Bài giảng Toán tài chính - Bài 1: Lãi đơn

v1.0015110212
TOÁN TÀI CHÍNH 
Bộ môn Ngân hàng thương mại, Viện ngân hàng tài chính
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
1
v1.0015110212
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN
I. Mục tiêu học phần:
Môn học cung cấp hệ thống kiến thức cơ bản về cách thức tính lãi, chiết khấu, tiết kiệm, trả nợ
vay và cách xây dựng các chỉ tiêu đánh giá hiệu quả tài chính của dự án đầu tư. Qua đó,
sinh viên nắm được bản chất, nguyên lý và các công cụ tính toán trong hoạt động kinh
doanh của ngành ngân hàng nói riêng cũng như các nghiệp vụ tài chính nói chung. Sau
khi nghiên cứu môn học, sinh viên vừa được trang bị các kiến thức cơ bản về bản chất và
nguyên lý tính toán trong các nghiệp vụ tài chính, vừa biết vận dụng các kiến thức đó để
xây dựng các bài toán tài chính trong những hoàn cảnh riêng với môi trường và các điều
kiện khác nhau.
II. Nội dung nghiên cứu.
• Bài 1: Lãi đơn
• Bài 2: Chiết khấu theo lãi đơn
• Bài 3: Tài khoản vãng lai
• Bài 4: Lãi gộp và chiết khấu theo lãi gộp
• Bài 5: Chuỗi niên kim
• Bài 6: Thanh toán nợ thông thường
• Bài 7: Thanh toán nợ trái phiếu
III. Tài liệu tham khảo
Giáo trình Toán Tài chính, trường Đại học Kinh tế Quốc dân, Chủ biên: GS Mai Siêu, NXB
Giáo Dục 1998. 2
v1.0015110212
BÀI 1
LÃI ĐƠN
ThS. Nguyễn Thành Trung
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
3
v1.0015110212
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Khi về hưu, ông X có một khỏan tiền tiết kiệm và muốn gửi vào ngân hàng để nhận lãi
nhằm mục đích trang trải cho cuộc sống. Ông X đã tham khảo các khoản huy động tại
các ngân hàng thương mại khác nhau. Ông phân vân giữa 2 ngân hàng A và B với 2
hình thức huy động như sau:
• Ngân hàng A: Tiền gửi tính theo lãi đơn, lãi trả sau với lãi suất là 5%/năm, gốc và lãi
trả 1 lần vào cuối năm.
• Ngân hàng B: Tiền gửi tính theo lãi đơn, lãi trả trước với lãi suất là 4,9%/năm, gốc trả
vào cuối năm.
Hình thức gửi tiền nào đem lại nhiều lợi ích hơn cho ông X?
4
v1.0015110212
MỤC TIÊU
• Giải thích khái niệm, vai trò của lãi và lãi suất.
• Nắm được sự khác biệt giữa các cách thức tính lãi khác nhau (lãi trả trước và lãi
trả sau).
• Nắm được cách tính lãi đơn.
• Hiểu được các tình huống phải sử dụng lãi đơn trong thực tế.
5
v1.0015110212
NỘI DUNG
Tiền lãi (lãi) và lãi suất
Khái niệm lãi đơn
Công thức lãi đơn
Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn
Lãi suất thực và lãi suất danh nghĩa
1
2
3
4
5
6
v1.0015110212
1. TIỀN LÃI VÀ LÃI SUẤT
• Tiền lãi được hiểu là thu nhập từ một khoản vay bằng tiền tệ.
Đây là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay, để bù đắp cho lợi ích
của việc nắm giữ một lượng tiền trong một khoảng thời gian nhất định.
• 3 yếu tố chính giúp ta xác định số tiền lãi:
 Số tiền cho vay ban đầu;
 Thời gian cho vay;
 Mức lãi suất của khoản vay.
• Có 2 hình thức tính lãi: Lãi tính theo lãi đơn và lãi tính theo lãi gộp.
