Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương III: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

CHƯƠNG III 
Xử lý tín hiệu số nâng cao 
Biến đổi Fourier của 
tín hiệu rời rạc 
Xử lý tín hiệu số nâng cao 
Biến đổi Fourier của 
tín hiệu rời rạc một chiều 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
X 
Miền không gian ban đầu 
Y 
Không gian đặc trưng 
T 
T -1 
Định nghĩa 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc được định nghĩa như sau: 
Toán tử FT: 
Biến đổi Fourier ngược 
Từ miền tần số tín hiệu cũng có thể biến đổi ngược lại miền thời gian bằng phép biến đổi Fourier ngược : 
Ta sử dụng ký hiệu IFT để biểu diễn biến đổi Fourier ngược : 
Các phương pháp thể hiện của X(e jω ) 
Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo : 
Các phương pháp thể hiện của X(e jω ) 
Thể hiện dưới dạng module và argument: 
Khi đó : 
| X(e j ω ) | được gọi là phổ biên độ của x(n ) 
arg[X(e j ω )]= gọi là phổ pha của x(n) 
Các phương pháp thể hiện của X(e jω ) 
Ta cũng có quan hệ giữa phổ pha và phổ biên độ với thành phần thực và ảo của X(e j ω ): 
Phổ biên độ : 
Phổ pha : 
Tính chất quan trọng của X(e jω ) 
Tuần hoàn : Biến đổi Fourier của tín hiệu X(e jω ) tuần hoàn với chu kỳ 2π. 
Tính đối xứng : 
Ví dụ 1 
Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu : 
Áp dụng công thức , sẽ có : 
Ví dụ 1 ( tiếp ) 
Biểu diễn trong Matlab : 
	w=linspace(-pi,pi,500); 
X=ones(1,500)./(ones(1,500)-0.5*exp(-j*w)); 
subplot(2,2,1);plot(w,abs(X)); 
title('Bien do');grid ; 
subplot(2,2,2);plot(w,real(X)); 
title('Phan thuc '); grid; 
subplot(2,2,3);plot(w,imag(X)); 
title('Phan ao '); grid; 
subplot(2,2,4);plot(w,angle(X)); 
title('Pha '); grid; 
Ví dụ 1 ( tiếp ) 
Ví dụ 2 
Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu : 
	 x(n )={1,2,3,4,5} với n=[-1:3] 
Áp dụng công thức , sẽ có : 
Ví dụ 2 
Xét tín hiệu x có N mẫu trong khoảng n 1 ≤ n ≤ n N , và cần tính giá trị X(e jω ) tại các điểm , với k=0,1,,M 
Như vậy công thức ban đầu sẽ được viết lại thành : 
Công thức tổng quát : 
X=x*W 
Ví dụ 2 ( tiếp ) 
Trên Matlab : 
n=-1:3; x=1:5; k=0:500; w=(pi/500)*k; 
X=x*(exp(-j*pi*(n'*k)/500)); 
subplot(2,2,1); plot(k,abs(X )); 
title('Bien do'); grid; 
subplot(2,2,2); plot(k,real(X )); 
title('Phan thuc '); grid; 
subplot(2,2,3); plot(k,imag(X )); 
title('Phan ao '); grid; 
subplot(2,2,4); plot(k,angle(X )); 
title('Pha '); grid; 
Biến đổi Fourier ngược 
Công thức 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Tuyến tính : Giả sử ta có hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) và biến đổi Fourier tương ứng là : 
FT[x 1 (n)]=X 1 (e jω ) 
FT[x 2 (n)]=X 2 (e jω ) 
Khi đó 1 tín hiệu là tổ hợp tuyến tính của tín hiệu x 1 và x 2 : x(n )=a*x 1 (n)+b*x 2 (n) và biến đổi Fourier của x(n ) là X(e jω ) thì : 
X(e jω )=a* X 1 (e jω )+b* X 2 (e jω ) 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Tính chất trễ : 
Ta có : 
Khi đó : 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Trễ tần số : 
Ta có : 
Khi đó : 
Các tính chất của biến đổi Fourier 
Liên hợp phức : 
Nhân chập và tích đại số 
Nhân chập : 
FT[x 1 (n)  x 2 (n)]=X 1 (e jω )* X 2 (e jω ) 
Tích đại số : 
FT[x 1 (n). x 2 (n)]=X 1 (e jω )  X 2 (e jω ) 
Biến đổi Fourier nhanh 
Trong Matlab hàm fft để tính Fourier nhanh : 
n=-1:3; 
x=1:5; 
k=0:500; 
X=x*exp(-j*2*pi*(n'*k)/500); 
X1=fft(x,501); 
subplot(221);plot(2*k/500,abs(X)); 
subplot(222);plot(2*k/500,abs(X1)); 
subplot(223);plot(2*k/500,angle(X)); 
subplot(224);plot(2*k/500,angle(X1)); 
Biểu diễn hệ thống trong miền tần số liên tục 
Đáp ứng tần số : 
Biểu diễn H(e j ω ) 
H(e j ω ) là hàm biến số phức: 
Biểu diễn H(e j ω ) 
Ta cũng có quan hệ giữa đáp ứng tần số và đáp ứng pha của hệ thống với phần thực và phần ảo của H(e j ω ) 
Phổ biên độ : 
Phổ pha : 
Công thức quan trọng 
Các bộ lọc số lý tưởng 
Bộ lọc thông thấp lý tưởng 
Bộ lọc thông cao lý tưởng 
Bộ lọc thông dải lý tưởng 
Bộ lọc chắn dải lý tưởng 
Bộ lọc thông thấp lý tưởng 
Bộ lọc thông thấp được định nghĩa bằng công thức : 
Với –π ≤ ω ≤ π 
-ω c 
ω c 
π 
-π 
1 
ω 
|H(e jω )| 
0 
Bộ lọc thông thấp lý tưởng 
Xét thông thấp lý tưởng có tần số cắt ω c =π/3 
Áp dụng công thức ta có : 
... 
