Phương trình tán sắc chính xác của sóng rayleigh truyền trong bán không gian có ứng suất trước phủ một lớp mỏng có ứng suất trước

KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  3 
BÀI BÁO KHOA HỌC 
PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CHÍNH XÁC CỦA SÓNG RAYLEIGH 
TRUYỀN TRONG BÁN KHÔNG GIAN CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC 
PHỦ MỘT LỚP MỎNG CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC 
Nguyễn Thị Khánh Linh1 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi có ứng suất 
trước phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. Để giải quyết bài toán, tác giả lần lượt đi tìm 
các mối liên hệ giữa biên độ ứng suất và biên độ chuyển dịch của lớp và của bán không gian. Từ 
các mối liên hệ này kết hợp với điều kiện biên và điều kiện liên tục giữa lớp và bán không gian, tác 
giả đã tìm được phương trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền trong môi trường này. 
Đồng thời để khẳng định tính chính xác của kết quả tìm được, từ công thức tìm được tác giả đưa về 
được trường hợp đặc biệt là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian 
đàn hồi có ứng suất trước đã được tìm trong tài liệu (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden 1991; Vinh, 
2011). Các thức tìm ra ở dạng hoàn toàn tường minh, chúng sẽ là những công cụ rất hữu hiệu cho 
các nhà khoa học trong và ngoài nước. 
Từ khóa: sóng Rayleigh, đàn hồi có ứng suất trước, phương trình tán sắc. 
1. MỞ ĐẦU* 
Các bài  toán truyền sóng   trong  môi trường 
đàn  hồi  (Achenbach, J.D. and Keshava, S.P., 
1967- R. W. Ogden, 1984)  có  ứng dụng rộng 
rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học 
và kỹ thuật như Âm học, Địa chấn học, Địa vật 
lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không 
phá hủy, Chẩn đoán y học bằng hình ảnh, Công 
nghệ viễn thông, Các cấu trúc mỏng ngày này 
xuất hiện nhiều trong trong cuộc sống,  nên bài 
toán nghiên cứu về sự truyền sóng trong các cấu 
trúc này đang được rất nhiều các nhà nghiên cứu 
quan tâm (Tiersten, H.F.,1969-P. C. Vinh and N. 
T. K. Linh, 2013) 
Khi nghiên cứu về sóng, sóng mặt Rayleigh 
được quan tâm nhiều nhất.  Đối  với  sóng 
Rayleigh, phương trình tán sắc dạng tường minh 
có  ý  nghĩa  đặc  biệt  quan  trọng.  Nó  được  sử 
dụng  để  giải  bài  toán  thuận  (khảo  sát  sự  phụ 
thuộc của vận tốc sóng vào các tham số vật liệu) 
và  đặc  biệt  nó  còn  là  cơ  sở  lý  thuyết  để  giải 
quyết các bài toán ngược (xác định các tham số 
vật  liệu từ các giá trị đo được của vận tốc sóng 
1 Khoa Cơ khí, Trường Đại học Thủy lợi 
(Viktorov,  I.  A.,  1967).  Do  vậy,  phương  trình 
tán sắc dạng tường minh là mục tiêu đầu tiên và 
quan  trọng  nhất  đối  với  các  nghiên  cứu  liên 
quan đến sóng Rayleigh. 
Đối với các môi trường bán không gian phủ 
lớp  mỏng  đẳng  hướng  và  trực  hướng,  phương 
trình  tán  sắc  đã  được  tìm  ra  trong  các  tài  liệu 
tham  khảo  (Bovik,  P.,  1996;  Tiersten,  H.F., 
1969;  Vinh,  2011;  Vinh,  P.C.,  Linh,  N.T.K., 
2012 - P. C. Vinh and N. T. K. Linh, 2013). 
Tuy nhiên, đối với các môi trường đàn hồi có 
tính dị hướng cao hơn, phức tạp hơn, chẳng hạn 
môi  trường  đàn  hồi  monoclinic,  môi  trường  có 
ứng  suất  trước,  môi  trường  đàn  hồi  chịu  ảnh 
hưởng của các yếu tố khác như điện trường,  từ 
trường,.. vẫn còn đang bỏ ngỏ. 
Vì  vậy  mục  tiêu  của  bài  báo  đi  tìm  phương 
trình tán sắc chính xác của sóng Rayleigh truyền 
trong bán không gian đàn hồi có ứng suất trước 
phủ một lớp mỏng đàn hồi có ứng suất trước. 
2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 
Xét một lớp vật  liệu thuần nhất có độ dày h, 
phủ lên một bán không gian thuần nhất, giả thiết 
cả lớp và bán không gian là đàn hồi nén được có 
ứng suất trước. 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 4 
Các hướng chính của biến dạng  trong  lớp và 
bán không gian  là  trùng nhau và vuông góc với 
mặt phẳng x2=0. Một trục tọa độ Cartesian vuông 
góc (x1, x2, x3) được sử dụng với các trục của nó 
trùng  với  các  hướng  chính  của  biến  dạng.  Lớp 
vật liệu chiếm miền –h<x2<0 và bán không gian 
chiếm  miền  tương ứng x2>0. Các độ giãn chính 
của bán  không gian  và  lớp  được ký  hiệu  tương 
ứng với  1 2 3, ,    và 1 2 3, ,   . Bán không gian 
và lớp được giả thiết là gắn chặt. Chú ý rằng các 
đại lượng giống nhau của bán không gian và lớp 
có cùng ký hiệu nhưng phân biệt bằng dấu gạch 
ngang ở trên nếu liên quan đến lớp. 
Đối  với  lớp,  bỏ  qua  lực  khối  phương  trình 
chuyển động có dạng(M. A. Dowaikh and et al,  
1991; R. W. Ogden, 1984): 
11,1 21,1 1 12,1 22,1 2, ,s s u s s u   (1) 
trong đó   là mật độ khối lượng của vật liệu 
ở trạng thái ban đầu. 
,ji ijlk k ls A u   (2) 
trong đó  jiklA  là các thành phần của tenxơ đàn 
hồi bậc 4 trong (M. A. Dowaikh and et al, 1991; 
R. W. Ogden, 1984) được xác định như sau: 
2W
ijkl i j
i j
J A 
 

