Phân tích phi tuyến khung dàn thép phẳng sử dụng phương pháp dầm-cột

 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 2 (41) 2015 103 
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG DÀN THÉP PHẲNG 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẦM-CỘT 
Ngày nhận bài: 11/12/2014 Đặng Thị Phương Uyên1 
Ngày nhận lại: 02/03/2015 Lê Thanh Cường2 
Ngày duyệt đăng: 26/03/2015 Ngô Hữu Cường3 
TÓM TẮT 
Phi tuyến hình học là kể đến sự sai lệch hình học kết cấu tại từng thời điểm gia tăng lực 
tác dụng và phân tích phi tuyến vật liệu là kể đến sự biến đổi của vật liệu khi lực gia tăng. Phân 
tích phi tuyến hình học sử dụng phương pháp dầm-cột (beam-column method) dùng hàm ổn định 
và phân tích phi tuyến vật liệu kể đến sự chảy dẻo ở hai đầu phần tử để mô phỏng sự làm việc 
của phần tử cũng như của toàn bộ hệ kết cấu khung dàn khi chịu tác dụng của ngoại lực. Phần 
tử dầm-cột kể đến tác dụng của lực nén và uốn đồng thời, diễn tả kết hợp sự phân tích về sai lệch 
hình học của dầm và vấn đề ổn định của cột khi chịu lực tác dụng. Bài báo sử dụng phương 
pháp phân tích nâng cao phân tích mối quan hệ giữa lực và chuyển vị của hệ kết cấu khung dàn 
là đường cong bậc hai, kể đến sự làm việc đồng thời của hệ khi chịu lực tác dụng, phân tích mối 
quan hệ giữa lực-chuyển vị tại từng thời điểm lực gia tăng và tại thời điểm kết cấu đạt đến trạng 
thái giới hạn. Sử dụng hàm ổn định theo phương pháp dầm-cột giúp cho việc khai báo số phần 
tử ít hơn, giảm thiểu được thời dan phân tích bài toán và giảm bộ nhớ đệm máy tính rất nhiều. 
Từ khóa: dàn thép, phi tuyến, hàm ổn định, dầm-cột. 
ASTRACT 
Nonlinear geometric is mention of geometric error of structure at the point increasing 
force and the nonlinear material is mention of a change material. Nonlinear geometric analysis 
by using beam-column method and nonlinear materials that including plastic hinge of the ending 
elements for simulation the working of the elements as well as the entire the trusses system under 
the effect of external forces. Beam-column including the effects of compression and bending that 
describes the combining analysis of the deviation of the beam geometry and stability issues of the 
load-bearing column. The article uses advanced analytical methods to analyze the relationship 
between force and displacement of the trusses system through quadratic curve which including 
the combination of effects, Analysis the relationship between the force-displacement at each 
increasing force point and the point reaching structure’s limit. Using the stability of beam-
column method enables to reduce the declaration of element, reduce analysis time and reduce 
the problem of computer memorycache. 
Keywords: Steel trusses, Nonlinear, Stability function, Beam-column. 
