Thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút và khoang đẩy của một loại quạt Roots cải tiến

Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
22 
Thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút 
và khoang đẩy của một loại quạt Roots cải tiến 
Building a Mathematical Equation for Describing Volume Changes in Suction and Pumping Chambers 
of an Improved Type of the Roots Blower 
Trịnh Đồng Tính, Trần Ngọc Tiến, Nguyễn Hồng Thái* 
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1, Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam 
Tóm tắt 
Sự biến đổi thể tích trong khoang hút và khoang đẩy của máy thủy lực thể tích dạng Roots là yếu tố quan 
trọng quyết định đến khả năng làm việc của máy. Chính sự biến đổi thể tích này đã tạo ra áp suất hút và áp 
suất đẩy khi máy làm việc. Vì vậy, mà việc thiết lập mô hình toán học để mô tả sự biến đổi thể tích của 
khoang hút/ đẩy theo góc quay trục dẫn động là rất cần thiết đối với bài toán thiết kế và tối ưu máy. Đây 
chính là nội dung nghiên cứu của bài báo này, để giải quyết vấn đề này chúng tôi đã tiến hành đưa bài toán 
mô hình hóa thể tích về việc thiết lập mô hình toán mô tả sự biến đổi diện tích tiết diện khoang hút/ đẩy theo 
góc quay của trục dẫn động đối với một loại quạt thổi Roots mới được đề xuất bởi chính nhóm tác giả bài 
viết này. Ngoài ra, nghiên cứu này cũng đã chỉ ra rằng khi tham số thiết kế như tỉ lệ giữa bán trục nhỏ và 
bán trục lớn của đường elíp biến đổi từ 1 về 0.5 thì sự biến đổi thể tích tăng dần và lên tới 26.77% khi tham 
số thiết kế bằng 0.5. 
Từ khóa: Quạt thổi Roots, Máy thủy lực thể tích, Bánh răng elíp. 
Abstract 
The volume change in suction and pumping chambers of the roots type of hydraulic devices is an important 
factor deciding machine performance. This volume change creates suction and pumping pressures when the 
machine is working. Therefore, when designing and optimizing design of the machine, it is necessary to 
build a mathematical model for describing those changes in relation with rotation angle of the driving shaft. 
To reach this goal, the authors carry out volume modelling process by building mathematical model for 
calculating the volume changes of the area of the suction/pumping chambers in relation with rotation angle 
of the driving shaft of the specific type of Roots pump, which has been proposed by the authors. In addition, 
this study also points out that when the designing parameter such as the ratio parameter between ellipse's 
shorter axis and its larger axis changes from 1 to 0.5, the volume change gradually increases and reaches 
26.77% when the design parameter equals to 0.5. 
Keywords: Roots Blower, Hydraulic machinery, Elliptical gears. 
1. Đặt vấn đề* 
Quạt thổi Roots là một loại máy thủy lực thể 
tích làm việc dựa trên sự biến đổi thể tích của 
khoang hút và khoang đẩy để tạo ra áp lực hút ở cửa 
vào và áp lực đẩy ở cửa ra. Loại quạt này được phát 
minh lần đầu tiên vào năm 1860 [1]. Trên nguyên lý 
đó các nhà kỹ thuật, khoa học trên thế giới đã không 
ngừng nghiên cứu, phát triển để ngày càng hoàn 
thiện, nâng cao chất lượng cũng như hiệu suất. Theo 
thời gian của sự phát triển, đã có thêm những phát 
minh sáng chế hay những biến thể khác nhau của loại 
quạt này với tên gọi khác là Lobe, nhằm đáp ứng các 
yêu cầu kỹ thuật xuất phát từ thực tiễn sản xuất. Như 
đã trình bày ở trên sự biến đổi thể tích của khoang hút 
và khoang đẩy trong quá trình làm việc sẽ quyết định 
