Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 9: Xoắn thuần túy - Lê Đức Thanh

 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 1 
Chương 9 
XOẮN THUẦN TÚY 
Ι. KHÁI NIỆM 
1- Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần túy 
khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành 
phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). 
 Dấu của Mz : Mz > 0 khi từ ngoài mặt cắt 
nhìn vào thấy Mz quay thuận kim đồng hồ 
 Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực, mômen 
xoắn Mz, nằm trong mặt phẳng vuông góc trục thanh. 
 Thực tế: trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ôvăng... 
2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz 
 Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng cách xác định nội lực theo phương 
pháp mặt cắt và điều kiện cân bằng tĩnh học: ∑M/OZ = 0. 
 Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz cho trục truyền động chịu tác dụng của ba 
ngẫu lực xoắn ( mômen xoắn) (H.9.2.a). 
 Giải: Thực hiện một mặt cắt ngang trong đoạn AB, xét cân bằng phần 
trái (H.9.2.b), dễ thấy rằng để cân bằng ngoại lực là ngẫu lực xoắn M1 , trên 
tiết diện đang xét phải có nội lực là mômen xoắn Mz : 
 ΣM /z = 0 ⇒ Mz – 10 = 0 ⇒ Mz = 10kNm 
 Tương tự, cắt qua đoạn BC, xét phần trái (H.9.2.c): 
 ΣM /z = 0 ⇒ Mz + 7 – 10 = 0 ⇒ Mz = 3 
 Mômen tại các tiết diện của hai đoạn đầu thanh bằng không, biểu đồ 
nội lực vẽ ở H.9.2.d. 
y
z
M z
x 
O 
H. 9.1 
M3=3kNm
- 
+ 
Mz 
10 kNm 
3 kNm 
H.9.2
M1=10kNm M2=7kNm 
A B C
a) 
d) 
M1=10kNm
A
b) 
Mz 
M1=10kNm M2=7kNm 
A B 
c) 
Mz
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 2 
 Thí dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz (H.9.3.a) 
 Giải: Phân tích thành tổng 
của hai trường hợp tác dụng 
riêng lẻ ( H.9.3b và H.9.3c ). 
 Trong mỗi trường hợp, 
ngoại lực là một ngẫu lực gây 
xoắn, do đó nội lực trong 
thanh cũng là mômen xoắn. 
Biểu đồ nội lực của từng 
thanh vẽ ngay trên H.9.3.b,c. 
 Biểu đồ Mz của thanh là tổng 
đại số hai biểu đồ trên 
(H.9.3.d). 
 Nhận xét: Dấu của nội lực là dương khi từ ngoài nhìn vào đầu 
thanh thấy ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại. 
 3- Công thức chuyển đổi công suất động cơ ra ngẫu lực xoắn 
(mômen xoắn ngoại lực) trên trục 
 Khi tính toán các trục truyền động, thường ta chỉ biết công suất truyền 
của môtơ tính bằng mã lực hay kilôóat và tốc độ trục quay bằng vòng/phút, 
do đó cần chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục. 
 Giả sử có một ngẫu lực xoắn Mo (đơn vị là N.m) tác dụng làm trục quay 
một góc α (radian) trong thời gian t, công sinh ra là: 
 A = Mo.α (i) 
công suất là: ω=α=α== ooo MtMt
M
t
AW (ii) 
trong đó: ω - là vận tốc góc (rad/s), đơn vị của công suất là N.m/s. 
 Gọi n là số vòng quay của trục trong một phút (vòng/phút), ta có: 
3060
2 nn ππω == (iii) 
 từ (ii) và (iii) ⇒ 
a) Nếu W tính bằng mã lực (CV, HP) ;1mã lực = 750N.m/s = 0,736 kW:
 )Nm(7162.750.3030
n
W
n
W
n
WMo === ππ (9.1) 
b) Nếu W tính bằng kilôwat (KW), 1 KW ≈ 1020 N.m/s: 
 )(9740.1020.30
.