1. Đặt vấn đề 
Trong phân tích đàn hồi bậc nhất, quan 
hệ giữa lực và chuyển vị ở bất cứ thời điểm 
nào cũng là một đường thẳng. Các thanh dàn 
chủ yếu chỉ chịu dọc trong thanh, không kể tác 
động do lực kéo (nén) và uốn đồng thời. Do 
vậy, phương pháp phân tích đàn hồi bậc nhất 
không xem xét sự làm việc đồng thời của các 
thanh, cũng như sự làm việc đồng thời của 
1
 Công ty Tư Vấn Điện Miền Nam.Email: uyendang119@gmail.com 
2
 Trường Đại học Mở TPHCM. Email: lthanhcuong@yahoo.com 
3
 Trường Đại học Bách khoa TPHCM, nhcuong@hcmut.edu.vn 
104 KHOA HỌC KỸ THUẬT 
toàn bộ hệ kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. 
Khi phân tích khung dàn nếu chỉ xét đến 
sự tác dụng của nén (hay kéo) dọc trục thanh 
mà bỏ qua các tác dụng của mô men thì chưa 
thể thể diễn tả hết được sự làm việc của hệ kết 
cấu khung dàn. Khi sử dụng phương pháp 
phân tích trực tiếp theo phương pháp phân tích 
nâng cao có thuận lợi lớn của phương pháp 
phân tích này là: (i) Phỏng đoán được hệ số 
chiều dài hữu hiệu; (ii) cung cấp kết quả nội 
lực toàn bộ kết cấu tại trạng thái giới hạn sử 
dụng được chính xác hơn; (iii) Áp dụng một 
cách hợp lý và phù hợp với tất cả các loại kết 
cấu khung phẳng bao gồm khung không giằng, 
khung có giằng và khung kết hợp. 
Theo phương pháp dầm-cột sử dụng hàm 
ổn định có phương trình hàm đơn giản nhưng 
diễn tả tác động phi tuyến hình học của phần 
tử khi chịu lực tác dụng, mô tả được những 
ứng xử thực tế làm việc của kết cấu, đặc biệt là 
các kết cấu khung không dàn. Sự đơn giản 
trong phân tích, tốn ít bộ nhớ máy tính nhưng 
cho ra kết quả đáng tin cậy. 
Bài báo này tác giả sử dụng hàm ổn định 
trong phân tích phi tuyến hình học kết hợp với 
phương pháp khớp dẻo thớ trong phân tích phi 
tuyến vật liệu để diễn tả tác động phi tuyến của 
khung dàn thép phẳng khi chịu lực tác dụng. 
2. Cơ sở lý thuyết 
2.1. Giả thuyết phần tử 
Xét phần tử hữu hạn dầm-cột phẳng điển 
hình như ình 
H nh 1. Phần tử dầm-cột điển hình trong mặt phẳng; b) Mô hình vật liệu của thép 
a) b) 
Những giả thiết sau được sử dụng trong 
việc thành lập phần tử hữu hạn dầm-cột: 
(1) Phần tử ban đầu thẳng và có tiết diện 
đều; 
(2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng 
luôn phẳng và vuông góc với trục thanh; 
(3) Không xét đến sự mất ổn định cục bộ 
và mất ổn định ngang; 
(4) Không có tải trọng ngang trong nhịp 
cấu kiện; 
(5) Mô hình vật liệu thép là đàn-dẻo 
tuyệt đối. 
2.2. Phần tử dầm-cột do sự tác động 
của P-δ 
 Để kể đến tác động của sự sai lệch hình 
học do tác dụng của lực dọc trục gây ra. Theo 
W.F.Chen và E.M.Lui (P-E Austrell, O 
Dahlblom, J Lindemann và các tác giả, 2006). 
đã đưa ra được mối quan hệ giữa lực và 
chuyển vị gia tăng theo phương trình sau: 
. .
. .
. .
0 0
0
0
   
