Một thuật toán phần tử hữu hạn mờ cải tiến trong phân tích tĩnh kết cấu

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 3 
MỘT THUẬT TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN MỜ CẢI TIẾN 
TRONG PHÂN TÍCH TĨNH KẾT CẤU 
TS. NGUYỄN HÙNG TUẤN 
Trường Đại học Thủy lợi 
GS.TS. LÊ XUÂN HUỲNH 
Trường Đại học Xây dựng 
Tóm tắt: Bài báo này đề xuất một thuật toán 
phần tử hữu hạn mờ trong phân tích tĩnh kết cấu. 
Thuật toán đề xuất dựa trên cơ sở phương pháp 
mặt đáp ứng, với sự kết hợp của hai mô hình xấp xỉ 
là: mô hình hồi quy đa thức bậc hai đầy đủ, mô hình 
hồi quy đa thức bậc hai không đầy đủ, và sự lựa 
chọn hợp lý các kết quả tính toán trên hai mô hình 
xấp xỉ này. Các kết quả tính toán đối với kết cấu dàn 
cho thấy hiệu quả của thuật toán đề xuất. 
Abstract: This paper proposes a fuzzy finite 
element analysis of structural statics.The proposed 
algorithm is based on the response surface method, 
with the combination of two surrogate models: a 
complete quadratic polynomial regression model, a 
none-complete quadratic polynomial regression 
model, and the resonable choosing of the results 
based on these two models. Numerical results on 
truss structure verify the effectiveness of the 
proposed algorithm. 
1. Đặt vấn đề 
 Thuật toán PTHH mờ (fuzzy finite element 
algorithm) là sự kết hợp giữa các kỹ thuật của 
phương pháp PTHH và các phép toán trong lý 
thuyết tập mờ [1], [2], để xác định đáp ứng kết cấu 
trong trường hợp các tham số đầu vào không chắc 
chắn được cho dưới dạng số mờ. Trong các hướng 
tiếp cận để đưa ra các thuật toán PTHH mờ, việc 
ứng dụng phương pháp mặt đáp ứng RSM [3], [4] 
trong lý thuyết xác suất - thống kê toán học được 
xem là thuận tiện hơn cả, do sử dụng các kết quả 
của phương pháp PTHH tất định và giảm được khối 
lượng tính toán. Ý tưởng cơ bản của phương pháp 
này là thay đáp ứng thực kết cấu bằng các hàm xấp 
xỉ thay thế, sau đó các đáp ứng mờ kết cấu được 
xác định thông qua các hàm xấp xỉ này. Trong [5], 
chúng tôi đã đề xuất một thuật toán PTHH mờ phân 
tích tĩnh kết cấu hệ thanh, với đáp ứng kết cấu là 
các chuyển vị mờ. Thuật toán đề xuất lựa chọn hàm 
chuyển vị là hàm thay thế trong mô hình hồi quy đa 
thức bậc 2 không đầy đủ (sau đây gọi là mô hình 
hồi quy đa thức bậc 2 khuyết), và sử dụng phương 
pháp chuyển đổi (transformation method) [6], với số 
lượng tổ hợp ít hơn do sử dụng phép đạo hàm, để 
xác định đáp ứng mờ kết cấu là các chuyển vị nút. 
Tuy nhiên, thuật toán sẽ không phù hợp khi xác 
định nội lực mờ kết cấu, do các hàm nội lực thường 
là các hàm phức tạp (phân thức, đa thức bậc cao) 
hơn các hàm chuyển vị. Ngoài ra, về nguyên tắc, 
đối với đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ, mô hình 
hồi quy đa thức bậc 2 khuyết đơn giản nhưng kém 
tổng quát so với mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ. Để 
khắc phục các vấn đề nêu trên, bài báo này đề xuất 
một thuật toán PTHH mờ xác định đáp ứng là các 
chuyển vị và nội lực mờ trong kết cấu hệ thanh. 
Thuật toán đề xuất được xây dựng trên cơ sở thuật 
toán [5], với các cải tiến hợp lý trong việc lựa chọn 
mô hình hồi quy và xử lý kết quả đầu ra của đáp 
ứng kết cấu. Thông qua ví dụ minh họa, so sánh với 
kết quả theo thuật toán [5] và kết quả được xem là 
"chuẩn" theo thuật toán tối ưu hóa mức [7], cho 
thấy hiệu quả của thuật toán đề xuất. 