* Địa chỉ liên hệ: Tel.: (+84) 913.530.121 
Email: thai.nguyenhong@hust.edu.vn 
đến khả năng làm việc của quạt. Vì vậy, đây là vấn đề 
cần được quan tâm đầu tiên khi thiết kế các loại quạt 
theo nguyên lý của Roots. Để giải quyết vấn đề này, 
cho đến hiện tại đã có nhiều giải pháp khác nhau: như 
tính toán thủ công bằng cách sử dụng các phần mềm 
CAD để xác định, tính toán mô phỏng số bằng các 
phần mềm phân tích phần tử hữu hạn hay giải tích 
hóa đối với từng thiết kế cụ thể, trong đó phải kể đến 
Wang (2002) [2] đã đưa ra phương án thiết kế tối ưu 
nhất về hiệu suất thể tích cho loại quạt thổi Lobe có 
rôto 3 răng, bằng phương pháp đo thủ công các miền 
diện tích tiết diện của khoang hút và đẩy trên bản 
thiết kế CAD 2D. Cùng phương pháp này còn có 
Kang, Vu (2014) [3] nhưng áp dụng cho một loại quạt 
thổi Roots rôto có 2 răng, với biên dạng rôto được 
hình thành từ nhiều cung tròn. Điểm khác của Kang 
và Vu so với Wang là dùng các bản thiết kế 3D 
nhúng trong phần mềm mô phỏng số để xác định hiệu 
suất thể tích. Ngoài phương pháp trên Ucer và cộng 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
23 
sự [4] đã thiết lập phương trình giải tích mô tả sự biến 
đổi thể tích khoang hút và khoang đẩy cho loại quạt 
thổi Roots được đề xuất bởi Litvin (1960) [5], từ đó 
đánh giá sự biến đổi áp suất và lưu lượng ở cửa ra của 
quạt. Để xác định hiệu suất thể tích, khả năng hút và 
đẩy cho loại quạt thổi Roots mới mà Yang, Tong [6, 
7] đề xuất, các tác giả này cũng đã áp dụng phương 
pháp của Ucer. Từ những phân tích trên đây cho thấy 
có hai xu hướng nghiên cứu về sự biến đổi thể tích 
trong khoang quạt kiểu Roots đó là: (i) Sử dụng 
phương pháp thủ công [2, 3] để xác định được bộ 
thông số thiết kế, ở phương pháp này người thiết kế 
mất rất nhiều thời gian và phải dùng đến các phần 
mềm mô phỏng số để tối ưu cục bộ, dẫn đến kém hiệu 
quả và chỉ phù hợp với các công ty; (ii) Phương pháp 
giải tích [4, 6, 7] tốc độ tính toán nhanh hơn, cho 
phép khảo sát và tối ưu các thông số thiết kế theo các 
hàm mục tiêu khác nhau. 
Mặt khác, theo tìm hiểu của nhóm tác giả bài 
viết này thì hầu hết các nghiên cứu đã công bố cho 
đến thời điểm hiện tại về máy thủy lực thể tích dạng 
Roots và biến thể của loại máy này đều theo nguyên 
lý dẫn động bằng cặp bánh răng trụ tròn truyền thống 
có tỷ số truyền 1:1, còn loại quạt thổi Roots được 
hình thành theo nguyên lý ăn khớp của cặp bánh răng 
không tròn chưa thấy được xuất hiện. Vì vậy, trong 
nghiên cứu này các tác giả tiến hành thiết lập phương 
trình giải tích mô tả sự biến đổi thể tích của khoang 
hút và khoang đẩy cho một loại quạt thổi Roots mới 
có rôto được hình thành theo nguyên lý ăn khớp của 
bánh răng không tròn được Nguyễn Hồng Thái và 
cộng sự đề xuất gần đây (2018) [8, 9] để nhằm mục 
khảo sát, đánh giá khả năng hút và đẩy của loại quạt 
Roots theo nguyên lý mới này. 
2. Mô hình toán học biên dạng rôto 
Theo [8] biên dạng rôto }{Γ có phần đỉnh rôto là 
quỹ tích của một điểm M cố định trên đường tròn 
sinh }{ s , khi }{ s lăn không trượt phía ngoài tâm 
tích bánh răng }{ br , còn phần biên dạng chân rôto 
là đường cong được hình thành khi }{ s lăn không 
trượt phía trong tâm tích bánh răng }{ br (xem Hình 
1) và hai tâm tích }{ br lăn không trượt trên nhau 
theo nguyên lý của bánh răng Elíp (xem Hình 2) . 
Với nguyên lý hình thành biên dạng như trên 
phương trình biên dạng rôto được cho bởi: 
)()(cos)1()(cos
)()(cos)1()(cos)1(
),,(:}{



