Phân tích ổn định của tấm FMG sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ 2 (35) 201482
TỔNG QUAN
Năm 1984, một nhóm nhà khoa học 
Nhật Bản [1] đã tìm ra một mô hình vật 
liệu mới với những thuộc tính vượt trội so 
với các vật liệu trước đây và được gọi là 
vật liệu biến đổi chức năng (functionally 
graded material - FGM). Mặt trên FGM 
thường được làm từ gốm và mặt dưới là 
kim loại. Gốm cách nhiệt rất tốt và chịu 
được nhiệt độ cao, trong khi đó kim loại 
chịu được tác động cơ học khá tốt. Vì vậy 
FGM có thể làm việc trong môi trường 
nhiệt độ cao và rất phù hợp cho các cấu 
trúc trong hàng không vũ trụ, nhà máy điện 
hạt nhân hay công nghiệp bán dẫn, v.v. 
Với những thuộc tính ưu việt của 
FGM trong nhiều ứng dụng thực tiễn, 
FGM đã được các nhà khoa học trên thế 
giới quan tâm và nghiên cứu bằng nhiều 
phương pháp khác nhau. Huang và Shen 
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA TẤM FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT 
BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO
Ngô Phát Đạt 1
Ngô Thành Phong 2 
Trần Trung Dũng 3 
TÓM TẮT
Trong bài báo này, phương pháp phần tử hữu hạn được tích hợp với lý thuyến biến 
dạng cắt bậc cao loại C0 để phân tích ổn định cơ và nhiệt của tấm vật liệu biến đổi chức 
năng (tấm FGM). Trong tấm FGM, thuộc tính vật liệu được giả định phân bố khác nhau 
dọc theo chiều dày bởi một luật phân phối đơn giản các thành phần thể tích. Ổn định 
của tấm FGM chịu tác động của tải cơ và nhiệt sẽ được phân tích số chi tiết. Độ chính 
xác và tin cậy của phương pháp hiện tại được kiểm chứng bằng cách so sánh với kết quả 
của những lời giải khác đã công bố trước đây. 
Từ khóa: Tấm FGM, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT), phân tích ổn định.
ABSTRACT
In this paper, the finite element method is intergated with the C0-type higher-order 
shear deformation theory (HSDT) for mechanical and thermal buckling analyses of 
functionally graded material plates (FGM). In the FGM, the material properties are 
assumed to vary through the thickness by a simple power rule of the volume fractions of 
the constituents. The buckling behavior of FGM plates under mechanical and thermal 
loads is numerically analyzed in detail. The accuracy and reliability of the present 
method is verified by comparing with those of other published solutions in the literature.
Keywords: 
Ngày nhận bài:01/12/2013
Ngày nhận lại:18/02/2014
Ngày duyệt đăng:10/03/2014
1 Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp.HCM.
2 Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp.HCM.
3 Trường Đại học Mở Tp.HCM.
KHOA HỌC KỸ THUẬT 83
[2] đã nghiên cứu đáp ứng dao động phi 
tuyến cuả tấm FGM trong môi trường 
nhiệt. Yang và Shen [3] đã phân tích dao 
động tự do tấm FGM trong môi trường 
nhiệt. Najafizadeh [4] đã phân tích ổn định 
tấm tròn FGM dựa trên lý thuyết biến dạng 
cắt bậc cao. Vel và Batra [5] đã sử dụng lời 
giải 3D để phân tích đáp ứng lực của tấm 
FGM bằng nhiều lý thuyết tấm khác nhau. 
Matsunaga [6,7] đã sử dụng lý thuyết bậc 
cao và mô hình 2D để phân tích dao động 
tự do và ổn định của tấm FGM. Thêm 
vào đó, một số phương pháp phần tử hữu 
