Tính toán hệ số quan sát giữa một bề mặt vi phân và một bề mặt hữu hạn có các lỗ trống dạng hình tròn sử dụng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 263
TÍNH TOÁN HỆ SỐ QUAN SÁT GIỮA MỘT BỀ MẶT VI PHÂN VÀ 
MỘT BỀ MẶT HỮU HẠN CÓ CÁC LỖ TRỐNG DẠNG HÌNH TRÒN 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE-CARLO 
Phạm Ngọc Chung1*, Nguyễn Như Hiếu2 
Tóm tắt: Hệ số quan sát là một tham số quan trọng được sử dụng trong tính toán 
trao đổi bức xạ giữa các bề mặt trong các bài toán truyền nhiệt của khoa học kỹ 
thuật. Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu bài toán xác định hệ số quan sát 
giữa một bề mặt vi phân và một bề mặt hữu hạn có chứa các lỗ trống dạng hình 
tròn sử dụng kỹ thuật mô phỏng Monte-Carlo. Trong phạm vi nghiên cứu của bài 
báo, các tác giả xét bề mặt hữu hạn có dạng hình chữ nhật. Các tính toán được thực 
hiện cho trường hợp bề mặt vi phân song song với mặt phẳng chứa bề mặt hữu hạn 
đang xét. Sự phụ thuộc của hệ số quan sát vào khoảng cách, vị trí bề mặt vi phân, 
bán kính và sự phân bố của các lỗ trống được khảo sát chi tiết. Kết quả thu được 
chỉ ra rằng nghiệm mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo là khá gần với 
nghiệm giải tích. Sự hội tụ của nghiệm thu được từ mô phỏng Monte-Carlo được 
đánh giá thông qua số tia phát ra từ bề mặt vi phân và số tia đến được bề mặt hữu 
hạn đang xét. Giá trị tỷ số giữa số tia đến được bề mặt hữu hạn và số tia phát ra 
cho ta hệ số quan sát cần tìm. Tính toán thực tế chỉ ra rằng khi số tia phát ra đủ lớn 
thì hệ số quan sát trong mô phỏng Monte-Carlo sẽ tiệm cận giá trị chính xác và 
tuân theo luật số lớn. 
Từ khóa: Mô phỏng Monte-Carlo; Hệ số quan sát; Bề mặt hữu hạn; Bề mặt vi phân; Lỗ trống hình tròn. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Xuất phát từ bài toán bức xạ nhiệt giữa hai bề mặt vật thể khác nhau, người ta đưa ra 
khái niệm hệ số quan sát dựa trên một số giả thiết về năng lượng bức xạ giữa các bề mặt 
[1,2]. Từ những giả thiết về mặt vật lý, người ta thu được biểu thức toán học cho hệ số 
quan sát ijF khi nhìn bề mặt j từ bề mặt i như sau [1,2]: 
 2
cos cos1
,
i j
i j
ij i j
i A A
F dA dA
A r
 
