Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn - Lê Đức Thanh

 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 1 
Chương 8 
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 
8.1 KHÁI NIỆM CHUNG 
 Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải 
chú ý đến điều kiện cứng. Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm. 
Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong này được 
gọi là đường đàn hồi của dầm (H.8.1). 
Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi biến 
dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K’. Khoảng cách KK’ được gọi là 
chuyển vị thẳng của điểm K. Chuyển vị này có thể phân làm hai thành 
phần: 
 Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là 
chuyển vị đứng hay độ võng của điểm K. 
 Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi là 
chuyển vị ngang của điểm K. 
 Ngoài ra , sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi 
một góc ϕ, ta gọi góc xoay này là chuyển vị góc (hay là góc xoay ) của 
mặt cắt ngang ở điểm K. Có thể thấy rằng, góc xoay ϕ chính bằng góc giữa 
trục chưa biến dạng của dầm và tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi 
(H.8.1). 
 K 
K’ 
z
y 
ϕ 
 ϕ 
Đường đàn hồi 
P
P 
u 
H.7.1 
 v ≡ y(z)
K
K’
z 
y
ϕ
ϕ
Đường đàn hồi
P 
P 
z
H.7.2
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 2 
 Ba đại lượng u, v, ϕ là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở 
điểm K. 
 Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị 
ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua 
chuyển vị u và xem KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm 
trên đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2). 
 Góc xoay ϕ có thể lấy gần đúng: 
dz
dvtg =ϕ≈ϕ . 
 Nếu chọn trục dầm là z, trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v 
chính là tung độ y của điểm K’. Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm 
K. Ta thấy rõ nếu K có hoành độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y, ϕ 
cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là: 
 y(z) = v(z) 
 Phương trình của góc xoay sẽ là: 
 ( ) ( )zydz
dy
dz
dvz '===ϕ 
hay, phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường 
đàn hồi. 
 Quy ước dương của chuyển vị: 
 - Độ võng y dương nếu hướng xuống. 
 - Góc xoay ϕ dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. 
 Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính toán dầm chịu uốn, người ta 
thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới 
hạn nhất định để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công 
trình..., điều kiện này được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn 
nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là: 
1000
1
300
1 ÷=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
L
f 
trong đó: L - là chiều dài nhịp dầm. 
 Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số của [ ]Lf . 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 3 
8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 
 Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. 
 Trong chương 7 (công thức 7.1) ta đã lập được mối liên hệ giữa độ cong 
của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx tại K là: 
x
x
EJ
M=ρ
1 (a) 
 Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) 
trong hệ trục (yz) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K 
có hoành độ z được tính theo công thức: 
 ( ) 2321
1
y
y
′+
′′=ρ (b) 
(a) và (b) ⇒ ( ) x
x
EJ
M
y
y =
+
′′
2
3
2'1
 (c) 
 Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải 
chọn sao cho hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn. 
Khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như H.8.3. Trong 
cả 2 trường hợp mômen uốn Mx và đạo hàm bậc hai y” luôn luôn trái dấu, 
cho nên phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng: 
 ( ) x
x
EI
M
y
y −=
+ 2
3
2'1
'' 
 Với giả thiết chuyển vị là bé (độ võng và góc xoay bé), có thể bỏ qua 
(y’)2 so với 1 và khi đó phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng 
gần đúng như sau: 
z
y 
Mx > 0 
y” < 0 
MxMx 
y
Mx < 0 
y” > 0 
Mx Mx
H.8. 3
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 4 
x
x
EI
My −='' (8.1) 
trong đó: Tích số EJx là độ cứng khi uốn của dầm . 
8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN 
 Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) 
là phương trình vi phân thường. 
 Tích phân lần thứ nhất (8.1) ⇒ phương trình góc xoay: 
 ∫ +−== CdzEJMy xx'ϕ (8.2) 
 Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi: 
 ∫ ∫ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−= DdzCdz
EJ
My
x
x (8.3) 
 Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định 
các điều kiện biên. Các điều kiện này phụ thuộc vào liên kết của dầm và 
phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm. 
 Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau: 
 + Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không 
(H.8.4a): yA = ϕA = 0 
 + Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b): 
 yA = yB = 0 
 + Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi 
khác nhau, độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay 
bên phải ( điểm C trên H.8.4b): yCtr = yCph; ϕCtr = ϕCph 
H. 8.4
yA = ϕA = 0 
A 
a) yA = 0 yB = 0 b)
A B C
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 5 
Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm công 
son (console) như H.8.5. Từ đó suy ra độ võng và góc xoay lớn nhất. Cho 
EJx = hằng số. 
 Giải. 
Phương trình mômen uốn tại 
mặt cắt có hoành độ z là: 
 Mx=–Pz (a) 
thế vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân của đường đàn hồi : 
xx
x
EJ
Pz
EJ
My =−='' (b) 
tích phân hai lần, ⇒ C
EJ
Pzy
x
+==
2
'
2
ϕ (c) 
 DCz
EJ
Pzy
x
++=
6
3
 (d) 
C và D được xác định từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại 
ngàm: 
 z = L; ϕ = 0 và y = 0 
thay các điều kiện này vào (c) và (d) ⇒ 
xx EJ
PLD
EJ
PLC
3
 ;
2
32
=−= 
 Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: 
 ;
326
323
xxx EJ
PLz
EJ
PL
EJ
Pzy +−= 
xx EJ
PL
EJ
Pz
22
22
−=ϕ 
Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có:
xx EJ
PL
EJ
PLy
2
 ;
3
23
max −== ϕ 
 ymax > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống 
 ϕ < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ. 
A B 
yB = ϕB = 0 
 P
y
z
z
L
H.7.5 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 6 
Thí dụ 8.2 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). 
 Cho EJx = hằng 
 Giải. 
Phương trình mômen uốn tại 
 mặt cắt có hoành độ z là: 
2
2qzMx −= (a) 
thế vào (8.1), ⇒ 
xEJ
qzy
2
''
2
−= (b) 
tích phân hai lần, ⇒ C
EJ
qzy
x
+==
6
'
3
ϕ (c) 
 DzC
EJ
qzy
x
++=
24
4
 (d) 
hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L; ϕ = 0 và y = 0 cho : 
xx EJ
qLD
EJ
qLC
8
 ;
6
43
=−= 
 Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là: 
 ;
8624
434
xxx EJ
qLz
EJ
qL
EJ
qLy +−= 
xx EJ
qL
EJ
qL
66
33
−=ϕ 
 Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta 
có: 
 8
4
max
xEJ
qLy = và 
x
A EJ
qL
6
3
−=ϕ 
Thí dụ 8.3 Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chịu tải 
phân bố đều (H.8.7). Độ cứng EJx của dầm không đổi. 
 Giải. 
 Phương trình mômen uốn tại 
mặt cắt ngang có hoành độ z là: 
( )22
222
zLzqqzzqLMx −=−= (a) 
thay vào (8.1), ⇒ phương trình vi 
phân của đường đàn hồi như sau: 
z
y
A
z
L 
B
L/2
H.8.7 
q 
z
A 
B
yB = ϕB = 0
q
y
z
L
H.8.6 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 7 
 ( )2
2
'' zLz
EJ
qy
x
−−= (b) 
tích phân hai lần, ⇒ CzLz
EJ
qy
x
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−==
322
'
32
ϕ (c) 
 DzCzLz
EJ
qy
x
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
1262
43
 (d) 
điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm: ⎩⎨
⎧
==
==
0y;Lz:khi
0y;0z:khi
 ⇒ 
xEJ
qLD
24
C ;0
3
== 
 Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−= 3
3
2
23
21
24 L
z
L
zz
EJ
qLy
x
 (e) 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−== 3
3
2
23
461
24
'
L
z
L
z
EJ
qLy
x
ϕ (g) 
 Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhịp ứng với: 
z = 
2
L (tại đây y’ = 0) 
thay z = 
2
L vào (e), 
x
L
z EJ
qLyy
384
5 4
2
max == ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ =
 Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) tại mặt cắt ngang có y” = 0 
(hay Mx = 0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L 
lần lượt vào (g) ⇒ 
xEJ
qLy
3
maxmax 24
1' ==ϕ 
xEJ
qLy
3
minmin 24
1' −==ϕ 
 Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay 
của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ. 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 8 
Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa 
chịu lực tập trung P như H.8.8 cho biết EJx = hằng số. 