br
n
br
nn
Γ
yrr
xrr
Γ r (1) 
Trong đó: 
 cos)()( brbr rx ,  sin)()( brbr ry là tọa độ 
của }{ br ; r là bán kính của }{ s ; Còn 
)()()1()(  n ;





/)(
/)(1tan)(
bry
brx
; 
2
1
0
22
1
)( 






 brbr
yx
r
)(brr được xác định từ phương trình (14) [10] và 
được cho bởi: 


2cos)(
2
)(
baba
ab
brr 
 (2) 
Với: a là bán trục lớn; b là bán trục nhỏ của Elíp 
}{ br ; là tham số của }{ br . 
Với: e (góc xác định giới hạn phần đỉnh rôto và 
phần chân rôto trên }{ br ) (xem Hình 1), khi đó 
e được cho bởi: 
ba
ba
e
1cos
2
1
 (3) 
Mặt khác, theo [8] để phương trình (1) hình thành 
biên dạng rôto theo nguyên lý Roots, thì các thông số 
của }{ s và }{ br là r , a , b phải thỏa mãn: 
  rdyx brbr 
8)/))((()/))(((
2
0
2
1
22   (4) 
Ngoài ra, để }{Γ không có hiện tượng giao thoa biên 
dạng thì: 
rb 2 (5) 
Nếu đặt ab /  (tham số thiết kế đặc trưng) thay 
vào (4, 5) sau khi giải ta có: 
 15.0  (6) 
b 
E3 
a 
M 
E1≡M0 
e 
e 
O 
r 
E2 
E4 
{ } 
{s} 
{br} 
Hình 1. Nguyên lý hình thành biên dạng rotor [8] 
M 
x 
y 
khi: ]2)2[()]()[(]0[         eeee
1
0
n
)]2()[()]([ eeee        khi: 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
24 
Như vậy, kích thước thiết kế lòng trong của stator 
(khoảng cách trục E , kích thước hướng kính R ) 
được cho bởi: 
raR
baE
2
 (7) 
 Từ bất phương trình (6) và phương trình (7) có 
thể khảo sát lựa chọn bộ thông số thiết kế ( r , a , b ) 
tối ưu mà không làm thay đổi kích thước hướng kính 
R của Stato theo các yêu cầu kỹ thuật mà quạt phải 
đáp ứng. 
3. Sự biến đổi thể tích khoang hút và khoang đẩy 
theo góc quay trục dẫn động 
3.1. Thiết lập mô hình toán xác định thể tích 
khoang hút và khoang đẩy theo góc quay của trục 
dẫn động 
Nếu gọi )( hV và )( dV lần lượt là thể tích của 
khoang hút và khoang đẩy theo góc quay của trục 
dẫn động. Khi đó, ta có sự biến đổi thể tích của 
khoang hút và khoang đẩy được cho bởi: 
)()(
)()(
hh
dd
BSV
BSV
 (8) 
Trong đó: B là chiều dày rôto; )( hS , )( dS lần lượt 
là diện tích tiết diện khoang hút và khoang đẩy trên 
mặt cắt ngang vuông góc với trục quay (xem Hình 2). 
Như vậy, bài toán thể tích được quy về xác định diện 
tích tiết diện khoang hút và khoang đẩy trên mặt cắt 
vuông góc với trục quay. 
Từ Hình 2 diện tích tiết diện khoang đẩy )( dS 
trên mặt cắt ngang vuông góc với trục quạt được cho 
bởi: 
rotorhstatord SSSS 2)()( (9) 
Trong đó: statorS là diện tích tiết diện lòng trong của 
Stator trên mặt cắt ngang vuông góc với trục quay và 
được cho bởi: 
 )2(5.0)(2)2( rabaraSstator (10) 
Còn rotorS là diện tích tiết diện mặt cắt ngang của 
rôto được cho bởi: 









d
x
yd
x
yS cc
d
drotor
e
e








)(
)(4
)(
)(
2
0
 (11) 
Trong phương trình (11) )(dx , )(

dy , )(

cx , 
)(cy lần lượt là tọa độ các điểm trên phần biên dạng 
đỉnh và chân rôto }{Γ , khi xét trong hệ quy chiếu 
}{  yxO gắn trên rôto (xem Hình 1). 
Hình 3. Diện tích tiết diện mặt cắt ngang khoang hút 
Còn )( hS được xác định: 
)()()( * xh SSS (12) 
Trong đó xS (Hình 3a) được cho bởi: 
)()()()()()( 54321 SSSSSSx (13) 
B 
A 
2 1 D 
F 
S1 S2 
S3 
Sx 
S4 
S5 
a) Diện tích Sx 
E 
1 
2 
A 
B 
F 
C 
D 
S* 
b) Diện tích S* 
Hình 2. Diện tích khoang hút, khoang đẩy 
Sd 
Sh 
Khoang hút 
1 
Stator 
K R 
R 
Khoang đẩy 
2 
Rotor 2 
Rotor 1 
E 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
25 
Còn )(* S (Hình 3b) được cho bởi: 
)()(
2
1
)(* DCFABEstator SSSS (14) 
Các thành phần diện tích trong phương trình (13) 
được cho bởi: 

