Bài giảng Toán tài chính - Bài 6: Thanh toán nợ thông thường

v1.0012108210
BÀI 6
THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG
ThS. Trần Phước Huy
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
v1.0012108210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Ước mơ mua oto của người có thu nhập khá
Anh Nguyễn Trần Hoàn là một nhân viên ngân hàng, mỗi tháng tiết kiệm được khoản 10
triệu đồng. Anh mong muốn có một chiếc oto với tầm giá khoảng 500 triệu đồng để đi
làm và phục vụ việc đi lại của gia đình. Hiện nay, anh có một khoản tiết kiệm khoản 200
triệu đồng. Để hiện thực hóa ước mơ của mình, anh dự định vay ngân hàng phần còn
thiếu trong khoảng 3 năm, lãi suất dự kiến của ngân hàng là 1%/tháng. Hãy xác định số
tiền trả nợ hằng tháng phù hợp với thu nhập của anh Hoàn nếu anh chọn vay ngân hàng
để mua oto.
Với tình huống đặt ra, các bạn phải xác định:
1. Số tiền trả nợ hằng tháng là bao nhiêu? Nó có phù hợp với thu nhập 
hiện tại của anh Hoàn không?
2. Nếu số tiền trả nợ lớn hơn 10 triệu một tháng thì có cần thiết kéo dài 
thời gian trả nợ không?
v1.0012108210
MỤC TIÊU
Bài 6 sẽ giúp người học nắm được các phương thức thanh toán một khoản nợ
thông thường - ví dụ là nợ ngân hàng. Từ đó, người học sẽ có các kế hoạch tài
chính phù hợp với dòng tiền trong tương lai của mình. Bên cạnh đó, người học
còn tiếp cận một phương thức thanh toán nợ phổ biến là thanh toán nợ theo
chuỗi niên kim cố định. Đây là phương thức phổ biến trong cho vay tiêu dùng,
cho vay trả góp mà ở đó, định kỳ người vay sẽ trả một số tiền không đổi đến khi
khoản vay đáo hạn.
v1.0012108210
NỘI DUNG
Thanh toán nợ thông thường theo chuỗi niên kim cố định
Thanh toán nợ thông thường có mức trả gốc hàng kỳ cố định
Thanh toán nợ thông thường có mức trả gốc biến động theo cấp số cộng, công sai
bằng mức trả gốc kỳ đầu tiên
Các phương thức thanh toán khác
v1.0012108210
1. THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG THEO CHUỖI NIÊN KIM CỐ ĐỊNH
1.2. Định luật thanh toán nợ gốc
1.1. Các đại lượng trong thanh toán nợ thông thường
1.3. Một số công thức
1.4. Lập bảng thanh toán nợ thông thường
v1.0012108210
1.1. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG
• Bài toán: Một người vay số tiền là V, lãi suất là i%/năm, thời hạn là n năm và dự định
trả nợ bằng n niên kim a1, a2,  an. Số tiền trả nợ hàng năm ai = a. Niên kim đầu tiên
được thực hiện ngay sau lần vay 1 năm. Vậy theo công thức niên kim cố định, ta có
giá trị khoản vay sẽ bằng tổng giá trị hiện tại các niên kim.
• Niên kim thanh toán hàng năm gồm cả tiền trả lãi Ik và trả gốc mk: ak = Ik + mk
• Gọi dư nợ đầu kỳ k là Dk 1, vậy tiền lãi Ik = Dk -1.i
• Gọi Rk là tổng nợ gốc đã thanh toán sau k niên kim.
V = a
1- (1 + i)-n
i
v1.0012108210
1.2. ĐỊNH LUẬT THANH TOÁN NỢ GỐC
Trong thanh toán nợ thông thường theo chuỗi niên kim cố định, số tiền thanh toán nợ
gốc mk biến thiên theo cấp số nhân, công bội là (1+i).