2. Thuật toán phân tích mờ kết cấu 
 Thuật toán gồm có 5 nội dung, theo trình tự sau 
đây. 
2.1 Xác định các biến mờ chuẩn trong mô hình 
thay thế 
 Theo [3], sử dụng biến chuẩn trong mô hình 
thay thế sẽ làm giảm sai số do làm tròn số khi tính 
toán các hệ số hồi quy. Trong [5], trên cơ sở 
nguyên lý thông tin không đầy đủ (insufficient 
reason) tại [810], chúng tôi đã thiết lập công thức 
xác định biến mờ chuẩn iX
~
đối với biến mờ gốc là 
số mờ tam giác cân ix
~ = (a,l,l)LR ta xác định biến 
chuẩn theo công thức sau: 
l/3
ax
X i
i
 (1) 
 Với phép đổi biến trên, từ biến mờ gốc ban đầu 
ix
~ = (a, l, l)LR, đã chuyển sang biến mờ chuẩn iX
~
= (0, 3, 3)LR. Nói cách khác, từ biến mờ gốc ban đầu 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
4 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
có miền xác định rất khác nhau, đã chuyển thành 
các biến chuẩn có cùng miền xác định. Mặc dù 
được thực hiện trên cơ sở chuyển đổi từ đại lượng 
mờ sang đại lượng ngẫu nhiên tương đương, tuy 
nhiên có thể xem biến mờ chuẩn là kết quả một 
phép biến đổi hình học từ biến mờ gốc ban đầu, 
được vận dụng tương tự như khái niệm biến chuẩn 
trong lý thuyết thống kê toán học. Thuật toán đề 
xuất được thực hiện trong không gian các biến mờ 
chuẩn, do đó không gây ra sai lệch do chuyển đổi 
từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên (với 
các tham số đầu vào) và ngược lại, từ đại lượng 
ngẫu nhiên quay trở lại đại lượng mờ (với đầu ra là 
đáp ứng kết cấu) trong quá trình tính toán. 
2.2 Lựa chọn mô hình thay thế (mô hình mặt đáp 
ứng) 
 Trong lý thuyết thống kê, một số mô hình thay 
thế thường được sử dụng là: mô hình hồi quy đa 
thức (polynomial regression model PRG), mô hình 
Kringing (Kringing model KRG), hàm cơ sở hướng 
tâm (radial basis functions RBF). Trong các mô hình 
này, mô hình hồi quy đa thức thường được sử dụng 
để xây dựng hàm mặt đáp ứng do đơn giản và 
thuận tiện trong tính toán. Trong [5], chúng tôi đã sử 
dụng mô hình hồi quy đa thức bậc 2 khuyết làm mô 
hình thay thế. Tuy nhiên, như đã đề cập ở trên, đối 
với đáp ứng kết cấu là các chuyển vị mờ, mô hình 
hồi quy đa thức bậc 2 đầy đủ sẽ mang tính tổng 
quát hơn. Do đó, bên cạnh việc sử dụng mô hình 
hồi quy đa thức bậc 2 khuyết, thuật toán đề xuất sử 
dụng mô hình hồi quy đa thức bậc hai đầy đủ đối 
với các biến mờ chuẩn làm mô hình thay thế, cho 
đáp ứng kết cấu là các chuyển vị mờ: 
n n-1 n
2
o i i ij i j ii i
i 1 i 1, i j i 1
y( ) a a X a X X a X
   X (2) 
 Với việc sử dụng biến chuẩn, ao được xác định 
theo phương trình: y(X=0) = ao (3) 
 Các hệ số còn lại trong (2) được xác định theo 
phương pháp bình phương tối thiểu. 
