Bài giảng Phân tích dữ liệu - Chương 2: Khoảng tin cậy - Nguyễn Thống

1PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa KTXD - Bộ mơn KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: nguyenthong@hcmut.edu.vn or nthong56@yahoo.fr
Web: 
Tél. (08) 38 691 592- 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
NỘI DUNG MƠN HỌC
Chương 1. Thống kê mơ tả (ơn).
Chương 1bis. Xác suất & phân phối thống kê (ơn)..
Chương 2. Khoảng tin cậy.
Chương 3. Kiểm định thống kê.
Chương 4. Phân loại dữ liệu (Classification).
Chương 5. Phân nhĩm dữ liệu (Cluster).
Chương 6. Phân tích thành phần chính (PCA).
Chương 7. Phân tích chuỗi thời gian.
Chương 8. Hồi quy tuyến tính.
Chương 9. Xử lý số liệu thực nghiệm.
Chương 10. Giới thiệu phần mềm SPSS or R
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
3
KHOẢNG TIN CẬY
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
4
ƯỚC LƯƠïNG & SỰ LẤY MẪU
Trong thực tế nghiên cứu các thông số thống kê
của một tập hơp mẹ “lớn” người ta thường
tính toán trên mẫu được chọn từ tập hợp mẹ
một cách có lý luận được gọi là thống kê mẫu.
Ví dụ X và  biểu thị giá trị trung bình và độ lệch
chuẩn của tập hợp mẹ (thông thường là các đại
lượng không biết vì kích thước mẫu lớn, tiến
hành xác định đúng thường tốn kém hoặc không
khả thi !!!).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
5
sĐộ lệch chuẩn, σ
Tỷ lệ, 
Sai biệt giá trị trung bình 
2 tập hợp mẹ: μ
1
- μ
2
Trung bình, μ
Đai lượng đánh giáThông số tập hợp mẹ
x
 p
1 2x x 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
6
ÔN
Trung bình số học:
Phương sai & độ lệch chuẩn:
n
x...xxxx
X ni321
1n
)Xx(
V
n
1i
2
i

 V 
(Average)
(VAR)
(STDEV)
2PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
7
CHÚ Ý
 Độ lệch chuẩn “kinh nghiệm”
 Độ lệch chuẩn “khơng lệch”
(Hàm trong Excel)
N
)Xx(
n
1i
2
i
 
1N
)Xx(
n
1i
2
i
 

PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
8
ÔN
Hiệp phương sai của 2 biến X, Y:
Hệ số tương quan giữa X & Y:
N
)Yy)(Xx(
)Y,X(Cov
n
1i
ii
 11r)Y,X(Covr
YX
  

(COVAR)
Theo định nghĩa kinh nghiệm
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
9
Phân phối của giá trị trung bình của mẫu
Xem xét một tập hợp mẹ với kích thước vô hạn.
 Xét tập hợp các mẫu có kích thước n lấy ngẫu
nhiên từ tập hợp mẹ.
 Từ đó tính giá trị trung bình của từng mẫu &
từ đó tính độ lệch chuẩn của các giá trị trung
bình này.
Giả thiết tập hợp mẹ là vô hạn và sẽ hoàn trả
lại mẫu sau lần thực hiện.
Lý thuyết thống kê cho biết:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
10
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Xét một tập hợp mẹ bất kỳ. Thực hiện lấy
mẫu ngẫu nhiên có kích thước là n và tính
giá trị X
tb
trung bình của mẫu.
 Nếu số n đủ lớn (thông thường >30), phân
phối của giá trị trung bình X
tb
sẽ có dạng
phân phối chuẩn N(X,).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
11
Phân phối giá trị trung bình của mẫu
Trong trường hợp kích thước mẫu (n) là lớn:
N kích thước tập hợp mẹ
E(x)  
x
n

 
(giá trị trung bình tập hợp mẹ)
(σ độ lệch chuẩn tập hợp mẹ
n kích thuớc tập hợp con)
x
N n
*
N 1n