   
  
A ii ij A
ij ii
B B
A
P e
I
EI
M s s
L
s s
M


 (1) 
 Trong đó, I,L,A, E là mô men quán 
tính, chiều dài phần tử, diện tích tiết diện, mô 
đun đàn hồi vật liệu; 
.
P ,
.
AM ,
.
BM là lực dọc 
trục gia tăng, mô men gia tăng tại đầu A và B; 
.
e ,
.
A ,
.
B là chuyển vị dọc trục gia tăng, góc 
xoay gia tăng tại hai đầu phần tử A và B; iis ,
ijs hay jis là hàm ổn định cho phần tử dầm-cột 
có dạng: 


y
E
y s


ct
ct
E
ctu
f
cf
"
c
 0c
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 2 (41) 2015 105 
2
2
sin( ) cos( )
0
2 2cos( ) sin( )
cosh( ) sinh( )
0
2 2cosh( ) sinh( )
ii
ifP
s
ifP
 (2) 
2
2
sin( )
0
2 2cos( ) sin( )
sinh( )
0
2 2cosh( ) sinh( )
ij
ifP
s
ifP
 (3) 
 Với 
2
2
P
EI
L
 . 
P: lực dọc trục của phần tử. 
2.3. Phi tuyến vật liệu do tác động của 
ứng suất dư 
Để diễn tả sự suy giảm độ cứng, giá trị 
mô đun đàn hồi E thay thế bằng mô đun tiếp 
tuyến Et theo quá trình lực gia tăng Et xác 
định dựa vào mô đun đàn hồi vật liệu E theo 
phương trình: 
Et = ,0E khi P ≤ 0,5Py (4) 
4 (1 ) 0,5 t y
y y
P P
E E khi P P
P P
(5) 
Với Py là lực chảy dẻo của vật liệu thép. 
2.4. Phi tuyến vật liệu do sự hình thành 
khớp dẻo 
Ma trận độ cứng của phần tử phẳng suy 
biến từ trạng thái đàn hồi thuần túy đến trạng 
thái chảy dẻo hoàn toàn được đề xuất bởi Liew 
và cộng sự vào năm 992 để xem xét quá trình 
chảy dẻo tại hai đầu của phần tử như sau: 
2
2
1 2
1
2
2
2 1
1
(1 )
(1 )
A B A B
A At
B B
A B A B
s
s s
sM E I
M L s
s s
s
   


   
 (6) 
ΔMA, ΔMB là mô men tác dụng gia tăng 
tại hai đầu phần tử A và B ΔθA, ΔθB là góc 
xoay gia tăng tại hai đầu phần tử. 
ηA, ηB là các thông số vô hướng cho 
phép mô phỏng quá trình giảm độ cứng phi 
đàn hồi liên quan đến sự chảy dẻo của mặt cắt 
ngang tại hai đầu phần tử A và B. 
η = 1: mặt cắt ngang tại đầu mút đang 
xét vẫn còn đàn hồi, 
η = 0: mặt cắt ngang tại đầu mút đang 
xét đã chảy dẻo hoàn toàn, 
0< η <1: mặt cắt ngang tại đầu mút đang 
xét đang trong quá trình chảy dẻo. 
Để tính toán sự chảy dẻo một phần, Liew 
et al ( 992) đã đưa ra ba mức chảy dẻo hiệu 
chỉnh như sau: 
Khi 0,5≤α≤ ,0: η=4α( -α) ; (7) 
Khi α<0,5 thì η= ; 
Khi α= thì η=0; 
Hàm chảy dẻo của mặt cắt ngang theo 
AISC-LRFD (2005) cho thép chữ I hoặc chữ 
H khi phần tử thanh dàn chịu kéo mặt chảy 
dẻo có dạng: 
8
( , ) 1 0,2
9
( , ) 1 0,2
2
y
x
y yP y
y
x
y yP y
MP P
p m khi
P M P
MP P
p m khi
P M P
 (8) 
Mặt chảy dẻo trong mặt phẳng của 
Orbison: 
2 2 2 21,15 3,67 y yp m p m (9) 
Với 
y
P
p
P
 ; 
y
z
py
M
m
M
; 
Trong đó, Mpy là mô men cực hạn của 
vật liệu thép. 
Khi phần tử thanh dàn chịu lực nén, thay 
106 KHOA HỌC KỸ THUẬT 
Py = Pcr. Pcr theo tiêu chuẩn AISC-LRFD 
(2005) được xác định theo công thức: 
2
2
exp( 0.419 ), 1.5
0.877
, 1.5
c c
cr
cy
c
P
P
 