2.3 Thiết kế mẫu thử 
 Khi sử dụng phương pháp mặt đáp ứng, có ba 
thiết kế mẫu thử thường được sử dụng trong thực 
tế tính toán: mẫu siêu lập phương Latin (Latin 
hypercube sampling), mẫu mặt trung tâm lập 
phương (face - centered cube design), mẫu Box- 
Behnken ( Box - Behnken design). Trong các mẫu 
thử trên, mẫu mặt trung tâm lập phương và mẫu 
Box - Behnken thường được sử dụng. Tuy nhiên, 
khi có cùng số lượng biến đầu vào, thiết kế mẫu 
Box - Behnken thường có số lượng điểm đáp ứng 
(số lượng tổ hợp các phương án đầu vào trong bài 
toán PTHH tất định) ít hơn mẫu mặt trung tâm lập 
phương. Do đó, trong thuật toán đề xuất, sử dụng 
thiết kế mẫu Box- Behnken. Thiết kế mẫu Box - 
Behnken với 3 biến số đầu vào được thể hiện trên 
hình 1, trong đó ký hiệu 1 chỉ ½ độ dài khoảng biến 
thiên của biến. 
Hình 1. Thiết kế mẫu Box – Behnken với ba biến số 
2.4 Ước lượng sai lệch và chọn lựa phương án 
 Ước lượng sai lệch đánh giá chất lượng của mô 
hình thay thế và dùng để lựa chọn phương án phù 
hợp giữa các phương án tính toán. Các dạng ước 
lượng sai lệch thường sử dụng là: phương pháp 
mẫu đơn (split sample), phương pháp kiểm tra chéo 
(cross - validation) và phương pháp mồi 
(bootstraping). Trong các phương pháp trên, 
phương pháp mẫu đơn và phương pháp kiểm tra 
chéo dễ sử dụng để lựa chọn các phương án hơn 
cả. Trong thuật toán đề xuất, chúng tôi sử dụng 
phương pháp kiểm tra chéo rời bỏ một tập (leave - 
one - out cross - validation), trong đó mỗi điểm đáp 
ứng được kiểm tra một lần và thử k - 2 lần (do mẫu 
trung tâm đã sử dụng để xác định ao theo công thức 
(3)). Ưu điểm của phương pháp này theo [4] là đưa 
đến ước lượng không chệch của sai lệch tổng và 
phương sai tương ứng sẽ giảm khi so sánh với 
phương pháp mẫu đơn. Nhược điểm của phương 
pháp này là đòi hỏi tính toán nhiều lần các mô hình 
thay thế. Tuy nhiên, nhược điểm này có thể khắc 
phục nếu lập trình tự động hóa lựa chọn các tổ hợp 
mẫu từ các mẫu cho trước để đưa vào mô hình hồi 
quy. Ước lượng sai lệch của phương án thứ j (sử 
dụng X(j) làm tập kiểm tra) xác định theo công thức : 
 minyˆyGSE 2j)(jjj (4) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 5 
2.5 Xác định đáp ứng mờ kết cấu 
 Để xác định đáp ứng mờ kết cấu, cần giải các 
bài toán quy hoạch phi tuyến trên các lát cắt của 
các tham số mờ đầu vào. Trong đó, hàm mục tiêu 
cần tối ưu không thể biểu diễn dưới dạng hàm hiện. 
Để giải quyết vấn đề này, thuật toán đề xuất sử 
dụng thuật giải di truyền GA (genetic algorithm) [11], 
là một thuật toán thuộc nhóm thuật toán tối ưu theo 
quần thể, trong Matlab 7.12. Các thuật toán tối ưu 
theo quần thể khác, như thuật toán tối ưu hóa bầy 
đàn PSO (particle swam optimization), thuật toán 
tiến hóa vi phân DE (differential evolution), được 
xem là các công cụ hữu hiệu để giải bài toán quy 
hoạch phi tuyến. Sau đây sẽ trình bày cụ thể các cải 
tiến của thuật toán đề xuất để nâng cao độ chính 
xác trong việc xác định đáp ứng kết cấu, đối với hai 
trường hợp: đáp ứng là chuyển vị mờ, đáp ứng là 
nội lực mờ. 
2.5.1 Đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ 
 Trong thuật toán đề xuất, chuyển vị mờ được 
xác định trực tiếp trên cơ sở giải các bài toán quy 
hoạch phi tuyến của hàm thay thế. Do đó, hàm thay 
thế theo mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ sẽ mang tính 
tổng quát và có độ chính xác hơn hàm thay thế theo 
mô hình đa thức bậc 2 khuyết. Vì vậy, đối với đáp 
ứng kết cấu là chuyển vị mờ, thuật toán đề xuất tính 
toán trên mô hình đa thức bậc 2 đầy đủ. 