 (1) 
trong đó: ,i j  là góc giữa đường nối hai điểm bất kỳ thuộc hai bề mặt với pháp tuyến bề 
mặt tại hai điểm đó; r là khoảng cách giữa hai điểm trên hai bề mặt; ,i jA A là diện tích các 
bề mặt (xem hình 1). Từ định nghĩa của hệ số quan sát (1), ta thu được quan hệ 
i ij j jiA F A F . Nói chung hệ số ijF khác với jiF , chúng chỉ bằng nhau khi diện tích hai bề 
mặt đang xét bằng nhau. 
Từ (1), có thể thấy rằng hệ số quan sát chỉ phụ thuộc vào dạng hình học và hướng của 
các bề mặt cũng như khoảng cách giữa chúng. Do sự phức tạp khi tính các tích phân mặt, 
người ta có thể thu được nghiệm giải tích của (1) trong một số trường hợp hình học đơn 
giản của các bề mặt, chẳng hạn hai bề mặt phẳng hình chữ nhật [3], miền vi phân và hình 
tròn [4], các hình đa giác [5], miền vi phân và hình trụ [6]. Tuy nhiên, khi dạng hình học 
của các bề mặt phức tạp thì việc tìm nghiệm giải tích là khá khó khăn [7,8]. Do đó, các 
phương pháp số sẽ được sử dụng để tính toán xấp xỉ biểu thức hệ số quan sát (1). Một 
trong những phương pháp số là phương pháp Monte-Carlo dựa trên cơ sở số ngẫu nhiên 
trong xác suất thống kê [7-9]. 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 264 
Phương pháp Monte-Carlo có ưu điểm là dễ dàng thực hiện cho nhiều loại bài toán 
khác nhau, ngay cả những bài toán có độ phức tạp nhất định. Phương pháp này cho kết quả 
ước lượng nghiệm của bài toán khá tiện lợi, nhưng có một nhược điểm là thời gian tính 
toán tương đối lớn, mất nhiều tài nguyên của máy tính. 
 Đối với bài toán bức xạ nhiệt nói chung, 
và tính toán hệ số quan sát nói riêng, 
phương pháp Monte-Carlo được nghiên 
cứu từ những thập niên 60, 70 của thế kỷ 
trước [1,2], có thể kể đến các công trình 
của Chen và Churchill [10], Corlett [11], 
Campbell [12]. 
 Gần đây, Vujicic [13] đã sử dụng 
phương pháp Monte-Carlo kết hợp với kỹ 
thuật sai phân hữu hạn để ước lượng hệ số 
quan sát, sau đó so sánh với nghiệm giải 
tích thu được trong vài trường hợp đơn 
giản. Các tác giả đó đã sử dụng phương 
pháp mô phỏng Monte-Carlo, đồng thời 
đánh giá thời gian tính toán và độ chính xác 
Hình 1. Minh họa hình học khi tính hệ số 
quan sát giữa hai bề mặt iA và jA . 
của phương pháp. Mới đây, Jacques [15] đề xuất một kỹ thuật tính toán nhằm mục đích giảm 
thời gian tính toán khi kết hợp mô phỏng Monte-Carlo với phương pháp phần tử hữu hạn. 
Trong nhiều ứng dụng, các dạng hình học bề mặt khá phong phú và đa dạng, tính toán hệ 
số quan sát mang ý nghĩa thực tiễn trong các ứng dụng đó. Phạm vi nghiên cứu của bài báo 
là tính toán hệ số quan sát đối với các bề mặt vi phân và bề mặt có chứa các lỗ trống (xem 
minh họa các lỗ trống trong [16]). Các bề mặt loại này thường xuất hiện trong kết cấu của 
các thiết bị, linh kiện điện tử. Hiểu được các đặc tính hình học và đặc tính truyền nhiệt giữa 
các bề mặt, người ta có thể thiết kế các chi tiết thiết bị với mục đích tối ưu nào đó. 
Bài toán tính hệ số quan sát giữa bề mặt vi phân và bề mặt có lỗ trống vẫn chưa được 
khảo sát chi tiết trong những nghiên cứu trước đây mặc dù về mặt kỹ thuật ta có thể tính 
hệ số quan sát giữa một bề mặt vi phân và một lỗ trống [4]. Mục đích của nghiên cứu này 
là sử dụng mô phỏng Monte-Carlo để tính toán và khảo sát hệ số quan sát giữa một bề mặt 
vi phân và một bề mặt hữu hạn có các lỗ trống; giới hạn tính toán cho trường hợp bề mặt 
vi phân song song với một bề mặt hình chữ nhật có chứa một, hai và nhiều lỗ trống hình 
tròn. Kết quả mô phỏng số chỉ ra rằng các kết quả của phương pháp Monte-Carlo so với 
phương pháp giải tích là khá gần nhau. Điều này cho cho thấy phương pháp Monte-Carlo 
là tin cậy và có thể mở rộng cho nhiều bài toán phức tạp hơn liên quan đến các loại bề mặt 
với các dạng hình học khác nhau. 
2. PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO TÍNH TOÁN HỆ SỐ QUAN SÁT 
GIỮA HAI BỀ MẶT 
Bởi vì hệ số quan sát (1) xuất phát từ một số giả thiết vật lý về tương tác bức xạ bề mặt, 
do đó cách tiếp cận mô phỏng số Monte-Carlo cũng sử dụng các giả thiết đó để tính toán 
xấp xỉ hệ số quan sát. Ta sử dụng một số giả thiết như dưới đây cho bề mặt phát tia, luật 
phân bố của tia phát ra và cách thức chia năng lượng phát ra thành các gói năng lượng. Ba 
giả thiết này là quan trọng, để đảm bảo rằng cách thức thực hiện mô phỏng Monte-Carlo là 
lý tưởng về mặt vật lý [1, 2]. 
 2.1. Một số giả thiết 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 265
- Bề mặt phát tia là bề mặt khuếch tán. Khi đó, các tia trên bề mặt có thể phát ra theo mọi 
hướng nằm trong phạm vi mặt tiếp diện với bề mặt tại điểm phát tia và phần không gian phía 
trên bề mặt, tức là các tia phát ra nằm trên nửa bán cầu có đáy nằm trên mặt tiếp diện. 
- Năng lượng các tia phát ra có phân bố theo luật cosin. Luật này đảm bảo rằng tia 
phát ra có phân bố đều trên nửa mặt cầu phía trên mặt phẳng phát tia. 
- Có thể chia phần năng lượng phát ra từ phần tử i thành N gói năng lượng, mỗi gói có 
năng lượng như nhau. Mỗi tia phát ra được đặc trưng bởi một gói năng lượng tương ứng. 
Thực tế, tia đại diện này chứa một số lượng rất lớn các tia về mặt vật lý (xem [1, 2, 13]). 
2.2. Xấp xỉ hệ số quan sát bằng phương pháp Monte-Carlo 
Trong phương pháp Monte-Carlo [1, 2, 13], ta xét N tia, mỗi tia mang cùng một năng 
lượng phát ra từ phần tử bề mặt i . Gọi tổng năng lượng phát ra từ bề mặt i là i . Khi đó, 
mỗi tia sẽ có năng lượng là: 
 .iray
N

