Xây dựng mô hình mạng nơron tế bào CNN giải phương trình khuếch tán phức tuyến tính ứng dụng trong xử lý ảnh

 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
1 
XÂY DỰNG MÔ HÌNH MẠNG NƠRON TẾ BÀO CNN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH 
KHUẾCH TÁN PHỨC TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÝ ẢNH 
Phạm Đức Long - Cáp Thanh Tùng (Khoa Công nghệ thông tin - ĐH Thái Nguyên, 
Phạm Thượng Cát (Viện Công nghệ thông tin - Viện KH&CN Việt Nam) 
1. Xử lý ảnh dùng PDE 
 Những ý tưởng về ứng dụng PDE trong xử lý ảnh đã được nhắc đến từ khoảng đầu những 
năm 80 của thế kỷ 20. Trong khoảng 10 năm gần đây việc nghiên cứu về xử lý ảnh PDE được 
các nhà nghiên cứu quan tâm do có nhiều ưu điểm trong khi thực hiện. Xử lý ảnh dùng PDE cho 
phép thực hiện các nhiệm vụ chính là làm trơn (smoothing), tìm biên (edge detection), giảm 
nhiễu denoising) , phân vùng ảnh, phục hồi cấu trúc ảnh (reconstruction) trong nhiều lĩnh vực 
đặc biệt là trong xử lý ảnh y tế [5],[7], [8], [9], [10], [11], việc thực hiện được tiến hành trên cả 
phần mềm và phần cứng [6]. 
 Với một PDE biểu diễn quan hệ giữa độ sáng của ảnh I với các biến chẳng hạn vị trí, thời 
gian là I(x,y,t) thì nghiệm của nó khi giải với điều kiện khởi tạo I(x0,y0,t0) và điều kiện biên cụ 
thể chính là hình ảnh mới của I ở thời điểm t. Một ví dụ quen thuộc nhất là phương trình truyền 
nhiệt tuyến tính đẳng hướng, phương trình này có thể được ứng dụng để thực hiện làm giảm 
nhiễu và tìm biên. Chúng ta khảo sát phương trình truyền nhiệt như sau: 
),,(
),,(
tyxIc
t
tyxI trong đó 
2
2
2
2
y
I
x
I
I (1) 
với c là hệ số dẫn. Trường hợp khi phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt đẳng hướng c là 
một hằng số. 
2. Mạng nơ ron tế bào CNN 
 Trong khi giải các PDE theo phương pháp sai phân, việc chia các điểm của đường cong 
PDE càng dày thì độ chính xác khi giải càng cao nhưng dẫn tới khối lượng tính toán càng lớn, thời 
gian giải càng lâu, không đáp ứng thời gian giải nhất là khi số lượng biến số lớn. Mạng nơ ron tế 
bào CNN (Cellular Neural Network) được L.O. Chua và L.Yang phát minh ra năm 1988 [1, 2] đã 
cho phép giải các PDE trong khoảng thời gian vài phần triệu giây. Hình 1. cho xem một CNN một 
lớp đơn 2 chiều kích thước 3x3. Sơ đồ mạch điện của mỗi một cell C(i,j) như trong hình 2. 
Hình 1. CNN với hệ thống 3x3 láng giềng Hình 2. Mạch điện một cell CNN 
 Trong sơ đồ vxij, vyij, vuij là ký hiệu các điện áp trạng thái, đầu ra và đầu vào của cell. 
