Sự hội tụ của dãy lặp hai bước đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị

 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 
 13 
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HAI BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG 
CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN 
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ 
Cao Phạm Cẩm Tú1 và Nguyễn Trung Hiếu2* 
1Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp 
2Trường Đại học Đồng Tháp 
*Tác giả liên hệ: ngtrunghieu@dthu.edu.vn 
Lịch sử bài báo 
Ngày nhận: 21/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 30/3/2020; Ngày duyệt đăng: 23/4/2020 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hai bước mới cho hai ánh xạ G-không 
giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết 
quả về sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-
không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng 
của một số kết quả chính trong nghiên cứu của Wattanawweekul (2018). Đồng thời, chúng tôi 
cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy 
lặp được giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh 
hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo của Wattanaweekul trên. 
Từ khóa: Ánh xạ G-không giãn tiệm cận, điểm bất động chung, không gian Banach với đồ thị. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CONVERGENCE OF A TWO-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED 
POINTS OF TWO ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS 
IN BANACH SPACES WITH GRAPHS 
Cao Pham Cam Tu
1
, and Nguyen Trung Hieu
2* 
1
Student, Dong Thap University 
2
Dong Thap University 
*Corresponding author: ngtrunghieu@dthu.edu.vn 
Article history 
Received: 21/02/2020; Received in revised form: 30/3/2020; Accepted: 23/4/2020 
Abstract 
In this paper, we introduce a new two-step iteration scheme for two asymptotically G-
nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs. We then prove some 
weak and strong convergence results to common fixed points of two asymptotically G-
nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs. These results are the 
extension of some major results reported by Wattanawweekul (2018). In addition, we give an 
example to illustrate for the convergence of the introduced iteration process and show that the 
convergence of this process to common fixed points of two asymptotically G-nonexpansive 
mappings is faster than those presented by Wattanawweekul (2018). 
Keywords: Asymptotically G-nonexpansive mapping, common fixed point, Banach spaces 
with graph. 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 14 
1. Giới thiệu 
Trong lí thuyết điểm bất động, vấn đề 
xây dựng dãy lặp và ứng dụng vào nghiên 
cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn 
được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Bên 
cạnh đó, nhiều tác giả cũng quan tâm nghiên 
cứu mở rộng ánh xạ không giãn theo nhiều 
hướng tiếp cận khác nhau. Năm 1972, 
Goebel và Kirk (1972) đã giới thiệu một mở 
rộng của ánh xạ không giãn và được gọi là 
ánh xạ không giãn tiệm cận. Sau đó, lớp ánh 
xạ không giãn tiệm cận được nhiều tác giả 
quan tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập 
điều kiện tồn tại điểm bất động cũng như 
chứng minh sự hội tụ của những dãy lặp 
khác nhau đến điểm bất động. Ngoài ra, một 
số tác giả cũng sử dụng những kĩ thuật khác 
nhau để mở rộng khái niệm ánh xạ không 
giãn tiệm cận. Năm 2018, sử dụng ý tưởng 
được trình bày bởi Jachymski trong bài báo 
của Jachymski (2008) là kết hợp giữa lí 
thuyết điểm bất động và lí thuyết đồ thị, 
Sangago và cs. (2018) đã giới thiệu lớp ánh 
xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian 
Banach với đồ thị, đồng thời một số tính chất 
về điểm bất động và kết quả hội tụ cho lớp 
ánh xạ này cũng được thiết lập. Kể từ đó, 
việc thiết lập sự hội tụ của những dãy lặp 
khác nhau đến điểm bất động chung của 
những ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong 
không gian Banach với đồ thị được một số 
tác giả quan tâm. Năm 2018, sử dụng dãy lặp 
Ishikawa, Wattanataweekul (2018) đã giới 
thiệu dãy lặp hai bước cho hai ánh xạ G-
không giãn tiệm cận như sau: 
1
u và 
1
(1 )
(1 )
n
n n n n n
n
n n n n n
v u g u
u v f v (1.1)
với ,n { },{ } [0,1],n n là tập lồi 
trong không gian Banach X và , :f g là 
hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận, đồng thời 
một số kết quả hội tụ của dãy lặp (1.1) cũng 
được thiết lập. Đến đây, một vấn đề tự nhiên 
được đặt ra là tiếp tục xây dựng những dãy 
lặp mà hội tụ đến điểm bất động chung 
nhanh hơn dãy lặp (1.1). Do đó, trong bài 
báo này, chúng tôi đề xuất một dãy lặp hai 
bước mới cho hai ánh xạ G-không giãn tiệm 
cận và chứng minh một số kết quả về hội tụ 
của dãy lặp được đề xuất đến điểm bất động 
chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận 
trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. 
Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái 
niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong 
bài báo. 
Cho không gian Banach thực X và X là 
không gian liên hợp của X. Khi đó, dãy 
{ }
n
u X được gọi là hội tụ mạnh (hội tụ theo 
chuẩn) đến u X nếu lim || || 0.nn
u u 
Dãy { }
n
u X được gọi là hội tụ yếu đến 
u X nếu lim || || 0nn
fu fu với mọi .f X 
Cho là một tập con khác rỗng của 
không gian Banach thực X. Kí hiệu 
( ( ), ( ))G V G E G là đồ thị định hướng với 
( )V G tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao cho 
( )V G trùng với , ( )E G tập hợp các cạnh của 
đồ thị G mà ( , ) ( )u u E G với u và G 
không có cạnh song song. 
Định nghĩa 1.1 (Suparatulatorn và cs., 
2018, Định nghĩa 4). Cho ( ( ), ( ))G V G E G 
là đồ thị định hướng. Khi đó, G được gọi là 
có tính bắc cầu nếu với , , ( )u v w V G sao cho 
( , ),( , ) ( )u v v w E G thì ( , ) ( ).u w E G 
Định nghĩa 1.2 (Sangago và cs., 2018, 
Định nghĩa 3.1). Cho X là không gian 
Banach thực và là tập khác rỗng của X, 
( ( ), ( ))G V G E G là đồ thị định hướng sao 
cho ( ) .V G Khi đó, ánh xạ :f
được gọi là G-không giãn tiệm cận nếu 
(1) f bảo toàn cạnh của G, tức là với 
( , ) ( )u v E G ta có ( , ) ( ).fu fv E G
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 
 15 
(2) Tồn tại dãy { }, 1
n n
 với 
lim 1
nn
 sao cho || || || ||n n
n
f u f v u v 
với ( , ) ( )u v E G và 1.n 
Định nghĩa 1.3 (Sangago và cs., 2018, 
Định nghĩa 1.3). Cho X là không gian định 
chuẩn, là tập con khác rỗng của X, 
( ( ), ( ))G V G E G là đồ thị định hướng sao 
cho ( ) .V G Khi đó, được gọi là có tính 
chất G nếu với { }
n
u là dãy trong sao cho 
1
( , ) ( )
n n
u u E G với *n và { }
n
u hội tụ 
yếu đến u thì tồn tại dãy con 
( )
{ }
n k
u của 
{ }
n
u sao cho 
( )
( , ) ( )
n k
u u E G với *.k 
Định nghĩa 1.4 (Suparatulatorn và cs., 
2018, Định nghĩa 6). Cho X là không gian 
Banach. Khi đó, X được gọi là thỏa mãn điều 
kiện Opial nếu với { }
n
u là dãy trong X và 
{ }
n
u hội tụ yếu đến u thì 
lim sup || || lim sup|| ||
n n
n n
u u u v với 
, .v X u v 
Bổ đề 1.5 (Sangago và cs., 2018, Định 
nghĩa 1.4). Cho X là không gian Banach, 
là tập con khác rỗng của X, có tính chất 
G, :f là ánh xạ G-không giãn tiệm 
cận với dãy hệ số { }
n 
sao cho 
1
( 1) ,
n
n
{ }
n
u là dãy hội tụ mạnh đến 
,u
1
( , ) ( )
n n
u u E G và 
lim || || 0.
n nn
fu u
Khi đó, .fu u 
Bổ đề 1.6 (Suparatulatorn và cs., 2018, 
Bổ đề 3). Giả sử 
(1) X là không gian Banach thỏa mãn 
điều kiện Opial. 
