Bài giảng Toán tài chính - Bài 7: Thanh toán nợ trái phiếu theo chuỗi niên kim cố định

v1.0012110212
BÀI 7
THANH TOÁN NỢ TRÁI PHIẾU THEO 
CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH
ThS. Trần Phước Huy
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
1
v1.0015110212
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Phát hành trái phiếu mở rộng hoạt động kinh doanh
Công ty Cổ phần Phúc Quang có kế hoạch mở rộng sản xuất kinh doanh thông qua
nguồn vốn thu được từ đợt phát hành trái phiếu. Khối lượng phát hành dự kiến là 100
triệu trái phiếu, mệnh giá trái phiếu là 10.000 đồng, tương ứng là 1.000 tỷ đồng thu về từ
đợt phát hành. Lãi suất coupon hàng năm là 7%. Thời hạn của đợt phát hành là 5 năm.
Để tạo điều kiện thuận lợi cho việc chi trả, các trái phiếu sẽ được đa dạng hóa về kỳ đáo
hạn từ 1 năm đến 5 năm. Đồng thời, công ty sẽ sử dụng phương thức trả theo chuỗi
niên kim cố định để thống nhất số tiền phải trả hàng năm cho đợt phát hành này.
1. Hãy xác định số tiền hàng năm mà Công ty chuẩn bị để trả nợ phát
hành trái phiếu.
2. Hãy xác định cơ cấu trái phiếu đáo hạn qua các năm phù hợp với
yêu cầu của doanh nghiệp.
3. Xây dựng lịch trả nợ lãi coupon hàng năm và gốc cho trái phiếu đáo
hạn hằng năm của Công ty.
2
v1.0015110212
MỤC TIÊU
Giúp người học hiểu được phương thức thanh toán nợ trái phiếu thường được
dùng bởi những nhà phát hành - thanh toán theo chuỗi niên kim cố định. Bên cạnh
đó, người học cũng đánh giá được hiệu của đầu tư trái phiếu cũng như hiệu quả
trong việc phát hành trái phiếu của người phát hành.
3
v1.0015110212
NỘI DUNG
Bài toán tổng quát
Trường hợp thanh toán R cao hơn mệnh giá C
Lãi suất giá thành trái phiếu
Lãi suất đầu tư trái phiếu
4
v1.0015110212
1. BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
1.2. Lập bảng thanh toán nợ trái phiếu
1.1. Bài toán và công thức
5
v1.0015110212
1.1. BÀI TOÁN VÀ CÔNG THỨC
Doanh nghiệp có một đợt phát hành trái phiếu với các kỳ hạn khác nhau:
• μ1 trái phiếu có kỳ hạn 1 năm.
• μ2 trái phiếu có kỳ hạn 2 năm.
• 
• μn trái phiếu có kỳ hạn n năm.
• Tổng số trái phiếu phát hành là N, mệnh giá trái phiếu là C. Lãi suất coupon là i%/năm.
Doanh nghiệp dự định trả nợ theo niên kim cố định.
• Vậy theo công thức ở bài 6 đã học, ta có các công thức liên quan đến trái phiếu như sau:
N = μ1 + μ2 +  + μn
• Số tiền thu được từ đợt phát hành: V = NC
• Niên kim là:
a = NC
i
1 – (1 + i) n
6
v1.0015110212
1.1. BÀI TOÁN VÀ CÔNG THỨC (tiếp)
• Số trái phiếu thanh toán lần đầu
• Số trái phiếu thanh toán ở niên kim k
1 = m1 = V i = N i
C C (1 + i)n – 1 (1 + i)n – 1 
k =
mk
=
m1(1 + i)k 1
= 1(1 + i)k – 1C C
7
v1.0015110212
1.1. BÀI TOÁN VÀ CÔNG THỨC (tiếp)
• Tổng số trái phiếu thanh toán sau k niên kim
• Số dư trái phiếu còn lại sau k niên kim
rk = 1+ 2++k= 1
(1 + i)k – 1 
= N
(1+i)k – 1 
i (1+i)n – 1 
dk = N – rk = N – N 
(1 + i)k – 1 
= N (1 + i)
n – (1+i)k
(1 + i)n – 1 (1+i)n – 1 
8
v1.0015110212
1.2. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ TRÁI PHIẾU
Bài toán: Một khoản nợ trái phiếu với số tiền V = 800.000 được chia làm 8.000 trái
phiếu, mỗi trái phiếu có mệnh giá 100. Lãi suất i = 0,06. Tổng số nợ trái phiếu được
thanh toán trong 4 năm theo niên kim cố định.