30 Nm
n
W
n
W
n
WMo === ππ (9.2) 
 M1 = 8 kNm 
a)
M1 = 5 kNm
b)
c)
d)
+ Mz
= 5
–
+ 
–
Mz = 8 
Mz = 5
M z (kNm) 
Mz = 3
H.9.3 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 3 
ΙΙ. XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN 
1- Thí nghiệm - Nhận xét 
 Lấy một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài có vạch những 
đường song song và những đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới 
ô vuông (H.9.4.a). Tác dụng lên hai đầu thanh hai ngẫu lực xoắn Mz ngược 
chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những 
đường tròn thẳng góc với trục vẫn tròn và thẳng góc với trục, những đường 
song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình 
hành (H.9.4.b). 
2- Các giả thiết 
 a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách 
không đổi trong quá trình biến dạng, 
 b) Các bán kính vẫn thẳng và không đổi trong quá trình biến dạng,. 
 c) các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau trong quá trình biến dạng. 
3- Công thức ứng suất tiếp 
 Ta tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt 
cắt ngang có bán kính ρ (H.9.1). 
 Có thể nhận thấy, theo thí nghiệm trên, biến 
dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay 
tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục. 
 Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ bán kính 
trong thanh, ta tách phân tố bằng ba cặp mặt cắt như sau: 
H. 9.1
z
Mz
O
ρz
dz
a) b)
Mz
H. 9.4 
Mz
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 4 
 - Hai mặt cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục cách nhau đoạn dz 
(H.9.5.a). 
- Hai mặt cắt chứa trục hợp với nhau một góc dα bé(H.9.5.b). 
- Hai mặt cắt hình trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ và ρ + dρ 
(H.9.5.a). 
 Theo các giả thiết, trong quá trình biến dạng, so với các điểm E, F, G, 
H thuộc mặt cắt (1-1), các điểm A, B, C, D của phân tố trên mặt cắt (2-2) di 
chuyển đến A’, B’, C’, D’ phải nằm trên cung tròn bán kính ρ và ρ + dρ, 
đồng thời OA’B’ và OC’D’ phải thẳng hàng. 
 Gọi dϕ là góc giữa hai đường thẳng OAB và OA’B’, đó là góc xoay của 
mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, dϕ cũng chính là góc xoắn 
tương đối giữa hai tiết diện lân cận cách nhau dz. 
 Đối với phân tố đang xét, góc A’EA biểu diễn sự thay đổi góc vuông 
của mặt bên phân tố gọi là biến dạng trượt (góc trượt) γ của phân tố. 
 Từ (H.9.5.b), ta có: 
 tanγ ≈ γ = 
dz
dϕρ=′
EA
AA (a) 
b)
z O
B’
’’A’
ρ
C’D
’’’
dρ
dz
dα 
dϕ
A
B
C
D
E
F
G
H
ρ z
dρ 
2 
a) 
1 
2 1 
dα 
 Mz Mz 
 dz
τρ 
 H. 9.5 Biến dạng của phân tố chịu xoắn
 H. 9.6 
 Phân tố trượt thuần túy
τρ
γ
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 5 
 Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương dọc trục, theo 
giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với nhau nên không có ứng suất 
pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. 
 Theo giả thiết a) các góc vuông của mặt CDHG và mặt BAEF không 
thay đổi nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt A, B, C, D. Do giả 
thiết b), mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên 
mặt A, B, E, F. 
 Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại 
ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính, gọi là τρ và phân tố đang xét 
ở trạng thái trượt thuần túy (H.9.6). 
 Áp dụng định luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có: 
 τρ = G γ b) 
 (a) vào (b) ⇒ 
dz
dGp
ϕρτ = (c) 
 Gọi dF là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì τρ.dF 
là lực tiếp tuyến tác dụng trên diện tích đó và τρ.dF.ρ là mômen của lực 
τρ dF đối với tâm O. Tổng các mômen này phải bằng Mz, nên ta có thể viết: 
 ∫=
F
pz dFM ρτ (d) 
 (c) vào (d) ⇒ ∫=
F
z dFdz
dGM ρϕρ (e) 
 Vì G.dϕ/dz là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt F, nên ta có thể 
đưa ra ngoài dấu tích phân, khi đó tích phân ∫
F
dF..2ρ chính là mômen quán 
tính cực Jp của mặt cắt ngang đối với tâm O, ta được: 
 p
F
z Jdz
dGdF
dz
dGM ϕρϕ == ∫ 2 (f) 
từ (f) ta có: 
ρ
ϕ
GJ
M
dz
d z= (g) 
 Có thể thấy rằng, dϕ/dz chính là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài 
( còn gọi là góc xoắn tỉ đối ) (rad/m). Đặt 
dz
dϕ=θ , ta có: 
ρ
θ
GJ
Mz= (9-3) 
thay (g) vào (c) ta được công thức tính ứng suất tiếp: 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 6 
 ρτ
ρ
ρ J
M z= (9.4) 
 Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, bằng không tại tâm O và 
cực đại tại những điểm trên chu vi. 
 Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang thể hiện 
trên H.9.7.a. Trên H.9.7.b, thể hiện ứng suất tiếp đối ứng trên các mặt cắt 
chứa trục. 
O 
a) 
ρ
τmax
τρ 
Mz 
O 
b) 
H.9.7. Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt 
 Và ứng suất tiếp đối ứng
Mz 
τmax 
 Ứùng suất tiếp cực đại ở các điểm trên chu vi (ρ = bán kính R) 
 R
J
Mz
ρ
τ =max 
đặt: 
R
J
W ρρ = ; Wp gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang 
⇒ 
ρ
τ
W
Mz=max (9.5) 
* Với tiết diện tròn đặc và D là đường kính tiết diện: 
 3
33
2,0
162
DDR
R
J
W ≈=== ππρρ (9.6) 
* Với tiết diện tròn rỗng: 
 )1(2,0)1(
16
1
32
)1( 434344 ηηπηπρρ −≈−=−== DDR
D
R
J
W (9.7) 
trong đó: η là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài (η = d/D). 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 7 
 4- Công thức tính biến dạng khi xoắn 
 Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz là dz
GJ
Md z
ρ
ϕ = (g) 
⇒ Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là: 
 ∫ ∫== L
o
L
o
z dz
GJ
Md
ρ
ϕϕ (9.8) 
 * Khi đoạn thanh có Mz/GJp là hằng số ⇒ 
p
z
GJ
LM=ϕ (9.9) 
 * Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GJp là hằng số: 
 ∑=
i
i
z
GJ
LM )(
ρ
ϕ (9.10) 
 Góc xoắn ϕ được quy ước dương theo chiều dương của Mz . 
5- Tính toán thanh tròn chịu xoắn thuẩn tuý: 
 Điều kiện bền: 
 + [ ]ττ ≤max = no
τ (9.11) 
với: τo - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm 
 n - là hệ số an toàn. 
 + Theo thuyết bền ứng suất tiếp ( chương 5 ): 
2
][
max
στ ≤ (9.12) 
 + Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng ( chương 5 ): 
3
][
max
στ ≤ (9.13) 
 Điều kiện cứng: 
 θ max ≤ [θ ] (9.14) 
 [θ ] : Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật, đơn vị 
của [θ ] là (radian/ đơn vị chiều dài ) 
 Ba bài toán cơ bản: 
 - Kiểm tra bền, cứng (bài toán kiểm tra) 
 - Xác định tải trọng cho phép 
 - Xác định đường kính (bài toán thiết kế). 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 8 
6- Thế năng biến dạng đàn hồi 
 Thế năng riêng tích lũy trong một đơn vị thể tích là: 
 )](2[
2
1
133221
2
3
2
2
2
1 σσσσσσμσσσ ++−++= Eu 
Thanh chịu xoắn thuần tuý, TTƯS trượt thuần tuý với ứng suất tiếp τ , nên 
 σ1 = ⎢τ ⎢; σ2 = 0 và σ3 = – ⎢τ ⎢, ta được: 
 21 ρτμEu
+= (a) 
với: E = 2 G/(1 + μ), thay vào (a), ta được: 
G
u
2
2
1 ρτ= (b) 
 Thế năng tích lũy trong một đoạn dz là: 
 ∫∫ ==
FV
udFdzudVdU (c) 
thay (b) vào (c), ta được: 
 ∫∫∫ ===
Fp
z
p
z
FF
p dFdz
J
M
GG
dzdF
J
M
G
dU 22
2
2
2
22
2
1.
