Vài suy nghĩ về một bài toán tối ưu trong R2

Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89 
 85
VÀI SUY NGHĨ VỀ MỘT BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG ℝ2 
Nguyễn Kiều Linh 
Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Bài báo này đề cập tới bài toán tối ưu, thường gặp trong ứng dụng thực tiễn: Tìm trên đường tròn 
đã cho một điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ 
nhất? Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng việc tìm lời giải cho nó bằng giải tích hay hình học thực 
không dễ. Nó là một mở rộng trực tiếp của bài toán quen biết sau đây, nhưng đơn giản hơn và đã 
có lời giải đẹp: Tìm trên đường thẳng cho trước một điểm sao cho tổng khoảng cách từ nó tới hai 
điểm đã cho ở ngoài đường thẳng là nhỏ nhất? Trong bài viết này chúng tôi trình bày hai cách tiếp 
cận bài toán dựa trên kiến thức tối ưu và các tính chất hình học của ellipse. 
Từ khóa: Bài toán tối ưu, cách tiếp cận giải tích, cách tiếp cận hình học. 
NỘI DUNG BÀI TOÁN VÀ Ý NGHĨA 
THỰC TẾ* 
Xét bài toán tối ưu sau đây trong mặt phẳng: 
Bài toán. Tìm trên đường tròn đã cho một điểm 
sao cho tổng khoảng cách từ đó tới hai điểm 
cho trước ở ngoài đường tròn là nhỏ nhất? 
Bài toán này là một mở rộng của bài toán 
quen biết sau đây: Tìm trên đường thẳng cho 
trước một điểm sao cho tổng khoảng cách từ 
nó tới hai điểm đã cho ở ngoài đường thẳng 
là nhỏ nhất? 
Có thể giải thích ý nghĩa của bài toán đặt ra 
theo một số cách như sau: 
a. Giả sử điện lưới được truyền dọc theo 
tuyến đường H đến một ngã ba trung tâm, sau 
khi cấp điện chiếu sáng và sinh hoạt cho vòng 
tròn trung tâm, nguồn điện cần được chuyển 
tiếp tới hai tuyến đường tiếp theo sau ngã ba, 
bắt đầu ở A và B (xem Hình 1). Vấn đề đặt ra 
là cần tìm một vị trí D trên vòng tròn trung 
tâm để từ đó đặt hai đường cáp ngầm chạy 
thẳng tới A và B sao cho tổng khoảng cách từ 
vị trí được chọn (trên vòng tròn trung tâm) tới 
A và B là nhỏ nhất (tức là tốn ít công sức, vật 
liệu và điện năng nhất)? 
b. Giả sử có một hồ nước hình tròn (tâm I, 
bán kính r). Có hai cánh đồng mà A và B là 
nguồn cấp nước cho mỗi cánh đồng. Cần đặt 
một trạm bơm ở ven hồ và các đường mương 
(hoặc ống) dẫn nước thẳng từ đó tới A và B 
sao cho đỡ tốn đường dẫn nhất? 
*
 Tel: 0985 059646, Email: nguyenkieulinhk4@gmail.com 
Bài toán đặt ra tuy đơn giản nhưng hàm chứa 
nội dung toán học sâu sắc, bởi vì việc tìm lời 
giải cho nó bằng giải tích hay hình học thực 
không dễ. Trong bài viết này chúng tôi xin 
nêu một vài suy nghĩ về bài toán đặt ra, mong 
được trao đổi với bạn đọc và đồng nghiệp có 
quan tâm tới bài toán. 
Hình 1. Minh họa bài toán: 
Tìm D cấp điện cho A và B 
TRƯỜNG HỢP DỄ GIẢI 
Cách giải bài toán tùy thuộc vào vị trí tương 
đối của đường tròn và hai điểm đã cho (ký 
hiệu A và B). Sau đây là một số trường hợp 
dễ giải khác nhau. 
a. Đoạn thẳng AB tiếp xúc với đường tròn 
(tiếp điểm nằm trong AB). Khi đó tiếp điểm 
chính là điểm cần tìm và khoảng cách ngắn 
nhất bằng độ dài đoạn AB (xem Hình 2a). 
Lưu ý: nếu đường thẳng qua A, B tiếp xúc với 
đường tròn ở ngoài đoạn AB thì tiếp điểm 
không là lời giải (xem cách giải cho trường 
hợp tổng quát). 
Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89 
 86
 a) tiếp điểm T b) giao điểm P hoặc Q 
 c) điểm R d) điểm K 
Hình 2. Điểm cần tìm 
b. Đoạn thẳng AB cắt đường tròn tại hai điểm 
(nằm trong AB). Khi đó mỗi giao điểm đều là 
điểm cần tìm và khoảng cách ngắn nhất bằng 
độ dài đoạn AB (xem Hình 2b). Lưu ý: nếu 
đường thẳng đi qua A và B cắt đường tròn tại 
hai điểm (nằm ngoài đoạn AB) thì các giao 
điểm cũng không chắc chắn là lời giải (xem 
cách giải cho trường hợp tổng quát). 
c. Tâm đường tròn nằm ngoài đoạn AB, 
nhưng ở trên đường thẳng đi qua A và B. Khi 
đó một trong hai giao điểm của đường thẳng 
với đường tròn (điểm nằm gần A hoặc B hơn 
điểm kia) sẽ là điểm cần tìm và khoảng cách 
ngắn nhất bằng độ dài đoạn AB cộng với 
khoảng cách từ giao điểm tới A hoặc B (xem 
Hình 2c). 
d. Một trường hợp riêng dễ giải nữa như sau: 
Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung 
trực của đoạn thẳng AB với O là điểm giữa 
đoạn AB. Giả sử IO cắt đường tròn tại điểm 
K. Khi đó K chính là điểm cần tìm. Có thể 
tính tổng khoảng cách từ K tới A và B như 
sau: Nếu đặt h = IO, b = h - r, c = |AB|/2 và a 
= 
22 cb + thì tổng khoảng cách nhỏ nhất 
từ K tới A và B bằng 2a (xem Hình 2d). 
TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT 
Nếu không gặp một trong bốn trường hợp kể 
trên thì ta cần cách tiếp cận khác. 
Bài toán đặt ra được phát biểu bằng lời mà 
không dùng đến bất cứ một công thức toán 
học nào. Đây thực chất là một bài toán tối ưu 
(tìm cực tiểu hàm khoảng cách theo điểm 
chạy trên đường tròn). Để có thể vận dụng 
được công cụ tối ưu, trước hết cần đặt lại (hay 
mô hình hóa) bài toán bằng ngôn ngữ toán 
học. Cùng một bài toán có thể có nhiều cách 
đặt mô hình toán học khác nhau và cách giải 
đơn giản hay không phụ thuộc rất nhiều vào 
mức độ thành công của việc mô hình hóa đó. 
Trong bài viết này chúng tôi mô hình hóa bài 
toán như sau. 
Ký hiệu độ dài đoạn AB đã cho là 2c (c > 0). 
Lấy đường thẳng đi qua A và B làm trục 
hoành, đường thẳng vuông góc với trục hoành 
và đi qua trung điểm đoạn thẳng AB làm trục 
tung. Như vậy gốc tọa độ là điểm giữa đoạn 
thẳng AB, ký hiệu đó là điểm O với tọa độ O 
= (0, 0). Giả sử A nằm phía trái O có tọa độ 
A = (- c, 0) và B nằm phía phải O có tọa độ B 
= (c, 0). 
A 
I 
B 
R 
A 
I 
B 
K 
r 
O 
h - r 
c 
a 
B 
T 
A 
A 
B 
P 
Q 
Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89 
 87
Giả sử tâm I của đường tròn đã cho có tọa độ 
(p, q) với p, q ∈ ℝ, và bán kính của đường 
tròn là r (r > 0). Ký hiệu tọa độ của điểm D 
nằm trên đường tròn đã cho là D = (x, y) 
(xem Hình 3). 
Khi đó tổng khoảng cách từ D tới A và B là 
f(x, y) = 22 y)cx( ++ + 
22 y)cx( +− 
và ta đi đến bài toán: Tìm cực tiểu hàm f(x, y) 
với điều kiện (x - p)2 + (y - q)2 = r2. 
Hình 3. Hệ trục tọa độ 
Đây là bài toán tối ưu hai biến với một ràng 
buộc đẳng thức phi tuyến. Có thể thấy f(x, y) 
là một hàm lồi (trong giải tích lồi ta đã biết 
hàm khoảng cách từ một điểm trong ℝn tới 
một tập lồi là một hàm lồi). Hơn nữa, ràng 
buộc đẳng thức đã cho có thể thay thế bằng 
ràng buộc bất đẳng thức (x - p)2 + (y - q)2 ≤ r2 
mà không làm thay đổi nghiệm của bài toán. 