 (2) 
Nếu có m tia đập vào phần tử bề mặt j thì phần tử bề mặt j nhận được năng lượng 
là ij raym  . Hệ số quan sát ijF lúc này sẽ được tính xấp xỉ bởi 
MC
ijF [1, 2, 13]: 
MC .
ij ray
ij
i ray
m m
F
N N
 
 
 (3) 
Tức là hệ số quan sát sẽ xấp xỉ bằng tỉ số giữa số tia mà phần tử bề mặt j nhận được 
và tổng số tia phát ra từ phần tử bề mặt i . Từ (3) có thể nhận xét rằng, nếu tổng số tia phát 
ra càng lớn thì giá trị xấp xỉ MCijF càng gần giá trị tính được từ biểu thức toán học (1): 
 lim .ij
N
m
F
N 
 (4) 
Giá trị m phụ thuộc vào số tia phát ra N, dạng hình học bề mặt j và vị trí của nó so 
với i . Với cùng một lượng tia phát ra, nếu bề mặt j nhỏ thì số lượng m tia nhận được 
cũng nhỏ. Người ta chỉ ra rằng độ chính xác của phương pháp Monte-Carlo tỉ lệ với giá trị 
1 N và sự hội tụ nghiệm tuân theo luật số lớn (xem [1, 2]). 
3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO TÍNH TOÁN HỆ SỐ QUAN SÁT 
GIỮA MỘT BỀ MẶT VI PHÂN VÀ MỘT BỀ MẶT HÌNH CHỮ NHẬT HỮU HẠN 
CÓ CÁC LỖ TRỐNG NẰM TRÊN HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
3.1. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có một lỗ trống 
Đặt bài toán: Xét miền vi phân 1dA (được xác định bởi các tọa độ Đề Các 1x , 2x , 1y , 
2y ) và miền chữ nhật phẳng hữu hạn 2A có kích thước a b (được xác định bởi các tọa độ 
Đề Các 1 , 2 , 1 , 2 và 2 1 a  , 2 1 b  ). Miền chữ nhật có một lỗ trống bán 
kính r . Hai bề mặt 1dA và 2A nằm trong hai mặt phẳng song song, cách nhau một 
khoảng d, như minh họa trong hình 2. Tính hệ số quan sát miền vi phân nhìn miền chữ 
nhật hữu hạn. 
3.1.1. Nghiệm giải tích 
Ký hiệu D là miền tròn (lỗ trống),  là toàn miền chữ nhật (khi không có lỗ trống), 
2 \A D  là miền đang xét. Theo tính chất của hệ số quan sát [1], ta có: 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 266 
1 2 1 1
,dA A dA dA DF F F  (5) 
trong đó: 
1 2dA A
F 
là hệ số quan sát cần tìm, 
1dA
F  là hệ số quan sát miền vi phân nhìn toàn 
miền chữ nhật (khi không có lỗ trống), 
1dA D
F là hệ số quan sát miền vi phân nhìn miền 
tròn (lỗ trống). 
Hình 2. Bề mặt vi phân và bề mặt chữ 
nhật có một lỗ trống. 
Hình 3. Góc cầu , tại 0M . 
Trong thực tế tính toán số, miền vi phân có thể coi là một miền chữ nhật vô cùng bé. 
Người ta đã tìm được nghiệm giải tích cho hệ số quan sát trong trường hợp hai miền hình 
chữ nhật nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau. Do đó, ta có thể tính toán hệ số 
quan sát giữa miền vi phân và miền hình chữ nhật như sau [3]: 
1
2 2 2 2
( )
1 1 1 11
1
1 ( , , , )
i j k l
dA i j k l
l k j i
F G x y
A
 
 
  (6) 
trong đó, 
1
2 2 2
1
2 2 2
1
arctan
2
y
G y x d
x d

 

1 2
2 2 22 22
1
2 2 2
arctan ln .
2
x d
x y d x y d
y d

   


  
 
(7) 
Khi 0e ( e là khoảng cách từ tâm miền vi phân đến đường thẳng đi qua tâm của lỗ 
trống và song song với trục z , xem hình 3), nghiệm giải tích của
1dA D
F là [4]: 
1
2 2
22 2 2
11
1 .
2
1 4
dA D
r e d e
F
r e d e r e
 (8) 
Khi 0e thì biểu thức của
1dA D
F là: 
 1
2
1
.
1
dA DF
d r
 (9) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 267
3.1.2. Các bước mô phỏng Monte-Carlo trong tính toán hệ số quan sát 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình 3. Ta thực hiện mô phỏng Monte-Carlo theo các 
bước như dưới đây theo phương pháp phát tia đã trình bày trong phần 2.2. 
Bước 1. Tạo điểm ngẫu nhiên 0 0 0, ,0M x y có phân bố đều trên miền vi phân 1dA . 
Bước 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng chứa bề mặt chữ nhật hữu hạn 2A có lỗ 
trống bán kính r . 
- Từ điểm ngẫu nhiên 0M , phát một tia ngẫu nhiên 0M u
 