2
1
2
1 ρρτ 
hay: dz
GJ
MdU
p
z
2
2
1= (d) 
 Vậy thế năng trên đoạn thanh có chiều dài L là: 
 ∫= L
o p
z dz
GJ
MU
2
2
1 (9.15) 
 + Khi đoạn thanh có Mz/GJp là hằng số ⇒ 
p
z
GJ
LMU
2
2
1= (9.16) 
 + Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GJp là hằng số 
 ∑=
i
i
p
z
GJ
LMU )(
2
1 2 (9.17) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 9 
 7- Dạng phá hỏng của các vật liệu 
τmax
τ 
σ σ 1 
τ P 
σ3
σ3
b)a)
τ
τ
σ3
σ3
σ 1
σ1
σ1
H. 9.8 Trạng thái ứng suất tại một điểm 
trên mặt ngoài của thanh chịu xoắn 
 Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một 
điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy chịu ứng suất tiếp 
cực đại τmax (H.9.a), ở trạng thái này, theo hai phương nghiêng 45o so với 
trục có ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính σ1 = –σ3 =⎪τ⎪ (H.9.8.b). 
Mặt khác, qua thí 
nghiệm, ta cũng biết 
rằng vật liệu dẻo (như 
thép) chịu kéo, chịu nén tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn, do đó, khi 
một trục thép bị xoắn sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang, do ứng suất tiếp τmax 
trên mặt cắt ngang (H.9.9). 
 Với vật liệu dòn như 
gang, chịu nén và chịu 
cắt rất tốt, còn chịu 
kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bị gãy theo mặt nghiêng 45o so với trục do ứng 
suất kéo chính σ1 (H.9.10). 
 Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chịu cắt dọc thớ rất kém nên khi 
xoắn sẽ bị nứt dọc theo đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với 
ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang (H.9.11). 
H. 9.9 Dạng nứt gãy của vật liệu dẻo 
H. 9.10 Dạng nứt gãy của vật liệu dòn 
H. 9.11 Dạng nứt gãy của gỗ chịu xoắn
MzMz 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 10 
Thí dụ 9.3 Một động cơ công suất 10kW, truyền một mômen xoắn lên một 
trục tròn đường kính D tại tiết diện A, vận tốc trục n = 1400 vg/phút. Giả sử 
hiệu suất truyền là 100%. Khi đó tại tiết diện B, C nhận được công suất 
truyền 3kW và 7kW (H.9.12.a). Định đường kính D, sau đó tính góc xoắn 
ϕAC . Biết: [σ] = 16 kN/cm2 ; [θ ] = 0,250/m; a = 50cm; G = 8.103 kN/cm2. 
 Giải. 
 ♦ Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng tại A, B, C lần lượt là M1, M2, M3. Áp 
dụng công thức chuyển đổi, ta được: 
 M1 = 9740 x 10 / 1400 = 69,57 N.m = 6957 Ncm 
 M2 = 9740 x 3 / 1400 = 20,87 N.m = 2087 Ncm 
 M3 = 9740 x 7/ 1400 = 48,70 N.m = 4870 Ncm 
 Sơ đồ tính của trục ở (H.9.12.b), biểu đồ mômen vẽ ở (H.9.12.c). 
 ♦ Định đường kính D: 
+ Theo điều kiện bền [ ]
2
][max
σττ =≤ ][
2,0 3
τ≤=⇒
D
M
W
M z
p
z 3
].[2,0 τ
zMD ≥⇒ 
với: [τ] = 
2
][σ = 8 kN/cm2 ; 
Mz = 4870 Ncm 
 ⇒ D ≥ 14,49 cm (a) 
+ Theo điều kiện cứng: 
][
1,0.
][ 4max θθθ ≤=⇒≤ DG
M
GJ
M z
p
z 4
].[1,0. θG
MD z≥⇒ 
[ ]4 .1,0. θG
MD z≥⇒ 
với: [θ ] = 0,250/m 
= cmrad /
10180
25,0
2−×
×π ; 
Mz = 4870 Ncm; 
G = 8.103 kN/cm2 ⇒ D ≥ 11,17cm (b) 
 Để thỏa cả hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D = 15 cm. 