 Giải. 
 Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB 
khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác 
nhau. Viết cho từng đoạn các biểu thức Mx, y’’, y’, y như sau: 
 Mômen uốn Mx trong các đoạn sau: 
 Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): 1)1( zL
PbMx = (a) 
 Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): ( )azPzL
PbMx −−= 22)2( (b) 
 Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn: 
 Đoạn AC: 11 '' zLEJ
Pby
x
−= (c) 
 Đoạn CB: ( )az
EJ
Pz
LEJ
Pby
xx
−+−= 222 '' (d) 
 Tích phân liên tiếp các phương trình trên, ta được: 
 Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): 
 1211 2
' Cz
LEJ
Pby
x
+−= (e) 
 111311 6
DzCz
LEJ
Pby
x
++−= (g) 
 Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): 
A 
z 
B
P
a
H.8.8 
b
z 1 
Z 2 
L
Pab/L
Y 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 9 
 ( ) 222222 22' CazEJ
Pz
LEJ
Pby
xx
+−+−= (h) 
 ( ) 22232322 66 DzCazEJ
Pz
LEJ
Pby
xx
++−+−= (i) 
 Xác định các hằng số tích phân C1, D1, C2, D2 từ các điều kiện biên
 - Ở gối tựa A, B độ võng bằng không 
 - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai 
đoạn phải bằng nhau. 
⇔ khi: z1 = 0; y1 = 0 
 z2 = 0; y2 = 0 
 z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ 
Từ bốn điều kiện này ⇒: 
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
+−=+−
++−=++−
=++−+−
=
2
2
1
2
22
3
11
3
22
3 3
1
22
66
0
66
0
ca
LEJ
Pbca
LEJ
Pb
Daca
LEJ
PbDaca
LEJ
Pb
DLCaL
EJ
PL
LEJ
Pb
D
xx
xx
xx
 Giải hệ phương trình trên, ⇒ 
 D1 = D2 = 0; ( )2221 6 bLLEJPbCC x −== 
 Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là: 
 Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−==
66
26
3
1
1
22
1
2
1
22
'
11
zzbL
LEJ
Pby
zbL
LEJ
Pby
x
x
ϕ
 Đoạn BC (a ≤ z2 ≤ L): 
( )
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−+−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−−==
666
622
3
2
2
223
2
2
222
2
2
2'
22
zzbLL
b
az
LEJ
Pby
bL
b
azLz
LEJ
Pby
x
x
ϕ
Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0, 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 10 
 Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào 
 Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: 
 01
6 2
2
1 >⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
L
b
EJ
PbL
x
Aϕ 
và ở C (z1 = a): ( ) 031 <−−= baEJ
PbL
x
Cϕ 
 Như vậy, giữa hai điểm A và C góc xoay ϕ1 đổi dấu, nghĩa là sẽ bị triệt 
tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng có giá trị lớn nhất trong đoạn AC. 
 Để tìm hoành độ z1(0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho 
phương trình ϕ1 = 0: 
[ ] ( )( ) 0
2
0
6
)0(
2
1
2
11 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= zbL
LEJ
Pbz
x
ϕ 
⇒ 
3
)0(
22
1
bLz −= (o) 
 Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng,⇒ giá trị lớn nhất của độ 
võng ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−== 2
222
1max 127
3
)0(1 L
b
EJ
bLPbyy
x
z (p) 
 Các hệ quả: 
 - Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm ( )2/Lb = , thì từ (o) và (p) , ta được: 
xEJ
PLyLLz
48
 ; 500,0
2
)0(
3
max1 === 
 - Khi P ở gần gối B, tức b → 0 ta có: z1(0) = 
3
L = 0577L 
 Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến 
gối tựa B (H.8.9) thì hoành độ z1(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là 
từ điểm D đến điểm E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải 
trọng P tác dụng ở một vị trí nào đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở 
giữa nhịp dầm. 