(2) { }
n
u là dãy trong X sao cho 
lim || ||
nn
u u và lim || ||
nn
u v tồn tại với 
, .u v X 
(3) 
( )
{ }
n k
u và 
( )
{ }
n k
v là dãy con của { }nu 
sao cho 
( )
{ }
n k
u hội tụ yếu đến ,u 
( )
{ }
n k
v hội 
tụ yếu đến .v 
Khi đó, .u v 
Định nghĩa 1.7 (Jachymski, 2018, Định 
nghĩa 2.3). Cho ánh xạ : .f X X Khi đó, f 
được gọi là G-liên tục nếu { }
n
u là dãy trong 
X sao cho 
n
u hội tụ mạnh đến u và 
1
( , ) ( )
n n
u u E G thì .
n
fu fu 
Mệnh đề 1.8 (Wattanataweekul, 2018, 
Mệnh đề 3.2). Giả sử 
(1) X là không gian Banach với đồ thị 
định hướng G, có tính chất G. 
(2) :f là ánh xạ G-không giãn 
tiệm cận. 
Khi đó, f là G-liên tục. 
Định nghĩa 1.9 (Dung và Hieu, 2020, 
Định nghĩa 3.1). Cho X là không gian vectơ 
và D là tập con khác rỗng của .X X Khi đó, 
D được gọi là lồi theo tọa độ nếu với 
( , ),( , ),( , ),( , )p u p v u p v p D và [0,1]t ta có 
( , ) (1 )( , )t p u t p v D và ( , ) (1 )( , ) .t u p t v p D 
Định nghĩa 1.10 (Shahzad và Al-
Dubiban, 2006, tr. 534). Cho ánh xạ 
: .f Khi đó, f được gọi là G-nửa 
compact nếu với { }
n
u
là dãy trong với 
1
( , ) ( )
n n
u u E G và lim || || 0
n nn
fu u
thì 
tồn tại dãy con 
( )
{ }
n k
u của { }nu sao cho 
( )
{ }
n k
u hội tụ mạnh đến q khi .k 
Bổ đề 1.11 (Dung và Hieu, 2018, Bổ đề 
2.4). Cho X là không gian Banach lồi đều và 
0.r Khi đó, tồn tại một hàm lồi, tăng ngặt 
và liên tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 
và 
2 2 2|| (1 ) || || || (1 ) || || (1 ) (|| ||)tu t v t u t v t t u v 
với mọi [0,1]t và , { : || || }.
r
u v B u X u r 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 16 
Bổ đề 1.12 (Wattanataweekul, 2018, Bổ 
đề 2.11). Cho { },{ }
n n
a b và { }n là dãy số 
thực không âm thỏa mãn 
1
(1 ) 1
n n n n
a a b n với 
1
n
n
và 
1
.
n
n
b Khi đó, lim
nn
a tồn tại. 
2. Kết quả chính 
Trong mục này, ta luôn xét 
( ( ), ( ))G V G E G là đồ thị định hướng, có 
tính chất bắc cầu với ( ) , ( )V G E G là tập 
lồi theo tọa độ và giả sử , :f g là hai 
ánh xạ G-không giãn tiệm cận với hệ số tiệm 
cận lần lượt là ,
n n
 sao cho 
( ) ( )Fix f Fix g với ( ), ( )Fix f Fix g lần lượt 
là tập điểm bất động của hai ánh xạ , .f g Đặt 
max{ , }.
n n n
 Giả sử 
1
( 1) .
n
n
 Bằng 
việc mở rộng dãy lặp (1.2) trong nghiên cứu 
của Wattanataweekul (2018), chúng tôi giới 
thiệu dãy lặp { }
n
u cho hai ánh xạ G-không 
giãn tiệm cận trong không gian Banach với 
đồ thị như sau: 
 1
u và với *,n 
 1
(1 )
(1 ) ,
n
n n n n n
n n
n n n n n
v u g u
u g v f v
 (2.1) 
trong đó { },{ } [0,1].
n n
 Trước hết, 
chúng tôi chứng minh một số tính chất của 
dãy lặp (2.1). 
Mệnh đề 2.1. Giả sử 
(1) X là không gian định chuẩn. 
(2) là tập con lồi, khác rỗng trong X. 