 có góc cầu , theo quy 
luật [2]: 
arccos 1 rand(1),
2 rand(1),

 (10) 
trong đó: rand(1) ký hiệu số ngẫu nhiên có phân bố đều trên đoạn [0,1]. 
- Tia 0M u
 
 có thể cắt mặt phẳng chứa miền chữ nhật 2A tại M có tọa 
độ , ,M M Mx y z : 
0
0
tan cos
tan sin
M
M
M
x x d
y y d
z d
 
 
 , 0,
2

 ,  0, 2 (11) 
Bước 3. Xác định điều kiện để các tia ngẫu nhiên phát ra từ 0M đập vào miền 2A (điều 
kiện để 2M A ). 
Điều kiện để các tia ngẫu nhiên phát ra từ 0 1M dA đập vào 2A là: 
1 2 1 2
2 2 2
, ,
.
M M
M C M C
x y
x y r
   
 
 (12) 
Hai điều kiện đầu tiên là điều kiện để M  , điều kiện thứ ba là để M nằm ngoài lỗ 
trống (nằm ngoài miền tròn D ). 
Bước 4. Xác định số tia đập vào 2A (số điểm 2M A ). Gọi m là số điểm M nằm 
trong miền 2A , N là số tia ngẫu nhiên phát ra từ điểm ngẫu nhiên 0M . Khi đó, giá trị hệ 
số quan sát là: 
1 2
MC
dA A
m
F
N
 . (13) 
3.2. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có hai lỗ trống 
Bài toán được đặt ra như bài toán mục 3.1, nhưng miền chữ nhật có hai lỗ trống 1D và 
2D (mô tả trong hình 4). 
3.2.1. Nghiệm giải tích 
Ký hiệu 
1 2,D D là miền tròn 1 và 2 (miền lỗ trống 1 và 2),  là toàn miền chữ nhật 
(khi không có lỗ trống), 2 1 2\A D D   là miền đang xét. Khi đó: 
1 2 1 1 1 1 2
.dA A dA dA D dA DF F F F  (14) 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 268 
Ở đây: 
1dA
F  được tính theo (6), 1 1 1 2,dA D dA DF F được tính theo (8) hoặc (9). 
3.2.2. Nghiệm mô phỏng Monte-Carlo 
Các bước tiến hành mô phỏng tương tự như trường hợp một lỗ trống, tuy nhiên, điều 
kiện để tia ngẫu nhiên phát ra từ 0M đập vào miền 2A đang xét là: 
Hình 4. Bề mặt vi phân và bề mặt chữ 
nhật có hai lỗ trống. 
Hình 5. Mô hình bề mặt chữ nhật 
 có nhiều lỗ trống. 
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2
, ,
, .
M M
M C M C M C M C
x y
x y r x y r
   
   
 (15) 
Trong (15), 1 1 1 2 1 1
3
, , , , ,
4 2 4 2
a b a b
C d C d   
 là hai tọa độ tâm 
của hai lỗ trống. Hai điều kiện đầu tiên của (15) là điều kiện để M  , hai điều kiện 
cuối là điều kiện để M nằm ngoài hai lỗ trống 1D và 2D . 
3.3. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có nhiều lỗ trống 
Giả sử bề mặt chữ nhật hữu hạn ABCD kích thước a b có cạnh AD được chia làm 
m đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài /a m . Cạnh AB được chia thành n đoạn bằng nhau, 
mỗi đoạn dài /b n . Ta thu được lưới chữ nhật m n (xem hình 5). Trên mỗi hình chữ 
nhật con (mắt lưới), ta tạo một lỗ trống hình tròn bán kính r , có tâm là tâm của mắt lưới. 
Điều kiện ràng buộc của bán kính r là: 
 0 min ; .
2 2
a b
r
m n
 
 
 
 (16) 
Điều kiện (16) đảm bảo các lỗ trống nằm trong mỗi mắt lưới và không giao nhau. Khi 
0r ta thu được miền chữ nhật ABCD không có lỗ trống. Gọi ijC là tâm của lỗ trống 
ở vị trí mắt lưới ,i j . Tọa độ của ijC là 1 12 1 , 2 1 ,
2 2
ij
a b
C i j d
m n
 