 Thí dụ, nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa 
nhịp dầm sẽ bằng: ( ) ( )222 4348 bLEJPby xl −= 
 So sánh hai giá trị ymax và ( )2ly thấy hai giá trị này khác nhau và rất ít 
. 
0,500L
A
z 
BE 
D
0,577L 
H.8.9
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 11 
Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân 
đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn , phải xác định hai 
hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài 
toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n càng lớn, vì vậy phương pháp này ít 
dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. 
8.4 XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI 
TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN) 
 ♦ Phần trước, đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực ( CH. 2): 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
q
dz
Md
Q
dz
dM
q
dz
dQ
x
x
2
2
 (a) 
 ♦ Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm , cũng có phương trình 
vi phân: 
x
x
EJ
M
dz
yd −=2
2
 (b) 
 Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau: 
y 
 'y
dz
dy = 
x
x
EJ
My
dz
yd −== ''2
2
Mx 
Q
dz
dM x = 
q
dz
Md x =2
2
 Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân 
liên tiếp hai lần hàm số 
x
x
EJ
M 
 Tương tự muốn có lực cắt Qy và mômen uốn Mx thì phải tích phân liên 
tiếp hai lần hàm số tải trọng q. 
 Tuy nhiên ở phần trước ( CH.2), ta đã tính lực cắt Qy và mômen uốn 
Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng. 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 12 
 Như vậy, cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y theo ... n lực VB 
(H.8.12b), ta được một hệ mới. Hệ này chỉ có thể làm việc giống như hệ 
trên khi VB phải có trị số và chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q 
và VB sinh ra, phải bằng không 
⇔ Điều kiện biến dạng ( chuyển vị): yB (q, VB ) = 0 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 17 
+ Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một 
phương pháp khác). 
 Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.12b do tải trọng q và phản lực VB 
gây ra vẽ như H.8.12c,d, DGT và qgt như H.8.12 e, g. Ta có: 
 Độ võng yB của hệ 8.12b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT 
 yB = M Bgt = 3
1 L
EJ
qL
2
2
4
3× L – 
2
1 L
EJ
LVB
3
2× L 
 Điều kiện độ võng yB = 0, ⇒ VB = 83 qL 
 Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã 
cho như H.8.12 i, k. 
7.4. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN 
1. Nội dung phương pháp 
Mx
B
q 
qLVB 8
3=
qL
8
5
qL
8
3
2
8
1 qL
128
9 2qL
Qy
h)
i)
k)
L 
a) 
2
2qLc) 
d) 
B
q
A 
B
q
VB
b) 
VBL 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 18 
 Xét dầm có biểu đồ 
x
x
EI
M như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a. 
Xét đoạn dầm AB: dz
EI
M
d
x
x−=ϕ , suy ra: ∫ ∫ −=B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
x
x dz
EI
M
dϕ 
 ABABAB S−==− ϕϕϕ (8.18) 
với ABS là diện tích của biểu đồ 
x
x
EI
M gồm giữa hai mặt cắt A và B. 
Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A và B) 
thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ 
x
x
EI
M giữa hai mặt cắt ấy. 
Từ hình 8.10d: dz
EI
M
zdzdt
x
x−== ϕ suy ra: ∫ ∫ −=−== B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
ABC
x
x
BA SzdzEI
M
zdtt (8.20) 
Cz là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích ABS đến B 
Định lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một 
tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mô men 
H.8.10 Phương pháp diện tích mô men
z A
z 
B
ĐĐH 
 yByA
zB 
dz
z 
ϕ 
y 
 a) 
C
zC Cz
A B
ABS 
dz
EI
M
x
x
 b) 
x
x
EI
M 
zA 
LAB 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 19 
tĩnh của diện tích của biểu đồ 
x
x
EI
M đối với đường thẳng đứng đi qua B. 
 Từ H.8.10d ta có: 
 yB = yA + ϕALAB + tBA = yA + ϕA(zB – zA) + tBA 
yB = yA + ϕA(zB – zA) – ABC Sz (8.21) 
(7.21) chính là công thức dùng để xác định độ võng của điểm B nếu biết độ võng 
của một điểm A (zB > zA) và biểu đồ 
x
x
EI
M giữa hai điểm này. 