hạn [8-26] hoặc phương pháp không lưới 
(meshfree methods) [27-29] cũng đã được 
nghiên cứu để giải cho tấm và tấm FGM. 
Tuy nhiên phần lớn các nghiên cứu 
trên đều sử dụng lý thuyết biến dạng cắt 
bậc cao liên tục C1 (xấp xỉ phần tử hữu 
hạn bậc cao). Bên cạnh đó, hầu hết các 
lý thuyết tấm đều bắt buộc phần tử liên 
tục C1 vì phương trình vi phân của tấm là 
phương trình vi phân bậc bốn. Vì vậy, việc 
chia lưới và xấp xỉ trường chuyển vị sẽ khá 
phức tạp, đòi hỏi chi phí tính toán khá cao. 
Để khắc phục vấn đề trên, lý thuyết biến 
dạng cắt bậc cao loại C0 (C0-HSDT) [30, 
28] đã được đề xuất. Tuy nhiên, phần tử 
tam giác tuyến tính kết hợp C0-HSDT cho 
phân tích ổn định cơ nhiệt của tấm FGM 
vẫn còn hạn chế. 
Trong bài báo này, chúng tôi đã áp 
dụng phương pháp trên (phần tử tam giác 
ba nút kết hợp lý thuyết biến dạng cắt bậc 
cao loại C0) để phân tích lớp bài toán về ổn 
định cơ nhiệt của tấm FGM. Ảnh hưởng 
của tải cơ và tải nhiệt đến độ ổn định của 
tấm FGM sẽ được khảo sát số chi tiết và so 
sánh với kết quả của các phương pháp khác 
đã được công bố trước đây để đánh giá độ 
chính xác và tin cậy của phương pháp. Các 
thuộc tính vật liệu dọc theo chiều dày tấm 
sẽ phụ thuộc vào luật phân phối tỉ lệ thể 
tích của các thành phần cấu tạo nên tấm FGM. 
2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG YẾU 
VÀ CÔNG THỨC PHÂN TỬ HỮU HẠN
2.1. Vật liệu FGM
Vật liệu FGM thường được hình 
thành từ hai hay nhiều loại vật liệu khác 
nhau và được phân bố dọc theo chiều dày 
của tấm theo một tỉ lệ nhất định như thể 
hiện trong Hình 1a. Thuộc tính vật liệu 
FGM sẽ phụ thuộc vào tỉ lệ phân phối giữa 
các vật liệu và được cho bởi công thức sau [31]
( ) ( )12( ) ; ( 0)c m c m
nz
c tP z P P V P V n= − + = + ≥ 
(1)
trong đó m và c là ký hiệu cho kim loại 
(metal) và gốm (ceramic); P là thuộc tính 
vật liệu bao gồm mô đun đàn hồi Young 
E, khối lượng riêng ρ, hệ số Poisson ν, hệ 
số dẫn nhiệt k và hệ số giãn nở nhiệt α; 
P
c
 và P
m
 là ký hiệu thuộc tính của gốm 
và kim loại; V
c
 là tỉ lệ thể tích của gốm; z 
là tọa độ dọc theo chiều dày của tấm và 
nằm trong khoảng từ -t/2 đến t/2; n là hệ 
số tỉ lệ thể tích. Hệ số tỉ lệ thể tích phân 
bố dọc theo chiều dày được thể hiện trong 
Hình 1b.
Hình 1. (a) Vật liệu FGM; (b) Tỉ lệ thể tích V
c
 dọc theo chiều dày tấm
(a) (b)
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ 2 (35) 201484
Khi n = 0, tấm sẽ hoàn toàn làm bằng 
gốm và khi n → ∞ , tấm sẽ hoàn toàn là vật 
liệu kim loại. 
2.2. Phương trình dạng yếu và công 
thức phần tử hữu hạn cho tấm FGM
Trong lý thuyết tấm, phương trình vi 
phân của tấm là phương trình vi phân bậc 
bốn. Do vậy để xấp xỉ trường chuyển vị 
của tấm đòi hỏi phải xấp xỉ phần tử bậc 
cao (liên tục C1). Như thế rất khó khi áp 
dụng phần tử hữu hạn thông thường để 
xấp xỉ trường chuyển vị của tấm vì phần 
tử hữu hạn thông thường chỉ liên tục C0. 
Để khắc phục khó khăn này giáo sư Reddy 
[30,31] đã xây dựng mô hình liên tục C0 
cho phần tử tấm và trường chuyển vị của 
tấm sẽ được định nghĩa theo công thức sau
3 3 3 3
0 0 02 2 2 2
4 4 4 4; ;
3 3 3 3x x y y
z z z z
u u z v v z w w 
t t t t
β φ β φ
   