. Ta 
cần tính hệ số quan sát bề mặt vi phân nhìn bề mặt chữ nhật có nhiều lỗ trống này. 
3.3.1. Nghiệm giải tích 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 269
Gọi 
1 ijdA D
F là hệ số quan sát của miền vi phân nhìn miền tròn ijD tâm ijC , bán kính 
r . Ta biết được nghiệm chính xác 
1 ijdA D
F và hệ số quan sát 1dAF  miền vi phân nhìn toàn 
miền chữ nhật  (miền chữ nhật ABCD không có lỗ trống). Khi đó, hệ số quan sát của 
miền vi phân nhìn miền chữ nhật có lỗ trống: 
 1 2 1 1 .ijdA A dA dA D
i j
F F F   (17) 
3.3.2. Nghiệm mô phỏng Monte-Carlo 
Thuật toán mô phỏng như hai trường hợp ở trên nhưng điều kiện để tia ngẫu nhiên phát 
ra từ 0M đập vào miền 2A đang xét (điều kiện để 2M A ) tuân theo hai bước sau: 
- Nếu M nằm ngoài miền  thì tia phát ra từ 0M không đập vào miền đang xét 2A . 
- Nếu M nằm trong miền  thì ... ng xét 2A , ngược lại thì 
2M A đang xét. 
Kết quả số của nghiệm mô phỏng số và nghiệm giải tích của cả ba trường hợp trên sẽ 
được trình bày trong mục 4 sau đây. 
4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 
4.1. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có một lỗ trống 
Lấy tọa độ Đề Các bề mặt chữ nhật là 1 0 m , 2 2 m , 1 0 m , 
 2 1 m , 2 1 2 (m)a   , 2 1 1 mb   ; còn tọa độ Đề Các bề mặt vi 
phân 1x , 2x , 1y , 2y được chọn sao cho diện tích của bề mặt vi phân là khá nhỏ và bằng 
khoảng 21/ 20 lần so với diện tích bề mặt chữ nhật, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song 
song chứa hai bề mặt này là 0.5 (m)d . Bán kính lỗ trống 0.4 mr . Hệ số quan sát 
giữa hai bề mặt được mô tả trong các hình 6-10. Hình 6 mô tả sự phân bố tia ngẫu nhiên 
phát ra từ bề mặt vi phân 1dA tới đập vào bề mặt 2A trong quan sát ba chiều từ mô phỏng 
Monte-Carlo. 
Bảng 1. Kết quả tính toán nghiệm mô phỏng Monte-Carlo và thời gian tính tương ứng. 
Số tia phát N 
Nghiệm mô phỏng 
Monte-Carlo 
Nghiệm chính xác 
Thời gian tính toán 
(s) 
210 0.3000 0.2788 0.0160 
310 0.2570 0.2788 0.0460 
410 0.2741 0.2788 0.2350 
43 10 0.2765 0.2788 0.6880 
45 10 0.2782 0.2788 1.1280 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 270 
Hình 7 mô tả sự hội tụ của nghiệm số theo Monte-Carlo so với nghiệm giải tích. Khi 
N càng lớn thì sai số giữa nghiệm mô phỏng Monte-Carlo và nghiệm chính xác càng 
giảm. Với số tia phát ra 410N thì hệ số quan sát theo Monte-Carlo là 
1 2
0.2741MCdA AF , 
còn nghiệm giải tích 
1 2
0.2788dA AF ; Độ chính xác của phương pháp Monte-Carlo lấy 
hai chữ số sau dấu phẩy. Quan sát bảng 1, ta cũng thấy khi số tia phát ra từ bề mặt vi phân 
N tăng lên thì nghiệm mô phỏng số Monte-Carlo càng gần nghiệm chính xác, tuy nhiên, 
thời gian tính toán cũng tăng lên. 
Hình 6. Quan sát 3D của sự phân bố tia 
ngẫu nhiên phát ra từ bề mặt vi phân 
đập vào bề mặt hữu hạn trong 
trường hợp một lỗ trống. 
Hình 7. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có một lỗ trống theo 
tia ngẫu nhiên phát ra từ bề mặt vi phân. 
Hình 8 phác họa hệ số quan sát khi bề mặt vi phân di chuyển trên đường thẳng 0.5y 
từ vị trí 0x đến 4x . Quan sát hình vẽ ta có thể nhận xét rằng hệ số quan sát có dạng 
đối xứng qua đường thẳng 1x khi bề mặt vi phân nằm trong giới hạn của miền chữ nhật 
theo trục x từ vị trí 0x đến 2x , còn khi miền vi phân đi ra ngoài giới hạn của miền 
chữ nhật thì hệ số quan sát sẽ giảm dần và tiến về không. 
Hình 8. Hệ số quan sát bề mặt vi phân nhìn bề mặt hữu hạn có một lỗ trống khi vị trí 
bề mặt vi phân thay đổi trên đường thẳng 0.5y từ vị trí 0x đến 4x . 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 271
Hình 9 chỉ ra sự phụ thuộc của hệ số quan sát vào khoảng cách d giữa miền vi phân 
và miền chữ nhật. Ở đây, 2 ma , 1 mb , d được lấy từ 0.01 m đến 10 m ; 
miền vi phân được giữ tại vị trí mà khoảng cách e từ tâm miền vi phân đến đường thẳng 
đi qua tâm của lỗ trống và song song với trục z bằng không ( 0e ). Từ hình vẽ ta thấy 
rằng nếu khoảng cách giữa bề mặt vi phân và bề mặt chữ nhật khá gần nhau thì hệ số quan 