2.5.2 Đáp ứng kết cấu là nội lực mờ 
 Nội lực mờ được xác định thông qua chuyển vị 
mờ theo công thức: Re = Ke ue - Fe. Do nội lực xác 
định theo chuyển vị mờ nên độ chính xác của nội 
lực nói chung kém hơn độ chính xác của chuyển vị. 
Do đó, để nâng cao độ chính xác nội lực mờ, bài 
báo đề xuất một thuật toán tính toán nội lực mờ trên 
cơ sở kết hợp hai mô hình của chuyển vị mờ, đó là: 
mô hình đa thức bậc hai đầy đủ và, mô hình đa thức 
bậc hai khuyết. Thông thường hay gặp trường hợp 
các kết quả tính toán nội lực mờ có độ rộng lớn hơn 
nhiều so với thực tế [12]. Để khắc phục vấn đề này, 
thuật toán đề xuất xác định nội lực mờ kết cấu trên 
cơ sở phép giao của kết quả tính toán nội lực mờ 
kết cấu theo hai mô hình chuyển vị mờ nêu trên: 
);min(
);max(
max,2max,1max
min,2min,1min
SSS
SSS
 (5) 
 trong đó: S min , S max - biên dưới, biên trên của 
nội lực mờ kết cấu tại lát cắt theo thuật toán đề 
xuất; 
 S 1,min , S 1,max - biên dưới, biên trên của nội lực 
mờ kết cấu tại lát cắt theo mô hình hồi quy đa 
thức bậc 2 đầy đủ; 
 S 2,min , S 2,max - biên dưới, biên trên của nội lực 
mờ kết cấu tại lát cắt theo mô hình hồi quy đa 
thức bậc 2 khuyết. 
 Công thức (5) cho kết quả tính toán nội lực mờ 
kết cấu là miền hẹp nhất trong hai phương án sử 
dụng cho mô hình thay thế (đa thức bậc 2 đầy đủ, 
đa thức bậc 2 khuyết). Về ý nghĩa toán học, công 
thức (5) chính là phép giao của hai tập con mờ A và 
B, theo lý thuyết tập mờ [1]. Theo [1], xét độ thuộc 
đối với 3 tập A, B và AB, thì mọi phần tử xi của X 
có độ thuộc nhỏ nhất thuộc về tập AB . Vì vậy, 
việc sử dụng (5) sẽ thu hẹp được bề rộng của số 
mờ đầu ra (nội lực mờ kết cấu) trên các lát cắt , 
nghĩa là cho kết quả tính toán nội lực có độ chính 
xác cao hơn. Ví dụ minh họa sẽ cho thấy rõ điều 
này. 
2.6 Trình tự tính toán 
 Các bước tính toán được thể hiện trên hình 2. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
6 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
Hình 2. Trình tự tính toán 
3. Ví dụ minh họa 
Hình 3. Ví dụ minh họa 
Xét hệ dàn phẳng như hình 3. Mô đun đàn hồi 
E
~
, các lực 
1
~
P , 
2
~
P , 
3
~
P , 
4
~
P là các số mờ tam giác 
cân: E
~
= (200,20,20)LR GPa; 1
~
P = (200,20,20)LR 
kN; 
2
~
P =(100,10,10)LR kN; 
3
~
P =(100,10,10)LR kN; 4
~
P =(90,9,9)LR kN. 
 Yêu cầu: xác định các chuyển vị và nội lực mờ 
của các thanh trong dàn. 
 Thực hiện tính toán theo thuật toán đề xuất, kết 
quả các chuyển vị mờ theo phương ngang ui (i - số 
thứ tự nút) và phương đứng vi, nội lực mờ Nk (k - số 
thứ tự phần tử) tại các lát cắt = 0 được thể hiện ở 
bảng 1, bảng 2, bảng 3. 
 Để kiểm tra độ tin cậy và hiệu quả của thuật 
toán đề xuất, tính toán theo mô hình đa thức bậc 2 
đầy đủ, đa thức bậc 2 khuyết, sử dụng thuật toán tối 
ưu hóa mức [7] làm chuẩn để so sánh. Kết quả 
tính toán tại các lát cắt = 0 được thể hiện ở bảng 
1, bảng 2, bảng 3. 