 
(3) 
2
2 2
( , )
1
( , )
2
i
i j i j
i j i j
ijkl
ijkl iijj i i j
i
W W
i j
J A
W
J A J A i j

   
   
  

  
   
  
  
  (4) 
và ( )ijji jiij ijij i
i
W
J A J A J A i j


   (5) 
với i,j=1,2,3,  1 2 3W W( , , )    là hàm năng lượng biến dạng trên một đơn vị thể tích ở trạng thái 
tự nhiên (không biến dạng)  1 2 3J     ( 0k ). 
Để đơn giản trong cách trình bầy, ta sử dụng các ký hiệu sau: 
11 1111 22 2222 12 21 1122 1 1212 2 2121 * 2112, , , , ,A A A A A A      (6) 
Sử dụng các phương trình trên, phương trình (2) được viết lại: 
11 11 1,1 12 2,2 22 12 1,1 22 2,2
12 1 2,1 * 1,2 21 * 2,1 2 1,2
, ,
, ,
s u u s u u
s u u s u u
   
(7) 
Từ các điều kiện strong-ellipticity,  ik  và  k  phải thỏa mãn các đẳng thức (R. W. Ogden, 1984): 
11 22 1 20, 0, 0, 0     (8) 
Xét sóng Rayleigh truyền theo phương  1x  và tắt dần theo phương  2x  với vận tốc sóng c  (>0) và số 
sóng k (>0). Khi đó các thành phần chuyển dịch và ứng suất của lớp đàn hồi có dạng 
1 1
1 1 2 2
( ) ( )
2( ) , ( ) ,
ik x ct ik x ctu U y e u U y e y kx   (9) 
trong đó 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  5 
1 1 1 2 1 3 2 4 2
2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2
( ) ch sh ch sh
( ) ( sh ch sh ch )
U y A b y A b y A b y A b y
U y i A b y A b y A b y A b y 
(10) 
với  1 2 3 4, , ,A A A A   là các hằng số,  k   và  kb   được xác định bởi 
2 2
2
1 2
2
2 11
12 *
2
2 1 22 11 12 *2 2 2 2 11 1
1 2 1 2
2 22 2 22
4 4
( ) b
(X ) (X ) ( ) (X )(X )
, .
, , ,    1,2,
2 2
.
k
k
k
b X
b
S S P S S P
b b n X
b
c
S b b P
 