sát sẽ gần không và khi khoảng cách ở khoảng 0.61 m thì hệ số quan sát là lớn nhất 
khoảng 0.2825; khi khoảng cách càng lớn thì hệ số quan sát sẽ giảm xuống và tiệm cận về 
không. Một điểm lưu ý là khi d khá nhỏ thì hệ số quan sát xấp xỉ bằng không, điều này là 
vì khi miền vi phân nằm gần vị trí trung tâm lỗ, các tia phát ra từ miền vi phân sẽ xuyên 
qua lỗ và thoát khỏi bề mặt hình chữ nhật, số tia đập được vào miền chữ nhật là không 
đáng kể. 
Hình 9. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có một lỗ trống khi 
khoảng cách d thay đổi. 
Hình 10. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có một lỗ trống khi 
bán kính r của lỗ trống thay đổi. 
Hình 10 chỉ ra sự phụ thuộc của hệ số quan sát và bán kính r của lỗ trống. Ở đây, 
 2 ma , 1 mb , 0.5 md , miền vi phân được giữ cố định tại vị trí khoảng cách 
e từ tâm miền vi phân đến đường thẳng đi qua tâm của lỗ trống và song song với trục z 
bằng không ( 0e ); Bán kính r của lỗ trống thay đổi từ 0 đến 0.4 m . Hình vẽ thể hiện 
rằng khi r tăng thì hệ số quan sát sẽ giảm xuống từ giá trị lớn nhất 0.6689 khi không có lỗ 
trống đến giá trị nhỏ nhất 0.2788 khi có lỗ trống với bán kính 0.4 mr . 
4.2. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có hai lỗ trống 
Trong trường hợp bề mặt hình chữ nhật có hai lỗ trống, kích thước hình chữ nhật được 
lấy tương tự như phần 4.1. Bán kính mỗi lỗ trống được lấy là 0.4r (m). Tâm lỗ trống 
được lấy theo (15). Kết quả số được thể hiện trên các hình 11-14. 
Trên hình 11, vì miền vi phân nằm tại vị trí hình chiếu của tâm miền chữ nhật nên khu 
vực xung quanh tâm miền chữ nhật sẽ tập trung nhiều điểm giao cắt của tia chiếu tới, mật 
độ điểm khu vực này sẽ lớn hơn các khu vực khác. Hình 12 mô tả sự thay đổi của hệ số 
quan sát khi vị trí miền vi phân thay đổi trong đoạn [0, 2] theo phương x trong khi phương 
y cố định trên đường thẳng 0.5y . Ta có thể thấy tính đối xứng thu được của hệ số quan 
sát qua đường thẳng 1x khi vị trí vi phân di chuyển từ đầu này đến đầu kia của miền 
chữ nhật. Điều này là do vị trí đối xứng nhau của hai miền tròn qua đường thẳng 1x . 
Tại vị trí 1x , hệ số quan sát đạt giá trị lớn nhất bằng 0.3166. 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 272 
Hình 11. Sự phân bố tia ngẫu nhiên phát ra 
từ bề mặt vi phân đập vào bề mặt hữu hạn 
trường hợp hai lỗ trống trong 
quan sát ba chiều. 
Hình 12. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có hai lỗ trống khi 
vị trí bề mặt vi phân thay đổi trên đường 
thẳng 0.5y từ vị trí 0x đến 2x . 
Hình 13. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có hai lỗ trống 
khi khoảng cách d thay đổi. 
Hình 14. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có hai lỗ trống 
khi bán kính r của lỗ trống thay đổi. 
Khi khoảng cách d lớn dần, tức miền vi phân sẽ di chuyển ra xa so với miền chữ nhật, 
thì hệ số quan sát sẽ giảm dần và tiệm cận về giá trị không. Kết quả này được minh họa 
trên hình 13 khi khoảng cách d thay đổi trong khoảng từ 0.01 đến 10 (m). Khác với kết 
quả trên hình 9 trong trường hợp một lỗ, trên hình 13, khi d khá nhỏ, hệ số quan sát tiến 
dần về một; Điều này là do ở khoảng cách nhỏ gần miền chữ nhật, các tia phát ra từ miền 
vi phân có thể gần như 100% đến được miền chữ nhật. Nghiệm thu được từ mô phỏng 
Monte-Carlo được so sánh với nghiệm chính xác cho thấy hai kết quả là gần trùng khít lên 
nhau. Trên hình 14, ta khảo sát hệ số quan sát khi thay đổi bán kính của lỗ trống. Ta luôn 
đảm bảo rằng lỗ trống nằm trọn trong hình chữ nhật, tức là 0 min / 4, / 2r a b . Khi 
lỗ trống lớn dần, số tia đập vào bề mặt đang xem xét sẽ giảm đi, và do đó hệ số quan sát sẽ 
giảm theo sự tăng của kích thước lỗ trống. Trong hình 14, bán kính r của lỗ trống thay đổi 
từ 0 đến 0.4 (m). Hệ số quan sát lớn nhất tại giá trị 0r , tức là hình chữ nhật không có lỗ 
trống (vị trí hình chữ nhật và miền vi phân được giữ cố định). 
