Về một phương trình parabolic chứa tích chập

 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
54 
VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP 
Trần Minh Thuyết*, Nguyễn Thanh Sang† 
1. Mở đầu 
Trong bài này, trước tiên xét bài toán 
,0,10),,)((
),(),(
12
11211
11
TtxtxC
txCCtxq
x
C
xt
C








 (1.1) 




,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
11
1
11
1
TttCtqt
x
C
TttCtqt
x
C
 (1.2) 
 ,10),()0,( 011 xxCxC (1.3) 
trong đó phương trình (1.1) chứa tích chập 
 ,),()(),)((
0
1212 
t
drrxCrttxC  (1.4) 
với 02  là hằng số cho trước và 21011 ,,, Cq là các hàm cho trước sẽ được giả 
thuyết sau. Bài toán (1.1)-(1.4) có liên quan đến bài toán khuếch tán trong hoá 
học (xem [1-3, 6, 7] và các tài liệu tham khảo trong đó), mà mấu chốt vấn đề về 
mặt toán học dẫn đến bài toán sau. 
Cho ),1,0(  ta đặt ),,0( TQT  .0 T Xét bài toán : Tìm ),( 21 CC 
thỏa cặp bài toán sau : 










,10),()0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10),,(),(
0
11
11
1
11
1
21111
11
xxCxC
TttCtqt
x
C
TttCtqt
x
C
TtxCCRCtxq
x
C
xt
C
 (1.5) 
* TS. Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM 
† ThS. Trường CĐ Cộng đồng Kiên Giang 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
55 


,10),()0,(
,0,10),,(
0
22
212
2
xxCxC
TtxCCR
t
C
 (1.6) 
trong đó, 02011 ,, CCq cho trước, các số hạng ),,( 211 CCR ),( 212 CCR có dạng cụ thể 
döông.soá haèng caùclaø 3,2,1,0,0
,),(
,),(
23121212
23121211
i
CCCCR
CCCCR
ii 


 (1.7) 
Bằng cách khử ẩn hàm 2C từ (1.5) - (1.7), ta thu được bài toán (1.1) - (1.4), 
trong đó 
).exp()(
,),()(),)((
),()exp()exp(1),(
3232
0
1212
0
2333
3
1
311
tt
drrxCrttxC
xCtttx
t






 (1.8) 
Bài báo gồm 3 phần. Trong phần 1, với các điều kiện ),(201  LC 
),(1 TQCq ),(21 TQL  ),,0(22 TL  ,02  cùng với một số điều kiện khác, 
chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài 
toán (1.1)-(1.4). Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết 
với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và về tính compact. 
Trong phần 2, với điều kiện đầu ),(101  HC ),(11 TQCq ),(, 2/11 TQL  
),,0(12 TH  ,02  cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh 
nghiệm thu được của bài toán (1.1)-(1.4) có tính trơn tốt hơn, cụ thể là 
);,0();,0( 2211 HTLHTLC  
 ),()];,0([ 110 TQHHTC  ).(2/1 TQLC Cuối 
cùng, trong phần 3, với điều kiện đầu ),(201  LC ,001 C ...  xea cùng với một 
số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng tồn tại một nghiệm địa 
phương của bài toán (1.1)-(1.4) cũng không âm trên ).,0( T  
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
56 
2. Các kết quả 
Đầu tiên, ta đặt các kí hiệu sau : ,0),,0(),1,0(   TTQT và bỏ qua 
định nghĩa các không gian hàm thông dụng : ),(),(),(  mpm HLC ),(, pmW 
),;,0( XTLp .1 p Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau : ,)( pp LL  
,)( 2,mmm WHH  .)( ,, pmpm WW  Các định nghĩa này có thể xem trong [4, 5]. 
Ta cũng dùng các kí hiệu ),()()(),( / tutututu t  ),()()(// tututu tt  ),()( tutux  
)()( tutuxx lần lượt để chỉ ),,( txu ),,( txt
u