 
   

  
 
(11) 
Thay thế (10), (11) vào (7) và kết hợp với (9), ứng suất của lớp có dạng 
1 1(x ct) (x ct)
21 1 22 2,
ik iks ik e s ik e     (12) 
trong đó 
1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2
2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 4 2
( sh ch sh ch )
ch sh ch sh
i A b y A b y A b y A b y
A b y A b y A b y A b y
   
   
 
 
(13) 
với  * 2 12 22, , 1, 2k k k k k kb b k      (14) 
Tại mặt biên x2=0, phương trình (13)và (10) có dạng: 
1 1 3 2 1 2 2 4
1 1 2 2 4 2 1 1 2 3
(0) , (0) ( ),
(0) ( ),
U A A U i A A
i A A A A
   
  
  (15) 
Từ phương trình (15), ta có: 
2 2 2
1 1 2 2 2 1
1 1 1
3 1 2 4 2 1
1
(0) (0), (0) (0),
[ ] [ ] [ ; ] [ ]
1
(0) (0), (0) (0)
[ ] [ ] [ ; ] [ ]
i i
A U A U
i i
A U A U
  
   
  
   
  
  
(16) 
Thế (16) vào (13) và (10) tại x2=-h, ta thu được mối liên hệ tuyến tính của  1 2 1( ), ( ), ( )U h U h h  , 
và  2 ( )h  với các số hạng  1(0)U  ,  2 (0)U ,  1 (0)  và  2 (0) . Mối liên hệ này có dạng ma trận là:  
( ) (0)h T    (17) 
trong đó  1 2 1 2(.) [ (.) (.) (.) (.)]
TU U  ξ   và 
1 2
3 4
T T
T
T T
(18) 
với 
1 2
1 2
1 2
3 4
1 2
[ ;sh ] [ch ][ ;ch ] i[ ;sh ]
[ ; ] [ ][ ] [ ; ]
, ,
[ch ] [ sh ][ sh ; ] [ ch ; ]
[ ; ] [ ][ ] [ ; ]
[ch ][ sh ]
[ ] [ ; ]
,
[ch ] [ ; sh ]
[ ] [ ; ]
i
T T
i
i
i i
T T
i
     
   
      
   
   
 
    
 
[ ; ch ] [ sh ]
[ ; ] [ ]
[ ; sh ] [ ch ]
[ ; ] [ ]
i
i
    
  
    
  
(19) 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 6 
trong đó  , 1, 2,n nb n   và  2 1[ch ] ch ch ,     
2 2 1 1 2 1 1[ ch ] ch ch , [ ; sh ] sh        2 1 1sh   . 
Ma  trận  T xác  định  bởi  (18)  gọi  là  ma 
trận  chuyển  của  lớp  đàn  hồi  có  ứng  suất 
trước nén được. 
3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIÊN ĐỘ 
ỨNG SUẤT VÀ CÁC BIÊN ĐỘ CHUYỂN 
DỊCH TẠI MẶT BIÊN 
3.1. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất 
và các biên độ chuyển dịch của lớp 
Xét  sóng  Rayleigh  truyền  dọc  theo  phương 
x1  và  tắt  dần  theo  x2  với  vận  tốc  sóng  c  và  số 
sóng k. Để đơn giản, các ma trận Ti (i=1,2,3,4) 
được viết dưới dạng sau: 
11 12 11 12 11 12 11 12
2 3 4
21 22 21 22 21 22 21 22
, , ,
a ia ib b ic c d id
ia a b ib c ic id d
1T T T T  
các  , , ,ij ij ij ija b c d   được  xác  định  bởi  (19).Từ 
điều  kiện  tự  do  ứng  suất  tại  2x h   
là 12 22 0ss và sử dụng phương trình  (17)  ta có 
3 (0) (0) , 4T U T Σ 0   (20) 
Phương trình (20) là mối liên hệ giữa biên 
độ của véc tơ ứng suất và biên độ của véc tơ 
chuyển dịch của lớp tại biên phân cách y=0. 
3.2. Mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất 
và các biên độ chuyển dịch của lớp 
Theo Vinh (Pham Chi Vinh, 2011), các thành 
phần  chuyển  dịch  và  ứng  suất  của  sóng 
Rayleigh trong bán không gian có dạng: 
1 1( ) ( )
2( ) , ( ) 1,, 2,
ik x ct ik x ct
n n n nu U y e ik y e n
  