(3) Với mỗi ( ) ( ),p Fix f Fix g { }
n
u là 
dãy được xác định bởi (2.1) thỏa mãn 
1 1
( , ),( , ) ( ).u p p u E G 
Khi đó, 
1
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( )
n n n n n n n n
u p v p p u p v v u u u E G 
với *.n 
Chứng minh. Bằng phương pháp quy 
nạp ta sẽ chứng minh 
( , ) ( )
n
u p E G với *.n (2.2) 
Theo giả thiết, ta có 
1
( , ) ( ).u p E G Suy ra 
(2.2) đúng với 1.n 
Giả sử (2.2) đúng với 1n k , tức là 
( , ) ( ).
k
u p E G Ta cần chứng minh 
1
( , ) ( ).
k
u p E G 
Vì ,f g bảo toàn cạnh nên ,k kf g bảo toàn 
cạnh. Kết hợp kg bảo toàn cạnh và 
( , ) ( ),
k
u p E G ta có ( , ) ( ).k
k
g u p E G
Ta lại có 
( , ) ((1 ) , )
 (1 )( , ) ( , ).
k
k k k k k
k
k k k k
v p u g u p
u p g u p
 (2.3) 
Do ( , ),( , ) ( )k
k k
u p g u p E G và ( )E G lồi theo 
tọa độ nên từ (2.3), ta có ( , ) ( ).
k
v p E G Kết 
hợp ,k kf g bảo toàn cạnh với ( , ) ( ),kv p E G ta 
được ( , ),( , ) ( ).k k
k k
f v p g v p E G
Ta cũng có 
1
( , ) ((1 ) , )
 (1 )( , ) ( , ). 
k k
k k k k k
k k
k k k k
u p g v f v p
g v p f v p
 (2.4) 
Khi đó, từ (2.4), ( , ),( , ) ( )k k
k k
g v p f v p E G và 
( )E G lồi theo tọa độ, ta có 
1
( , ) ( ).
k
u p E G 
Do đó theo nguyên lý quy nạp, ta có 
( , ) ( )
n
u p E G với *.n Tiếp theo, vì 
ng 
bảo toàn cạnh và ( , ) ( )
n
u p E G nên 
( , ) ( ).n
n
g u p E G Ta có 
( , ) ((1 ) , )
 (1 )( , ) ( , ).
n
n n n n n
n
n n n n
v p u g u p
u p g u p
 (2.5) 
Kết hợp (2.5) với ( , ),( , ) ( )n
n n
u p g u p E G và 
( )E G lồi theo tọa độ, ta có ( , ) ( )
n
v p E G với 
*.n 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 
 17 
Lập luận tương tự như trên, ta chứng 
minh được ( , ),( , ) ( )
n n
p u p v E G với *.n 
Vì 
1
( , ),( , ),( , ),( , ) ( )
n n n n
v p p u u p p u E G và 
G có tính chất bắc cầu nên 
1
( , ),( , ) ( )
n n n n
v u u u E G với *.n 
Mệnh đề 2.2. Giả sử 
(1) X là không gian Banach lồi đều. 
(2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác 
rỗng trong X. 
(3) Với mỗi ( ) ( ),p Fix f Fix g { }
n
u là 
dãy được xác định bởi (2.1) thỏa mãn 
1 1
( , ),( , ) ( ),u p p u E G
0 lim inf lim sup 1
n nn n 
 và 
0 lim inf lim sup 1.
n nn n
Khi đó, 
(1) lim || ||
nn
u p tồn tại. 
(2) lim || || lim || || lim || || 0.n n n n
n n n n n nn n n
f v g v g u u f u u 
(3) lim || || lim || || 0.
n n n nn n
fu u gu u 
Chứng minh (1). Lấy ( ) ( ),p Fix f Fix g 
theo Mệnh đề 2.1, ta có 
1
( , ),( , ),( , ),( , ) ( ).
n n n n n n
u p v p v u u u E G 
Vì là tập bị chặn nên tồn tại 0r sao cho 
|| ||u r
với mọi .u Khi đó 
, { :|| || }.