hệ số hiệu 
chỉnh <=1
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
12
Ví dụ 1: Tính độ lệch chuẩn của giá trị trung
bình từ mẫu cĩ kích thước n=36. Biết rằng
độ lệch chuẩn tập hợp mẹ là =12. Giả thiết
kích thước tập hợp mẹ lớn (X=12/36
0.5=2).
Ví dụ 2: Lấy một mẫu ngẫu nhiên cĩ n=16. Kết
quả tính cho biết độ lệch chuẩn của mẫu là
s=60. Xác định độ lệch chuẩn của giá trị
trung bình cho 2 t/h:
a. Tập hợp mẹ cĩ kích thước lớn
(=60/160.5=15).
b. Tập hợp mẹ cĩ N=200.
3PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
13
Phân phối Chuẩn N(0,1)
t
α=Pr(Xi>t)
0
p
Hàm mật độ xác suất
(Bảng tra ở sau)
X
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
14
KHOẢNG TIN CẬY CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 
TRONG TRƯỜNG HỢP BIẾN TRUNG BÌNH 
TUÂN THEO PHÂN PHỐI CHUẨN 
Định nghĩa:
Khoảng tin cậy của giá trị trung bình là một khoảng
giá trị được thiết lập đối xứng quanh giá trị trung
bình của mẫu sao cho khoảng tin cậy này chứa giá
trị trung bình của tập hợp con với một xác suất
định trước.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
15
: giá trị trung bình tính từ mẫu khảo sát.
Ghi chú: Những khoảng tin cậy sử dụng phổ biến
trong thực tế áp dụng là các khoảng tin cậy 90%,
95% và 99%.
(x e) (x e) 
Khoảng tin cậy
e: biên độ khoảng tin cậy
xX
X
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
16
)
e
tPr(1)
eXxe
Pr(
xxxx 



)Pr(
2
1
x
e
t

Phương trình toán học để xác định e:
Với α biết, tra bảng tìm e/σ
x
 xác định e khi σx biết.
)eXxeXPr( 
X
Xx
t

 với biến trung
tâm & chuẩn
hoá
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
17
Ví dụ: Người ta muốn biết lương trung bình của
một Xí nghiệp lớn. Mẫu n=100 công nhân được
chọn ngẫu nhiên để phỏng vấn. Kết quả từ
mẫu cho thấy lương trung bình là 200$ và độ
lệch chuẩn là 25$.
Xác định khoảng tin cậy của lương trung bình với
độ tin cậy 90%, 95%.
Cho biết lương trung bình tuân theo phân phối
chuẩn.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
18
)
e
tPr(1)
eXxe
Pr(
xxxx 



)
e
tPr(05.0
2
9.01
x
Phương trình toán học để xác định e:
Với phân phối chuẩn 645.1
e
x

112.4
100
25
645.1
n
s
645.1*645.1e x 
$]1.204$9.195[  
4PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
19
Kết luận: Lương trung bình của công nhân
Xí nghiệp khảo sát sẽ nằm trong khoảng từ
195.9$ đến 204.1$/tháng với xác suất là 90%.
 Lý luận tương tự tính với =95%
(khoảng tin cậy sẽ lớn hơn ?)
$]1.204$9.195[  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
20
Bài tập 1: Để nghiên cứu gía trị trung bình
của dung trọng tự nhiên  sẽ dùng trong
thiết kế, từ 50 mẫu đất thí nghiệm trong
phòng, giá trị trung bình là 17,2kN/m
3
và
độ lệch chuẩn là 0,5kN/m
3
. Giả thiết giá
trị trung bình của  tuân theo phân phối
chuẩn.
Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung
bình  với độ tin cậy 95% và 90%.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
21
Bài tập 2: Phòng thí nghiệm X muốn xác định ứng suất
kéo chảy trung bình của thép do xưởng sản xuất để
phục vụ tính toán thiết kế. Kết quả kéo thép từ 10
mẫu thí nghiệm cho kết quả như sau. Giả thiết ứng
suất chảy trung bình theo phân phối chuẩn.
a. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình với
độ tin cậy 95% và 90%.
b. Tính giá trị T
0
để xác suất :
Mẫu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T(kN/cm2) 35.7 40.2 38.3 43.4 37.9 41.0 39.5 37.0 42.0 42.0
%95)TTPr( 0 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
22
Hướng dẫn
Với t tuân theo phân phối N(0,1)
Tra bảng tìm a0 T0
%95)atPr()
T
tPr(
%95)
TT
Pr(%95)TTPr(
0
T
0
T
0
T
0

 

 