 ),,(2
2
tx
t
u

 ),,( tx
x
u

 ).,(2
2
tx
x
u

 
Ta thành lập các giả thiết : 
)( 1H ),1,0(2201 LLC 
)( 2H ),(1 TQCq 
)( 3H ),(21 TQL  
)( 4H ).,0(22 TL  
Nghiệm yếu của bài toán (1.1) - (1.4) được thành lập từ bài toán biến phân : 
Tìm );,0();,0( 1221 HTLLTLC  sao cho : 
,)1,0(,),)((
),(),(),(,),(
1
12
11211
HvvtC
vtvtCvtCtavtC
dt
d
  


 (2.1) 
 ,)0( 011 CC (2.2) 
trong đó 
 ),1,0(,,)()(),()(,, 11
1
0
11
1
1 HvCdxxx
vxCtxqx
x
CvCta 




 (2.3) 
 ).1,0(,)(),(),( 2
1
0
11 Lvdxxvtxvt  (2.4) 
Khi đó ta có định lí sau đây. 
Định lí 2.1. Giả sử rằng các giả thiết )( 1H - )( 4H đúng. Khi đó bài toán (1.1)-
(1.4) có duy nhất một nghiệm yếu ).;,0();,0( 1221 HTLLTLC  
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
57 
Chứng minh Định lí 2.1. Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo – 
Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và về 
tính compact. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. 
Nếu tăng cường thêm các giả thiết về điều kiện đầu ),(101  HC cùng với 
một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng nghiệm thu được của bài 
toán (1.1) – (1.4) có tính trơn tốt hơn. 
Ta thành lập bổ sung các giả thiết sau đây : 
)( /1H ),(1101  HHC 
)( /2H ),(11 TQCq 
)( /3H ),(, 2/11 TQL  
)( /4H ).,0(12 TH  
Khi đó ta có định lí sau. 
Định lí 2.2. Giả sử rằng các giả thiết )( /1H – )( /4H đúng. Khi đó bài toán (1.1)-
(1.4) có duy nhất nghiệm yếu ),;,0( 11 HTLC sao cho ).(2/ TQLC 
Chú thích. Thật ra định lí 2.2 cho nghiệm tốt hơn, cụ thể nghiệm 1C của bài toán 
(1.1)-(1.4) sẽ thỏa thêm các tính chất sau : 
 ).(),();],0([);,0();,0( 2/1102211 TT QLCQHHTCHTLHTLC  (2.5) 
Chứng minh định lí 2.2. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. 
Phần tiếp theo sau để nhận được nghiệm ,0),(1 txC ta cần tăng cường 
thêm giả thiết thích hợp. 
Trước hết ta xét bài toán (1.1)-(1.4) với ,02  sau đó sẽ xét trường hợp 
0)(2 t và 2 không đồng nhất bằng không. 
Ta xét bài toán (1.1)-(1.4) dưới đây tương ứng với ,02  và với giả sử rằng 
)( //1H ,..0)(),( 01201   xeaxCLC 
)( //2H ),(1 TQCq 
)( //3H .),(..0),(),( 121 TT QtxeatxQL  
Khi đó ta có định lí sau đây. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
58 
Định lí 2.3. Giả sử rằng các giả thiết )( //1H - )( //3H đúng. Khi đó bài toán (1.1)-
(1.4) có duy nhất một nghiệm yếu );,0();,0( 2121 LTLHTLC  và 0),(1 txC a.e. 
.),( TQtx 
Chứng minh định lí 2.3. Chi tiết chứng minh có thể tìm thấy trong [8]. 
Phần tiếp theo, ta sẽ xét bài toán (1.1)-(1.4) với trường hợp 0)(2 t và 2 
không đồng nhất bằng không. Để nhận được nghiệm 0),(1 txC của bài toán 
(1.1)-(1.4), ta cần tăng cường thêm giả thiết sau đây. 
)( //1H ,..0)(),( 01201   xeaxCLC 
)( //2H ),(1 TQCq 
)( //3H ,),(..0),(),( 121 TT QtxeatxQL  
)( //4H ).,0(..0)(),,0( 222 TteatTL  
Khi đó ta có định lí sau đây. 
Định lí 2.4. Giả sử rằng các giả thiết )( //1H - )( //4H đúng. Khi đó tồn tại 0 T sao 
cho bài toán (1.1)-(1.4) có duy nhất một nghiệm yếu );,0();,0( 2121 LTLHTLC  
và 0),(1 txC a.e. .),( TQtx 
Chứng minh. Ta thiết lập một dãy hàm }{ mu như sau : 
i/ Cho trước .0),(0 txu 
ii/ Giả sử ),;,0();,0( 2121 LTLHTLum  ta xét bài toán tìm 
),;,0();,0( 212 LTLHTLum
  là nghiệm yếu của bài toán 
  