n n r
u v B u u r Do đó, theo 
Bổ đề 1.11, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên 
tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và 
2
2
|| ||
|| (1 ) ||
n
n
n n n n
v p
u g u p
2 2(1 ) || || || || (1 ) (|| ||).n n
n n n n n n n n
u p g u p g u u (2.6) 
Do g là G-không giãn tiệm cận nên từ (2.6) 
ta có 
2
2 2 2
2 2
|| ||
(1 ) || || || || (1 ) (|| ||)
[1 ( 1)] || || (1 ) (|| ||). (2.7)
n
n
n n n n n n n n n
n
n n n n n n n
v p
u p u p g u u
u p g u u
Lập luận tương tự như trên, theo Bổ đề 1.11 
và ,f g là ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết 
hợp với (2.7) ta có 
2
1
2 2
|| ||
(1 ) || || || ||
 (1 ) (|| ||)
n
n n
n n n n
n n
n n n n
u p
g v p f v p
f v g v
2 2 2 2(1 ) || || || ||
 (1 ) (|| ||)
n n n n n n
n n
n n n n
v p v p
f v g v
2 2|| || (1 ) (|| ||)n n
n n n n n n
v p f v g v
2 2 2 2[1 ( 1)] || || (1 ) (|| ||)n
n n n n n n n n n
u p g u u 
 (1 ) (|| ||)n n
n n n n
f v g v 
2 2 2 2[1 ( 1)(1 )] || || (1 ) (|| ||)n
n n n n n n n n n
u p g u u 
 (1 ) (|| ||)n n
n n n n
f v g v 
2 2 2 2|| || ( 1)(1 ) || || (1 ) (|| ||)n
n n n n n n n n n
u p u p g u u
(1 ) (|| ||).n n
n n n n
f v g v (2.8) (2.8) 
Vì { },{ }
n n
 và bị chặn nên tồn tại hằng 
số 0M sao cho 2 2(1 ) || ||n n nu p M với 
1.n Khi đó, từ (2.8), ta được 
2
1
2 2
 || ||
|| || ( 1) (1 ) (|| ||)
n
n
n n n n n n
u p
u p M g u u
(1 ) (|| ||).n n
n n n n
f v g v (2.9) 
Từ (2.9), ta có 
2 2 2
1
|| || || || ( 1).
n n n
u p u p M
 Vì 20 1 2 ( 1)
n n n
 với 1
n
và 
1
( 1)
n
n
 nên 2
1
( 1) .
n
n
 Theo 
Bổ đề 1.12, ta được lim || ||
nn
u p tồn tại. 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 18 
(2). Từ (2.9), ta có 
2
1
2 2
 || ||
|| || ( 1) (1 ) (|| ||).
n
n n
n n n n n n
u p
u p M f v g v
Do đó 
2 2 2
1
 (1 ) (|| ||)
|| || || || ( 1). (2.10)
n n
n n n n
n n n
f v g v
u p u p M
Vì 0 lim inf lim sup 1,
n nn n
 tồn tại số 
thực 0 và số nguyên 
0
n sao cho 
(1 ) 0
n n
với 
0
.n n Từ (2.10) với 
bất kì số tự nhiên 
0
,m n
ta có 
0
0
 (|| ||)
(1 ) (|| ||)
m
n n
n n
n n
m
n n
n n n n
n n
f v g v
f v g v
0 0 0
2 2 2
1
|| || || || ( 1)
m m m
n n n
n n n n n n
u p u p M 
0
0
2 2 2
1
|| || || || ( 1)
m
n m n
n n
u p u p M 
0
0
2 2|| || ( 1).
m
n n
n n
u p M (2.11) 
Vì 2
1
( 1)
n
n
 nên từ (2.11) ta được 
0
(|| ||) .
m
n n
n n
n n
f v g v
Suy ra 
0
(|| ||) .
m
n n
n n
n n
f v g v 
Do đó lim (|| ||) 0.n n
n nn
f v g v
Sử dụng 
tính chất của , ta được 
lim || || 0.n n
n nn
f v g v (2.12) 
Tiếp theo, từ (2.9), ta có 
2 2 2
1
 (1 ) (|| ||)
|| || || || ( 1). (2.13)
n
n n n n
n n n
g u u
u p u p M
 Lập luận tương tự như chứng minh trên, từ 
(2.13), ta được 
0
(|| ||) .
m
n
n n
n n
g u u Do 
đó lim (|| ||) 0.n
n nn
g u u Sử dụng tính 
chất của , ta được 
lim || || 0.n
n nn
g u u (2.14) 
Tiếp theo, từ (1 ) n
n n n n n
v u g u , ta có 
|| ||
|| (1 ) ||
= || ||. 