Từ (8.21 có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của điểm B (zB > zA). 
 ABBA S+=ϕϕ và yA = yB – ϕA(zB – zA) + ABC Sz 
với: CABC zLz −= 
ta viết: ( ) ( ) ABCABABABBBA SzLLSyy −++−= ϕ 
Khai triển và rút gọn, ta được: yA = yB – ϕBLAB – zC ABS (8.22) 
 zC - là khoảng cách từ trọng tâm C của ABS kể từ A. 
Thí dụ 8.5. Dùng phương pháp diện tích mô men xác định góc xoay ở đầu trái A và 
độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.11). EIx = hằng số. 
Giải. Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm 
A (z = 0) và D (z = L/2) 
ADAD S−=ϕϕ 
Chú ý rằng ϕD = 0 vì bài toán đối xứng và ADS có 
thể phân chia thành 321 SSS ++ . 
ta suy ra: 0)( 321 =++− SSSAϕ 
x
A EI
qLSSS
3
321
648
13 ×=++=ϕ 
Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. 
 Áp dụng công thức (8.21), ta viết 
ADCAAD Sz
Lyy −+=
2
ϕ ( ) ( ) ( )( )3322113
2648
130 SzSzSzL
EI
qL
CCC
x
++−××+=
xEI
qL2
11664
77 ×= 
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 
2 m 6 m
Mo
H.8.1 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 20 
8.1 Xác định đường đàn hồi dầm bằng phương pháp tích phân không định 
hạn, biết Mo = 20 kNm, EJ không đổi. H.8.1. 
8.2 Xác định góc xoay ở hai đầu dầm và độ võng tại giữa dầm bằng 
phương pháp tích phân không định hạn, EJ không đổi. H.8.2. 
8.3 Dầm mặt cắt ngang thay đổi và chịu lực 
như H.8.3. Tính độ võng tại dầm tự do và 
góc xoay tại mặt cắt ngang giữa dầm. 
8.4 Dầm có độ cứng không đổi như H.8.4. 
Xác định: 
 - Độ võng và góc xoay tại C 
 - Góc xoay tại A và B 
 - Độ võng tại mặt cắt D 
8.5 Tìm độ võng tại mặt cắt C, góc xoay bên 
trái và phải khớp A của dầm như H.8.5, 
biết độ cứng EJ = hằng . 
8.6 Tìm độ võng tại B, góc xoay tại A của 
dầm như H.8.6, biết EJ= hằng. 
8.7 Xác định độ võng và góc xoay tại C. H.8.7 
8.8 Một hệ thống gồm ba công xon, đầu tự 
do được liên kết với nhau bằng những 
giằng cứng như H.8.8. Tính ứng suất 
cực đại ở mỗi dầm khi có lực treo ở 
H.8.4 
q
a a a
4qa
qa2
C A D B
H. 8.2 
q
L/2 L/2 
H. 8.3 
L/2 L/2
B
h
A
C
L/2 L/2
B
b
A
C
H. 8.5 
a a a
C 
BD
A
P
a a
A
P
C
H. 8.6 
H. 8.7
A 
3 m 1 m
EJB2EJ
40 kN
C
H. 8.8 
L L L P
B 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 21 
dầm, biết độ cứng EJ là hằng số. 
8.9 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh như H.8.9. Viết phương trình 
đường đàn hồi, biết độ cứng EJ là hằng số. 
H. 8.9 
q
L L
H. 8.10
Mo EJ = hằng số
L/2 L/2 
8.10. Xác định phản lực của dầm siêu tĩnh như H.8.10. 
8.11. Thanh thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 2036 mm, ngàm ở đầu A, chịu 
lực P = 30 N đặt ở giữa nhịp. Kiểm tra độ bền của dầm. 
 Biết [σ] = 16 kN/cm2. Ở đầu B có khe hở δ = 20 mm. 
 Cho E = 2.104 kN/cm2. 
H. 8.11
0,5 m 0,5 m
A B
P
δ
20 mm
6 mm 
8.5. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (DTMM) 
1. Nội dung phương pháp 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 22 
 Xét dầm chịu uốn có biểu đồ 
x
x
EJ
M như H.8.13b, đường đàn hồi (nét đứt) 
như H.8.13a. 