   (21) 
trong đó: 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
( ) ( , ( ) ,
( ) ), ( ) ( ),
b y b y b y b y
b y b y b y b y
U y i B e B e U y B e B e
y B e B e y i B e B e
   
    
(22) 
với  k  ,  k  ,  k  được xác định bởi 
2
212 * 11 2
2 * 12 222
22 1 12 *
( )
, , b , 1,2,
( )
,k kk k k k k k k
k k
b X b
b X c k
b X b
  
     
  
(23) 
và b1, b2 là hai nghiệm có phần thực dương của phương trình 
2
2 1 22 11 12 *
4 2
2 22 11 1(X ) (X ) ( ) (X )( ) 0,b b X      
(24) 
với 
2
2 2 2 22 1 22 11 12 * 11 1
1 2 1 2
2 22 2 22
(X ) (X ) ( ) (X )(X )
, .b b S b b P
   
  
(25) 
Ta dễ thấy nếu sóng Rayleigh tồn tại thì b1, b2 phải có phần thực dương, khi đó 
11 1 1 2 1 20 min{ , , 0, 2 0, . , 2}X P S P b b P b b S P     (26) 
Thế x2=0 vào (22) ta thu được 
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
(0) , (0) ( ,
(
)
)0) ( , (0) .
U B B U i B B
i B B B B
   
  
  (27) 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  7 
Khử B1, B2 từ phương trình (27) ta có 
12
11 12
22
(0) (0),
iM M
M iM
Σ MU M   (28) 
trong đó:  11 12 22
[ ; ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
, ,
[ ]
M M M
   
 và  1 2 1 2(.) [ (.) (.)] , (.) [ (.) (.)]
T TU U   Σ U . 
Phương trình (28) là mối liên hệ giữa biên độ 
của  véc  tơ  ứng  suất  và  chuyển  dịch  của  bán 
không gian tại biên y=0. Ma trận M  là ma trận 
trở  kháng  mặt  của  bán  không  gian  đàn  hồi  có 
ứng suất trước nén được. 
4. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC 
Từ điều kiện lớp và bán không gian gắn chặt 
tại  y=0 và mối  liên  hệ giữa biên độ của véc  tơ 
chuyển dịch  và ứng suất của  lớp và bán không 
gian  tại  biên  y=0,  (0) (0),U U (0) (0)  ,  từ 
(20) ta có: 
3 4(0) (0) 0 T U T Σ   (29) 
Thế (29) vào (28) dẫn tới: 
3 4(0) 0, ZU Z T T M   (30) 
trong  đó  ( , 1,2)ijZ i j   được  xác  định  bởi
11 11 11 11 12 12 12 12 11 12 12 22
21 21 21 11 22 12 22 22 21 12 22 22
( ), ,
, ( ).
Z i c d M d M Z c d M d M
Z c d M d M Z i c d M d M
(31) 
Phương trình tán sắc thu được bằng cách det  0 Z  có dạng: 
0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 4 2 1ch ch shε shε chε shε chε shε 0A A A A A    (32) 
trong đó: 
2
1 2 1 2
0 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2
1 2 2 1 1 2
2
1 2 2 1 1 2
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
2 12 2 2 2
2 2 1 1 2
( ) [ ] [ ; ][ ] [ ]
2 ( )
[ ] [ ]( )
( ) [ ] [ ; ][ ] [ ]
2 ( )
[ ] [ ]( )
( )
A
A
A
       