n n
n
n n n n n
n
n n n
v u
u g u u
g u u (2.15) 
Từ (2.14) và (2.15), ta được 
lim || || 0.
n nn
v u (2.16) 
Theo Mệnh đề 2.1, ta có ( , ) ( ).
n n
v u E G 
Do đó 
 || ||
|| || || ||
 || || || ||
2 || || || || || || .
n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n
f u u
f u f v f v g v
g v g u g u u
v u f v g v g u u 
(2.17) 
Từ (2.12), (2.14) và (2.16), ta được 
 lim || || 0n
n nn
f u u . (2.18) 
(3). Vì ( , ) ( )
n n
v u E G nên 
1
 || ||
|| (1 ) ||
n n
n n
n n n n n
u u
g v f v u
|| || || ||n n n
n n n n n
g v u f v g v 
|| || || || || ||n n n n n
n n n n n n n
g v g u g u u f v g v
|| || || ||
 || || . 
n
n n n n n
n n
n n n
v u g u u
f v g v
 (2.19) 
Kết hợp (2.19) với (2.12), (2.14) và (2.16), 
ta được 
 1
lim || || 0.
n nn
u u (2.20) 
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 
 19 
Vì 
1
( , ) ( )
n n
u u E G nên 
1 1
1 1
 || ||
|| || || || || ||
n
n n
n n n
n n n n n n
u f u
u u f u f u f u u
1 1
|| || || || || ||n
n n n n n n n
u u u u f u u
1
(1 ) || || || || .n
n n n n n
u u f u u
(2.21) 
Kết hợp (2.21) với (2.18) và (2.20), ta được 
1 1
lim || || 0.n
n nn
u f u 
Ta có 
1 1
1 1
1 1 1 1
 || ||
|| || || ||
n n
n n
n n n n
u fu
u f u fu f u
1
1 1 1 1 1
|| || || || .n n
n n n n
u f u u f u 
Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức 
trên khi n , ta được lim || || 0.
n nn
fu u 
Tương tự 
1 1
1 1
 || ||
|| || || || || ||
n
n n
n n n
n n n n n n
u g u
u u g u g u g u u
1 1
|| || || || || ||n
n n n n n n n
u u u u g u u
1
(1 ) || || || || .n
n n n n n
u u g u u
(2.22) 
Kết hợp (2.22) với (2.14) và (2.20), ta được 
1 1
lim || || 0.n
n nn
u g u Ta có 
1 1
1 1
1 1 1 1
 || ||
|| || || ||
n n
n n
n n n n
u gu
u g u gu g u
1
1 1 1 1 1
|| || || || .n n
n n n n
u g u u g u 
Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức trên 
khi n , ta được lim || || 0.
n nn
gu u 
Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng 
minh kết quả về sự hội tụ yếu của dãy lặp 
(2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh 
xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian 
Banach lồi đều với đồ thị. 
Định lí 2.3. Giả sử 
(1) X là không gian Banach lồi đều và 
thỏa mãn điều kiện Opial. 
(2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác 
rỗng trong X và có tính chất G. 
(3) { }
n
u là dãy được xác định bởi (2.1) 
thỏa mãn 
1 1
( , ),( , ) ( )u p p u E G với mỗi 
( ) ( ),p Fix f Fix g 
0 lim inf limsup 1
n nn n
 và 
0 lim inf limsup 1.
n nn n
Khi đó, { }
n
u hội tụ yếu đến điểm bất 
động chung của f và .g 
Chứng minh. Vì X là không gian 
Banach lồi đều nên X có tính chất phản xạ. 
Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2, ta có 
lim || ||
nn
u p tồn tại. Vì vậy { }
n
u bị chặn. 
Do đó, tồn tại dãy con hội tụ yếu của { }.
n
u 
Giả sử 
( ) ( )
{ },{ }
n k n k
u v là hai dãy con của { }nu 
lần lượt hội tụ yếu đến , .u v Theo Mệnh đề 
2.2, ta có 
( ) ( )
( ) ( )
 lim || ||
lim || ||
0.
n k n kk
n k n kk
fu u
gu u
 (2.23)
Vì 
1
( , ) ( )
n n
u u E G và G có tính chất bắc 
cầu nên 
 ( ) ( 1)
( , ) ( ).
