Bài giảng Toán tài chính - Bài 4: Lãi gộp và chiết khấu thương phiếu theo lãi gộp (Compound interest)

v1.0012108210
Bài 4
LÃI GỘP VÀ CHIẾT KHẤU 
THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI GỘP
(Compound interest)
Th.S Cao Đông Hưng
Trường đại học kinh tế quốc dân 
1
v1.0015110212
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
• Năm 1987, bức tranh Hoa Hướng Dương của Van Gogh bán được 36 triệu đô la. Với
đại đa số chúng ta, thật phi lý khi bỏ ra tới 36 triệu đô chỉ để mua một bức tranh. Hơn
thế nữa, chủ nhân của bức tranh này có vẻ như đã thu về 1 món hời lớn khi mà vào
năm 1889, tức là trước đó 98 năm, giá bức tranh này chỉ có 125 đô la.
• Tuy nhiên các nhà kinh tế lại không hề nghĩ vậy. Họ giả sử, nếu chúng ta dùng 125
đô la, đầu tư suốt từ năm 1889 đến 1987, với mức lãi suất 14% mỗi năm (thấp hơn
so với những hứa hẹn chia cổ tức của nhiều công ty), theo phương pháp lãi gộp, thì
sau 98 năm, số tiền ta nhận được từ 125 đô la lên tới hơn 47,16 triệu đô. Như vậy,
về cơ bản có thể kết luận, bức tranh được bán với giá 36 triệu đô vào năm 1987 là
khá rẻ so với giá trị thực tế.
2
1. Vậy lãi gộp là gì?
2. Công thức lãi gộp ra sao, và ứng dụng của nó trong thực tế như thế nào?
v1.0015110212
MỤC TIÊU
Bên cạnh mục tiêu giới thiệu và hướng dẫn sinh viên làm quen với các khái niệm,
xây dựng công thức tính lãi theo phương pháp lãi gộp, bài học còn giúp sinh viên
phân biệt sự khác nhau cơ bản giữa lãi đơn và lãi gộp. Bên cạnh đó, việc nắm
vững nội dung của bài này là điều kiện cần thiết để sinh viên tiếp cận và giải quyết
các bài toán tình huống trong bài học chuỗi niên kim.
3
v1.0015110212
NỘI DUNG
4
Lãi gộp
Chiết khấu thương phiếu theo lãi gộp
Sự tương đương của thương phiếu theo lãi gộp
v1.0015110212
1. LÃI GỘP (LÃI KÉP)
5
1.2. Công thức tính lãi gộp
1.1. Khái niệm lãi gộp
1.3. Tính lãi khi thời kỳ đầu tư chưa đủ thời kỳ tính lãi
1.4. Lãi suất tương đương và lãi suất tỷ lệ
v1.0015110212
1.1. KHÁI NIỆM LÃI GỘP
Lãi gộp (lãi kép) là phương pháp tính lãi trong đó tiền lãi của thời kỳ tính lãi này được
gộp vào gốc để tính lãi cho thời kỳ tiếp theo trong toàn bộ thời gian đầu tư.
6
v1.0015110212
1.2. CÔNG THỨC TÍNH LÃI GỘP
Công thức:
Cn = C0(1+i)n Hay C0 = Cn(1+i)-n
Ký hiệu:
C0: Vốn đầu tư ban đầu (đơn vị tiền tệ)
n: Số thời kỳ tính lãi (thời kỳ)
i: Lãi suất đầu tư (%/thời kỳ)
Cn : Số tiền thu được cuối cùng (đơn vị tiền tệ)
7
v1.0015110212
1.3. TÍNH LÃI KHI THỜI KỲ ĐẦU TƯ CHƯA ĐỦ THỜI KỲ TÍNH LÃI
Khi thời kỳ đầu tư chưa đủ thời kỳ tính lãi:
Thời kỳ đầu tư n = k + x (0 < x < 1)
Có 2 phương pháp tính:
1. Phương pháp thương mại:
Cnc = C0(1+i)n = C0(1+i)k(1+i)x
2. Phương pháp hợp lý:
Cnr = C0(1+i)k + C0(1+i)kxi = C0(1+i)k(1+ix)
8
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 1: Có 1 khoản tiền trị giá 500 triệu đồng gửi trong 3 năm 6 tháng hưởng lãi gộp
14%/năm. Yêu cầu tính số tiền thu được theo phương pháp thương mại và theo phương
pháp hợp lý.
9
v1.0015110212
1.4. LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ LÃI SUẤT TỶ LỆ
Lãi suất tương đương
Hai lãi suất gọi là tương đương với nhau nếu với cùng số vốn đầu tư ban đầu, cùng thời
gian đầu tư, đầu tư theo 2 mức lãi suất trên thì số tiền thu được cuối cùng bằng nhau.
10
v1.0015110212
1.4. LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ LÃI SUẤT TỶ LỆ
Lãi suất tỷ lệ là lãi suất chia đều theo độ dài thời gian.