.
2
1,0max
,10),()0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10),,)((
),(),(
1111
0
1
1
1
12
121
mmmm
m
m
m
m
m
m
mm
mm
uuuu
xxCxu
Tttutqt
x
u
Tttutqt
x
u
Ttxtxu
txuutxq
x
u
xt
u


 (2.6) 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
59 
Khi đó ,, 101 qC và hàm ,0),)((),(),(~ 1211 txutxtx m lần lượt thỏa các 
giả thiết ),( //1H ),( //2H ).( //3H Áp dụng định lí 2.3 cho bài toán (1.1)-(1.4) tương 
ứng với ,02  và ),(1 tx thay cho ),,)((),(),(~ 1211 txutxtx m  ta có duy 
nhất một ),;,0();,0( 212 LTLHTLum  0),( txum trong ),0()1,0( TQT là 
nghiệm yếu của bài toán (2.6). 
Ta sẽ chứng minh rằng dãy hàm }{ mu hội tụ mạnh về nghiệm ),(1 txC của 
bài toán (1.1)-(1.4) (theo một chuẩn thích hợp). 
Khi đó, dĩ nhiên ta cũng có 0),(1 txC a.e. .),( TQtx 
Đặt ,1 mmm uuw khi đó mw là nghiệm yếu của bài toán 










).;,0();,0(
,10,0)0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10),,()(
),(
212
1
1
12
21
LTLHTLw
xxw
Tttwtqt
x
w
Tttwtqt
x
w
Ttxtxuu
wwtxq
x
w
xt
w
m
m
m
m
m
m
mm
mm
mm



 (2.7) 
Nhân phương trình thứ nhất của (2.7) bởi ,mw tích phân từng phần theo 
biến ,x và dùng điều kiện biên (2.7)2,3, sau đó tích phân từng phần theo biến ,t 
và sắp xếp lại, ta có 
 .~~)(),()(2
)()(),(2
)(2)(2)(
21
0
12
0
1
0
1
0
2
2
0
2
2
IIdsswsuu
dxs
x
wswsxqds
dsswdss
x
wtw
t
mmm
t
m
m
t
m
t
m
m




 

 (2.8) 
Ta lần lượt đánh giá hai tích phân bên vế phải của (2.8) như sau 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
60 
Đánh giá tích phân .)()(),(2~
0
1
0
11 

t
m
m dxsx
wswsxqdsI 
 .)()()(~
0
2
0
22
11 

t
m
t
mL
dss
x
w
dsswsqI (2.9) 
Đánh giá tích phân .)(),()(2~
0
122 
t
mmm dsswsuuI  
 .)()()(~
0
2
0
2
122 
t
m
t
mm dsswdssuuI  (2.10) 
Sử dụng các bất đẳng thức sau 
 ,,, Ryxyxyx  (2.11) 
 ,)()())((
0
2
0
2
2
2
2 
tt
dwdtw  ),,0(),( 222 TLQLw T    (2.12) 
ta đánh giá số hạng thứ nhất của vế phải (2.10) như sau 
 .)()(
0
2
1
2
),0(2
0
2
12 2 
t
mTL
t
mm dwTdssuu  (2.13) 
Do đó ta đánh giá 2
~I nhờ vào (2.10), (2.13) 
 .)()(~
0
2
0
2
1
2
),0(22 2 
t
m
t
mTL
dsswdwTI  (2.14) 
Kết hợp (2.8), (2.9), (2.14), ta suy ra 
 ,)()(1)()(
0
2
1
0
2
1
2
),0(2 2 
t
mL
T
mTLm dssZsqdwTtZ  (2.15) 
trong đó 
 .)(2)()()(
0
2
2
0
2
2
 