 ♦ Tính góc xoắn ϕ AC: Áp dụng công thức (9.6), ta được: 
 rad 006,0
151,0108
504870
43 =×××
×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∑
ii p
z
AC GJ
LMϕ 
 7 KW 3 KW 10 KW
AB C 
a)
D
b)
a a
A B
69,57 Nm 20,87 Nm 48,70 Nm
C 
c)
+ 
Mz 
(N.m)
48,70
20,87
H. 9.12 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 11 
Thí dụ 9.4 Một thanh tiết diện tròn 
đường kính D hai đầu ngàm chịu 
lực như (H.9.13). Vẽ biểu đồ Mz và 
định giá trị Mo theo điều kiện bền. 
 Giải: Ngoại lực là mômen 
xoắn trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh thì phản lực phát sinh tại 
các liên kết ngàm A và E phải là các mômen xoắn MA, ME trong các mặt 
phẳng thẳng góc với trục thanh. Giả sử MA, ME có chiều như trên H.9.13. 
 Để xác định mômen phản lực, viết phương 
trình cân bằng ΣM/z = 0, ta có: 
 MA - Mo +2Mo + Mo - ME =0 (a) 
 Phương trình (a) không đủ để định được phản 
lực MA, ME : Bàøi toán siêu tĩnh. 
 Cần bổ sung một (hay nhiều) phương trình 
thiết lập từ điều kiện biến dạng của bài toán 
(phương trình điều kiện biến dạng). 
 Thường cách giải như sau: 
 +Tưởng tượng bỏ ngàm E, thay bằng phản lực 
tương ứng ME (H.9.15.a). 
 +Viết phương trình điều kiện biến dạng: ϕE = 0 
(Tại E liên kết ngàm ⇒ do đó góc xoay ϕE = 0 ) 
 +Tính ϕE : Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, biểu đồ mômen xoắn do 
từng trường hợp tải gây ra được vẽ ở H.9.15.b. Tính ϕE theo (9.10) như sau: 
22
32
2
5
.
3.)( a
GJ
Ma
GJ
Ma
GJ
M
JG
aM
GJ
LM
p
o
p
o
p
o
p
E
i p
z
EAE −++−=== ∑ϕϕ 
 + Cho ϕE = 0, ta được : oE MM 35= 
 Kết quả dương, ME đúng chiều chọn. 
 + Xác định được ME , ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn Mz như H.9.15.c. 
 Từ biểu đồ nội lực Mz, ta thấy: Mz,max= (5/3)Mo. 
 Từ điều kiện bền, ta có: ][
D.2,0
M][ 3
maxz
max τ≤⇒τ≤τ 
 ⇒ 
5
D.2,0.3][M][
D.2,0.3
M5 3
o3
o τ≤⇒τ≤ 
ME
 Mo Mo
Mo
Mz
Mo
2Mo
2Mo
(4/3)M
(2/3)M
(5/3)M
CB D E
aa/2 a/2a
ME
A
A
A
A
Hình 9.15
a)
b)
c)
 0 
 0 
 0 
. 9.15 
 M o 2Mo
C A B E D
a a/2 a /2a
M EMA
H. 9.13 
Mo
D 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 12 
ΙΙΙ. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT 
 Thí nghiệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật, biến 
dạng của thanh như (H.9.16). 
 Lý thuyết đàn hồi cho các kết quả như sau: 
♦Ứng suất: Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp. 
+ Tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng không. 
+ Tại điểm giữa cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn 
nhất : 2max hb
M z
ατ = (9.18) 
+ Tại điểm giữa cạnh ngắn, ứng suất τ1 
bé hơn: max1 γττ = (9.19) 
+Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên 
các trục đối xứng, các cạnh tiết diện và 
các đường chéo được biểu diễn ở H.9.17. 
♦ Góc xoắn tương đối: 
 3hb
Mz
β=θ (9.20) 
trong đó: α, γ, β là các hệ số phụ thuộc 
tỷ số (cạnh dài h /cạnh ngắn b) được cho trong bảng 1. 