7
v1.0015110212
1. TIỀN LÃI VÀ LÃI SUẤT (tiếp theo)
• Những lưu ý quan trọng với một khoản vay:
 Số tiền cho vay;
 Thời gian cho vay;
 Lãi suất;
 Kì tính lãi;
 Hình thức trả nợ.
8
v1.0015110212
2. KHÁI NIỆM LÃI ĐƠN
Lãi đơn là phương pháp tính lãi mà tiền lãi tính một lần trên vốn đầu tư ban đầu
trong toàn bộ thời gian đầu tư.
9
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
Các ký hiệu:
C: Vốn đầu tư ban đầu (đvtt)
t%/năm: Lãi suất đầu tư
I: Tiền lãi (đvtt)
Công thức:
• Nếu thời gian đầu tư là a (năm) thì:
• Nếu thời gian đầu tư là b (tháng) thì:
• Nếu thời gian đầu tư là n (ngày) thì:
I =
C.t.a
100
I =
C.t.b
1.200
I =
C.t.n
36.000
10
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN (tiếp theo)
Như vậy số tiền nhận được nếu cho vay với lãi đơn trong n ngày :
V = C + I = C + = C (1+ )
Lưu ý:
•36.000 ở mẫu xuất phát từ việc tính toán coi 1 năm có 360 ngày. Đây được coi là độ dài
của 1 năm tài chính.
•n được tính theo số ngày thực tế của 1 năm dân sự (365 hoặc 366 ngày).
C.t.n
36.000
t.n
36.000
11
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
Ví dụ: Một khoản tiền trị giá 10 000 euro được gửi vào một tài khoản thanh toán từ ngày
23/4 đến ngày 9/8 với lãi suất là 7%, lãi tính theo lãi đơn.
a) Hãy tính số tiền lãi thu được khi khoản gửi này đến hạn thanh toán.
b) Hãy tính số tiền nhận được.
c) Hãy tìm ngày đến hạn thanh toán nếu số tiền lãi thu được lên đến 315 euro.
12
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN (tiếp theo)
Bài giải:
Ta có I = với C = 10.000, t = 7.
a) Tính số ngày khoản tiền được gửi.
Tháng 4 = 7
Tháng 5 = 31
Tháng 6 = 30
Tháng 7 = 31
Tháng 8 = 9
Tổng: 108 ngày
I = 210 euro
b) Số tiền nhận được của khoản gửi này là V.
V = C + I = 10.000 + 210 = 10.210 euro
. t .n
36.000
C
13
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN (tiếp theo)
c) Ngày đến hạn thanh toán tương ứng với khoản tiền lãi 315 euro.
Do I = nên n = => n = = 162 ngày
Tháng 4 = 7
Tháng 5 = 31
Tháng 6 = 30
Tháng 7 = 31
Tháng 8 = 31
Tháng 9 = 30
160
Tháng 10 = 2
162
Ngày đến hạn thanh toán là ngày 2/10.
36.000
C t n 36.000 I
. tC
 36.000 315
10.000 7
14
v1.0015110212
3. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
Phương pháp thương số và tích số trong bài toán tính lãi đơn
Từ công thức tính I, đặt: N = C.n
 D = 36.000
t
 I = N
D
15
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH CỦA NHIỀU KHOẢN VỐN ĐỒNG THỜI 
• Lý do xem xét lãi suất trung bình: Để xác định tỷ lệ sinh lời trung bình hoặc chi phí
vốn trung bình của các khoản vốn.
• Khái niệm T%/năm: Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn là lãi suất mà nếu thay
lãi suất này vào các lãi suất cá biệt thì tổng tiền lãi của các khoản vốn không đổi.
• Công thức: Gọi T (%/năm) là lãi suất trung bình của j khoản vốn lần lượt là: (C1,t1,n1);
(C2,t2,n2); (C3,t3,n3), (Cj,tj,nj)
1
1
. .