... 
0,33 
h(n) 
0,28 
0,28 
0,14 
-0,07 
0,14 
-0,07 
0,04 
0,04 
n 
0,03 
0,03 
-0,05 
-0,05 
Bộ lọc thông cao lý tưởng 
Bộ lọc thông cao được định nghĩa bằng công thức : 
Với –π ≤ ω ≤ π 
- ω c 
ω c 
π 
-π 
1 
ω 
| H(e jω )| 
0 
Bộ lọc thông dải lý tưởng 
Bộ lọc thông dải được định nghĩa bằng công thức : 
Với –π ≤ ω ≤ π 
-ω c2 
ω c2 
π 
-π 
1 
ω 
| H(e jω )| 
0 
-ω c1 
ω c1 
Xử lý tín hiệu số nâng cao 
Biến đổi Fourier của 
tín hiệu rời rạc hai chiều 
Khái niệm và công thức 
Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 2 chiều ( ảnh số ) được tính bằng công thức : 
Ánh xạ ngược của phép biến đổi 
Khái niệm và công thức 
Các thành phần tần số mang giá trị phức nên ta có thể biểu diễn như sau: 
Khi đó | X(u,v )| được gọi là độ lớn hay phổ biên độ , arg(u,v ) được gọi là phổ pha 
Một số tính chất 
Tính tuần hoàn 
Đối xứng và đơn vị 
F T (u,v )= F(u,v ) 
F -1 (u,v)=F*( u,v ) 
Một số tính chất 
Tính chất chuyển đổi 
Tính chất chuyển đổi ( tiếp ) 
Nhân tín hiệu với e 2j (am/M+bn/N) trong miền không gian thực sẽ tương đương với dịch chuyển phô ̉ đi một khoảng ( a,b ). Xét trường hợp đặc biệt khi a=M/2, b=N/2 
Nhân vào ảnh ban đầu giá trị (-1) (m+n) trước khi biến đổi , ta sẽ thu được phổ tần số mà điểm tần số F(0,0) của nó sẽ nằm giữa mảng 2 chiều . 
Một số tính chất 
Tích chập 
Ta có 
DFT(x(m,n ))= X(u,v ) 
DFT(h(k,l ))= H(u,v ) 
Khi đo ́: 
	 DFT(x(m,n )* h(k,l ))= X(u,v)H(u,v ) 
Phép lọc trên miền tần số 
DFT 
filter 
IDFT 
F(u,v) 
H(u,v)F(u,v) 
x(m,n) 
y(m,n) 
Ví dụ : phép lọc thông thấp 
Bộ lọc thông thấp 
Khoảng cách tới nguồn 
Ví dụ : phép lọc thông thấp 
Trong Matlab 
Sử dụng hàm fft2 
I= imread('cameraman.tif '); 
F=fft2(I); 
imshow(abs(F ),[]); 
Sử dụng lệnh fftshift để dịch phổ về tâm 
FC= fftshift(abs(F )) 
imshow(FC ,[]) 
Để hiện thị phổ được rõ hơn sử dụng thêm hàm log 
FC2=log(1+FC); 
imshow(FC2,[]); 
Kết quả 
Thực hành chương III 
Thực hiện biến đổi Fouier , biển diễn phổ biên độ và phổ pha của các tín hiệu : 
x(n )=2(0.8) n [u(n)-u(n-20)] 
x(n )=n(0.9) n [u(n)-u(50)] 
x(n )={4,3,2,2,1,4,6,2} 
x(n )=(n+2)(-0.7) n-1 u(n-2) 
x(n )=5(-0.9) n cos(0.1 π n)u(n )