Bài giải:
Số trái phiếu thanh toán qua các năm là:
2 = 1(1 + i) = 1.939
3 = 1(1 + i)2 = 2.055
4 = N 1 2 3 = 2.177
Từ đó, ta tính được số dư trái phiếu đầu kỳ:
• d0 = 8.000
• d1 = d0 μ1 = 8.000 – 1.829 = 6.171
• d2 = d1 μ2 = 6.171 – 1.939 = 4.232
• d3 = d2 μ3 = 4.232 – 2.055 = 2.177
1 = N 
i
= 8.000
0,06
= 1.829
(1 + i)n – 1 1,064 – 1 
9
v1.0015110212
1.2. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ TRÁI PHIẾU (tiếp)
Sau đó, ta tính lãi, gốc và niên kim thanh toán trong kỳ. Và ta có bảng thanh toán nợ trái
phiếu sau:
Thời kỳ
Số trái phiếu 
đầu kỳ chưa 
đáo hạn
Lãi 
thanh 
toán
Số trái phiếu 
thanh toán
Gốc thanh 
toán Niên kim
1 8.000 48.000 1.829 182.900 230.900
2 6.171 37.026 1.939 193.900 230.926
3 4.232 25.392 2.055 205.500 230.892
4 2.177 13.062 2.177 217.700 230.762
10
v1.0015110212
2. TRƯỜNG HỢP GIÁ THANH TOÁN R CAO HƠN MỆNH GIÁ C
2.2. Niên kim cố định theo giá thanh toán
2.1. Niên kim cố định theo mệnh giá
11
v1.0015110212
2.1. NIÊN KIM CỐ ĐỊNH THEO MỆNH GIÁ
• Niên kim k được phân tích như sau:
ak = dk Ci + μk C + μk(R – C)
• Trong đó μk(R – C) được gọi là phần bù thanh toán, còn niên kim cố định vẫn là phần
thanh toán gốc và lãi theo mệnh giá dkCi + μkC. Như vậy, định luật về thanh toán
không hề thay đổi, số trái phiếu vẫn biến thiên với công bội 1 + i.
12
v1.0015110212
2.1. NIÊN KIM CỐ ĐỊNH THEO MỆNH GIÁ (tiếp)
Ta có bảng thanh toán nợ trái phiếu
Thời 
kỳ
Số trái 
phiếu 
đầu kỳ
Lãi 
thanh 
toán
Số trái 
phiếu 
thanh 
toán
Gốc 
thanh 
toán
Niên kim 
cố định
Phần bù 
thanh toán 
μk(R C)
Niên kim 
thực tế
1 8.000 48.000 1.829 182.900 230.900 36.580 267.480
2 6.171 37.026 1.939 193.900 230.926 38.780 269.706
3 4.232 25.392 2.055 205.500 230.892 41.100 271.992
4 2.177 13.062 2.177 217.700 230.762 43.540 274.266
13
v1.0015110212
2.2. NIÊN KIM CỐ ĐỊNH THEO GIÁ THANH TOÁN
• Coi niên kim cố định là:
ak = dk 1Ci + μkR
• Vậy giờ ta đi tìm quy luật biến động của μk. Thật vậy, ta cho hai niên kim liên tiếp ak
và ak+1 bằng nhau để tìm ra mối quan hệ:
ak = dk 1Ci + μkR
ak+1 = dkCi + μk+1R
• Vì hai niên kim này bằng nhau nên:
dk 1Ci + μkR = dkCi + μk+1R
μk+1R = dk 1Ci – dkCi + μkR = (dk 1 – dk)Ci + μkR = μkCi + μkR = μk(Ci + R)
Vậy: μk+1 = μk(1 + iC/R)
Vậy μk biến thiên theo cấp số nhân, công bội là (1+i’) với i’ = iC/R
14
v1.0015110212
2.2. NIÊN KIM CỐ ĐỊNH THEO GIÁ THANH TOÁN (tiếp theo)
Bài toán:
Lập bảng thanh toán nợ trái phiếu cho bài toán phần 2.1.