Chứng minh: ak = Ik + mk = Dk 1 i + mk
ak + 1 = Ik + 1 + mk + 1 = Dk i + mk+1
Mà ak = ak+1 nên Dk i + mk+1 = Dk 1 i + mk
Hay mk + 1 = Dk 1 i – Dk i + mk = (Dk 1 – Dk)i + mk = mk i + mk = mk(1 + i)
Vậy mk + 1 = mk(1 + i) = mk 1(1 + i)2 =  = m1(1 + i)k
v1.0012108210
1.3. MỘT SỐ CÔNG THỨC
V = m1 + m2 + ... + mn = m1 
(1 + i)n – 1 
I
m1 = V
i
(1+i)n – 1 
mk = m1(1 + i)k – 1
Rk = m1 + m2 +  + mk = m1
(1+i)k – 1 
i
Rk = V
(1 + i)k – 1 
(1 + i)n – 1 
Dk = V – Rk = V
(1 + i)n – (1 + i)k
(1 + i)n – 1 
v1.0012108210
1.4. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG
Thời kỳ Dư nợ đầu kỳ Lãi thanh toán Gốc thanh toán Niên kim
1 V = D0 I1 = D0 × i m1 a1 = I1 + m1
2 D1 = D0 – m1 I2 = D1 × i m2 a2 = I2 + m2
    
N Dn 1 = Dn 2 – mn 1 In = Dn 1 × i mn an= In + mn
v1.0012108210
1.4. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG (tiếp)
Ví dụ: Một khoản nợ 800.000 được thanh toán theo chuỗi niên kim cố định trong 4 năm,
lãi suất 6%. Hãy lập bảng thanh toán nợ thông thường.
Giải:
• Ta có:
• I1 = 800.000 0,06 = 48.000
• m1 = a I1 = 230.873 – 48.000 = 182.873
• m2 = m1(1 + i) = 182.873 1,06 = 193.845
• D1 = D0 – m1 = 800.000 – 182.873 = 617.127
• I2 = D1 i = 617.127 0,06 = 37.028
a = V
I
= 800.000
0,06
= 230.873
1 - (1 + i)-n 1 - 1,06-4
v1.0012108210
1.4. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG (tiếp)
Thời kỳ Dư nợ đầu kỳ Lãi thanh toán Gốc thanh toán Niên kim
1 V = 800.000 I1 = 48.000 m1 = 182.873 a1 = 230.873
2 D1 = 617.127 I2 = 37.028 m2 = 193.845 a2 = 230.873
3 D2 = 423.282 I3 = 25.397 m3 = 205.476 a3 = 230.873
4 D3 = 217.806 I4 = 13.068 m4 = 217.806 a4= 230.874
v1.0012108210
2. THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG CÓ MỨC TRẢ GỐC HÀNG KỲ CỐ ĐỊNH
2.2. Mức trả gốc hàng kỳ
2.1. Bài toán tổng quát
2.3. Quy luật biến động các niên kim
2.4. Xác định giá trị niên kim ak
2.5. Lập bảng thanh toán nợ
v1.0012108210
2.1. BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Bài toán: Một người vay số tiền là V, lãi suất là i%/năm, thời hạn là n năm và dự định trả
nợ bằng n niên kim a1, a2,  an. Số tiền trả nợ gốc hàng năm mi = m. Niên kim đầu tiên
được thực hiện ngay sau lần vay 1 năm. Hãy tính các đại lượng trong bảng thanh toán
nợ thông thường.
v1.0012108210
2.2. MỨC TRẢ GỐC HÀNG KỲ
• Ta biết tổng số nợ gốc thanh toán sẽ bằng số vốn vay ban đầu:
V = m1 + m2 +  + mn = nm
• Vậy: m = V/n
v1.0012108210
2.3. QUY LUẬT BIẾN ĐỘNG CÁC NIÊN KIM
Ta có giá trị hai niên kim liên tiếp bất kỳ là:
ak = Ik + mk = Dk 1× i + mk
ak + 1 = Ik + 1 + mk + 1 = Dk i + mk + 1
Vậy ak + 1 – ak= (Dk – Dk 1)i = mi
Do đó, các niên kim ak biến thiên theo cấp số cộng, công sai là – mi.
v1.0012108210
2.4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ NIÊN KIM ak
• Niên kim thứ 1 là:
a1 = Vi + m1 = Vi + V/n = V(i + 1/n)
• Từ công thức cấp số cộng ta có:
Ak = a1 + (k – 1)( mi) = V(i +
1
) –
Vi
(k – 1) = V(i +
1 i (k – 1) 
n n n n
v1.0012108210
2.5. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ
Bài toán: Một khoản nợ 1.000.000 với lãi suất 5% phải thanh toán trong 4 năm. Hãy lập
bảng thanh toán nợ đó biết rằng các niên kim được thực hiện theo khoản thanh toán nợ
gốc cố định.