       
    
       
       
    
 
   
   
2 2
1 2
2 1 2 1 2 1 22 2
2 2 1 1 1 2
3 1 2 2 1 4 2 1 1 2
[ ] [ ; ][ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
[ ; ] [ ] [ ; ] [ ]
[ ; ] , [ ; ] ,
[ ] [ ] [ ] [ ]
A A
     
    
    
    
           
(33) 
với  , , ( 1, 2)i i i i    được xác định bởi (23) và  
2 11 1 2 * 11 12 2 1 2 22 2 1 2 1 2
11 2 1 2 11 2 1 2 11 2 1 2
( X)(b b ) ( X) (b b )[ ; ] [ ] [ ]
, ,
[ ] [ ] [ ]
b b b b
X b b X b b X b b
      
   
2
2 1 22 11 12 * 11 1
2 22 2 22
( X) ( X) ( ) (X )(X )
,S P
   
  
Công thức  (32)  được đưa về dạng không thứ nguyên bằng cách đưa vào các tham số không thứ 
nguyên sau: 
11 22 12 * 2 11 1
4 5
1 1 1 1 1 1
1
1 2 3 1 2
2
3 2 2
2
22
12 * 1 1 1 1
4 5
1 1 2 1
, , , , ,
, , , , , .
, ,
, , v
e e e e e
cX
e x r
e e
e e r c c
c

   
      
     
    
(34) 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 8 
Rõ  ràng  ta  thấy  phương  trình  tán  sắc  phụ 
thuộc  vào  13  tham  số  không  thứ  nguyên: 
, ,( 1, 2, 3,4,5)k ke e k  , r , vr  ,  và x, các tham số 
này thỏa mãn các bất đẳng thức sau  
0, 0, 0, 0, 0.v k kr r e e   
Phương trình tán sắc (32) có dạng không thứ 
nguyên là  
0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 4 2 1ch ch shε shε chε shε chε shε 0A A A A A     (35) 
trong đó: 
* * * * * * * *2
1 2 1 2* * * * * * * * * *
0 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2* *2* * * * * *
1 2 2 1 1 2
( ) [ ] [ ; ] [ ] [ ]
2 ( )
[ ] [ ]( )
A
       
       
    
* * * * * * * * * *2
1 2 2 1 1 2* * * * * * * * * *
1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1* *2
1 2 1 2
( ) [ ] [ ; ] [ ] [ ]
2 ( )
[ ] [ ]( )
A
       
       
    
*2 * *2 * * * * *2
2 1 1 2*2 *2 *2 *2 * * * * * *
2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2* *2* * *2 * * *2
2 2 1 1 1 2
[ ] [ ; ] [ ] [ ]
( ) ( )
[ ] [ ]
A
       
       
    
* * * *
* * * * * * * * * * * * *
3 1 2 2 1 4 2 1 1 2* * * *
[ ; ] [ ] [ ; ] [ ]
[ ; ] , [ ; ] ,
[ ] [ ] [ ] [ ]
A A
    
           
trong đó các đại lượng  *k , 
*
k  , 
*
k  , 
* * *
11 12 22, ,M M M , 
* * * *, , ,S P S P  được xác định bởi:  
2
* * *
* *
2 2
* *5 1
4 3
3 4 5 2
* 2 2 2 * 2 2
5 1 2 5 3 4 2 5 1
5 1 4 1 3 5
1 5 1 5
, ( ), ,
( )
(1 ) ( ) ( ) , ( )(1 ),
( ) 2 ( )
,
[ ; ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [
,
k v k k k
k k k k
k
v v v v
e b r x e b b
r e r e
e e b e e
S e r x e e r x e e e e P e e e r x r x
e e x S P e e x e e P
e x e P e x e P
 
   
  
2 5
1 5
2
2 1 5 3 4 1
2 5 2 5
*
* *
]
1
2
,
( ) ( ) ( ) ( )(1 )
,
e e P S P
e x e P
e e x e x e e e x x
S P
e e e e
 
