởng trong giai đoạn bình ổn cho thấy hiệu 
quả mạnh mẽ của giải pháp này cho hệ chính có cản. 
Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trung tâm 
Nghiên cứu Ứng dụng Khoa học và Công nghệ, Trường Đại 
học Sư phạm kỹ thuật Hưng Yên, đề tài mã số 
UTEHY.T018.P1718.01 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Watts, P., 1883. ‘‘On a method of reducing the rolling of ship at sea’’. 
Transactions of the Institute of Naval Architects, Vol. 24, pp. 165–190. 
[2]. Frahm H., 1909. “Device for damped vibration of bodies”. U.S. Patent no. 
989958, 30 October 1909. 
[3]. Ormondroyd J, Den Hartog JP., 1928. “The theory of the dynamic 
vibration absorber”. Trans ASME, J Appl Mech 1928;50(7):9–22. 
[4]. Asami T, Wakasono T, Kameoka K, et al., 1991. “Optimum design of 
dynamic absorbers for a system subjected to random excitation”. JSME 
International Journal, Series 3, Vibration, Control Engineering, Engineering for 
Industry 34: 218–226. 
[5]. Asami T and Nishihara O, 1999. “Analytical and experimental evaluation 
of an air damped dynamic vibration absorber: design optimizations of the three-
element type model”. Journal of Vibration and Acoustics 121: 334–342. 
[6]. Nishihara O and Asami T, 2002. “Close-form solutions to the exact 
optimizations of dynamic vibration absorber (minimizations of the maximum 
amplitude magnification factors)”. Journal of Vibration and Acoustics 124: 576–
582. 
[7]. Crandall SH, Mark WD., 1963. “Random vibration in mechanical systems”. 
New York: Academic Press. 
[8]. Iwata Y., 1982. “On the construction of the dynamic vibration absorbers”. 
Prep Jpn Soc Mech Eng 1982;820(8):150–2 (in Japanese). 
[9]. Yamaguchi H., 1988. “Damping of transient vibration by a dynamic 
absorber”. Trans Jpn Soc Mech Eng, Ser C 1988;54:561–8 (in Japanese) 
[10]. T. Igusa and A. Der Kiureghian. “Dynamic characterization of two-
degree-of freedom equipment-structure systems”. J. eng. Mech 
[11]. T. Igusa and A. Der Kiureghian, 1983. “Dynamic analysis of multiple 
tuned and arbitrarily supported secondary systems”. Report No UCB,/EERC-83/073, 
Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley 
[12]. Fujino Y, Abe M., 1993. “Design formulas for tuned mass dampers based 
on a perturbation technique”. Earthquake Eng Struct Dyn ;22:833–54 
[13]. Pennestri, E., 1998. “An application of Chebyshev’s min-max criterion to 
the optimum design of a damped dynamic vibration absorber”. Journal of Sound 
and Vibration, Vol. 217, pp. 757–765. 
[14]. Ghosh, A. and Basu, B., 2007. “A closed-form optimal tuning criterion for 
TMD in damped structures”. Structural Control and Health Monitoring, Vol. 14, pp. 
681–692. 
[15]. Liu K and Coppola G. “Optimal design of damped dynamic vibration 
absorber for damped primary systems”. Trans Canadian Soc Mech Eng 2010; 
34(1): 119–135. 
[16]. Anh ND., 2010. “Duality in the analysis of responses to nonlinear 
systems”. Vietnam J Mech, VAST 2010;32(4):263–6. 
[17]. Anh ND, Hieu NN, Linh. NN., 2012. “A dual criterion of equivalent 
linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation”. Acta 
Mech 2012;223(3):645–54. 
[18]. Xuan-Truong Vu, Duy-Chinh Nguyen, Doan-Dien Khong and Van-Canh 
Tong. “Closed-form solutions to the optimization of dynamic vibration absorber 
attached to multi-degrees-of-freedom damped linear systems under torsional 
excitation using the fixed-point theory”. Proc IMechE Part K: J Multi-body 
Dynamics 0(0). 
[19]. Krylov N and Bogoliubov N., 1943. “Introduction to nonlinear 
mechanics”. Princeton, NJ: Princeton University Press. 
[20]. Caughey TK., 1956. “Response of Van der Pols oscillator to random 
excitations”. Trans ASME J App Mech 1956; 26(1): 345–348. 
[21]. Caughey TK., 1930. “Random excitation of a system with bilinear 
hysteresis”. Trans ASME J App Mech 1960; 27(1): 649–652 
[22]. R. C. Booton, 1953. “The Analysis of Nonlinear Control Systems with 
Random Inputs”. in Proceedings of the S3, mposium on Non linear (cuitAnalysis 
(PolytechnicInst. Brooklyn, New York), Vol. 2. 
[23]. T. K. Caughey, 1953. "Response of NonlinearSyslemsto Random 
Excitation", Lecture Note, California Inst. Technol.