Bảng 9.1 Giá trị α, γ, β 
b
h 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ 
α 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 
γ 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 
a
) 
b)
H. 9.16 Sự vênh của tiết
 diện chữ nhật khi xoắn
b
h
Mz τmax
τ1
H. 9.17 Phân bố ứng suất tiếp 
 trên tiết diện chữ nhật
τ1
τmax
τ1 
z
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 13 
ΙV. TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC 
 Lò xo là một bộ phận được dùng rộng rãi trong kỹ thuật, được lắp đặt tại 
những chỗ cần giảm chấn do tải trọng động như đế móng thang máy, hệ 
thống nhún trong ôtô, đế mô tơ công suất lớn... 
 Lò xo hình trụ được cấu tạo bằng cách quấn một sợi dây thép tiết diện 
vuông, chữ nhật hoặc tròn quanh một lõi hình trụ, ta chỉ tính lò xo chịu lực 
theo phương trục của hình trụ này; trục của hình trụ cũng là trục của lò xo, 
ngoài ra chỉ xét lò xo có các vòng gần nhau gọi là lò xo hình trụ bước ngắn 
(H.9.18.a). 
 1- Các đặc trưng của lò xo: 
+ d: Đường kính dây lò xo. 
+ D: Đường kính trung bình lò xo. 
+ n: Số vòng làm việc của lò xo. 
+ G: Mô đun đàn hồi trượt của vật 
liệu làm lò xo. 
2- Ứng suất trong dây lò xo: 
Dùng một mặt cắt chứa trục của 
lõi hình trụ cắt qua một sợi dây lò 
xo, tách lò xo làm hai phần, xét 
điều kiện cân bằng của một phần 
lò xo như trên H.9.18.b, ta được: 
2
.0/
0
DPMoM
PQY
z
y
=⇒=Σ
=⇒=Σ
 Trên mặt cắt đang xét ( xem 
như mặt cắt ngang của dây lò xo) có 
lực cắt Qy và mômen xoắn Mz, chúng 
đều gây ứng suất tiếp: 
 τ = τM + τQ 
 Tại một điểm bất kỳ trên mặt 
cắt ngang, các thành phần ứng suất 
được biểu diễn như (H.9.19). Bỏ qua 
độ nghiêng của dây lò xo, coi tiết 
diện đang xét là tròn, có thể thấy 
d
P 
P 
P 
Mz
P = Qy
a) b) 
h
D 
D 
H. 9.18. a) Các đặc trưng của lò xo 
 b) Nội lực trên tiết diện dây lò xo 
Qy = P 
dF 
A o 
τΘ
τΘ1
τμαξ τM 
τM Mz
o 
D/2 P
d/2 
a)
b)
H. 9.19 Nội lực và ứng suất trên 
 mặt cắt dây lò xo 
A
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 14 
rằng, tại mép trong của mặt cắt dây lò xo, điểm A trên H.9.19, ứng suất tiếp 
đạt giá trị cực đại, dù lực P là tác dụng kéo hay nén lò xo. 
 Một cách gần đúng, ứng suất tiếp tại điểm nguy hiểm có thể tính như 
sau: 
16
2
4
32max d
DP
d
P
W
M
F
Q
p
zy
MQ ππτττ +=+=+= 
 33max
81
2
8
d
PD
D
d
d
PD
ππτ ≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += (9.21) 
 Thực chất τQ không phân bố đều, còn công thức tính τM như trên 
không chính xác vì tiết diện không tròn do độ nghiêng của dây lò xo cũng 
như sợi dây lò xo không là thanh thẳng, cho nên trong tính toán thực hành, 
kể đến kết quả do thực nghiệm, ta có thể lấy: 
 33max .
8
16
.
2
d
PDk
d
DP
k ππτ == với 1
25,0
−
+
=
d
D
d
D
k (9.22) 
 2- Biến dạng của lò xo: Tính độ co, dãn λ của lò xo khi chịu lực dọc 
trục. 
 Dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng, bỏ qua các mất mát năng lượng, 
công ngoại lực T hoàn toàn biến thành thế năng biến dạng đàn hồi U. 