Điện áp trạng thái vxij được giả định với điều kiện khởi tạo có độ lớn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Điện 
áp đầu vào vuij được giả định là hằng số với độ lớn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Mỗi một cell C(i,j) 
chứa một nguồn điện áp độc lập Eij , một nguồn dòng độc lập I, một tụ tuyến tính Cx, hai điện trở 
tuyến tính Rx và Ry. Ixy(i,j;k,l) và Ixu(i,j;k,l) là các nguồn dòng được điều khiển bằng điện áp 
 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
2 
tuyến tính có các đặc điểm Ixy(i,j;k,l) = Aij,klvykl và Ixu(i,j;k,l) = Bij,klvukl với mọi C(k,l) Nr(i,j). r 
là bán kính ảnh hưởng của các cell láng giềng C(k,l) đến C(i,j) với: 
 Nr(i,j) = {C(k,l)|max{|k-i|,|l-j|} r, 1 k M, 1 l N}. (2) 
Phần tử phi tuyến trong mỗi một cell là một nguồn dòng được điều khiển bằng điện áp 
piecewise-linear Iyx = (1/Ry)f(vxij). Hệ số ghép cặp (coupling) Aij,kl và Bij,kl được gọi là các hệ số 
mẫu hồi tiếp và hệ số mẫu điều khiển. Tất cả các cell trong CNN được giả định rằng có các 
thông số bằng nhau theo các chiều (không gian bất biến và đẳng hướng). Thuật ngữ mẫu vô tính 
được sử dụng để nhấn mạnh thuộc tính bất biến này. Điều này có nghĩa là tập hợp 2(2r + 1)2 + 1 
con số thực Aij,kl và Bij,kl sẽ quyết định đầy đủ hành vi của một mảng CNN hai chiều bất kì. Các 
mẫu có thể được biểu diễn cô đọng trong dạng bảng hoặc ma trận. Hệ thống các phương trình mô 
tả động lực học của một cell CNN hai chiều tuyến tính như sau: 
Phương trình trạng thái 
Phương trình đầu ra: vyij(t) = )3(1;1)1)(1)((
2
1
bNjMitvtv xijxij 
3. Mô hình CNN 1 lớp khuếch tán ứng dụng xử lý ảnh 
3.1. Mô hình CNN khuếch tán tuyến tính: Trước khi đưa ra mô hình CNN do chúng tôi đề 
xuất, chúng tôi xin giới thiệu mô hình CNN khuếch tán đẳng hướng một lớp thực hiện giải 
phương trình truyền nhiệt 2D (trong xử lý ảnh chỉ cần tới PDE 2D) với hệ số khuếch tán không 
đổi theo các hướng [3]. Thực hiện rời rạc và xấp xỉ hóa (1) và (2): 
2
2
x
I +
2
2
y
I 
jijijijiji IIIII
h
,1,11,,1,2
4
1
 (4) 
với h là bước lưới không gian theo 2 hướng x, y ( x = y = h). 
So sánh với phương trình trạng thái của CNN [1] chúng ta có bộ mẫu (template) cho 
CNN một lớp đơn giải phương trình (1) như sau: 
0,0,
0
1
0
1141
0
1
0
2
222
2
zB
h
hRhh
h
A
 (5) 
 Mô hình CNN này có thể thực hiện trên phần cứng. 
3.2. Mô hình CNN khuếch tán phức tuyến tính 
 Guy Gilboa [4] đã đưa giá trị phức vào quá trình khuếch tán. Một phương trình khuếch 
tán phức tuyến tính có thể được mô tả: 
IcRIxIRxtcII xxt ,,)0,(,0, 0 C (6) 
với I là tín hiệu và c = rej . Quá trình khuếch tán tuyến tính phức này được điều khiển bằng hệ 
số khuếch tán phức c. Hãy xét phương trình khuếch tán sau: 
Ic
t
I
 (7) Với các giá trị c và I phức: IR jccc và ),(),(),( yxjIyxII IRyx 
)3(1;1),;,()(),;,()(
1)(
),(),(),(),(
aNjMiIvlkjiBtvlkjiAtv
Rdt
tdv
C
jiNrlkC
ukl
jiNrlkC
yklxij
x
xij
x
 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
3 
;12j là toán tử Laplace 
2
2
2
2
yx
. Với c=rej chúng ta có: 
 c= rcos + jsin ; cR = rcos ; cI = rsin (8) 
Thay vào (7) được: 
IRIR
IIRRIR
IrIrjIIr
IjIjrIjrIrjIIjr
t
I
cossinsincos
sincossincossincos 2 (9) 
Mặt khác: 
t
I
j
t
I
t
I IR (10). Từ (9) và (10) cuối cùng chúng ta có: 
.sincossincos
2
2
2
2
2
2
2
2
y
I
x
I
r
y
I
x
I
rIrIr
t
I IIRR
IR
R (11) 
.cossincossin
2
2
2
2
2
2
2
2
y
I
x
I
r
y
I
x
I
rIrIr
t
I IIRR
IR
I (12) 
Sự phân rã này sẽ có ích cho chúng ta khi xây dựng mô hình giải phương trình (7). 