Trường hợp đặc biệt: 
Khi  0h ,  bài  toán  trở thành  nghiên cứu sự 
truyền  của  sóng  Rayleig  trong  bán  không  gian 
đàn  hồi  có  ứng  suất  trước.  Từ  (32)  ,  ta  có 
phương trình tán sắc của bán không gian đàn hồi 
có ứng suất trước:  
2 2
2 12 22 11 1 2 11 * 2 1( X) ( X) ( X) 0b b      
(36) 
hoặc từ (35), ta có phương trình tán sắc ở dạng không thứ nguyên: 
2 2
5 3 2 1 1 2 1 4 5(e x) (e x) (1 x) 0e e e b b e e   
(37) 
Công  thức  (36)  và  (37)    chính  là  công  thức 
của  phương  trình  tán  sắc  của  sóng  Rayleigh 
truyền  trong bán không gian có ứng  suất  trước 
nén  được  ở  dạng  có  thứ  nguyên  và  ở  dạng 
không có thứ nguyên.  
Phương  trình  (37)  trùng  với  phương  trình 
(5.11) được tìm ra bởi Dowaikh và cộng sự (M. A. 
Dowaikh  and  R.  W.  Ogden,  1991)    và  phương 
trình (25) được tìm ra bởi Vinh (Vinh, 2011) 
5. KẾT QUẢ SỐ 
Chúng  ta  nghiên  cứu  trường  hợp  vật  liệu  là 
ứng  suất  trước  biến  dạng  phẳng  đẳng  hướng 
theo tài liệu tham khảo (D. G. Roxburgh and R. 
W. Ogden, 1994) 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019)  9 
1 2 1 2,         (38) 
Từ các phương trình (3) - (6), ta có các hằng 
số đàn hồi của bán không gian có dạng: 
2 2 2 2 2
*
11 22 1 22 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1
, ,
2 2
W W W W W W W
   
          
       
           
(39) 
Các hằng số đàn hồi của lớp có dạng (39) có dấu gạch ngang ở trên. Điều kiện liên tục của ứng 
suất pháp theo (R. W. Ogden and D. A. Sotiropoulos, 1996). 
3 3
2 2
W W
 
 
 
 
  (40) 
Khảo  sát  vật  liệu    neo-Hookean,  hàm  năng  lượng  của  loại  vật  liệu  này  có  dạng  theo  (D.  G. 
Roxburgh and R. W. Ogden, 1994): 
2 2 2
1 2 3 1 2 3
1
( 3 2 ln( ))
2
W         (41) 
đối với bán không gian và tương tự đối với lớp. 
Từ các phương trình (38) - (41) và (34), ta có: 
2 2
1 2 3 3 4 5 5 12 2 2
2
2 2 2
2 4 2 2
1 2
1 1 1
, 0, , 1, ,
1 1 1
, , , , ( 1(1 ))
(1 )
v
e e e e e e e e
e e r r R
e r r

 
  

  
  