♦ Xét đoạn dầm AB, ta đã có: 
x
x
EJ
My −=" ⇔ 
x
x
EJ
M
dz
d
dz
dy −== ϕ' ⇒ dz
EJ
Md
x
x−=ϕ 
⇒ ∫ ∫ −=B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
x
x dz
EJ
Mdϕ 
z A 
z 
B
ĐĐH
 yB
yA 
zB dz
z
ϕt 
y 
 a) 
 c) 
H.8.13
 d) 
C
zC 
Cz
A B
ABS 
dz
EJ
M
x
x 
 b) 
x
x
EJ
M
A B
yA 
yB 
tBA 
ϕA
ϕB
A’
B’
dz z 
dϕ dt 
B 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 23 
 ABABAB S−==− ϕϕϕ (8.4) 
với ABS là diện tích của biểu đồ 
x
x
EJ
M gồm giữa hai mặt cắt A và B. 
Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa 
A và B) thì bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ 
x
x
EJ
M giữa hai mặt cắt ấy. 
♦ Từ H.8.13c ta có thể viết: 
 dz
EJ
Mzdzdt
x
x−== ϕ 
suy ra: ∫ ∫ −=−== B
A
B
A
Z
Z
Z
Z
ABC
x
x
BA SzdzEJ
Mzdtt 
Cz là khoảng cách từ trọng tâm của diện tích ABS đến B 
Định lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với 
một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu 
trừ mômen tĩnh của diện tích của biểu đồ 
x
x
EJ
M đối với đường thẳng đứng đi 
qua B. 
 Từ H.8.13d ta có: 
 yB = yA + ϕALAB + tBA 
= yA + ϕALAB – ABC Sz (8.5) 
(8.5) chính là công thức dùng để xác định độ võng của điểm B nếu biết độ 
võng của một điểm A (zB > zA) và biểu đồ 
x
x
EJ
M giữa hai điểm này. 
♦ Từ (8.5) ta cũng có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ võng của 
điểm B (zB > zA). Thật vậy theo phần trên ta có: 
 ABBA S+= ϕϕ 
và: yA = yB – ϕALAB + ABC Sz 
với: CABC zLz −= 
ta viết: ( ) ( ) ABCABABABBBA SzLLSyy −++−= ϕ 
Khai triển và rút gọn, ta được: 
 yA = yB – ϕBLAB – zC ABS (8.5)’ 
trong đó: zC - là khoảng cách từ trọng tâm C của ABS kể từ A. 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 24 
♦ Dùng phương pháp DTMM cần biết diện tích và trọng tâm của một số 
hình ( bảng 8.2 ). 
Thí dụ 8.7. Dùng phương pháp DTMM xác 
định góc xoay ở đầu trái A và độ võng ở điểm 
D giữa dầm (H.8.14). EJx = hằng số. 
 Giải. 
+ Theo định lý 1, công thức (8.4), xét hai điểm 
A (z = 0) và D (z = L/2) : 
ADAD S−= ϕϕ 
Chú ý rằng ϕD = 0 vì bài toán đối xứng và ADS 
có thể phân chia thành 321 SSS ++ (H.8.14). 
⇒ 0)( 321 =++− SSSAϕ 
xxxx
A
EJ
qLL
EJ
qLL
EJ
qLL
EJ
qL
SSS
3222
321
648
13
6723
2
672
4
32
1
72
4 ×=××+××+×××=
++=ϕ
Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. 
+ Áp dụng công thức (8-5), ta viết 
 ADCAAD SzLyy −+= 2ϕ 
 ( ) ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−××+= 332211
3
2648
130 SzSzSzL
EJ
qL
CCC
x
⎥⎦
⎤××××+×××+
⎢⎣
⎡ +×××⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+−××=
6723
2
68
3
72
4
662
1 
372
4
2
1
33
1
62648
13
22
23
L
EJ
qLL
EJ
qLLL
L
EJ
qLLLL
EJ
qL
xx
xx 
xEJ
qL2
11664
77 ×= 
 Độ võng mặt cắt D hướng xuống dưới. 