Ý nghĩa trong xử lý ảnh: Nếu một quá trình xử lý ảnh có quy luật biến đổi là một PDE mà 
chúng ta phân tách được PDE đó thành hai thành phần thực và ảo như trên thì khi xử lý bằng 
khuếch tán phức sẽ thu được đồng thời hai kết quả của quá trình. 
 Điều kiện biên được sử dụng: IR(t=0) = IR0 = I0 : ảnh ban đầu. II (t=0) = II0 =0. 
Hình 3. CNN 2 lớp 2D giải phương trình khuếch tán phức 
II và IR sẽ có giá trị trong quá trình lan truyền (khuếch tán) theo (11) và (12). 
Thành phần thực được xấp xỉ thành một hàm Gaus - mục 3.4 [4]. Thành phần ảo được 
xấp xỉ thành đạo hàm bậc hai của nó tỉ lệ với thời gian. Thành phần thực sẽ thực hiện quá trình 
giảm nhiễu và thành phần ảo sẽ thực hiện việc tìm biên. Kết quả xử lý ảnh gốc sẽ cho ra hai ảnh: 
một ảnh đã được giảm nhiễu, một ảnh cho thấy các biên (edge) và vẫn giữ được các chi tiết 
mỏng mảnh. 
 Dựa vào các kết quả khai triển trong các phương trình (9), (10), (11) chúng tôi đưa ra một 
mô hình CNN hai lớp để giải phương trình (7) với c và I là số phức như trong hình 3. 
Lớp 1 của CNN hai lớp này thực hiện giải PDE với thành phần thực và lớp 2 thực hiện 
giải phần ảo. Liên kết giữa hai lớp thông qua các bộ mẫu quan hệ A21 và A12. 
Cụ thể các hệ số mẫu của CNN hai lớp này như sau: 
 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
4 
A12 = rcos
010
141
010
; A21 = - rsin
010
141
010
, (15) 
4. Thực nghiệm 
- Khuếch tán tuyến tính: Quá trình thực hiện trên ảnh màu kích thước 256x216 
Hình 4. Khuếch tán tuyến tính thực trên ảnh màu 
- Khuếch tán tuyến tính phức 
(a) 
(b) 
Hình 5. Kết quả kép của khuếch tán tuyến tính phức trên ảnh màu. 
6(a): Phần thực hiện quá trình làm giảm nhiễu; 6(b): phần áo thực hiện quá trình tìm biên. 
(a) 
 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
5 
(b) 
Hình 6. Khuếch tán tuyến tính phức trên ảnh nhị phân kích thước 300x300. 
7(b): Phần ảo thực hiện quá trình tìm biên 
Nhận xét 
Quá trình khuếch tán thực hiện xử lý ảnh có thể tiến hành với cả ảnh nhị phân, ảnh màu 
và đa cấp xám. Quá trình khuếch tán tuyến tính thực chỉ cho ra được 1 kết quả - tương đương 
thực hiện trên CNN một lớp đơn trong khi quá trình khuếch tán phức tuyến tính cho kết quả 
kép cho phép quan sát bằng mắt thường (hoặc xử lý tự động nếu sử dụng hệ thống tính toán-xử 
lý) với cả hai kết quả đồng thời. Khi được thực hiện trên CNN hai lớp sẽ cho phép quan sát quá 
trình xử lý liên tục, thời gian thực. Thực nghiệm cho thấy kết quả đúng đắn của mô hình được 
đề xuất. Trên cơ sở này, mô hình có thể được cứng hóa bằng công nghệ CMOS hoặc FPGA. 