Ta có: i’ = 1 + i C/R = 1 + 0,06 100/120 = 0,05
2 = 1(1 + i’) = 1.949
3 = 1(1 + i’)2 = 2.046
4 = N 1 2 3 = 2.149
1 = N 
i’
= 8.000
0,06
= 1.856
(1 + i’)n – 1 1,054 – 1 
15
v1.0015110212
2.2. NIÊN KIM CỐ ĐỊNH THEO GIÁ THANH TOÁN (tiếp theo)
Vậy ta có bảng thanh toán nợ trái phiếu
Thời 
kỳ
Số trái phiếu 
đầu kỳ chưa 
đáo hạn
Lãi thanh 
toán
Số trái phiếu 
thanh toán
Gốc thanh 
toán theo R
Niên kim
dkCi + μkR
1 8.000 48.000 1.856 222.720 270.720
2 6.144 36.864 1.949 233.880 270.744
3 4.195 25.170 2.046 245.520 270.690
4 2.149 12.894 2.149 257.880 270.774
16
v1.0015110212
3. LÃI SUẤT ĐẦU TƯ TRÁI PHIẾU
• Người mua trái phiếu bỏ ra số vốn E cho mỗi trái phiếu, được thanh toán lãi tính trên
mệnh giá và được thanh toán trái phiếu theo mệnh giá C.
• Số vốn người mua bỏ ra tại thời điểm hiện tại là NE.
• Thu nhập của người mua là niên kim hàng năm.
a = NC
i
1 – (1 + i) n
17
v1.0015110212
3. LÃI SUẤT ĐẦU TƯ TRÁI PHIẾU (tiếp)
• Lãi suất đầu tư trái phiếu t là mức lãi suất chiết khấu làm cân bằng dòng tiền thu
nhập từ trái phiếu và chi phí mà người mua trái phiếu đã bỏ ra, do vậy ta có:
• Để tìm được lãi suất đầu tư trái phiếu t, ta có thể dùng phương pháp nội suy hoặc
dùng các loại máy tính Casio fx để đoán nghiệm.
NE = a
1 – (1 + t) n 
= NC
i
1 – (1 + t) n 
t 1 – (1 + i) n t
1 – (1 + t) n 
=
E
1 – (1 + i) n 
t C i
18
v1.0015110212
3. LÃI SUẤT ĐẦU TƯ TRÁI PHIẾU
Bài toán: Một công ty phát hành trái phiếu với mệnh giá là 500, lãi suất 3% và sẽ thanh
toán theo mệnh giá trong 50 năm. Hãy xác định lãi suất đầu tư trái phiếu t biết rằng giá
phát hành là 350.
Giải:
Đặt
1 – (1 + t) n 
=
E
1 – (1 + i) n 
=
350
1 – 1,03 50
= 18, 01
t C i 500 0,03
f(t) =
1 – (1 + t) n 
t
19
v1.0015110212
3. LÃI SUẤT ĐẦU TƯ TRÁI PHIẾU (tiếp)
• f(0,05) = 18,26
• f(0,06) = 15,76
• Do đó, theo phương pháp nội suy:
• Với a = 0,06, b = 0,05
• Do vậy ta có:
f(t) – f(b)
=
t – b
f(a) – f(b) a – b 
t = b +
f(t) – f(b)
(a – b) = 5,09%
f(a) – f(b)
20
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT GIÁ THÀNH PHÁT HÀNH TRÁI PHIẾU
• Khi phát hành trái phiếu, người phát hành phải bỏ ra các chi phí liên quan nên số tiền
thực sự nhận được sẽ nhỏ hơn NE.
• Gọi f là tỉ lệ chi phí phát hành cho một trái phiếu, vậy số tiền thu về từ đợt phát hành
là: N(E – f).
• Trong khi, chi phí hàng năm người phát hành bỏ ra để trả niên kim cố định hàng năm
vẫn là:
a = NC
i
1 – (1 + i) n
21
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT GIÁ THÀNH PHÁT HÀNH TRÁI PHIẾU (tiếp)
• Lãi suất giá thành phát hành trái phiếu t’ là mức lãi suất chiết khấu làm cân bằng
nguồn thu từ trái phiếu và chi phí mà người phát hành trái phiếu đã bỏ ra, do vậy ta có:
• Tương tự lãi suất đầu tư trái phiếu, lãi suất giá thành phát hành trái phiếu cũng được
tính bằng phương pháp nội suy.
N(E – f) = a
1 – (1 + t’) n
= NC
i 1 – (1 + t’)
 n
t’ 1 – (1 + i) n t’
1 – (1 + t’) n
=
E – f 1 – (1 + i)
 n
t’ C i
22
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT GIÁ THÀNH PHÁT HÀNH TRÁI PHIẾU
Bài toán: Một công ty phát hành trái phiếu với mệnh giá là 500, lãi suất 3% và sẽ thanh
toán theo mệnh giá trong 50 năm. Hãy xác định lãi suất đầu tư trái phiếu t biết rằng giá
phát hành là 350 và chi phí phát hành một trái phiếu là 10. Hãy tính lãi suất giá thành
phát hành của trái phiếu.
