Tính liên tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, 
Trần Đình Thanh 
76 
TÍNH LIÊN TỤC CỦA TẬP NGHIỆM YẾU 
CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA THAM SỐ 
Nguyễn Bích Huy *, Nguyễn Duy Thanh †, Trần Đình Thanh ‡ 
1. Mở đầu 
Trong bài báo này, chúng tôi muốn nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm yếu 
dương của bài toán biên chứa tham số sau: 
 
   
,treân0u
,tronguu)x(mu (1) 
trong đó N   là tập mở, bị chặn, có biên trơn ; 10  ,  là tham số 
dương và hàm )(xm thuộc )(qL với q thỏa điều kiện 
 *
*
*
2
2.)2(
 q
q hay 
12
2
*
*
q (2) 
với 
2
22*
N
N . Phương trình (1) gọi là phương trình logistic, nó mô tả một số 
hiện tượng trong y học và sinh học. 
Thông thường, nghiệm của phương trình chứa tham số không tồn tại đơn lẻ, 
rời rạc và ta muốn biết, liệu tập nghiệm của nó có “liên tục” theo một nghĩa nào 
đó không ? Trong [4, 6] chúng tôi đã chứng minh (1) có nghiệm yếu dương khi 
 đủ lớn nhưng chưa xem xét tính liên tục của tập nghiệm nhận được. Nếu 
2
Nq thì nghiệm yếu dương của (1) nếu tồn tại, sẽ duy nhất và bị chặn ; khi đó 
cấu trúc tập nghiệm của (1) có thể nghiên cứu nhờ các kết quả về phân nhánh 
toàn cục dạng định lý Rabinowitz như đã làm trong [1]. Điều kiện (2) mà chúng 
tôi đặt ra không đòi hỏi 
2
Nq nên nghiệm yếu dương (nếu tồn tại) có thể không 
bị chặn. Do vậy, phương pháp nghiên cứu ở [1] không áp dụng được và chúng tôi 
* PGS.TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM. 
† ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM. 
‡ TS, Trường Đại học Y dược Tp.HCM. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
77 
sẽ áp dụng phương pháp chặn dưới đơn điệu của Krasnoselskii ở dạng được phát 
triển trong [5]. 
2. Các khái niệm và kết quả được sử dụng 
2.1 Nghiệm yếu của phương trình elliptic 
Xét bài toán tìm hàm u thỏa mãn 
 ),( uxfu trong  ; 0 u trên  (3) 
trong đó N   là tập mở, bị chặn, có biên trơn, f :   là hàm thỏa 
điều kiện Caratheodory. 
Ta sẽ sử dụng các kí hiệu thông thường cho các không gian Sobolev : 
*
0
12,1
00 )(, HHWH 
 , chuẩn trong H0 và Lp được kí hiệu tương ứng là H P. , . . 
Dưới đây nếu không được nói cụ thể hơn thì ta hiểu rằng các tích phân được lấy 
trên tập  . 
Định nghĩa 
Hàm 0Hu gọi là một nghiệm yếu của phương trình (3) nếu 
1f (x, u) L , 
1uf (x.u) L và 
    LHuxfu 0),( . 
Ta có định lí cơ bản sau về sự tồn tại nghiệm yếu. 
Định lí [3] 
Giả sử hàm Caratheodory g :   thỏa mãn các điều kiện sau 
i) ),(,0)0,( uxgxg tăng theo biến u, 
ii) Với mỗi số t>0 tồn tại hàm 1Lt sao cho )x()u,x(gsup t
tu
. 
Khi đó với mọi 1 Hh thì bài toán 
huxgu ),( trong  ; 0 u trên  
có duy nhất nghiệm yếu. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, 
Trần Đình Thanh 
78 
2.2 Phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự 
Giả sử X, . là không gian Banach với thứ tự "" được sinh bởi nón 
XK  . Cho ánh xạ F : K K  , ta xét bài toán tìm cặp ( , x) K   sao 
cho 
 ),( xFx  . (4) 
Ta kí hiệu )},(,0:}0{\{ xFxKxS   . 