n k n k
u u E G (2.24) 
Từ (2.23) và (2.24), theo Bổ đề 1.5, ta được 
fu gu u hay ( ) ( ).u Fix f Fix g Tương 
tự như trên, ta chứng minh được 
( ) ( ).v Fix f Fix g Vì , ( ) ( )u v Fix f Fix g 
nên lim || ||
nn
u u và lim || ||
nn
u v tồn tại. Theo 
Bổ đề 1.6, ta được .u v Do đó { }
n
u hội tụ 
yếu đến điểm bất động chung của f và .g 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 20 
Tiếp theo, chúng tôi thiết lập và chứng 
minh kết quả về sự hội tụ mạnh của dãy lặp 
(2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh 
xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian 
Banach lồi đều với đồ thị. 
Định lí 2.4. Giả sử 
(1) X là không gian Banach lồi đều. 
(2) là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác 
rỗng trong X, có tính chất G. 
(3) Một trong hai ánh xạ ,f g là G-nửa 
compact. 
(4) { }
n
u là dãy được xác định bởi (2.1) 
thỏa mãn 
1 1
( , ),( , ) ( )u p p u E G với mỗi 
( ) ( ),p Fix f Fix g
0 lim inf limsup 1
n nn n
 và 
 0 lim inf limsup 1.n nn n
Khi đó, { }
n
u hội tụ mạnh đến điểm bất 
động chung của f và .g 
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2, ta có 
lim || || lim || || 0.
n n n nn n
u fu u gu Hơn nữa, 
{ }
n
u là dãy trong và 
1
( , ) ( ).
n n
u u E G Kết 
hợp với giả thiết một trong hai ánh xạ ,f g là 
G-nửa compact, suy ra tồn tại dãy con 
( )
{ }
n k
u 
của { }
n
u sao cho 
( )
{ }
n k
u hội tụ mạnh đến 
.q C Do đó 
( ) ( ) ( ) ( )
lim || || lim || || 0.
n k n k n k n kk k
u fu u gu 
Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.8, ta được f và 
g là G-liên tục. Kết hợp với (2.24), ta được 
( ) ( )
lim || || lim || || 0.
n k n kk k
fu fq gu gq 
Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
 || ||
|| || || || || ||,
n k n k n k n k
q fq
q u u fu fu fq
( ) ( ) ( ) ( )
 || ||
|| || || || || || .
n k n k n k n k
q gq
q u u gu gu gq
Do đó lim || || lim || || 0.
k k
q fq q gq
Suy 
ra fq gq q hay ( ) ( ).q Fix f Fix g Theo 
Mệnh đề 2.2, ta có lim || ||
nn
u q tồn tại nên 
{ }
n
u hội tụ mạnh đến ( ) ( ).q Fix f Fix g 
Cuối cùng, chúng tôi đưa ra ví dụ minh 
họa cho sự hội tụ của dãy lặp (2.1) đến điểm 
bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn 
tiệm cận. Đồng thời, ví dụ này cũng chứng tỏ 
rằng dãy lặp (2.1) hội tụ đến điểm bất động 
chung nhanh hơn dãy lặp trong bài báo của 
Wattanataweekul (2018). 
Ví dụ 2.5. Cho X là không gian 
Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, 
[0,2], ( ( ), ( ))G V G E G là đồ thị định 
hướng với ( )V G và ( , ) ( )x y E G khi và 
chỉ khi 0,75 1,70x y hoặc .x y 
Xét hai ánh xạ ,f g xác định bởi 
5
arcsin( 1) 1 neáu 3
8
 0 neáu 3,
x x
fx
x
 và 
ln
 neáu 2
 2 neáu 2.
x
x x
gx
x
Với ( , ) ( ),x y E G ta có 0,75 , 1,70.x y Suy 
ra ( , ),( , ) ( ).fx fy gx gy E G Suy ra ,f g bảo 
toàn cạnh. Hơn nữa, với ( , ) ( )x y E G và 
1 1,36
n
 ta chứng minh được 
|| || || ||n n
n
f x f y x y và 
 || || || ||n n
n
g x g y x y . 
Do đó ,f g là ánh xạ G-không giãn tiệm 
cận. Ta có ( ) ( ) {1} .Fix f Fix g Chọn 
1
1, 4u
ta có 
1 1
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với 
( ) ( ).p Fix f Fix g Chọn 
1
,
5 3n
n
n
 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 13-22 
 21 
4
.