Bài giải:
Đặt:
1 – (1 + t’) n
=
E – f 1 – (1 + i)
 n
=
350 – 10 1 – 1,03
 50
= 17,50
t’ C i 500 0,03
f(t’) =
1 – (1 + t’) n
t’
23
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT GIÁ THÀNH PHÁT HÀNH TRÁI PHIẾU (tiếp)
• f(0,05) = 18,26
• f(0,06) = 15,76
• Do đó, theo phương pháp nội suy:
• Với a = 0,06; b = 0,05
• Do vậy ta có:
f(t’) – f(b)
=
t’ – b
f(a) – f(b) a b
t’ = b +
f(t’) – f(b)
(a – b) = 5,30%
f(a) – f(b)
24
v1.0015110212
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Số tiền trả nợ hàng năm là:
Số trái phiếu đáo hạn hàng năm là:
Việc xây dựng lịch trả nợ lãi và gốc cho trái phiếu đáo hạn, chúng ta làm tương tự như
lập bảng thanh toán nợ trái phiếu.
5
0, 07100 10.000 243.890( )
1 (1 ) 1 1, 07n
ia NC trd
i 
1 5
2 1
2 2
3 1
3 3
4 1
5 1 2 3 4
0,07100 17.389.069
(1 ) 1 1,07 1
(1 ) 17.389.069 1,07 18.606.304
(1 ) 17.389.069 1,07 19.908.745
(1 ) 17.389.069 1,07 21.302.307
22.793.575
n
iN
i
i
i
i
N
μ
μ μ
μ μ
μ μ
μ μ μ μ μ
25
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Một công ty phát hành trái phiếu với mệnh giá là 1.000, lãi suất 10% và sẽ thanh toán
theo mệnh giá trong 10 năm. Hãy xác định lãi suất đầu tư trái phiếu t biết rằng giá phát
hành là 950.
A. 12,111%
B. 18,112%
C. 12,118%
D. 11,218%
Trả lời:
• Đáp án đúng là: D. 18,112%
• Giải thích: Theo công thức tính lãi suất đầu tư ta có:
101 (1 ) 1 (1 ) 950 1 1,1 5,837
1.000 0,1
n nt E i
t C i
26
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 (tiếp)
Đặt:
Theo phương pháp nội suy:
f(11%) = 5,889
f(12%) = 5,650
Nên lãi suất đầu tư trái phiếu là: (a = 12%, b = 11%)
t b f (t) f (b)
f (a) f (b) (a b) 11% 
5,837 5,889
5, 650 5,889 (12% 11%) 11, 218%
f (t) 1 (1 t)
 10
t
27
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Một công ty phát hành trái phiếu với mệnh giá là 1.000, lãi suất 10% và sẽ thanh toán
theo mệnh giá trong 10 năm. Hãy xác định lãi suất phát hành trái phiếu t’ biết rằng giá
phát hành là 950 và chi phí phát hành trái phiếu là 30.
A. 11,559%
B. 12,252%
C. 11,987%
D. 10,342%
Trả lời:
• Đáp án đúng là: C. 11,987%
• Giải thích: Theo công thức tính lãi suất đầu tư ta có:
101 (1 ') 1 (1 ) 950 30 1 1,1 5,653
' 1.000 0,1
n nt E f i
t C i
28
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Đặt:
Theo phương pháp nội suy:
f(11%) = 5,889
f(12%) = 5,650
Nên lãi suất đầu tư trái phiếu là: (a = 12%, b = 11%)
f (t ') 1 (1 t ')
 10
t '
t b f (t ') f (b)
f (a) f (b) (a b) 11% 
5, 653 5,889
5, 650 5,889 (12% 11%) 11,987%
29
v1.0015110212
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Bài 7 đã cung cấp cho người học hình thức thanh toán nợ trái phiếu theo chuỗi niên kim
cố định. Các công thức được xây dựng dựa trên các công thức thanh toán nợ thông
thường theo chuỗi niên kim cố định. Bảng thanh toán nợ trái phiếu cũng được xây dựng
sau khi xác định đủ các đại lượng trong một niên kim. Giá phát hành, giá thanh toán của
trái phiếu cũng được xác định nhằm có cơ sở đánh giá hiệu quả phát hành và đầu tư trái
phiếu. Lãi suất phát hành và lãi suất đầu tư trái phiếu cũng được tính toán bằng công thức
nội suy để đánh giá hiệu quả có được về phía nhà đầu tư cũng như người phát hành.
30