t
m
t
m
mm dsswdssx
wtwtZ  (2.16) 
Do bổ đề Gronwall, ta thu được từ (2.15) rằng 
 .)()(1exp 2
);,0(1
0
2
1
2
),0(2
2
22 LTLm
T
LTLm
wdssqTtZ 
  (2.17) 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
61 
Chú ý rằng ),;,0();,0()( 1221 HTLLTLTW  là không gian Banach đối với 
chuẩn 
 .
);,0(
);,0()(
22
2
1
LTL
LTLTW x
www


 (2.18) 
Chúng ta cần bổ đề sau. 
Bổ đề 2.5. Trong không gian ),(1 TW chuẩn (2.18) tương đương với chuẩn 
 .
);,0();,0( 122 HTLLTL www (2.19) 
Chứng minh bổ đề 2.5. Chứng minh bổ đề 2.5 không khó khăn, chi tiết chứng 
minh có thể tìm thấy trong [8]. 
Trở lại chứng minh Định lí 2.4, ta chọn 0 T sao cho 
 .1)(1
2
1exp
0
2
1),0(2 2
T
LTLT
dssqTk  (2.20) 
Đặt 
 .
)(
);,0(
);,0( 122
2 TWm
LTL
m
LTLmm
w
x
ww 


  (2.21) 
Từ (2.17), ta suy ra 
 .1 mTm k  (2.22) 
Từ đây ta suy ra rằng 
 ,
1
0
)(1
m
T
T
TWpmm
k
k
uu
 với mọi m, p = 0, 1, 2,  (2.23) 
Như vậy }{ mu là dãy Cauchy trong ),(1 TW do đó tồn tại )(1 TWu sao cho 
 uum (2.24) 
trong ),(1 TW mạnh. 
Từ các bất đẳng thức (2.11) và (2.12), ta suy ra từ (2.24), rằng 
 uum 212  trong ),;,0( 2LTL mạnh. (2.25) 
Qua giới hạn trong dạng biến phân của (2.7), nhờ vào (2.24) và (2.25), ta 
thu được u là nghiệm yếu của bài toán 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
62 










.10),()0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10),,)((
),(),(
0
1
1
1
2
121
xxCxu
Tttutqt
x
u
Tttutqt
x
u
Ttxtxu
txuutxq
x
u
xt
u


 (2.26) 
Do 0),( txum trong TQ và từ (2.24) ta suy ra rằng 0),( txu trong ,TQ do 
đó uu trong .TQ Cũng từ đây ta suy ra u là nghiệm yếu của bài toán (1.1)-
(1.4). Từ tính duy nhất nghiệm ta suy ra .),(..0),(),(1 TQtxeatxutxC 
Định lí 2.4 được chứng minh hoàn tất. 
Chú thích. Bên cạnh bài toán (1.5)- (1.7) đã được trình bày trong bài báo này, 
vẫn còn tồn tại bài toán mở (1.5), (1.6), với các số hạng ),(),,( 212211 CCRCCR là 
phi tuyến có dạng 
,),(
,),(
21423121212
21423121211
CCCCCCR
CCCCCCR