.
j
i i ii
j
i ii
C t n
T
C t
 
16
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH CỦA NHIỀU KHOẢN VỐN ĐỒNG THỜI (tiếp theo) 
Ví dụ:
Hãy tính lãi suất cho vay trung bình của các khoản vốn sau:
2.000 đvtt gửi với lãi suất 3% trong vòng 30 ngày.
3.000 đvtt gửi với lãi suất 4% trong vòng 40 ngày.
4.000 đvtt gửi với lãi suất 5% trong vòng 50 ngày.
17
v1.0015110212
4. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH CỦA NHIỀU KHOẢN VỐN ĐỒNG THỜI (tiếp theo) 
2.000 3 30 3.000 4 40 4.000 5 50 4,37%
2.000 30 3.000 40 4.000 50
T Đáp án
18
v1.0015110212
5. LÃI SUẤT THỰC VÀ LÃI SUẤT DANH NGHĨA
• Khi kí kết một hợp đồng tín dụng, mức lãi suất được ghi trong hợp đồng được gọi là lãi
suất danh nghĩa. Thông thường, lãi suất danh nghĩa được yết theo kì tính lãi là 1 năm.
Ví dụ: 18%/1 năm thường được ghi là 18%.
• Lãi suất thực là mức lãi suất phát sinh do ảnh hưởng của các hình thức trả nợ khác
nhau. Lãi suất thực vì thế có thể giống hoặc khác biệt so với lãi suất danh nghĩa.
• Trong thực tế, lãi suất thực thường cao hơn lãi suất danh nghĩa.
19
v1.0015110212
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Nếu gửi tiền vào ngân hàng A:
Số tiền lãi ông X nhận được vào cuối năm: 1 tỷ×5% = 50 triệu đồng
Tổng số tiền ông X nhận được: 1 tỷ + 50 triệu = 1.050 triệu đồng
Lãi suất thực ông X được hưởng: (1.050 – 1.000)/1.000 = 5%
Như vậy lãi suất thực trong trường hợp này bằng với lãi suất danh nghĩa
Nếu gửi tiền vào ngân hàng B:
Số tiền lãi ông X được nhận vào thời điểm gửi tiền: 1.000× 4,9% = 49 triệu đồng
Như vậy số tiền mà ngân hàng B thực vay từ ông X: 1.000 – 49 = 951 triệu đồng
Số tiền mà ông X nhận vào cuối năm: 1.000 triệu đồng
Lãi suất thực ông X được hưởng: (1.000 – 951)/951 = 5,15%
Như vậy lựa chọn B tối ưu hơn cho ông X.
20
v1.0015110212
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Lãi suất là yếu tố quan trọng quyết định các quan hệ đầu tư trong nền kinh tế. Tiền
lãi là thu nhập hợp lý của người cho vay sau một khoảng thời gian nhất định, do họ bị
mất khả năng thanh toán một cách tạm thời, phải gánh chịu những rủi ro và bị giảm
sút sức mua do ảnh hưởng của lạm phát.
• Từ mức lãi suất ban đầu được 2 bên cho vay và đi vay thoả thuận, có 2 hình thức
tính lãi cơ bản là tính lãi theo lãi đơn hay tính lãi theo lãi gộp, tùy thuộc vào các yếu
tố cụ thể của khoản vay.
• Trong ngắn hạn (<= 1 năm), lãi đơn là cách thức tính lãi được áp dụng chủ yếu.
• Lãi đơn là hình thức tính lãi trong đó khoản tiền lãi phát sinh sau mỗi kì tính lãi luôn
được tính dựa trên số vốn cho vay ban đầu. Đối với lãi đơn, ta có thể áp dụng cả hai
hình thức trả lãi trước hoặc trả lãi sau, trong khi đó điều này khó thực hiện hơn đối
với lãi gộp.
• Lãi suất thực là khái niệm phát sinh do ảnh hưởng của hình thức trả nợ. Đối với
trường hợp trả lãi trước, để xác định lãi suất thực của một khoản vay, điều quan
trọng là phải xác định được số tiền thực nhận ban đầu và số tiền phải thanh toán khi
khoản vay đáo hạn là bao nhiêu.
21