Định nghĩa 
Ta nói rằng tập S có tính chất liên tục, không bị chặn, xuất phát từ 0 nếu với 
mọi tập G là mở, bị chặn, chứa 0 thì ta luôn có   GS . 
Định lí 2 [5] 
Giả sử ánh xạ F : K K  là hoàn toàn liên tục và tồn tại ánh xạ tăng 
KKG : , hàm :   sao cho 
F( , x) G( ( )x), ( , x) K      . 
Hơn nữa, giả sử tồn tại phần tử }0{\0 Ku và các số dương a, b sao cho 
i) ],0[)( 00 btatutuG  ; 
ii)  
  00t
)tu(Glim,)(lim , trong đó 0. là một chuẩn trên X thỏa mãn 
các điều kiện sau : 
0 0 0x x x X ; 0 x y x y  . 
Khi đó tập nghiệm S của (3) có tính liên tục, không bị chặn, xuất phát từ 0. 
3. Kết quả chính 
Định lí 
Giả sử các dữ kiện trong bài toán (1) thỏa mãn các điều kiện sau: 
i) 10  , 
ii) qLxm )( với q thỏa mãn điều kiện (2) và tồn tại số 00 m , tập mở 0 
sao cho 000 xm)x(m,    . 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
79 
Khi đó tập nghiệm yếu dương của (1) là liên tục, không bị chặn, xuất phát 
từ 0. 
Chứng minh. 
Ta sẽ áp dụng định lí 1 để đưa bài toán tìm nghiệm yếu của (1) về bài toán 
tìm nghiệm của phương trình dạng (4) trong không gian H0 với thứ tự sinh bởi 
nón K các hàm không âm rồi áp dụng định lí 2 để có kết quả phải chứng minh. 
Bước 1. Đưa về phương trình dạng (4). 
Chọn p là số thỏa mãn điều kiện 
pq
qp
)2( * (5) 
thì do (2) ta có *2 p . Do đó ánh xạ I nhúng H0 vào Lp là compắc. Vì *20 LH  
nên )*2(1  LH . Do vậy, với mỗi )*2( Lh thì theo định lí 1, bài toán 
 hvv  trong  , 0 v trên  (6) 
có duy nhất nghiệm yếu, kí hiệu là Ph. Ta sẽ chứng minh rằng, ánh xạ P là liên 
tục từ )*2( L vào H0. Thật vậy, với )*2(, Lhh , theo định nghĩa nghiệm yếu của (6) 
ta có 
0)(])()[()( HhhhPPhhPPh     . 
Cho hPPh ta có 
))(()]()()[(|)(| 2 hPPhhhhPPhhPPhhPPh   . 
Chú ý rằng số hạng thứ hai ở vế trái là không âm và áp dụng bất đẳng thức 
Holder ta được 
*2)*2(
2 . hPPhhhhPPh H 
Từ đây ta được 
)*2(H
hh.ChPPh
 . 
Với mỗi 0( ,u) H , u 0   ta có 
*2Lu và do đó tLuxm  )( 
với )*2(
*2
*2
 q
qt . Do đó bài toán 
   uxmvv )( trong  , 0 v trên  
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, 
Trần Đình Thanh 
80 
có duy nhất nghiệm yếu, ta kí hiệu nó là ),( uF  . Như vậy ta có ánh xạ 
F : K K  , nghiệm của phương trình ),( uFu  sẽ là nghiệm yếu của (1). 
Do đó, ta chỉ cần chứng minh tập nghiệm yếu của phương trình ),( uFu  có 
tính chất nêu trong định lí. 
Xét ánh xạ  uxmuN )(),(: . Do định nghĩa số p và lí luận tương tự trên 
ta thấy N tác động từ Lp vào )*2( L , do đó theo định lí Krasnoselskii nó liên tục. 
Vì ta có PoNoIF nên F là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Như đã chứng mính trong 
[4,6] F đơn điệu tăng theo biến u. 