 (2.27) 
4,3,2,1,0,0 iii  là các hằng số dương [3]. 
Chúng tôi vẫn tiếp tục tìm kiếm thêm công cụ thích hợp để giải bài toán này 
hứa hẹn cho thêm một số kết quả về bài toán này trong thời gian sắp tới. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] R. Alexandre, Alain Phạm Ngọc Định, A. Simon, Nguyễn Thành Long (2003), 
A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet inside an 
infinite vessel, Nonlinear Analysis and Application : to V. Lakshmikantham on 
his 80th birthday. Vol. 1, 2, 117-140, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 
[2] R. Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A mathematical 
model for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear 
contraints, Applied Mathematics and Computation (to appear). 
[3] R. Bader, W. Mers (2001), Local existance result of the single dopant 
diffusion including cluster reactions of high order, Abstract and Applied 
Analysis, 6 (1) 13–14. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
63 
[4] H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson Paris. 
[5] J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux 
limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris. 
[6] Đỗ Công Khanh (2001), Giải tích Toán học và các áp dụng, mã số 
1.3.11/98, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản giai đoạn 1998-2000, Báo cáo 
nghiệm thu. 
[7] Nguyễn Thành Long (2007), Phương trình vi phân và hệ động lực, mã số 
100106, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản giai đoạn 2006 – 2008, Báo cáo 
định kì kết quả thực hiện đề tài. 
[8] Nguyễn Thanh Sang (2007), Phương trình parabolic chứa tích chập, Luận 
văn Thạc sĩ, Khoá 11, Đại học Cần Thơ. 
Tóm tắt 
Về một phương trình parabolic chứa tích chập 
Chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính 










,10),()0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10,),()(
),(),(
0
11
11
1
11
1
12
0
11211
11
xxCxC
TttCtqt
x
C
TttCtqt
x
C
TtxdrrxCrt
txCCtxq
x
C
xt
C
t


 (1) 
trong đó 02  là một hằng số cho trước và 21
0
11 ,,, Cq 02  là các 
hằng số cho trước. Bài báo gồm 3 phần. Trong phần 1, với các điều kiện 
),(201  LC ),(1 TQCq ),(
2
1 TQL  ),,0(
2
2 TL  ,02  chúng tôi 
chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (1). 
Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin và phương pháp 
compact yếu. Trong phần 2, với ),(11 TQCq ),(,
2/
11 TQL  
),,0(12 TH  ,02  chúng tôi chứng minh nghiệm duy nhất 
);,0();,0( 2211 HTLHTLC  
 ),()];,0([ 110 TQHHTC  ),(
2/
1 TQLC 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang 
64 
nếu điều kiện đầu ),(101  HC với một số điều kiện khác. Cuối cùng, trong 
phần 3, với điều kiện đầu ),(201  LC ,0
0
1 C ...  xea cùng với một số 
điều kiện khác, chúng tôi cũng thu được một nghiệm không âm 1C của bài 
toán (1) nếu ta giả sử rằng ),(201  LC ,0
0
1 C ...  xea 
Abstract 
On a parabolic equation involving convolution 
We consider the initial-boundary value problem for the linear 
parabolic equation 










,10),()0,(
,0,0),1(),1(),1(
,0,0),0(),0(),0(
,0,10,),()(
),(),(
0
11
11
1
11
1
12
0
11211
11
xxCxC
TttCtqt
x
C
TttCtqt
x
C
TtxdrrxCrt
txCCtxq
x
C
xt
C
t


 (1) 
where 02  is given constant and 21
0
11 ,,, Cq are given functions. 
In this paper, we consider three main parts. In Part 1, under conditions 
),(201  LC ),(1 TQCq ),(
2
1 TQL  ),,0(
2
2 TL  ,02  we prove a 
theorem of existence and uniqueness of a weak solution 1C of problem (1). 
The proof is based on the Faedo-Galerkin method and the weak compact 
method. For the case of ),(11 TQCq ),(,
2/
11 TQL  ),,0(
1
2 TH  ,02  
in Part 2, we prove that the unique solution 1C belongs to 
),()];,0([);,0();,0( 110221 TQHHTCHTLHTL 
 with ),(2/1 TQLC 
if we make the assumption that ),(101  HC and some others. Finally, in 
Part 3 we obtain a non-negative solution 1C of the problem (1) if we make 
the assumption that ),(201  LC ,0
0
1 C ...  xea