Ta có: 
+ Công của ngoại lực P trên độ co, dãn λ của lò xo là: λPT
2
1= (a) 
+ Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế năng do Qy): 
 ∑=
p
z
GJ
LMU
2
2
1 
 4
32
4
22 8
2
1
32/42
1
Gd
nDP
dG
DnDPU == π
π (b) 
về giá trị, T = U, ⇒ 
C
P
Gd
nPD == 4
38λ (9.24) 
với: 
nD
GdC 3
4
8
= (9.25) 
trong đó: C - là độ cứng của lò xo 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 15 
Thí dụ 9.5 Hai lò xo có độ cứng C1 = 8 kN/cm và C2 = 5 kN/cm cùng chiều 
cao H, được ghép đồng trục , cùng chịu lực P = 50 kN (H.9.20.a). Tính lực 
tác dụng trên từng lò xo, tính chuyển vị của điểm đặt lực. 
H. 9.20 a) Hai lò xo ghép đồng trục 
 b) Nội lực trong lò xo 
P 
C1
C2
11 
a)
P 
R1
R2
b)
1 1 
 Giải. 
 Cắt 2 lò xo bằng mặt cắt (1-1), xét cân bằng phần trên, gọi nội lực của 
lò xo là R1 , R2, (H.9.20.b), 
 ∑Y = 0 ⇒ R1 + R2 = P (a) 
Một phương trình chứa hai ẩn số, ta gặp bài toán siêu tĩnh. 
 Điều kiện biến dạng: độ co ngắn của lò xo 1 phải bằng lò xo 2: 
 λ1 = λ2 (b) 
 2
2
1
1
2
1
1
1 R
C
CR
C
R
C
R =⇒= (c) 
(c) và (a) ⇒ 
P
CC
CR
P
CC
C
C
C
PR
21
1
1
21
2
2
1
2
1
+=
+=+
=
 (d) 
thay giá trị P, C1, C2 vào (d): R1 = 30,77 kN; R2 = 19,23 kN 
 Chuyển vị của điểm đặt lực chính là độ co của lò xo 1 hoặc lò xo 2 
 λ1 = λ2 = λ = R1 / C1 =30,77/8 = 3,85cm. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 16 
Thí dụ 9.6 Một thanh có EJ rất lớn được xem là bằng ∞, được đặt trên ba lò 
xo có độ cứng lần lượt là C1 = 5 kN/cm, C3 = C2 = 10 kN/cm chịu tác dụng 
của lực P = 50 kN như trên H.9.21.a. Tìm lực tác dụng trên các lò xo, tính 
góc nghiêng của thanh ABC. Cho a = 50cm. 
 Giải. 
 Gọi phản lực của các lò xo lần lượt là R1, R2, R3 (H.9.21.b). 
 Điều kiện cân bằng: 
 ∑ Y = 0 ⇒ R1 + R2 + R3 = P (a) 
 ∑ M/A = 0 ⇒ -R2.a- R3.3a + P.2a = 0 
hay: R2 + 3R3 = 2P (b) 
 Điều kiện biến dạng: giả sử, dưới tác dụng của ngoại lực, thanh ABC 
có vị trí mới như ở (H.9.22): 
 Ta có: λ2 = 32 λ1 + 31 λ3 331122 3
1
3
2
C
R
C
R
C
R +=⇒ (c) 
 Giải hệ (a), (b), (c), ta được phản lực của các lò xo, cũng chính là lực 
tác dụng lên các lò xo: R1 = 9
P ; R2 = P3
1 ; R3 = P9
5 
 Từ đó, ta tính được biến dạng của các lò xo: 
 λ1 = 1,11cm; λ2 = 1,67cm; λ3 = 2,78cm 
 Góc nghiêng của thanh ABC là: 
 tanα ≈ α = (λ3 – λ1)/3a = 0,0111 rad 
λ2
λ3λ1 α 
H. 9.22 Sơ đồ chuyển vị của thanh ABC và biến dạng của các lò xo
 P 
a a
C BA
a
R 3 R1 R2
b)
P
C 1 C 2 C2
aa a 
a) 
H. 9.21 a) Thanh ABC tuyệt đối cứng đặt trên ba lò xo 
 b) Ngoại lực và các phản lực của các lò xo 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 17 
BÀI TẬP CHƯƠNG 9 
9.1 Vẽ biểu đồ mômen xoắn, tính ứng 
suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tại đầu tự 
do của thanh tiết diện tròn có khoan lỗ 
dọc trục như H.9.1. Cho: 
 Mo = 360 Nm; a=50 cm; 
 G = 8.106 N/cm2, d = 3 cm. 