 
   
e
dd yxS )(cos)()(sin)()(1 
 


 


d
yx dd





)(sin
)(
)(cos
)(
 (15a) 

e
e
cc yxS
 

   )(cos)()(sin)()(2 
 


 


d
yx cc





)(sin
)(
)(cos
)(
(15b) 

e
dd yxS
 
  
   
)(
3 )(cos)()(sin)()( 
 


 


d
yx dd





)(sin
)(
)(cos
)(
 (15c) 

)(2/
24 )(
2
sin)()(
  

 
 
e
cxS



 )(
2
cos
)(
)(
2
cos)( 22 


 
 cc
x
y
 


d
yc



)(
2
sin
)(
2 (15d) 
 
e
dxS

 
 
0
25 )(
2
sin)()(



 )(
2
cos
)(
)(
2
cos)( 22 


 
 dd
x
y
 


d
yd



)(
2
sin
)(
2 (15e) 
Trong đó: 
  
 
 
 
  
e
e
br
br
e
br
br
e
khi
khi
rE
r
khi
rE
r
khi
22)(
)(
2)(
)(
2
0
)(
0
0 (16) 
Còn: 
)(
0
2
)(
)(
)(
 
 
 
  d
rE
r
br
br (17) 
Các thành phần diện tích ABES và DCFS trong 
phương trình (14) được cho bởi: 
 )(2sin)2(25.0)()2(5.0 22   raraS ABE (18a) 
 )(2sin)2(25.0)()2(5.0 22   raraSDCF (18b) 
Trong phương trình (18a) )(  được cho bởi: 
  
 
  
 
 
e
br
br
e
br
br
e
ee
br
br
khi
rE
r
khi
rE
r
khi
khi
rE
r
2)(
)(
2)(
)(
2
)(
)(
2
)(
0
0
0
 (19) 
Ví dụ: Từ mô hình toán toán học đã được thiết lập ở 
trên áp dụng với bộ thông số thiết kế quạt thổi Roots 
với đường tròn sinh }{ s có bán kính mmr 2940.7 ; 
Tâm tích bánh răng }{ br : có bán trục lớn 
mma 4120.35 , bán trục nhỏ mmb 2472.21 ; Kích 
thước hướng trục của quạt mmB 50 . 
Hình 4 trên đây mô tả sự biến đổi thể tích trong 
khoang hút và khoang đẩy theo góc quay của trục dẫn 
động. 
Từ đồ thị Hình 4 ta thấy rằng maxhh VV (giá trị lớn 
nhất) khi 2/ k (k là số tự nhiên), khi 
2/ k thì minhh VV (giá trị nhỏ nhất). Đây 
chính là nguyên nhân gây ra rung động do có sự biến 
đổi thể tích đột ngột. Tuy nhiên, trong một chu kỳ 
lại có hai lần biến đổi thể tích: lần ① (đường cong 
lồi) lần ② (đường cong lõm) xem Hình 4. Qua đó 
cho thấy lần ② biến đổi thể tích nhanh hơn. Nguyên 
nhân là do cặp rôto (1 và 2) của quạt được hình thành 
theo nguyên lý ăn khớp của cặp bánh răng Elíp, dẫn 
đến góc quay )(2 của rôto 2 biến đổi theo góc 
quay của rôto 1: 
0
2
)(
)(
)( d
rE
r
br
br (20) 
Khi góc quay của rôto 1 biến thiên trong khoảng 