 (10) 
2.5. Chuyển đổi hệ trục tọa độ phần tử 
Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ từ địa 
phương sang hệ trục tọa độ tổng thể có dạng 
như sau: 
'
'
x c s x
y s c y
 (11) 
Trong đó, c=cos(ψ), s=sin(ψ); với ψ là 
góc hợp bởi trục tọa độ Oxy với hệ trục tọa độ 
Ox’y’ 
2.6. Phương pháp giải và thuật toán 
H nh 2. Sơ đồ khối phân tích hệ 
3. Kết quả số 
Tác giả khảo sát ba kết cấu khung dàn 
thép phẳng để chứng minh được tính khả thi của 
phương pháp so với những phương pháp phân 
tích khác như sau: Bài toán cột hai đầu khớp 
chịu tải trọng tập trung, bài toán khung dàn thép 
phẳng ba thanh chịu tải tập trung và bài toán 
khung giằng thép phẳng chịu tải tập trung. 
3.1. Bài toán cột hai đầu khớp chịu tải 
trọng tập trung 
Bài toán cột thép có một đầu ngàm, một 
đầu khớp được cho như hình 3 Các thông số 
về vật liệu và hình học được cho như sau: 
Module đàn hồi vật liệu thép 200 E GPa ; 
Ứng suất chảy dẻo 250 y MPa ; Tiết diện cột 
W8×31; 
 H nh 3. Sơ đồ cột h i đầu khớp chịu tải trọng tập trung; 
 b) Biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng-tham số độ mảnh cột h i đầu khớp 
) b) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 2 (41) 2015 107 
Bán kính quán tính cột ry = 51,2 (mm). 
Theo lý thuyết Euler lực tới hạn của cột chịu 
nén đúng tâm được tính như sau: 
2
y
cr
c
P
P

 (12) 
Với 
2
y
c
y
KL
r E


: thông số độ mảnh 
trục yếu, K=1 (cột hai đầu khớp). 
Theo kết quả nghiên cứu của Hội đồng 
Nghiên cứu Cột CRC, Pcr cho cột thép chữ I, 
hai đầu khớp, được tính theo công thức: 
2
2
1 0,25 , 2
, 2 
c c
cr
c c
P
 