9.2 Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm 
tra độ bền và độ cứng của trục 
tròn(H.9.2).Biết: a =40 cm 
 [τ]=3000N/cm2; [θ] = 0,5o/m; 
G=8.106 N/cm2; Mo = 1 kNm; 
 Tính góc xoắn tại B và C. 
9.3Vẽ biểu đồ mômen xoắn và 
tính ứng suất tiếp lớn nhất trên các 
mặt cắt ngang nguy hiểm của trục 
tròn như trên H.9.3. 
 Cho: G = hằng số. 
9.3 Một trục chịu xoắn như H.9.4. 
Xác định ứng suất tiếp τmax của trục AB, 
góc xoắn ϕAB , nội lực trong hai thanh CD 
và CE.Cho: E=2.107N/cm2, G = 8.106 
N/cm2; 
 M = 2kNm; a =2cm; F=4 m2; d=6 cm. 
Xem puli tại C là tuyệt đối cứng. 
9.5 Một trục truyền động tiết diện tròn, 
đường kính d. Tại puli A, trục nhận được 
công suất truyền 15 kW. Giả sử hiệu 
suất truyền là 1, khi đó tại các puli B, Cø, 
H trục truyền đi các công suất lần lượt là 
4kW, 8kW và 3kW (H.9.5). Tính d theo 
điều kiện bền và điều kiện cứng. 
Cho:[τ]=2kN/cm2;[θ]=0,40/m; 
G=8.103kN/cm2; tốc độ môtơ n = 150 vg/ph. 
 4M0 M 0 2M0
a
d
H. 9.1 
aa/2
2d
H. 9.2 
A
4M0 2M 0 M0
a
10
c
m
8c
m 
C
B a a a
H. 9.3 
A
3M
a
d 
B
M
2d
a a a
H. 9.4 
a
F4a 
d
D =
80
A
B
a
a F 
C 
D
E 
C
A 
B C H
H. 9.5 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 18 
9.6 Trên mặt ngoài của một trục tròn chịu xoắn 
thuần túy, người ta dùng tấm điện trở và đo được 
biến dạng dài tương đối theo phương 45o so với 
trục là ε = 30.10-5 (H. 9.6) 
 Tính mômen xoắn tác dụng lên trục. 
 Cho: E = 2.104 kN/cm2; μ = 0,3. 
9.7 Người ta nối hai trục cùng đường kính D 
= 8 cm bằng mặt bích và bốn bu lông φ 20 bố 
trí đối xứng trên đường tròn đường kính 20cm 
(H.9.7). Tính mômen xoắn lớn nhất có thể tác 
dụng lên trục theo điều kiện bền của trục và 
bu lông. Cho: [τ]tr = 4 kN/cm2; [τ]bl = 2 kN/cm2. 
 9.8 Hai trục tròn bằng thép và đura được 
nối với nhau bằng mặt bích và bu lông chịu 
một mômen xoắn M như (H.9.8). Tính 
mômen xoắn nội lực tác dụng lên hai trục. 
Cho: Gth = 2Gđura; Dđura = 1,5Dth . 
9.9 Hệ chịu lực như ở H.9.9.a,b 
Tính ứng suất trong lò xo 1 và 2.Tính chuyển vị đứng tại C, xem thanh ABC 
là tuyệt đối cứng. Biết : D1 =6cm; d1=1cm;n1=10; D2=5cm; d2=0,8cm; n2= 8 
P=1kN ; G1=G2 =8.103kN/cm2 
9.10 Một thanh tuyệt đối cứng AB được đặt 
trên ba lò xo có cùng số vòng và chịu một lực 
P đặt ở đầu B như trên H.9.10. Tính lực tác 
dụng lên các lò xo. Tính chuyển vị đứng tại B. 
Cho: 
 C3 = 2C2 = 2C1 = 2kN/cm; P = kN; a = 1m. 
Vị trí bu lông
H. 9.7 
H. 9.10 
a a a
A B
P
C1 C2 C3
H. 9.8 
M
2a a
DduDth 
thép đura
P
1 2a
BA
H. 9.9
1
A
a
C
P
B C 
2
a) b)
2a a
45o
H. 9.6