 Để thấy rõ hiệu quả của thuật toán đề xuất, thực 
hiện tính toán tại 6 lát cắt của các số mờ theo 
thuật toán đề xuất, theo mô hình đa thức bậc 2 đầy 
- Xác định các biến mờ chuẩn theo công thức (1). 
- Thiết kế mẫu thử theo theo phương án Box -Behnken 
Nhập dữ liệu mờ đầu vào: tải trọng tác động, đặc trưng cơ lý 
vật liệu, đặc trưng hình học cấu kiện.... 
 Giải các bài toán theo phương pháp PTHH với đầu vào tất 
định trên tất cả các mẫu thử để xác định các giá trị các đại 
lượng đưa vào tính toán hồi quy 
- Lựa chọn hai mô hình thay thế: mô hình hồi quy đa thức bậc 
2 đầy đủ, mô hình hồi quy đa thức bậc 2 khuyết 
- Xác định các hệ số hồi quy trong mô hình thay thế theo các 
phương án chọn mẫu 
- Tính toán sai lệch và chọn lựa phương án theo công thức (4) 
- Đưa ra các hàm mặt đáp ứng cho hai mô hình 
Xác định đáp ứng kết cấu theo thuật giải di truyền GA : 
- Đáp ứng kết cấu là chuyển vị mờ : tính toán trên mô hình hồi 
quy đa thức bậc 2 đầy đủ; 
-Đáp ứng kết cấu là nội lực mờ: tính toán trên cả hai mô hình, 
lựa chọn kết quả theo công thức (5) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 7 
đủ, mô hình đa thức bậc 2 khuyết, và so sánh với 
kết quả sử dụng thuật toán tối ưu hóa mức , là 
thuật toán được xem là "chuẩn" trong tính toán đáp 
ứng mờ kết cấu. Trong khuôn khổ của bài báo, các 
kết quả đối với nội lực mờ N5, N8, N9, N11, N13, N14, 
N6 được thể hiện trên hình 4, hình 5, hình 6, hình 7, 
hình 8, hình 9, hình 10. Sai lệch bề rộng khoảng IE 
tính toán theo [5] lớn nhất đối với lực dọc mờ N6, và 
các sai lệch tương ứng AENmin, AENmax tương ứng 
được thể hiện trên bảng 4. 
Bảng 1. Chuyển vị ngang mờ ui tại lát cắt = 0 
Nút Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo thuật toán đề xuất (m) 
Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo 
thuật toán tối ưu hóa mức (m) 
Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo 
mô hình đa thức bậc 2 không đầy 
đủ (m) 
2 [0.0049, 0.0074] [0.0049, 0.0074] [0.0049, 0.0073] 
3 [0.0241, 0.0359] [0.0241, 0.0360] [0.0238, 0.0356] 
4 [0.0143, 0.0213] [0.0142, 0.0212] [0.0141, 0.0210] 
5 [0.0138, 0.0205] [0.0138, 0.0206] [0.0137, 0.0205] 
6 [0.0219, 0.0326] [0.0219, 0.0327] [0.0216, 0.0324] 
7 [0.0049, 0.0073] [0.0049, 0.0073] [0.0048, 0.0071] 
8 [0.0258, 0.0386] [0.0260, 0.0388] [0.0256, 0.0384] 
Bảng 2. Chuyển vị đứng mờ vi tại lát cắt = 0 
Nút Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo thuật toán đề xuất (m) 
Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo 
thuật toán tối ưu hóa mức (m) 
Chuyển vị ui tại lát cắt = 0 theo 
mô hình đa thức bậc 2 không đầy 
đủ (m) 
2 [-0.0531, -0.0357] [-0.0532, -0.0356] [-0.0526, -0.0352] 
3 [-0.0497, -0.0334] [-0.0498, -0.0334] [-0.0493, -0.0330] 
4 [-0.0696, -0.0467] [-0.0697, -0.0467] [-0.0691, -0.0462] 
5 [-0.0725, -0.0486] [-0.0726, -0.0486] [-0.0719, -0.0480] 
6 [-0.0526, -0.0352] [-0.0527, -0.0353] [-0.0522, -0.0350] 
7 [-0.0487, -0.0327] [-0.0483, -0.0323] [-0.0488, -0.0327] 
Bảng 3. Nội lực mờ Nk tại lát cắt = 0 
Phần 
tử 
Nội lực Nk thuật toán đề 
xuất (kN) 
Nội lực Nk theo thuật toán 
tối ưu hóa mức (kN) 
Nội lực Nk theo mô hình 
đa thức bậc 2 không đầy 
đủ (kN) 
Nội lực Nk theo mô 
hình đa thức bậc 2 
đầy đủ (kN) 