 
T
0
0
T
awith

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
23
Bài tập 3: Kết quả thí nghiệm nén bê tông
của 50 mẫu trong phòng thí nghiệm có
giá trị trung bình khả năng chịu nén là =
850N/cm
2
và độ lệch chuẩn là 15N/cm
2
.
Giả thiết giá trị trung bình của  tuân
theo phân phối chuẩn.
Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung
bình  với độ tin cậy 95% và 90%.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
24
Bài tập 1: Một mẫu lấy ngẫu nhiên n=36 cơng nhân và
kết quả tính cho thấy lương trung bình tháng là
=200USD và độ lệch chuẩn của mẫu là s=12USD.
Xác định khoảng tin cậy của giá trị lương trung
bình với độ tin cậy là 95% và 90%. Giả sử giá trị
trung bình theo phân phối chuẩn và mẫu mẹ cĩ
kích thước lớn.
Bài tập 2: Tương tự bài 1 với n=50, =400USD và
s=20USD.
Bài tập 3: Tương tự bài 2 với n=100, =400USD và
s=20USD.
 Nhận xét các kết quả rút ra từ các ví dụ.
5PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
25
KHOẢNG TIN CẬY CỦA GIÁ 
TRỊ TRUNG BÌNH VỚI 
TRƯỜNG HỢP 
PHÂN PHỐI STUDENT
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
26
Trong thực hành, khi sự lấy mẫu khơng thỏa
mãn một số điều kiện khả năng gặp sai
số lớn khi nghiên cứu giá trị trung bình.
Trong trường hợp đĩ phân phối Student
sẽ dùng thay phân phối chuẩn khi nghiên
cứu giá trị trung bình. Cụ thể là khi:
- Kích thước mẫu bé (n<30).
- Độ lệch chuẩn của phân phối mẹ khơng
biết.
 Phân phối Student sử dụng cĩ bậc tự do
là (n-1).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
27
Phân phối Student và phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn N(0,1)
Phân Student 
với bậc tự do df
0
Nhận xét: Biến theo phân phối Student phân tán 
xung quanh 0 LỚN hơn biến theo phân phối chuẩn.
p
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
28
Ví dụ: Người ta muốn biết lương trung bình của một Xí
nghiệp lớn. Mẫu 100 công nhân được chọn ngẫu
nhiên để phỏng vấn. Kết quả tính từ mẫu cho thấy
lương trung bình là 200$ và độ lệch chuẩn là 25$.
Xác định khoảng tin cậy của lương trung bình với độ
tin cậy 90% với phân phối Student.
(So sánh với kết quả BT trước với phân phối chuẩn.
Nhận xét).
$]1.204$9.195[%90)BTtruoc(  
$]16.204$84.195[%90  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
29
Bài tập 1: Kết quả tính trọng lượng đơn vị
tự nhiên  trung bình từ 16 mẫu đất thí
nghiệm trong phòng là 16,2kN/m
3
và độ
lệch chuẩn là 0,65kN/m
3
. Giả thiết giá trị
trung bình của  tuân theo phân phối
chuẩn.
Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung
bình  với độ tin cậy 95% và 90%.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
30
Ví dụ. Một mẫu lấy ngẫu nhiên gồm n=10 bóng
đèn cho thấy tuổi thọ trung bình là X=4000h và
độ lệch chuẩn của mẫu là s=200h.
Xác định khoảng tin cậy của giá trị tuổi thọ
trung bình bóng đèn với xác suất 95%.
Ví dụ: Như trên với n=25, x=3500h, s=150h. Xác
định khoảng tin cậy với 95%.
Chú ý: Sử dụng phân phối Student với bậc tự do
(n-1).
6PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
31
Bài tập 2: Một thí nghiệm địa chất để xác định dung
trọng tự nhiên trung bình dùng trong thiết kế
của một tầng địa chất được lấy 10 mẫu và cĩ giá trị
như sau.
a. Xác định khoảng tin cậy của giá trị trung bình cho 2
t/hợp là 90% và 95%.
b. Xác định giá trị  trung bình thiết kế với độ tin
cậy là 99%.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,62 1,67 1,59 1,80 1,67 1,69 1,66 1,65 1,70 1,7
Hướng dẫn: γ=1.675T/m3 ; σ=0.056T/m3 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
32
Bài tập 3: Thí nghiệm được thực hiện trên 10 mẫu
lấy từ tầng địa chất khảo sát. Kết quả thí
nghiệm dung trọng tự nhiên  được trình bày
trong bảng sau. Tính giá trị  trung bình với độ
tin cậy 99%.
N0 1 2 3 4 5
γ 1.6 1.8 1.65 1.63 1.6
N0 6 7 8 9 10
γ 1.65 1.66 1.7 1.67 1.68
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
33
Ví dụ: Một thí nghiệm địa cơ xác định dung
trọng tự nhiên (T/m3) của một tầng điạ
chất gồm cĩ 10 mẫu cho kết quả sau. Xác
định khoảng tin cậy giá trị trung bình với
độ tin cậy 95%.
N 1 2 3 4 5 6
γ(t/m3) 1.7 1.7 1.7 1.7 1.6 1.67
N 7 8 9 10 TB sigma
γ(t/m3) 1.65 1.6 1.65 1.75 1.672 0.047
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
34
Phân phối Chuẩn
t
α=Pr(Xi > t)
0
p
Hàm mật độ xác suất p
X
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
35
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 4641
0.1 4602 4562 4522 4483 4443 4404 4364 4325 4686 4247
0.2 4207 4168 4129 4090 4052 4013 3974 3936 3897 3859
0.3 3821 3873 3745 3707 3669 3632 3594 3557 3520 3483
0.4 3446 3409 3372 3336 3300 3264 3228 3192 3156 3121
0.5 3085 3050 3015 2981 2946 2912 2877 2843 2810 2776
0.6 2743 2709 2676 2643 2611 2578 2546 2514 2483 2451
0.7 2420 2389 2358 2327 2296 2266 2236 2206 2217 2148
0.8 2119 2090 2061 2033 2005 1977 1949 1922 1894 1867
0.9 1841 1814 1788 1762 1736 1711 1685 1660 1635 1611
1 1587 1562 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 1379
1.1 1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 1170
1.2 1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 985
1.3 968 951 934 918 901 885 869 853 838 823
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
36
1.4 808 793 778 764 749 735 721 708 694 681
1.5 668 655 643 630 618 606 594 582 571 559
1.6 548 537 526 516 505 495 485 475 465 455
1.7 446 436 427 418 409 401 392 384 375 367
1.8 359 351 344 366 329 322 314 307 301 294
1.9 287 281 274 268 262 256 250 244 239 233
2 228 222 217 212 207 202 197 192 188 183
2.1 179 174 170 166 162 158 154 150 146 143
2.2 139 136 132 129 125 122 119 116 113 110
2.3 107 104 102 99 96 94 91 89 87 84
2.4 82 80 78 75 73 71 69 68 66 64
2.5 62 60 59 57 55 54 52 51 49 48
2.6 47 45 44 43 41 40 39 38 37 36
2.7 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26
2.8 26 25 24 23 23 22 21 20 20 19
2.9 19 18 18 17 16 16 15 15 14 14
3 13 13 13 12 12 11 11 10 11 10
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
THỐNG KÊ ỨNG DỤNG RONG QUẢN LÝ & KỸ THUẬT
 : ti 
7PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
37
Phân phối Student
t0
p Hàm mật độ xác suất p
-t X
)tXPr( i 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
38
 