2
)1(
2
 kk
, nếu k lẻ thì rôto 2 quay chậm hơn 
rôto 1, còn khi k chẵn thì rôto 2 quay nhanh hơn rôto 
1, Để rõ hơn xem Hình 5 dưới đây mô tả sự biến đổi 
của 2 theo . Cũng từ Hình 5 cho thấy cung ① 
trên Hình 5 tương ứng với ① trên Hình 4 và ② trên 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
26 
Hình 5 tương ứng cung ② trên Hình 4. Đây chính là 
nhược điểm của loại quạt này khi ứng dụng trong một 
số trường hợp đòi hỏi về ổn định cao về lưu lượng và 
áp suất. 
Hình 4. Thể tích khoang hút và khoang đẩy theo góc 
quay trục dẫn động 
Hình 6. Thể tích khoang hút và khoang đẩy theo góc 
quay trục dẫn động 
3.2 Ảnh hưởng của tham số thiết kế đến sự biến đổi 
thể tích khoang hút và khoang đẩy 
Để đánh giá ảnh hưởng của thông số thiết kế đặc 
trưng  đến sự biến đổi dh VV , trong phần này lấy 
kích thước hướng kính của stator mmR 50 (cố định 
R ) còn mmB 50 ; Khảo sát  theo bất phương 
trình (6) với gia số 1.0  . Trên cơ sở đó tính các 
thông số ,a ,b r được tính theo phương trình (7), sau 
khi giải dữ liệu khảo sát được tổng hợp trong Bảng 1. 
Còn đồ thị Hình 6 là sự biến đổi dh VV , theo các giá 
trị  trong Bảng 1. 
Từ Hình 6 và Bảng 1, dễ dàng nhận thấy thấy: 
Khi  biến đổi từ 1 về 0.5 giá trị trung bình của 
dh VV , tăng dần điều đó có nghĩa khi  càng nhỏ thì Hình 5. Góc quay trục rotor 2( ) 
0 45 90 135 180 225 270 315 360 
45 
90 
135 
180 
225 
270 
315 
360 
 [0] 
 2[
0] 
1 
2 
Chu kỳ biến đổi thể 
tích 
45 90 135 180 225 270 315 360 0 
Vh [cm
3] 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
120 
100 
 [0] 
Chu kỳ biến đổi thể tích 
Vd [cm
3] 
 [0] 
0 45 90 135 180 225 270 315 360 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
b) thể tích khoang đẩy 
Chu kỳ biến đổi thể tích 
a) thể tích khoang hút 
1 
2 
1 
2 
45 90 135 180 225 270 315 360 0 
Vh [cm
3] 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
120 
100 
 [0] 
a) thể tích khoang hút 
=0.8 
=0.9 
=1.0 
=0.5 
=0.6 
=0.7 
Vd [cm
3
] 
 [0] 
0 45 90 135 180 225 270 315 360 
100 
120 
140 
160 
180 
200 
220 
240 
260 
280 
b) thể tích khoang đẩy 
=0.5 
=0.6 
=0.7 
=0.8 
=0.9 
=1.0 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 141 (2020) 022-027 
27 
sự biến đổi dh VV , càng lớn, quạt có khả năng hút/ 
đẩy lớn hơn trong khi kích thước hướng kính của 
Stator không đổi. Tuy nhiên, khi =1 thì biên dạng 
rôto của quạt suy biến về trường hợp đề xuất của 
Palmer [11] (loại quạt vẫn được dùng phổ biến hiện 
nay trong các nhà máy nhiệt điện). Ngoài ra, ta nhận 
thấy giá trị dh VV / lớn nhất )(96.272/
3cmVV dh tại 
5.0  , còn dh VV / có giá trị nhỏ nhất 
)(31.215/ 3
min
cmVV dh tại 1  . Như vậy, với cùng 
kích thước hướng kính R quạt được thiết kế theo đề 
xuất mới có sự biến đổi dh VV / lớn hơn 26.77% so 
với loại quạt được đề xuất bởi Palmer [11]. 
Bảng 1. Bộ thông số thiết kế theo  
=b/a a [mm] b [mm] r [mm] R[mm] Vtb[cm
3] 
0.5 35.8606 17.9303 7.0697 50 206.3008 
0.6 35.4120 21.2472 7.2940 50 198.0553 
0.7 34.9292 24.4504 7.5354 50 189.9271 
0.8 34.4174 27.5339 7.7913 50 181.9397 
0.9 33.8832 30.4949 8.0584 50 174.1317 
1.0 33.3333 33.3333 8.3334 50 166.5441 
Khi sự biến đổi dh VV / tăng lên thì độ dốc của 
đường ② trong một chu kỳ cũng sẽ tăng lên, dẫn đến 
sự biến đổi thể tích đột ngột tăng lên đáng kể làm 
tăng rung động và tiếng ồn. Vì vậy, khi ứng dụng 