Từ đó mô hình bài toán có dạng một bài toán 
qui hoạch lồi (xem [1]): 
min
{f(x, y) = 22 y)cx( ++ + 
22 y)cx( +− : (x - p)2 + (y - q)2 ≤ r2}. 
Do hàm mục tiêu f liên tục và tập ràng buộc 
compac, khác rỗng (do r > 0) nên bài toán 
phải có nghiệm cực tiểu (Định lý 
Weierstrass). Vấn đề là xét xem điểm cực tiểu 
có tính chất gì và làm thế nào tìm được điểm 
cực tiểu đó (bằng giải tích hoặc hình học)? 
Từ luật phản xạ ánh sáng suy ra điểm cực tiểu 
D có tính chất: đoạn AD và BD tạo với tiếp 
tuyến đường tròn tại D hai góc bằng nhau 
(góc tới
=
góc phản xạ). 
Cách tiếp cận giải tích 
Bằng giải tích ta có thể dùng phương pháp 
nhân tử Lagrange (xem [1], §8.2, tr. 229 - 
240). Cách làm như sau: Đưa vào nhân tử λ 
và xét hàm Lagrange: 
L(x, y, λ) = 22 y)cx( ++ + 
22 y)cx( +− + λ ((x - p)2 + (y - q)2 - r2). 
Lấy đạo hàm riêng của L theo x, y, λ và cho 
bằng 0 ta được hệ ba phương trình của ba ẩn 
số (x, y và λ): 
Rất tiếc là ta không thể giải trực tiếp hệ 
phương trình này để tìm ra các điểm dừng, từ 
đó xác định điểm cực tiểu. Ta chỉ có thể giải 
gần đúng bằng số hệ này. 
Cách tiếp cận hình học 
Ta nhắc lại định nghĩa và các tính chất của 
ellipse trong mặt phẳng. 
Theo định nghĩa, ellipse là quĩ tích tất cả 
những điểm có tổng khoảng cách từ nó tới hai 
điểm cố định đã cho (chẳng hạn, A và B) 
bằng hằng số ℓ ≥ 0 cho trước. Điểm A và B 
gọi là các tiêu điểm, độ dài đoạn thẳng AB = 
2c gọi là tiêu cự của ellipse. Mỗi ellipse có 
một trục lớn, độ dài ký hiệu là 2a và một trục 
nhỏ, độ dài ký hiệu là 2b (với a ≥ b ≥ 0), 
vuông góc với nhau tại trung điểm đoạn thẳng 
AB. Ta có mối liên hệ: a2 = b2 + c2 và ℓ = 2a 
(xem Hình 4). Nếu vẽ hệ trục tọa độ vuông 
góc với gốc tọa độ O tại điểm giữa hai tiêu 
điểm của ellipse và trục hoành song song với 
trục lớn thì ellipse sẽ được biểu diễn bởi 
phương trình: 
2
2
a
x
 + 2
2
b
y
 = 1 
Như vậy, những điểm nằm phía trong đường 
ellipse có tổng khoảng cách tới A và B nhỏ 
hơn ℓ; những điểm nằm phía ngoài đường 
p 
A B 
O
D
I 
- c x 
y 
q 
r 
Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89 
 88
ellipse có tổng khoảng cách tới A và B lớn 
hơn ℓ. Một tính chất đáng chú ý nữa là ellipse 
tuân theo luật phản xạ ánh sáng: Tiếp tuyến 
với ellipse tại điểm bất kỳ D trên ellipse tạo 
với AD và BD hai góc bằng nhau (góc tới 
bằng góc phản xạ, nghĩa là tia sáng đi từ A tới 
D sẽ phản chiếu tới B và ngược lại). Khi A 
trùng với B (c = 0) thì ellipse trở thành đường 
tròn (tâm O, bán kính a = b). Hệ số e = c/a gọi 
là hệ số độ lệch tâm hay tâm sai của ellipse (0 
≤ e ≤ 1). 
Hình 4. Ellipse với a = 5, b = 4 và c = 3 (ℓ = 10) 
Để mô tả họ ellipse nhận A và B cố định làm 
tiêu điểm (|AB| = 2c) và có bán trục lớn a = 
αc (α ≥ 1) ta phải có: b2 = a2 - c2 = α2c2 - c2 = 
(α2 -1)c2 (b là bán trục bé). Khi đó phương 
trình biểu diễn họ ellipse này có dạng (phụ 
thuộc tham số α): 
22
2
c
x
α
 + 22
2
c)1(
y
−α
 = 1 (α ≥ 1). 