 
 (13) 
Từ công thức và kết quả đạt được, tác 
giả có bảng so sánh sau: 
 ản 1. So sánh kết quả phân tích của cột h i đầu khớp chịu tải tập trung 
 CRC
P/Py λc P/Py λc P/Py P/Py λc
0 0 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00
3.500 1.353 0,92 0,45 0,92 1,04 0,95 0,95 0,35 -3,17
7.000 1.168 0,79 0,89 0,79 1,12 0,80 0,80 0,73 -0,80
10.500 813 0,55 1,34 0,55 1,35 0,55 0,55 1,19 0,24
14.000 463 0,31 1,79 0,31 1,78 0,31 0,31 1,67 0,37
17.500 298 0,20 2,23 0,20 2,22 0,20 0,20 2,09 0,88
21.000 205 0,14 2,68 0,14 2,68 0,14 0,14 2,51 0,10
24.500 153 0,10 3,13 0,10 3,10 0,10 0,10 2,93 1,35
28.000 118 0,08 3,57 0,08 3,54 0,08 0,08 3,35 2,00
31.500 93 0,06 4,02 0,06 3,99 0,06 0,06 3,76 1,62
35.000 75 0,05 4,47 0,05 4,43 0,05 0,05 4,18 1,72
L
 (mm)
P
 (kN)
Tác iả Euler LRFD Tỷ lệ s i 
lệch CRC 
(%)
Nhận xét: 
Dựa vào Bảng 1 và biểu đồ so sánh kết 
quả phân tích của tác giả với các kết quả Euler, 
CRC và LRFD, tác giả nhận thấy rằng kết quả 
phân tích đạt được khá gần với đường CRC 
với tỷ lệ sai lệch lớn nhất là 3,17%, khá nhỏ. 
Kết quả của LRFD có kể đến độ sai lệch hình 
học ban đầu nằm dưới kết quả phân tích của 
tác giả là hợp lý. 
Tác giả đã mô phỏng một phần tử cho 
cấu kiện cột hai đầu khớp chịu tải trọng tập 
trung tại đầu cột có xét đến sự thay đổi kích 
thước chiều dài cột và đã có kết quả khá tốt. 
Đây chính là ưu điểm của phương pháp dầm-
cột dùng hàm ổn định để mô phỏng tác động 
phi tuyến hình học. 
3.2. Khung dàn thép phẳng ba thanh chịu 
tải tập trung 
Bài toán khung dàn thép phẳng ba thanh 
chịu tải tập trung được mô tả như ình 4. Các 
thông số về vật liệu và hình học được cho như 
sau: Module đàn hồi vật liệu thép 200 E GPa 
; Ứng suất chảy dẻo 250 y MPa ; Sử dụng 
tiết diện thép W14×82 cho tất cả các thanh; hệ 
số poisson 0,3  ; 
108 KHOA HỌC KỸ THUẬT 
H nh 4. Sơ đồ cột h i đầu khớp chịu tải trọng tập trung 
Bài toán này được Seung-Eock Kim, 
Moon-Ho Park, Se-Hyu Choi (2001) đã phân 
tích sử dụng phương pháp năng lượng. Tác giả 
sử dụng chương trình của mình và đánh số 
phần tử các thanh như trên Hình 4. Kết quả 
phân tích lực tác dụng-chuyển vị được thể hiện 
như hình sau: 
H nh 5. Quan hệ giữa lực tác dụng – chuyển vị điểm A khi P hướng lên 
Hình 6. Quan hệ giữa lực tác dụng – chuyển vị điểm A khi P hướng xuống 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 2 (41) 2015 109 
 ản 2. So sánh tải trọng giới hạn Pu bài toán khung dàn thép phẳng ba thanh 
khi P hướng xuống 
STT Phươn pháp phân tích 
Pu 
(kN) 
S i số (%) 
1 
Phương pháp năng lượng - Seung Eock Kim và các cộng sự (2001) 
đường 
7097 3,43 
2 
Phương pháp năng lượng - Seung Eock Kim và các cộng sự (2001) 
đường 2 
7060 3,93 
3 Tác giả (20 4) 7350 
 ản 3. So sánh tải trọng giới hạn Pu bài toán khung dàn thép phẳng ba thanh 
khi P hướng lên 
STT Phươn pháp phân tích 
Pu 
(kN) 
S i số (% 
1 
Phương pháp năng lượng - Seung Eock Kim và các cộng sự (2001) 
đường 
5768 2,12 
2 
Phương pháp năng lượng - Seung Eock Kim và các cộng sự (2001) 
đường 2 
4273 2,64 
3 Tác giả (20 4) 5810 
Qua xem xét Hình 5 và Hình 6 mô tả 
mối quan hệ giữa lực tác dụng-chuyển vị tại 
điểm A khi P hướng lên và khi P hướng 
xuống, tác giả nhận thấy rằng ứng xử của kết 
cấu khi chịu tải tại điểm A trong cả giai đoạn 
đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo hoàn toàn trùng 
khớp với kết quả phân tích theo phương pháp 
năng lượng của Seung-Eock Kim khi lực P 
hướng xuống với sai số về tải tới hạn là 3,43% 
và 3,93%; và khi lực P hướng lên thì sai số về 
lực tới hạn giữa kết quả tác giả với kết quả 
phân tích theo phương pháp năng lượng của 
Seung-Eock Kim là 2,12% và 2,64%. 
3.3. Khung giằng thép phẳng chịu tải tập 
trung 
Bài toán khung giằng thép phẳng có liên 
kết hai đầu khớp cố định ở gối tựa và chịu tải 