4.3. Trường hợp bề mặt chữ nhật hữu hạn có nhiều lỗ trống 
Trong phần này, ta tính toán 10 trường hợp với số lỗ trống là 1 1 , 2 1 , 2 2 , 3 1 , 
3 2 , 3 3 , 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 . Kích thước hình chữ nhật phía trên được lấy là 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 273
 2 m 1 ma b . Bán kính lỗ trống r là như nhau trong 10 trường hợp kể trên và 
bằng 0.1 (m). Vị trí vi phân lấy tại hình chiếu của tâm hình chữ nhật trên mặt phẳng Oxy 
( 0e ). Kết quả hệ số quan sát được cho trong bảng 2. Có thể thấy rằng, với các phân bố 
khác nhau của lỗ trống thì hệ số quan sát sẽ khác nhau, chẳng hạn trường hợp 1 1 lỗ 
trống cho hệ số quan sát khác với trường hợp 2 1 lỗ trống. Mặc dù trường hợp 2 1 lỗ 
trống làm cho hình chữ nhật bị khuyết nhiều hơn trường hợp 1 1 lỗ trống (diện tích các 
lỗ trống là như nhau), nhưng lại có hệ số quan sát lớn hơn, điều này là do cách bố trí 2 1 
lỗ trống và vị trí miền vi phân làm cho miền diện tích ở giữa hình chữ nhật nhận được 
nhiều tia chiếu đến hơn trường hợp 1 1 lỗ mà ở đó có sự mất mát tia khi phát tia từ miền 
vi phân chiếu tới miền chữ nhật. Bảng 2 cho ta kết quả sai số tương đối của phương pháp 
Monte-Carlo chỉ vào khoảng 1% so với nghiệm chính xác. 
Bảng 2. Hệ số quan sát theo số lỗ trống. 
m n 
Nghiệm mô phỏng 
Monte-Carlo 
1 2
MC
dA AF 
Nghiệm chính xác 
1 2dA A
F 
Sai số (%) 
1 1 0.6246 0.6306 0.9437 
2 1 0.6479 0.6491 0.1787 
2 2 0.6342 0.6374 0.5024 
3 1 0.6226 0.6204 0.3594 
3 2 0.5931 0.6012 0.3489 
3 3 0.5726 0.5666 1.0559 
4 1 0.6086 0.6112 0.4203 
4 2 0.5901 0.5851 0.8506 
4 3 0.5378 0.5434 1.0243 
4 4 0.4973 0.5024 1.0234 
Hình 15. Quan sát 3D của sự phân bố tia 
ngẫu nhiên phát ra từ bề mặt vi phân đập 
vào bề mặt hữu hạn trong trường hợp 4 3 
lỗ trống. 
Hình 16. Hệ số quan sát bề mặt vi phân 
nhìn bề mặt hữu hạn có 4 3 lỗ trống khi vị 
trí bề mặt vi phân thay đổi trên đường thẳng 
0.5y từ vị trí 0x đến 2x . 
Hình 15 minh họa sự phân bố tia ngẫu nhiên phát ra từ bề mặt vi phân đập vào miền 
hữu hạn đang xét trong trường hợp 4 3 lỗ trống. Trên hình 16, ta khảo sát sự thay đổi 
của hệ số quan sát khi vị trí miền vi phân thay đổi trong trường hợp 4 3 lỗ trống. Trường 
hợp này, ta vẫn cho miền vi phân di chuyển trên đường thẳng 0.5y từ vị trí 0x đến 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 P. N. Chung, N. N. Hiếu, “Tính toán hệ số quan sát giữa  mô phỏng Monte-Carlo.” 274 
2x . Ta thấy rằng khi miền vi phân di chuyển ra xa vị trí tâm của hình chữ nhật thì hệ số 
quan sát giảm từ 0.5434 xuống 0.2911. Kết quả trên hình 16 chỉ ra rằng nghiệm Monte-
Carlo chỉ nhiễu nhẹ quanh giá trị nghiệm chính xác với sai số tương đối nhỏ. 
5. KẾT LUẬN 
Trong nghiên cứu này, các tác giả đã sử dụng phương pháp Monte-Carlo để tính toán 
hệ số quan sát giữa một bề mặt vi phân và một bề mặt hữu hạn có các lỗ trống khi chúng 
nằm trên hai mặt phẳng song song. Phương pháp Monte-Carlo cho kết quả khá gần với kết 
quả thu được từ nghiệm giải tích. Điều này cho thấy độ tin cậy của phương pháp Monte-
Carlo. Kết quả cũng chỉ ra rằng khi số tia phát ra N càng lớn thì độ chính xác của phương 
pháp cũng tăng lên, tuy nhiên thời gian tính toán mô phỏng cũng tăng lên đáng kể. Bài báo 
chỉ ra các nhân tố ảnh hưởng đến hệ số quan sát như: khoảng cách và vị trí của bề mặt vi 
phân, bán kính và sự phân bố của các lỗ trống. Kết quả trong bài báo có thể được mở rộng 
để mô phỏng và khảo sát hệ số quan sát cho nhiều trường hợp khác nhau với các hình dạng 
lỗ trống hoặc bề mặt có cấu hình phù hợp với các thiết kế nhất định trong thực tế. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Howell, J. R., Siegel, R., and Menguc, M. P., “Thermal Radiation Heat Transfer ”, 6th 
ed. (2010), Taylor and Francis/CRC, New York. 
[2]. Modest, M. F., “Radiative Heat Transfer ”, 3rd ed. (2013), Elsevier Inc. 
[3]. Abishek, S., Ramanujam, S., and Katte, S. S., “View factors between disk/rectangle and 