Giải
Ta có:
• m =V/n = 1.000.000/4 = 250.000
• a1 = Vi + m = 50.000 + 250.000 = 300.000
• a2 = a1 – mi = 300.000 250.000 5% = 287.500
• a3 = a2 – mi = 287.500 250.000 5% = 275.000
• a4 = a3 – mi = 275.000 250.000 5% = 262.500
v1.0012108210
2.5. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ (tiếp)
Vậy ta có bảng thanh toán nợ:
Thời kỳ Dư nợ đầu kỳ Lãi thanh toán Gốc thanh toán Niên kim
1 V = 1.000.000 I1 = 50.000 m1 = 250.000 a1 = 300.000
2 D1 = 750.000 I2 = 37.500 m2 = 250.000 a2 = 287.500
3 D2 = 500.000 I3 = 25.000 m3 = 250.000 a3 = 27.500
4 D3 = 250.000 I4 = 12.500 m4 = 250.000 a4= 262.500
v1.0012108210
3. THANH TOÁN NỢ THÔNG THƯỜNG CÓ MỨC TRẢ GỐC BIẾN ĐỘNG THEO CẤP SỐ 
CỘNG, CÔNG BỘI BẰNG MỨC TRẢ GỐC KỲ ĐẦU TIÊN
3.2. Nợ gốc kỳ thứ nhất m1
3.1. Bài toán
3.3. Xác định niên kim ak
3.4. Lập bảng thanh toán nợ
v1.0012108210
3.1. BÀI TOÁN
Bài toán: Một người vay số tiền là V, lãi suất là i%/năm, thời hạn là n năm và dự định trả
nợ bằng n niên kim a1, a2,  an. Số tiền trả nợ gốc hàng năm mk biến thiên theo cấp số
cộng, công bội là m1. Niên kim đầu tiên được thực hiện ngay sau lần vay 1 năm. Hãy tính
các đại lượng trong bảng thanh toán nợ thông thường.
v1.0012108210
3.3. XÁC ĐỊNH NIÊN KIM ak
mk = km1 = V
2k
n(n + 1)
Rk – 1 = m1 + m2 +  + mk – 1(1 + 2 +  (k – 1 )) = m1
k(k – 1)
= V
k(k – 1)
2 n( n + 1) 
Dk – 1 = V – Rk – 1 = V – V
k(k – 1)
n(n + 1)
ak = Ik + mk = Dk – 1i + km1 = V
i(n2 + n – k2 + k) + 2k
n(n + 1)
Giải
Ta có:
m2 = 2m1, m3 = 3m1, , mn = nm1
Nên: 
V = m1 + m2 +  + mn = m1(1 + 2 +  + n) = m1 n(n + 1)/2
Vậy:
m1 = V
2
n(n +1)
v1.0012108210
3.4. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ
Bài toán: Hãy lập bảng thanh toán nợ cho một khoản nợ là 42.000, lãi suất 5%/năm,
thời hạn 6 năm. Phương thức là số tiền thanh toán gốc phải biến thiên theo cấp số cộng
với công sai là số hạng đầu tiên.
Giải:
m1 = V
2
= 42.000
2
= 2.000
n(n +1) 42
I1 = Vi = 42.000 5% = 2.100
a1 = m1 + i1 = 4.100
v1.0012108210
3.4. LẬP BẢNG THANH TOÁN NỢ (tiếp)
• Tương tự ta tính được nợ gốc thanh toán trong kỳ, dư nợ gốc đầu kỳ, lãi thanh toán
trong kỳ và niên kim. Vậy ta có bảng thanh toán nợ sau:
Niên kim Dư nợ đầu kỳ Lãi thanh toán Gốc thanh toán Niên kim
1 V = 42.000 I1 = 2.100 m1 = 2.000 a1 = 4.100
2 D1 = 40.000 I2 = 2.000 m2 = 4.000 a2 = 6.000
3 D2 = 36.000 I3 = 1.800 m3 = 6.000 a3 = 7.800
4 D3 = 30.000 I4 = 1.500 m4 = 8.000 a4= 9.500
5 D4 = 22.000 I5 = 1.100 m5 = 10.000 a5 = 11.100
6 D5 = 12.000 I6 = 600 m6 = 12.000 a6 = 12.600
v1.0012108210
4. CÁC PHƯƠNG THỨC THANH TOÁN KHÁC
4.2. Thanh toán gốc và lãi một lần.
4.1. Thanh toán nợ gốc một lần, lãi định kỳ
v1.0012108210
4.1. THANH TOÁN NỢ GỐC MỘT LẦN, LÃI ĐỊNH KỲ
Bài toán: Hãy lập bảng thanh toán nợ cho khoản nợ 10.000, lãi suất 10%/năm, thời hạn
4 năm. Gốc trả một lần cuối kỳ, lãi trả định kỳ.