1 [237.6590, 294.7679] [240.7502, 294.2500] [237.6590, 297.6747] [237.0211, 294.7679] 
2 [-283.1009, -220.6933] [-282.4892, -219.5570] [-285.6969, -217.0131] [-283.1009, -220.6933] 
3 [108.1996, 136.9573] [106.8525, 135.2341] [108.1996, 136.9573] [106.1712, 140.5507] 
4 [-353.2004, -285.9976] [-356.3524, -291.5612] [-357.4883, -285.9976] [-353.2004, -285.4696] 
5 [-42.4439, -18.2228] [-40.8200, -18.6994] [-42.4439, -17.7423] [-45.3479, -18.2228] 
6 [66.1074, 96.8557] [66.5070, 93.1767] [66.1074, 96.8557] [65.5117, 99.7069] 
7 [260.5507, 321.7632] [259.6898, 317.3976] [259.0372, 322.0624] [260.5507, 321.7632] 
8 [52.4304, 70.7781] [54.3166, 71.5866] [52.4304, 70.7781] [47.8632, 73.1307] 
9 [234.6004, 290.3413] [237.9677, 290.8491] [231.2762, 290.3413] [234.6004, 290.6610] 
10 [-336.0867, -275.4615] [-333.4009, -272.7833] [-338.8939, -272.3661] [-336.0867, -275.4615] 
11 [-72.9843, -50.4060] [-70.3276, -48.2071] [-74.2031, -50.4060] [-72.9843, -48.7626] 
12 [99.0911, 128.0751] [100.6391, 127.3088] [97.4675, 128.3993] [99.0911, 128.0751] 
13 [125.4396, 156.6791] [127.7177, 156.0991] [125.4396, 157.3266] [124.6475, 156.6791] 
14 [196.4112, 241.8909] [200.2503, 244.7500] [196.4112, 247.0991] [192.9208, 241.8909] 
15 [-346.6271, -285.6186] [-346.1288, -283.1965] [-346.6271, -279.5870] [-347.3970, -285.6186] 
Bảng 4. Lực dọc mờ N6(kN) 
Lát cắt 
Thuật toán đề xuất Thuật toán tối ưu hóa mức Sai lệch 
AENmin(%) 
Sai lệch 
AENmax(%) 
Sai lệch 
IE(%) 
N6min (kN) N6max (kN) N6min (kN) N6max (kN) 
0.0000 66.1074 96.8557 66.5070 93.1767 0.60 3.95 
15.29 
0.2000 68.3722 92.4415 69.1739 90.5097 1.16 2.13 
0.4000 70.7467 88.4329 71.8411 87.8427 1.52 0.67 
0.6000 73.2444 84.8125 74.5079 85.1758 1.70 0.43 
0.8000 75.8979 81.5568 77.1749 82.5088 1.65 1.15 
1.0000 79.8418 79.8418 79.8418 79.8418 0.00 0.00 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
8 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N5
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
45 50 55 60 65 70 75
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N8
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
230 240 250 260 270 280 290
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N9
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
-75 -70 -65 -60 -55 -50 -45
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N11
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
120 125 130 135 140 145 150 155 160
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N13
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
190 200 210 220 230 240 250
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N14
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
65 70 75 80 85 90 95 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
N6
M
em
be
rs
hi
p 
fu
nc
tio
n
PA
PA
OA
OA
QC
QC
NQC
NQC
 Hình 4. Nội lực mờ N5 (kN) Hình 5. Nội lực mờ N8 (kN) 
 Hình 6. Nội lực mờ N9(kN) Hình 7. Nội lực mờ N11(kN) 
 Hình 8. Nội lực mờ N13(kN) Hình 9. Nội lực mờ N14(kN) 
 Hình 10. Nội lực mờ N6(kN) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 9 
PA - thuật toán đề xuất ; OA - thuật toán tối ưu 
hóa mức ; QC - sử dụng mô hình đa thức bậc 2 
đầy đủ; NQC - sử dụng mô hình đa thức bậc 2 
khuyết. 