tập trung ngang tại nút được mô tả như ình 4. 
Các thông số về vật liệu và hình học được cho 
như sau: Module đàn hồi vật liệu thép 
200 E GPa ; Ứng suất chảy dẻo 250 y MPa ; 
Sử dụng tiết diện thép W14×82 cho tất cả các 
thanh; hệ số poisson 0,3  ; 
H nh 7. a) Sơ đồ khung giằng thép phẳng; 
b) Quan hệ giữa lực tác dụng – chuyển vị điểm A. 
a) b) 
110 KHOA HỌC KỸ THUẬT 
Bài toán này được Seung-Eock Kim, 
Moon-Ho Park, Se-Hyu Choi (2001) đã phân 
tích sử dụng phương pháp năng lượng. Tác giả 
sử dụng chương trình của mình và đánh số 
phần tử các thanh như trên Hình 7. Kết quả 
phân tích lực tác dụng tới hạn của tác giả so 
với Seung Eock Kim như sau: 
 ản 4. So sánh tải trọng giới hạn Pu bài toán khung giằng thép phẳng 
STT Phươn pháp phân tích 
Pu 
(kN) 
S i số (% 
1 Phương pháp năng lượng - Seung Eock Kim và các cộng sự (2001) 6078 1,34 
2 Tác giả (20 4) 6160 
Nhận xét: 
Qua xem xét Hình 4 mô tả mối quan hệ 
giữa lực tác dụng-chuyển vị, tác giả nhận thấy 
rằng ứng xử của kết cấu khi chịu tải tại điểm A 
trong cả giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy 
dẻo hoàn toàn trùng khớp với kết quả phân 
tích theo phương pháp năng lượng của Seung-
Eock Kim với sai số về tải tới hạn là 1,34%. 
4. Kết luận 
Từ các kết quả của bài báo, các kết luận 
được thể hiện như sau: 
Sử dụng phương pháp phân tích nâng 
cao đã phân tích được những ứng xử của hệ 
kết cấu khung dàn khi có lực tác dụng mà 
không cần phải sử dụng hệ số uốn dọc và kể 
đến sự không tường minh thông qua việc kiểm 
tra độ mảnh, tải tới hạn Euler cho từng trường 
hợp thanh. Và tất cả những việc kiểm tra này 
đã được kể đến trong phương pháp phân tích 
nâng cao sử dụng phương pháp dầm-cột, và 
đây cũng là điểm thuận lợi lớn nhất cho người 
thiết kế, đã có thể nhìn thấy được khả năng 
chịu tải cực hạn cũng như chuyển vị của toàn 
bộ hệ khi kết cấu đạt đến tải tới hạn. 
Sử dụng phương pháp dầm-cột để diễn tả 
tác động phi tuyến hình học cho kết quả gần 
giống với những phương pháp phân tích phi 
tuyến khác Nhưng việc sử dụng phương pháp 
dầm-cột giúp cho việc chia nhỏ số phần tử ít 
hơn, ít tốn bộ nhớ phân tích, giảm thiểu được 
thời gian phân tích bài toán. 
Đối với bài toán cột, kết quả sử dụng 
phương pháp của tác giả so với phương pháp 
ASD và AISC-LRFD sai khác khá nhỏ. Vì vậy, 
khi sử dụng phương pháp dầm-cột dùng hàm 
ổn định của tác giả có thể chấp nhận được. 
Sử dụng phương dầm-cột dùng hàm ổn 
định đã phân tích được những ứng xử của hệ 
và xác định được tải tới hạn của toàn bộ hệ kết 
cấu khi chịu lực tác dụng gia tăng Và đây 
cũng là điểm (quan trọng) nổi bậc của phương 
pháp này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Chu Quốc Thắng ( 997) Phương pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản Khoa học và Đại học 
Kỹ thuật. 
W.F. Chen, E.M. Lui. (1987). Structural Stability – Theory and Implementation, Elsevier. 
P-E Austrell, O Dahlblom, J Lindemann và các tác giả. (2006). Calfem – A finite Element Toolbox 
(version 3.4). The Division of Structural Mechanics. 
Cuong Ngo-Huu, Seung-Eock Kim, Jung-Ryul Oh. (2006). Nonlinear analysis of space steel 
frames using fiber plastic hinge concept. ScienceDirect. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 2 (41) 2015 111 
McGuire and H.Gallagher, D. Ziemian. (2000). Matrix Structural Analysis. John Wiley & Sons, 
Inc. 
Seung-Eock Kim, Moon-Ho Park, Se-Hyu Choi. Direct design of three-dimensional drames using 
prctical advanced analysis. Journal of Constructional Steel Research 57 (2001) 907-923. 
Cho Suk Han. (2006). Second-order analysis and desin of Angle Trusses and Frames. Thesis. 
P-E Austrell, O Dahlblom, J Lindemann và các tác giả. (2006). Calfem – A finite Element 
Toolbox (version 3.4). The Division of Structural Mechanics.