Giải:
Ta có bảng thanh toán nợ:
Năm Dư nợ đầu kỳ Trả lãi Trả gốc Niên kim
1 10.000 1.000 0 1.000
2 10.000 1.000 0 1.000
3 10.000 1.000 0 1.000
4 10.000 1.000 10.000 11.000
v1.0012108210
4.2. THANH TOÁN GỐC VÀ LÃI MỘT LẦN
Bài toán: Hãy lập bảng thanh toán nợ cho khoản nợ 10.000, lãi suất 10%/năm, thời hạn
4 năm. Trả gốc và lãi 1 lần khi đáo hạn.
Giải:
Ta có bảng thanh toán nợ:
Năm Dư nợ đầu kỳ Trả lãi Trả gốc Niên kim
1 10.000 0 0 0
2 10.000 0 0 0
3 10.000 0 0 0
4 10.000 4.000 10.000 14.000
v1.0012108210
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Số tiền anh Hoàn phải vay ngân hàng là: 500 – 200 = 300 triệu đồng.
Số tiền trả nợ mỗi lần là:
Vậy ta thấy rằng, số tiền này hoàn toàn phù hợp với khoản tiết kiệm hằng tháng của anh
Hoàn là 9,964 triệu đồng.
Do đó, anh không cần thiết kéo dài thời hạn khoản vay, thậm chí anh có thể nâng số tiền
trả nợ mỗi lần lên để trả khoản nợ sớm nhất có thể.
a V i
1 (1 i) n 300
0, 01
1 1.01 36 9, 964
v1.0012108210
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Một người mua Tivi Samsung 32 Inch trả góp với giá là 40 triệu đồng. Thời gian trả góp
là 36 tháng, lãi suất là 12%/năm. Hỏi số tiền trả góp mỗi tháng là bao nhiêu?
A. 1,283 triệu.
B. 1,328 triệu.
C. 1,400 triệu.
D. 1,455 triệu.
Trả lời:
• Đáp án đúng là: B. 1,328 triệu.
• Giải thích: Theo công thức tính số tiền trả nợ hàng tháng, ta có:
Lãi suất 1 tháng là 12%/12 = 1%
Vậy số tiền trả nợ mỗi lần là:
a V i
1 (1 i) n 40
0, 01
1 1.01 36 1,328
v1.0012108210
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Cũng như tình huống trong Câu hỏi trắc nghiệm 1. Hỏi sau 24 tháng thì dư nợ còn lại là
bao nhiêu?
A. 15,493 triệu.
B. 13,495 triệu.
C. 14,953 triệu.
D. 16,666 triệu.
Trả lời:
• Đáp án đúng là: C. 14,953 triệu.
• Giải thích:
Áp dụng công thức tính dư nợ sau 24 niên kim ta có:
Dk V (1 i)
n (1 i)k
(1 i)n 1 40
1, 0136 1, 0124
1, 0136 1 14, 953
v1.0012108210
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Thanh toán nợ thông thường là hoạt động phổ biến của các tổ chức kinh tế, cá nhân. Do
vậy, các phương thức thanh toán nợ được học giúp người vay xác định rõ số tiền gốc,
tiền lãi và niên kim phải chuẩn bị định kỳ để trả nợ. Hai phương thức trả nợ phổ biến
được sử dụng trong hoạt động tài chính là theo chuỗi niên kim cố định và trả gốc cố định.
Việc xây dựng bảng thanh toán nợ giúp người vay quản lý cụ thể, rõ ràng dòng tiền của
mình dùng để trả nợ tại các thời kỳ. Các phương thức khác cũng được sử dụng để thanh
toán nợ: trả gốc và lãi một lần cuối kỳ; thanh toán gốc 1 lần, lãi định kỳ...