thực tế phải có giải pháp giảm rung và giảm tiếng ồn. 
4. Kết luận 
Nghiên cứu này đã thiết lập được mô hình toán 
học mô tả sự biến đổi thể tích trong khoang hút và 
khoang đẩy của một loại quạt thổi Roots mới. Đây là 
kết quả chính của nghiên cứu này vì theo như nhóm 
nghiên cứu tìm hiểu thì các nghiên cứu đã công bố về 
loại bơm này đều chỉ giải quyết với loại quạt Roots 
được dẫn động bằng cặp bánh răng trụ tròn truyền 
thống. Với kết quả của nghiên cứu này cho phép khảo 
sát các tham số để lựa chọn được thiết kế tối ưu cũng 
như viết phần mềm tự động hóa thiết kế loại quạt thổi 
này. Ngoài ra, từ các nhận xét và thảo luận ở mục 3 
cho thấy: 
Khi  biến đổi từ 1 0.5 thì sự biến đổi thể 
tích dh VV / tăng dần từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn 
nhất. Điều đó có nghĩa loại quạt thổi mới có hiệu suất 
lớn hơn 26.77% so với loại quạt đề xuất bởi Palmer 
trong khi kích thước hướng kính không đổi. Tuy 
nhiên, lại có nhược điểm là tiếng ồn và rung động lớn 
hơn, do đó chỉ phù hợp với các ứng dụng không đòi 
hỏi về chất lượng làm việc (độ ồn và rung động) như 
nhà máy nhiệt điện, bơm khí ôxi tươi trong các hầm 
lò. 
Kết quả nghiên cứu này cho phép tiếp tục các 
nghiên cứu sâu hơn về loại quạt này như động lực học 
chất khí chảy qua quạt cũng như hiện tượng tụt áp và 
tổn thất lưu lượng v.v..đây là những vấn đề mà chúng 
tôi tiếp tục nghiên cứu để đánh giá và tối ưu thiết kế 
này. 
Lời cảm ơn 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại học 
Bách khoa Hà Nội (HUST) trong đề tài mã số: 
T2018 - PC - 020. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Philander Higley Roots, Francis Marion Roots Patent. 
Rotary blower, US2369 Patent (1860). 
[2] Wang, P. Y., Fong, Z. H., and Fang, H. S., Design 
constraints of five-arc Roots vacuum pumps, Proc. 
Instn Mech. Engrs, Part C: J. Mechanical Engineering 
Science, 216(C2) (2002) 225–234. 
[3] Yaw-Hong Kang, Ha-Hai Vu, A newly developed 
rotor profile for lobe pumps: Generation and 
numerical performance assessment, Journal of 
Mechanical Science and Technology 28 (3) (2014) 
915-926. 
[4] Ucer, S. and Celik, I., Analysis of Flow Trough Roots 
Blower Systems, International Compressor 
Engineering Conference, (1980) 126-132. 
[5] Faydor. L. Litvin, Pin Hao Feng, Computerized 
design and generation of cycloidal gearings, Mech. 
Mach. Theory Vol. 31, No. 7 (1996) 891-911. 
[6] Daniel C.H. Yang, Shih-Hsi Tong, The specific 
flowrate of deviation function based lobe pumps–
derivation and analysis, Mechanism and Machine 
Theory 37 (2002) 1025-1042. 
[7] Shih-Hsi Tong, Daniel C. H. Yang, Rotor Profiles 
Synthesis for Lobe Pumps With Given Flow Rate 
Functions, J. Mech. Des 127 (2) (2005) 287-294. 
[8] Nguyễn Hồng Thái, Trần Ngọc Tiến, Đề xuất một 
biên dạng mới trong thiết kế quạt thổi cao áp dạng 
Roots, Hội nghị khoa học cơ học Thủy khí toàn quốc 
lần thứ 20, (2017) 692-698. 
[9] Tran Ngoc Tien, Nguyen Hong Thai, A novel design 
of the Roots blower, Journal of Science and 
Technology 57 (2) (2019) 249-260. 
[10] Libardo V. Vanegas-Useche, Magd M. Abdel-Wahab, 
Graham A. Parker, A New Noncircular Gear Pair to 
Reduce Shaft Accelerations: A Comparison with 
Sinusoidal and Elliptical Gears, Dyna 83 (198) (2016) 
220-228. 
[11] Wales L. Palmer and Israel W. Knox, Improvement in 
rotary pressure-blowers, US166295A Patent (1875).