(42) 
Hình 1. Biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc sóng 
Rayleigh được biểu diễn bởi (35) truyền trong 
vật liệu neo-Hookean 
Hình  1  biểu  diễn  vận  tốc  sóng  Rayleigh    x  
được  biểu  diễn  bởi  phương  trình    (35)  truyền 
trong bán không gian phủ một  lớp với giả thiết 
là  cả  bán  không  gian  và  lớp  là  vật  liệu  neo-
Hookean.  Với  vật  liệu  này  thì  các  tham  số  vật 
liệu  chỉ  còn  phụ  thuộc  vào  3  tham  số   ,  r,  R 
như  công  thức  (42).  Hình  1  biểu  diễn  sự  phụ 
thuộc  của  vận  tốc  sóng  vào  kh   trong  hai 
trường  hợp:  1, 0.3, 2r R   và   
2, 0.5, 1.2r R . 
6. KẾT LUẬN 
Bài báo khảo sát sự truyền của sóng Rayleigh 
trong  bán  không  gian  có  ứng  suất  trước  nén 
được được phủ lớp ứng suất trước nén được. Sử 
dụng mối quan hệ giữa các biên độ ứng suất và 
các biên độ chuyển dịch của  lớp  và bán không 
gian  tại  biên  phân  chia,  bài  báo  đã  thu  được 
phương trình chính xác của sóng. Từ công thức 
này,  tác  giả  đã  tìm  được  phương  trình  tán  sắc 
cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gian 
có ứng suất trước bằng cách cho độ dày của lớp 
bằng không. Các công thức tìm được là mới và 
ở dạng  hoàn  toàn  tường  minh,  nên  chúng sẽ  là 
những  công  cụ  rất  hữu  hiệu  cho  các  nhà  khoa 
học trong và ngoài nước. 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 65 (6/2019) 10 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Achenbach,  J.D.  and  Keshava,  S.P.  (1967),  "Free waves in a platesupported by a semi-infinite 
continuum", J. Appl. Mech., 34, pp.397–404. 
Bovik,  P.  (1996),  "A comparison between the Tiersten model andO(H) boundary conditions for 
elastic surface waves guided by thinlayers", J. Appl. Mech., 63, pp. 162–167. 
M. A. Dowaikh and R.  W. Ogden  (1991), On surface waves and deformations in a compressible 
elastic half-space. Stability and Applied Analysis of Continuous Media, 1(1), pp. 27–45. 
R. W. Ogden(1984),Non-linear elastic deformations. Ellis Horwood, Chichester,. 
R. W. Ogden and D. A. Sotiropoulos,  (1996). The effect of pre-stress on guided ultrasonic waves 
between a surface layer and a half-space. Ultrasonics, 34, (2-5), (1996), pp. 491–494. 
D.  G.  Roxburgh  and  R.  W.  Ogden  (1994).  Stability and vibration of pre-stressed compressible 
elastic plates. International Journal of Engineering Science, 32, (3), (1994), pp. 427–454. 
Tiersten, H.F. (1969), "Elastic surface waves guided by thin films",J. Appl. Phys., 46, pp. 770–789. 
Viktorov, I. A. (1967), Rayleigh and Lamb waves: Physical theory andapplications, Plenum Press, 
New York. 
Pham Chi Vinh (2011), "On formulas for the Rayleigh wave velocityin pre-stressed compressible 
solids", Wave Motion, 48, 613-624. 
Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2012). An approximate secular equation of rayleigh waves propagating in an 
orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropicelastic layer, Wave Motion,49, 681–689. 
Vinh, P.C., Linh, N.T.K., (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves 
in pre-stressed compressible elastic solids. Int. J. Non-Lin. Mech., 50, 91–96.  
Vinh, P.C., Linh, N.T.K.,  Anh, V.T.N.,  (2014). Rayleigh waves in an incompressible orthotropic 
elastic half-space coated by a thin elastic layer. Archives Mech,66,173–184. 
P. C. Vinh and N. T. K. Linh (2013). An approximate secular equation of generalized Rayleigh wavesin 
pre-stressed compressible elastic solids. International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, 91–96.  
Abstract: 
AN EXACT SECULAR EQUATIONS OF RAYLEIGH WAVES IN A COMPRESSIBLE 
PRE-STRESSED ELASTIC HALF-SPACES COATED WITH AN ELASTIC LAYER 
This paper is concerned with the propagation of Rayleigh waves in a compressible pre-tressed 
elastic half-space coated with a compressible pre-stressed elastic layer. The main purpose of the 
paper is to establish an approximate secular equation of the wave. First, the relations between the 
traction amplitude vector and the displacement amplitude one of Rayleigh waves at two sides of the 
interface between the layer and the half-space are created. From the continuity condition at the 
interface and these relations the displacement amplitude vector of Rayleigh waves at the interface is 
determined. Then, an exact secular equation of the wave has been derived by using these relations. 
From this equation, an secular equation of Rayleigh wave is obtained for a compressible pre-
stressed elastic half-space and this equation coincides in the equation of M. A. Dowaikh and R. W. 
Ogden (M. A. Dowaikh and R. W. Ogden, 1991) and Vinh (Vinh, 2011). The explicit seculars 
derived in this paper are useful for scientists 
Keywords: Rayleigh waves, secular equation, pre-stressed,  
Ngày nhận bài: 22/3/2019 
Ngày chấp nhận đăng: 13/4/2019