10 7n
n
n 
Khi đó, dãy lặp { }
n
u
được xác 
định bởi (2.1) có dạng dưới đây hội tụ đến 
điểm bất động chung 1.p 
1
1, 4u và 
1
9 3 4
10 7 10 7
4 2 1
.
5 3 5 3
n
n n n
n n
n n n
n n
v u g u
n n
n n
u g v f v
n n
 (2.25) 
Tuy nhiên, với 3, 1x y và 2,u 
1,v ta tính được 
1
| | | |,fx fy x y 
1
| | | | .gu gv u v 
Do đó, ,f g không là ánh xạ không giãn tiệm 
cận. Vì vậy, những kết quả về sự hội tụ đến 
điểm bất động chung của hai ánh xạ không 
giãn tiệm cận sẽ không áp dụng cho hai ánh 
xạ này. Hơn nữa, với cách chọn hai ánh xạ 
,f g như trên thì dãy lặp { }nx được giới thiệu 
trong nghiên cứu của Wattanataweekul 
(2018) có dạng dưới đây cũng hội tụ đến 
điểm bất động chung 1.p 
1
1, 4x và 
1
9 3 4
10 7 10 7
4 2 1
.
5 3 5 3
n
n n n
n
n n n
n n
y x g x
n n
n n
x y f y
n n 
 (2.26) 
Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (2.25) 
đến điểm bất động chung 1p nhanh hơn sự 
hội tụ của dãy lặp (2.26) và được minh họa 
bởi bảng số liệu và hình ảnh minh họa dáng 
điệu sau. 
Bảng 1. Số liệu hội tụ của dãy lặp (2.25) và (2.26) 
n nx (dãy 2.26) nu (dãy 2.25) 
1 1,4 1,4 
2 1,2887079 1,1097846 
3 1,1940112 1,0077474 
4 1,130939 1,0003408 
5 1,0886472 1,0000094 
6 1,0601816 1,0000002 
7 1,0409866 1, 
46 1, 1, 
Hình 1. Dáng điệu hội tụ của dãy lặp (2.25) và 
(2.26) đến 1 với n=50 
Lời cảm ơn: Bài báo này được hỗ trợ 
bởi Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài 
nghiên cứu khoa học của sinh viên mã số 
SPD2019.02.15./. 
Tài liệu tham khảo 
N. V. Dung and N. T. Hieu (2020), 
“Convergence of a new three-step 
iteration process to common fixed points 
of three G-nonexpansive mappings in 
Banach spaces with directed graphs”, 
Rev. R. Acad. Cienc. Exacts Fis. Nat. Ser. 
A Math. RACSAM, 114: 140, pp. 1-24. 
N. V. Dung and N. T. Hieu (2019), “A new 
hybrid projection algorithm for 
equilibrium problems and 
asymptotically quasi -nonexpansive 
mappings in Banach spaces”, Rev. R. 
Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A 
Math. RACSAM, (3), pp. 2017-2035. 
K. Goebel and W. A. Kirk (1972), “A fixed 
point theorem for asymptotically 
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 
 22 
nonexpansive mappings”, Proc. Amer. 
Math. Soc., (1), pp. 171-174. 
J. Jachymski (2008), “The contraction 
principle for mappings on a metric space 
with a graph”, Proc. Amer. Math. Soc., 
(4), pp. 1359-1373. 
M. G. Sangago, T. W. Hunde and H. Z. 
Hailu (2018), “Demiclodeness and fixed 
points of G-asymptotically 
nonexpansive mapping in Banach spaces 
with graph”, Fixed Point Theory, (3), 
pp. 313-340. 
N. Shahzad and R. Al-Dubiban (2006), 
“Approximating common fixed points of 
nonexpansive mappings in Banach 
spaces”, Georgian Math. J., (3), pp. 
529-537. 
R. Suparatulatorn, W. Cholamjiak, S. Suantai 
(2018), “A modified S-iteration process 
for G-nonexpansive mappings in Banach 
spaces with graphs”, Numer Algor, (2), 
pp. 479-490. 
M. Wattanataweekul (2018), “Approximating 
common fixed points for two G-
asymptotically nonexpansive mappings 
with directed graphs”, Thai J. Math., (3), 
pp. 817-830.