4. Kết luận 
Xử lý ảnh PDE đã được quan tâm nghiên cứu mạnh trong khoảng 10 năm gần đây. Ứng dụng 
các quá trình khuếch tán (diffusion) tuyến tính và phi tuyến, đẳng hướng và không đẳng hướng đã 
cho phép thu được hiệu quả cao trong việc giảm nhiễu, tìm biên ảnh. Bằng việc áp dụng các giá trị 
phức với hệ số dẫn và với thành phần tín hiệu ảnh thay đổi trong các quá trình khuếch tán có thể cải 
thiện được quá trình làm giảm nhiễu và vẫn gìn giữ được biên và các chi tiết mang thông tin mỏng 
mảnh của ảnh. Một mô hình CNN hai lớp thực hiện ý tưởng này cung cấp cho chúng ta một công cụ 
tìm biên và giảm nhiễu trên CNN với tốc độ xử lý thời gian thực và mô hình CNN này hoàn toàn có 
thể thực hiện được bằng phần cứng trên nền tảng công nghệ CMOS hoặc FPGA 
Tóm tắt 
 Xử lý ảnh bằng PDE đã được nghiên cứu phát triển mạnh trong thời gian gần đây với 
nhiều tác vụ thực hiện trên các máy tính hệ lệnh tuần tự. Bài viết của chúng tôi đã giới thiệu một 
mô hình CNN tự trị 2 lớp thực hiện quá trình giải PDE khuếch tán phức tuyến tính ứng dụng 
trong xử lý ảnh. Các kết quả mô phỏng và thực nghiệm cho thấy tính đúng đắn của mô hình được 
đề xuất. 
Summary 
 Image processing by PDE is investigated recently for tasks in PC. In this paper we are 
presented a CNN two-layer autonomous model that is used for solving linear complex diffusion 
PDEs in image processing. The results of simulations are guaranteed that the perform of this 
model is correct. 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Leon O. Chua and L. Yang (1988), "Cellular neural networks: Theory", IEEE Trans. Circuits 
Syst., vol.35, No 10, pp 1257-1272. 
 Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009 Kĩ thuật – Công nghệ 
6 
[2]. Leon O. Chua and L. Yang (1988), "Cellular neural networks: Applications", IEEE Trans. 
Circuits Syst., vol.35, No 10, pp 1273-1290. 
[3]. T.Roska, L.O. Chua, D.Wolf, T.Kozek, R.Tetzlaff, and F. Puffer (1995), "Simulating 
Nonlinear Waves and Partial Differential Equations via CNN-Part I: Basic Techniques", IEEE Transactions 
on Circuits and Systems - I: Fundamental Theory and Applications, Vol.42, No 10, pp 807-815. 
[4]. G. Gilboa, N. Sochen, and Y. Y. Zeevi (2004),”Image Enhancement and Denoising by 
Complex Diffusion Processes”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Inlelligence, Vol. 
26, No. 8, pp1020-1036. 
[5]. D. Marr; E. Hildreth (1980), "Theory of Edge Detection", Proceedings of the Royal Society 
of London. Series B, Biological Sciences, Vol. 207, No. 1167, pp. 187-217. 
[6]. X. Benedettit P. Perona (1998), "Real-time 2-D Feature Detection on a Reconfigurable 
Computer", IEEE, pp 586-593. 
[7]. P. Petrona and J. Malik (1990), "Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic 
Diffusion", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 12. No. 7, pp 629-639. 
[8]. L. Alvarez, P. L. Lions, and J. M. Morel (1992), “Image selective smoothing and edge 
detection by nonlinear diffusion,” SLAM J. Numer. Anal. 29, pp. 845-866. 
[9]. L. Alvarez, F. Guichard, P. L. Lions, and ,J. M. Morel, “Axioms and fundamental equations 
of image processing,” Arch. Rational Mechanics 123. 
[10]. D. A. Karras, G. B. Mertzio (2004),” Discretization Schemes and Numerical 
Approximations of PDE Impainting Models and a comparative evaluation on novel real world MRI 
reconstruction applications”, . IEEE IST 2004 International Workshop on Imaging Systems and 
Techniques Strcsa, Italy, pp 153-158. 
[11]. Jose-Jesús, Fernández, Sam Li (2005), "Anisotropic Nonlinear Filtering of Cellular Structures in 
Cryoelectron Tomography", Computing in Science & Enginering, Copublished by the IEEE CS and the 
AIP, pp 54-61, IEEE.