Bước 2. Xây dựng ánh xạ chặn dưới đơn điệu 
Ta sẽ chứng minh ),1(:)( uFuG thỏa mãn các điều kiện của định lí 2. 
Trước tiên ta có G đơn điệu tăng và 
)(),1(),( /1/1 uGuFuF  . 
Gọi là véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng chính của bài toán 
uu  trong 0 , 0 u trên 0 
và xét hàm  0u trên 0 , 00 u trên 0\ . Như đã chứng minh trong [2], 
khi 0  đủ nhỏ ta có 
 0,)( 000   Huxmu . (7) 
Xét )1,0( t , vì ),1()( 00 tuFtuG là nghiệm yếu của (6) với ))(( 0tuxmh 
nên ta có 
 0000 ,))(())(()( HtuxmtuGtuG    . (8) 
Nhân (7) với t và trừ (8) rồi cho ))(( 00 tuGtu ta được 
 ))()}(()())({())(( 0000
2
00 tuGtuttuxmtuGtuGtu   (9) 
trong đó )}tu(Gtu{A 00 . 
Gọi g là thừa số thứ nhất trong tích phân ở vế phải của (9). Ta có g = 0 trên 
0\A , còn trên 0A ta có 
}){()()()( 10000000
   tmmtututtumtug . 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
81 
Vì hàm u0 bị chặn nên từ đây ta thấy 0 g trên A khi t >0 đủ nhỏ. Do đó từ (9) 
ta thấy khi t đủ nhỏ thì 0))(( 00 tuGtu hkn hay 00 )( tutuG . Vậy G thỏa mãn 
các điều kiện i) của định lí 2. 
Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ )tu(Gtt 0 là tăng. Thật vậy, với 
st 0 ta đặt )(),( 00 suGvtuGu . Từ (8) ta có 
00)()( Hvsutvsut      . 
Cho )( vsut ta được 
 0)vsut)(vsut()vsut(
A
2
    , (10) 
trong đó }{ vsutA . Trên A ta có 
01 
 
   
s
tvsvsut . 
Ở đây ta đã sử dụng giả thiết 1  . Do đó từ (10) ta được 
( 0)( vsut ) hay vsut hkn. 
từ điều đã chứng minh ta có với 1 t . 
)()( 00 uGttuG
 . 
Do đó điều kiện ii) của định lí 2 được thỏa mãn với chuẩn 
*20
.. . 
Định lí được chứng minh. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Arcoya D., Carmona J., Pellacci B. (2001), Bifurcations for some quasilinear 
operators, Proc. Royal Soc. Edin., 131A, 733 – 765 
[2]. Boccardo L., Orsina L. (1994), Sublinear equations in Ls, Houston J. Math., 
20, 99 – 144 
[3]. Brezis H., Browder F. (1982), Some properties of higher order Sobolev spaces, 
J. Math. Pures Appl. 61 (1982), 245 – 259 
[4]. N. B. Huy (2002), Positive weak solution for some semilinear elliptic 
equations, Nonl. Analysis 48, 939 – 945 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, 
Trần Đình Thanh 
82 
[5]. N. B. Huy (1999), Global continua of positive solutions for equations with 
nondifferentiable operators, J. Math. Anal. Appl. 239, 449 – 456. 
[6]. Trần Đình Thanh (2002), Nghiệm yếu dương của một lớp phương trình 
elliptic.Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP Tp HCM, 28, 39 – 42. 
Tóm tắt 
Tính liên tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chứa tham số 
Trong bài báo, chúng tôi sử dụng phương pháp chặn dưới đơn điệu để 
chứng minh rằng tập nghiệm yếu của phương trình logistic chưa tham số là 
một nhánh liên tục không bị chặn. 
Abstract 
Global continua of weak solutions of logistic equation depending 
on a parameter 
In this paper we use the monotone minorant method to prove that 
weak solutions of logistic equation form an unbounded continuous branch.