Thí dụ 8.8 
Xác định góc xoay ở A,B và độ võng ở D 
của dầm cho như H.8.15 
L/2 L/2
A B
D 
q 
xM
2
8
1 qL 
xEJ
qLS
3
1 72
1= 
x
x
EI
M
xEJ
qL2
8
1xEJ
qL2
24
1
xEJ
qLS
3
2 24
1=
3EJ EJ 
H.8.15 
L/3 L/3L/3 
A B
D 
xEJ
qL2
72
4
xEJ
qL2
72
5
q
S3 
H.8.14 
x
x
EJ
M
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 25 
 Giải 
 + Biểu đồ mô men uốn Mx và EJ
Mx 
vẽ như H.8.15 
 + Theo công thức 8.5, ta có: 
 yB = yA + ϕAL – Cz × ABS 
 0 = 0 + ϕAL – )1(Cz × S 1 – )2(Cz × S 2 
Ư ϕA = L1 (
)1(
Cz × S 1 + )2(Cz × S 2) 
Ư 
 =
L
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ×+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
xx EJ
qLL
EJ
qLLL
2428
5
72228
3 33 = 
576
13
xEJ
qL3 
 + Bây giờ áp dụng định lý 1, công thức (8.4) 
 ϕB = ϕA – ABS = ϕA – S 1 – S 2 
 = 
576
13
xEJ
qL3 – 
xEJ
qL
72
3
 – 
xEJ
qL
24
3
 = –
576
19
xEJ
qL3 
 Góc xoay mặt cắt B ngược chiều kim đồng hồ. 
 + Cuối cùng xác định độ võng ở D bằng công thức 8.5 áp dụng cho hai 
điểm A và D 
 yD = yA + ϕA 
2
L – Cz ADS 
 = 0 + 
576
13 ×
xEJ
qL3 ×
2
L – 
8
3
2
L ×
xEJ
qL
72
3
 = 
576
5 ×
xEJ
qL4 
 + Ta có thể kiểm tra lại kết quả của yD bằng cách khảo sát đoạn DB, 
áp dụng (8.5)’ 
 yD = yB – ϕB 
2
L – CZ BDS 
 = 0 – ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−
xEJ
qL3
576
19 ×
2
L – 
8
3 × 
2
L × 
xEJ
qL
24
3
 = 
576
5 × 
xEJ
qL4 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 26 
8.5 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 
(BTST) 
 Tương tự các bài toán 
về thanh chịu kéo, nén đúng 
tâm, ta còn có các BTST về 
uốn. 
 Đó là các bài toán mà ta 
không thể xác định toàn bộ 
nội lực hoặc phản lực chỉ 
với các phương trình cân 
bằng tĩnh học, vì số ẩn số 
phải tìm của bài toán lớn hơn 
số phương tĩnh cân bằng 
tĩnh học có được. 
 Để giải được các BTST, 
cần tìm thêm một số phương 
trình phụ dựa vào điều kiện 
biến dạng của dầm. 
 Xét cụ thể thí dụ sau: 
Thí dụ 8.10. Vẽ biểu đồ nội 
lực cho dầm như H.8.16a. 
H.8.16 
EJ
qL
2
2
Mx
EJ
LVB 
L 
B
q
qLVB 8
3= 
qL
8
5 
qL
8
3 
2
8
1 qL 
128
9 2qL 
Qy
a)
2
2qL c)
d)
e)
g)
h)
i)
k)
A
B
q
A
B
q
VB
b)
VBL
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 27 
Biết EJ = const. 
 Giải 
Giải. 
 + Dầm đã cho có 4 phản lực cần tìm (ba ở ngàm A và một ở gối tựa B). 
Ta chỉ có 3 phương trình cân bằng tĩnh học, nên cần tìm thêm 1 phương 
trình phụ về điều kiện biến dạng của dầm. 
 + Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay vào đó một phản lực VB 
(H.8.12b), ta được một hệ mới. Hệ này chỉ có thể làm việc giống như hệ 
trên khi VB phải có trị số và chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q 
và VB sinh ra, phải bằng không 
 ⇔ Điều kiện biến dạng ( chuyển vị): yB (q, VB ) = 0 
 + Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một 
phương pháp khác). 
 Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.16b do tải trọng q và phản lực VB 
gây ra vẽ như H.8.16c,d, DGT và qgt như H.8.16 e, g. Ta có: 
 Độ võng yB của hệ 8.16b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT 
 yB = M Bgt = 3
1 L
EJ
qL
2
2
4
3× L – 
2
1 L
EJ
LVB
3
2× L 
 Điều kiện độ võng yB = 0, ⇒ VB = 83 qL 
 Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã 
cho như H.8.16 i, k. 
Thí dụ 8.11. Tính phản lực VB 
của dầm siêu tĩnh như H.8.17a. 
Cho biết : EJx = hằng 
 Giải. 
 Tương tự thí dụ trên, cũng 
có điều kiện yB = 0 
 Tính yB bằng phương pháp 
diện tích mô men 
 Biểu đồ Mx/ EJx do tải trọng 
P và phản lực VB được vẽ 
H.8.17c 
 Áp dụng công thức (8.5), ta 
A
L 
B
P 
x
x
EJ
M
a b 
B
A
P 
VB
xEJ
Pa
x
B
EJ
LV
a)
b)
c)
H.8.17 
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 28 
có: 
 yA = yB – ϕAL + z ABS 
 0 = yB – 0×L + ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
EJ
LVLL
EJ
PaaaL B
2
1
3
2
2
1
3
 yA = – EJ
LVaL
EJ
Pa B
33
3
2
32
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 
 Điều kiện yB = 0 cho ta 
 0 = – 
EJ
LVaL
EJ
Pa B
33
3
2
32
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 
suy ra VB = )3(2 3
2
aL
L
Pa − 
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 
8.1. Xác định đường đàn hồi dầm bằng phương pháp tích phân không định 
hạn, biết Mo = 20 kNm 
8.2. Xác định góc xoay ở hai đầu dầm và độ võng tại giữa dầm bằng 
phương pháp tích phân không định hạn 
8.3. Dầm mặt cắt ngang thay đổi và chịu lực như H.8.21. Tính độ võng tại 
dầm tự do và góc tại mặt cắt ngang giữa dầm. 
H.8.21 
2 m 6 m
Mo
H.8.19
H.8.20
q
L/2 L/2
L/2 L/2
B
h
A
C EI 2EI
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 29 
8.4. Dầm có độ cứng không đổi. Xác định: 
 - Độ võng và góc xoay tại C 
 - Góc xoay tại A và B 
 - Độ võng tại mặt cắt D 
8.5. Tìm độ võng tại mặt cắt C, góc xoay bên trái và phải khớp A của dầm 
như H.8.23. 
H.8.23 
8.6. Tìm độ võng tại B, góc xoay tại A của dầm như H.8.24. 
H.8.24 
8.7. Xác định độ võng và góc xoay tại C 
H.8.25 
8.8. Một hệ thống gồm ba công xon, Dầm tự do được liên kết với nhau 
a a
A
P
C
q 
a a a
4qa
qa2
C A D B
H.8.22 
a a a
C
BD 
A
P
A
3 m 1 m
EIB2EI
40 kN
C
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 30 
bằng những gằng cứng. Tính ứng suất cực đại ở mỗi dầm khi có lực P 
treo ở dầm 
8.9. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm siêu tĩnh như H.8.27. Viết phương trình 
đường đàn hồi. 
8.10. Xác định phản lực của dầm siêu tĩnh như H.8.28. 
8.11. Thanh thép dài 1 m, mặt cắt chữ nhật 2036 mm, ngàm ở dầm A, chịu 
lực P = 30 N đặt ở giữa nhịp. Kiểm tra độ bền của dầm. 
 Biết [σ] = 16 kN/cm2. Ở dầm B có khe hở δ = 20 mm, cho E = 2.105 
0,5 m 0,5 m 
A B
P
δ
20 mm
60 mm
L L L
P
H.8.26
 H.8.28 
Hình 7.9
q
L L
H.8.27
Mo
EI = hằng số
L/2 L/2
 GV : Lê đức Thanh 
Chưong 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 31 
MN/m2 
H.8.29