•Gọi i là lãi suất của thời kỳ u
•i’ là lãi suất của thời kỳ v
•i và i’ tỷ lệ với nhau nếu:
11
i
=
u
I’ v
v1.0015110212
1.4. LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ LÃI SUẤT TỶ LỆ (tiếp theo)
12
Gọi i là lãi suất của 1 thời kỳ (1 năm)
ik là lãi suất của 1/n thời kỳ (1/k năm)
• Nếu biết i thì ik tính bằng:
ik = (1+i)1/n – 1
• Nếu biết ik thì i tính bằng:
i = (1+ik)n – 1
v1.0015110212
BÀI TẬP TÌNH HUỐNG
Bài 2: Biết lãi suất tiền gửi tiết kiệm là 12%/năm.
Xác định lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương của 3 tháng, 6 tháng?
Đáp án:
Lãi suất tỷ lệ của 3 tháng là 12%/4 = 3%/3 tháng
Lãi suất tương đương của 3 tháng là (1+ 12%)1/4 -1 = 2,87%
Nếu gửi tiền kì hạn 6 tháng: Lãi suất tỷ lệ của 6 tháng là 12%/2 = 6%/6 tháng
Lãi suất tương đương của 6 tháng là (1+12%)1/2 -1 = 5,83%
13
v1.0015110212
2. CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI GỘP
14
2.2. Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu
2.1. Sự tương đương của hai thương phiếu
2.3. Định lý về sự tương đương của thương phiếu theo lãi gộp
v1.0015110212
2. CHIẾT KHẤU THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI GỘP
15
Bài toán: Khách hàng đem thương phiếu mệnh giá C đến ngân hàng xin chiết khấu, thời
gian còn lại của thương phiếu là n (thời kỳ), lãi suất chiết khấu là i (%/thời kỳ). Tính giá trị
hiện tại V và tiền chiết khấu E.
Công thức:
V = C(1+i)-n
E = C – V = C[1- (1+i)-n]
v1.0015110212
2.1. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HAI THƯƠNG PHIẾU
Có 2 thương phiếu lần lượt:
C1 với thời gian còn lại là n1 (thời kỳ)
C2 với thời gian còn lại là n2 (thời kỳ)
Nếu C1 tương đương với C2 thì:
16
 1 21 2 1 21 1n nV V hay C i C i 
v1.0015110212
2.2. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HAI NHÓM THƯƠNG PHIẾU
Có 2 nhóm thương phiếu lần lượt:
Nhóm 1 gồm k thương phiếu nhóm 2 gồm h thương phiếu. Nếu 2 nhóm tương đương
với nhau tại một thời điểm thì tại thời điểm tương đương:
V1 + V2 +  + Vk = V1 + V2 +  + Vh
Trong đó: V = C(1+i)-n
17
v1.0015110212
2.3. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA THƯƠNG PHIẾU THEO LÃI GỘP 
Theo lãi gộp (trong dài hạn), nếu 2 thương phiếu đã tương đương với nhau tại một thời
điểm thì chúng sẽ tương đương với nhau tại mọi thời điểm mà 2 thương phiếu còn tồn tại.
18
v1.0015110212
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Theo công thức chúng ta đã học ở trên về lãi gộp, lãi suất của khoản đầu tư này được
tính theo công thức như sau:
125 (1+i)98 = 36.000.000 với i là mức lợi suất cần tìm
Ta có: (1+i)98 = 288.000 để tính i, ta có thể logarit hóa cả 2 vế của đẳng thức
Như vậy 98 ln(1+i) = ln288.000
ln(1+i) = ln288.000/98 = 0,12827261
i = e0,12827261 – 1 = 0,1368
Như vậy chủ sở hữu bức tranh này có lợi suất 13,68%/năm khi bán bức tranh này sau
98 năm nắm giữ.
19
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Khi quy đổi từ lãi suất năm về các mức lãi suất của kì tính lãi nhỏ hơn (quý, tháng,
ngày,.), ta thu được kết quả nào?
A. Mức lãi suất tỷ lệ của các thời kì dưới 1 năm lớn hơn mức lãi suất tương đương của
cùng thời kì đó.
B. Mức lãi suất tỷ lệ của các thời kì dưới 1 năm nhỏ hơn mức lãi suất tương đương của
cùng thời kì đó.
C. Mức lãi suất tỷ lệ của các thời kì dưới 1 năm bằng mức lãi suất tương đương của
cùng thời kì đó.
D. Ý kiến khác.
Trả lời:
Đáp án đúng là: A. Mức lãi suất tỷ lệ của các thời kì dưới 1 năm lớn hơn mức lãi suất
tương đương của cùng thời kì đó.
20
v1.0015110212
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Khi tính lãi cho các khoản vay với khách hàng, ngân hàng thường quy đổi theo phương
pháp nào?
A. Lãi suất tương đương.
B. Lãi suất tỷ lệ.
C. Tùy theo thoả thuận với khách hàng.
D. Ý kiến khác.
Trả lời:
Đáp án đúng là: B. Lãi suất tỷ lệ.
21
v1.0015110212
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Lãi gộp là phương pháp tính lãi phổ biến, có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực tài
chính, thương mại, đầu tư, bảo hiểm, Việc nắm vững những lý thuyết cơ bản và áp
dụng thành thạo các công thức lãi gộp là tiền đề cơ sở quan trọng để sinh viên tiếp thu
tốt những bài học tiếp theo.
22