rectangle in parallel and perpendicular planes”, Journal of Thermophysics and Heat 
Transfer, 21 (1995), 236-239. 
[4]. Chung, B. T. F., and Sumitra, P.S., “Radiation shape factors from plane point sources”, 
Journal of Heat Transfer, 94 (1972), 328-330. 
[5]. Alciatore D., et al., “Closed form solution of the general three dimensional radiation 
configuration factor problem with microcomputer solution”, Proc. 26th National Heat 
Transfer Conf. (1989), Philadelphia, ASME. 
[6]. Hamilton, D. C., and Morgan, W. R., “Radiant-interchange configuration factors”, 
NASA TN 2836 (1952). 
[7]. Dolaghan, J. S., Burns, P. J., and Loehrke, R. I., “Smoothing Monte Carlo exchange 
factors”, Journal of Heat Transfer, 117 (1995), 524–526. 
[8]. Modest, M. F., “Backward Monte Carlo simulations in radiative heat transfer”, Journal 
of Heat Transfer, 125 (2003), 57–62. 
[9]. Farmer, J. T. and Howell, J. R., “Comparison of Monte Carlo strategies for radiative 
transfer in participating media” , Advances in Heat Transfer, 31 (1998), 333–429. 
[10]. Chen, J. C, and Churchill, S. W., “Radiant heat transfer in packed beds”, AIChE 
Journal, 9 (1963), 35-41. 
[11]. Corlett, R. C. “Direct Monte Carlo calculation of radiative heat transfer in vacuum”, 
ASME Journal of Heat Transfer, 88 (1966), 376-382. 
[12]. Campbell, P. M., “Monte Carlo Method for Radiative Transfer”, International Journal of 
Heat and Mass Transfer, 10 (1967), 519-527. 
[13]. Vujičić, M. R, Lavery, N. P., and Brown, S. G. R., “View factor calculation using the 
Monte Carlo method and numerical sensitivity”, International Journal for Numerical 
Methods in Biomedical Engineering, DOI: 10.1243/09544062JMES139 (2006). 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 275
[14]. Mirhosseini, M., and Saboonchi, A., “View factor calculation using the Monte Carlo 
method for a 3D strip element to circular cylinder”, International Communications in 
Heat and Mass Transfer, 38 (2011), 821-826. 
[15]. Jacques, L., Masset, L., and Kerschen, G., “Direction and surface sampling in ray 
tracing for spacecraft radiative heat transfer”, Aerospace Science and Technology, 
Aerospace Science and Technology, 47 (2015), 146–153. 
[16]. https://www.colourbox.com/vector/chrome-metal-sheet-surface-with-holes-10eps-vector-
5429022 (access: 20 Feb 2018). 
ABSTRACT 
VIEW FACTOR CALCULATION BETWEEN A DIFFERENTIAL AREA 
AND A FINITE PLANE SURFACE WITH CIRCULAR HOLES 
USING MONTE-CARLO SIMULATION 
View factor is an important parameter used in calculating thermal radiation 
exchange between surfaces in heat transfer problems of science and technology. In 
this study, we are concerned with the problem of determination of view factor 
between a differential area and a finite plane surface with circular holes using 
techniques of Monte-Carlo simulation. In the framework of our paper, a rectangular 
finite surface is considered. The calculations are carried out for the case of 
differential surface parallel to the finite surface under consideration. The 
dependence of view factor on the distance between two surfaces, position of the 
differential surface, the radius and distribution of the holes is explored. Our result 
shows that the Monte-Carlo solutions are quite close to the analytical solutions. The 
convergence of solutions obtained from Monte-Carlo simulation is evaluated versus 
the number of rays emitted from the differential area because the solution value of 
view factor in random simulation obeys the law of large numbers. 
Keywords: Monte-Carlo simulation; View factor; Plane surface; Differential area; Circular hole. 
Nhận bài ngày 25 tháng 02 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 18 tháng 03 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 02 tháng 04 năm 2018 
Địa chỉ: 1 Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ-Địa chất; 
 2 Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 
 * Email: chunghumg86@gmail.com.