Khi α = 1 thì a = c và ellipse suy thoái thành 
đoạn thẳng AB (b = 0). Khi α càng lớn thì 
diện tích hình ellipse càng lớn (diện tích hình 
ellipse bằng S = piab, nhưng chiều dài đường 
ellipse rất khó tính!). 
Cách tiếp cận bằng hình học dựa trên ý tưởng: 
Điểm cực tiểu cần tìm D có tính chất: đoạn 
AD và BD tạo với tiếp tuyến đường tròn tại D 
hai góc bằng nhau (góc tới bằng góc phản xạ). 
Như trên đã thấy, bất cứ điểm nào trên ellipse 
nhận A và B làm tiêu điểm đều có tính chất 
đòi hỏi. Như vậy, tiếp điểm của đường tròn 
tâm I bán kính r với một đường ellipse trong 
họ trên sẽ là điểm cần tìm (xem Hình 5). 
Hình 5. Cách tiếp cận hình học 
Vì thế, bài toán đặt ra có thể diễn đạt thành: 
Tìm ellipse nhận A và B làm tiêu điểm sao 
cho nó tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính 
r tại một điểm. Tiếp điểm này và tiếp tuyến 
chung của ellipse với đường tròn sẽ thỏa mãn 
yêu cầu đề ra. Ta có thể dựng ellipse này 
bằng hình học như sau. 
Lấy một đoạn dây không đàn hồi có độ dài 
lớn hơn 2c một chút. Gắn cố định một đầu 
dây ở A, đầu kia ở B. Dựng ellipse gồm các 
điểm có tổng khoảng cách từ nó tới A và B 
bằng độ dài đoạn dây đã chọn (đặt đầu bút chì 
tựa vào một điểm bất kỳ trên dây và di 
chuyển đầu bút chì theo dây sao cho đoạn dây 
luôn căng và quay đủ một góc 3600). Sau đó 
kéo dài độ dài đoạn dây (nếu ellipse không 
cắt đường tròn) hoặc rút ngắn độ dài dây (nếu 
ellipse cắt đường tròn tại hai điểm) sao cho 
ellipse nhận được theo cách này tiếp xúc với 
đường tròn đã cho (tâm I, bán kính r). Tiếp 
điểm nhận được sẽ là điểm cần tìm (điểm trên 
đường tròn có tổng khoảng cách tới A và B 
nhỏ nhất). Có thể thấy ellipse cuối cùng thu 
được sẽ có diện tích lớn nhất trong số các 
ellipse nhận A, B làm tiêu điểm, không chứa 
đường tròn và không có quá hai điểm chung 
với đường tròn. 
Nhận xét. Có thể mở rộng bài toán cho 
trường hợp A và
/
hoặc B nằm trong (hoặc 
trên) đường tròn. Đường tròn cũng có thể thay 
bằng các đường cong bậc hai khác (ellipse, 
parabol, hyperbon ... ). Bài toán còn có thể 
mở rộng trong không gian ba chiều, tức là có 
thể thay đường tròn bởi mặt cầu, ellipse bởi 
ellipsoid. 
Nguyễn Kiều Linh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 85 - 89 
 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. T. V. Thiệu và N. T. T. Thủy. Giáo trình tối 
ưu phi tuyến. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011. 
[2]. M.S. Bazara et all. Nonlinear Programming. 
Theory and Algorithms. 3rd Edition. A John 
Willey & Sons, Inc., Publication, 2006. 
[3]. Properties of Ellipses (Internet). 
SUMMARY 
SOME IDEAS ABOUT AN OPTIMIZATION PROBLEM IN PLANE 
Nguyen Kieu Linh* 
College of Sciences - TNU 
This paper deals with the following optimization problem usually encountered in many 
applications and containing interesting mathematical contents: Find on a given circle one point 
such that the sum of distance from it to two specified points out of the circle is smallest? The 
problem seems to be rather simple, but finding by analysis or geometry a solution for it is not easy. 
The problem under consideration is a direct extension of the well-known following problem, but 
simpler and having a nice solution: Find on a given line in plane one point such that the sum of 
distance from it to two given points out of the line is smallest? In this paper we present some 
approach to the problem based on optimization knowledge and geometry properties of ellipses. 
Key word: Optimization problem, analysis approach, geometry approach. 
Ngày nhận bài: 08/11/2012, ngày phản biện: 23/11/2012, ngày duyệt đăng:10/12/2012 
*
 Tel: 0985 059646, Email: nguyenkieulinhk4@gmail.com