dl (df) 80 60 40 20 10 5 2 1
1 ,325 ,727 1,376 3,078 3,314 12,706 31,821 63,657
2 ,289 ,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925
3 ,277 ,584 ,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841
4 ,271 ,569 ,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604
5 ,267 ,559 ,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032
6 ,265 ,553 ,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707
7 ,263 ,549 ,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499
8 ,262 ,546 ,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355
9 ,261 ,543 ,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
10 ,260 ,542 ,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169
11 ,260 ,540 ,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106
12 ,259 ,539 ,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055
13 ,259 ,538 ,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012
14 ,258 ,537 ,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977
15 ,258 ,536 ,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947
16 ,258 ,535 ,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921
17 ,257 ,534 ,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898
Bậc 
tự do
(n-1)
t
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
39
16 ,258 ,535 ,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921
17 ,257 ,534 ,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898
18 ,257 ,534 ,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878
19 ,257 ,533 ,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861
20 ,257 ,533 ,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845
21 ,257 ,532 ,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831
22 ,256 ,532 ,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819
23 ,256 ,532 ,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807
24 ,256 ,531 ,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797
25 ,256 ,531 ,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787
26 ,256 ,531 ,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779
27 ,256 ,531 ,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771
28 ,256 ,530 ,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763
29 ,256 ,530 ,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756
30 ,256 ,530 ,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750
40 ,255 ,529 ,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704
60 ,254 ,527 ,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660
120 ,254 ,526 ,845 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617
 ,253 ,524 ,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
40
HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 
PHÂN PHỐI STUDENT
Hàm Gamma(u)
n 1
2 2
n
n 1
1 t2
p (t) . 1
n nn
2
 
  
x u 1
0
(u) e x dx
  
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
41
HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 
PHÂN PHỐI 2
2( 1)
2 2
2 2
( )
2
1
p( , ) e
2
2 ( )
2




 

 
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
42
HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 
PHÂN PHỐI FISHER
1 2 1
1 2 1 2
1 2
n n n t
2 2
n ,n 1 2 n n
1 2 2t 2
1 2
n n
e2
p (t) 2n n .
n n
n e n
2 2
 
 
8PGS. TS. Nguyễn Thống
PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
Chương 2: Khoảng tin cậy
43
HẾT CHƯƠNG