 Thông qua ví dụ minh họa trên, nhận thấy một 
số đặc điểm sau của thuật toán đề xuất: 
 - Thuật toán đề xuất cho kết quả tính toán sát 
với kết quả được lấy làm chuẩn [7] và có sai lệch bé 
nhất trong các phương án tính toán, cho tất cả các 
chuyển vị nút và nội lực tại các phần tử; 
 - Các sai lệch bề rộng khoảng IE, sai lệch 
AENmin và AENmax tính toán theo [5] đều tương đối 
nhỏ. Sai lệch bề rộng khoảng IE lớn nhất là 15.29% 
đối với lực dọc mờ N6. Tuy nhiên, các sai lệch 
AENmin và AENmax tương ứng tương đối nhỏ ( lần 
lượt là 0.60% và 3.95%). Do đó, trong trường hợp 
này, vẫn đảm bảo độ chính xác theo yêu cầu tính 
toán. 
4. Kết luận 
 Bài báo đã đề xuất một thuật toán phần tử hữu 
hạn mờ trong phân tích tĩnh kết cấu, trên cơ sở cải 
tiến thuật toán đã có của tác giả trong [5]. Với sự 
lựa chọn hợp lý các kết quả tính toán theo hai mô 
hình thay thế của hàm chuyển vị mờ là: mô hình đa 
thức bậc 2 đầy đủ, mô hình đa thức bậc 2 khuyết. 
Cơ sở toán học của lựa chọn này là sử dụng kết 
quả phép giao của các tập con mờ tính toán từ hai 
mô hình thay thế. Thuật toán đề xuất đã làm tăng độ 
chính xác đối với kết quả tính toán nội lực mờ kết 
cấu qua ví dụ kiểm chứng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. B.Bouchon, Meunier, Hồ Thuần, Đặng Thanh Hà 
(2007), Logic mờ và ứng dụng, Nhà Xuất bản Đại học 
quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 
2. Dubois D., Prade H. (1980), Fuzzy Sets and Systems, 
Academic Press, NewYork. 
3. Mason R.L., Guns R.F. and Hess J.L. (2003), 
Statistical Design and Analysis of Experiment: With 
Applications to Engineering and Science, Second 
Editor, John Wiley & Sons. 
4. Queipo N.V., Haftka R.T., Shyy W., Goel T., 
Vaidyanathan R., Tucker P.K. (2005), "Surrogate – 
based analysis and optimizaton", Progress in 
Aerospace Sciences 41, pp. 1- 28. 
5. Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh (2013), "Một 
thuật toán phần tử hữu hạn mờ phân tích tĩnh hệ 
thanh có tham số không chắc chắn", Hội nghị Khoa 
học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, 
Hồ Chí Minh 7 - 9/11/2013. 
6. Hanss M. (2005), Applied fuzzy arithmetic - An 
introduction with engineering applications, Berlin 
Springer. 
7. Möller B. , Beer M. (2004), Fuzzy Randomness – 
Uncertainty in Civil Engineering and Computational 
Mechanics, Springer, Dresden. 
8. Dubois D., Prade H., Sandri S. (1993), On 
Possibility/Probability Transformations, Proceedings 
of Fourth IFSA Conference. 
9. Dubois D., Foulloy L., Mauris G. and Prade H. (2004), 
"Probability – Possibility Transformations, Triangular 
Fuzzy Sets, and Probabilistic Inequalities",, Reliable 
Computing 10, pp.273-297, Kluwer Academic 
Publishers, Printed Netherlands. 
10. Dubois D.(2006), "Possibility Theory and Staticstical 
Reasoning", Computational Statistics & Data Analysis 
51, pp. 47 - 59. 
11. Michalewics Z. (1995), Genetic Algorithms + Data 
Structures =Evolution Programs, Springer. 
12. Rama Rao M.V. , Mullen R.L., Muhanna R.L. (2011), 
A new interval finite element formulation with the 
same accuracy in primary and derived variables, Int. 
J.Reliability and Safety Vol.5, Nos.3/4. 
Ngày nhận bài: 6/02/2017. 
Ngày nhận bài gửi lần cuối:26/2/2017.