= + − − = + − − =   
   
(2)
trong đó t là chiều dày tấm, { }0 0 0 
T
u v=u và 0w là chuyển vị màng và độ võng tại mặt 
phẳng trung hòa; và { } Tx yβ β=β là góc xoay xung quanh trục y và x. 
Trong phương trình (2) giáo sư Reddy đã cộng thêm hai biến góc xoay { } Tx yφ φ=φ
để chuyển vector chuyển vị có 5 bậc tự do tại nút cho phần tử liên tục C1 thành vector 
chuyển vị có 7 bậc tự do mỗi nút cho phần tử liên tục C0 phù hợp với lý thuyết phần tử 
hữu hạn 0 0 0[ ]
T
x y x yu v w β β φ φ=u .
Biến dạng trong mặt phẳng cho tấm Mindlin cho bởi công thức sau 
3
0 1 2[ ]
T
xx yy xy z zε ε γ + ê= ε κ +
(3)
trong đó biến dạng màng được tính bởi
{ }0 0 0 0 s0 0u v u vx y y x∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + = ∇ uε (4)
và biến dạng uốn được tính theo công thức sau 
{ } ( ) ( ){ }1 21 ( ) ( ) ( )2 6
T T Tλ∇ + ∇ ∇ + ∇ + ∇ + ∇κ = β β ; κ = φ φ β β với 
2
4
t
λ = −
(5)
và biến dạng cắt được tính bởi 
( )2 ;Txz yz s s s sz w cγ γ  +  ∇ + = +å ê å ê= = β ; β φ 
(6)
với [ / / ]Tx y∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ là toán tử đạo hàm.
Quan hệ ứng suất và biến dạng từ định luật Hook
( )
( ) ( ) ( )
3 2
1 22
1 ( )
2
0
1 ( ) 0
10( ) ( )
( ) 1 0 ;
012 1 ( )1 ( )
0 0
s s
z
z
E z E z
z z
zz
z z
ν
ν
ν
νν
−
 
   
   
   
  
= + = +
+−
+ó ô å êå κ κ
(7)
KHOA HỌC KỸ THUẬT 85
với E(z) là mô đun đàn hồi Young; ν(z) là hệ số Poisson phụ thuộc luật phân phối 
cho bởi phương trình (1). 
Phương trình dạng yếu cho phân tích ổn định tấm FGM được cho bởi
0 0* *
0 0 0
0 0
3 3
0 0
0 0
ˆ 0
ˆd d d d
ˆ0
ˆ ˆ0 0
d d 0
ˆ ˆ0 012 12
S
T T T T T
p p
x xT T T T
x y x y
y y
u
t w w t u v
v
t t
δ δ δ δ δ
β φ
δβ δβ δφ δφ
β φ
Ω Ω Ω Ω
Ω Ω
∇   
 Ω + Ω + ∇ ∇ Ω + ∇ ∇ Ω     ∇   
∇ ∇      
   + ∇ ∇ Ω + ∇ ∇ Ω =         ∇ ∇      
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
ó
D Dó
ó
ó ó
ó ó
ε ε γ γ
(8)
với pε , ã có dạng 
{ } { }0 1 2 ,
T T
p s sê ê ã êε = ε = ε (9)
và ma trận hằng số vật liệu ∗D và S
∗D được cho bởi
[ ] , [ ]s s s sS
∗ ∗ =D = A B E; B D F; E F H D A B ; B D (10)
trong đó
( ) ( )
( ) ( )
/2 2 3 4 6
/2
/2 2 4
/2
, , , , , 1, , , , , d , 1,2,6
, , 1, , d , 4,5
h
ij ij ij ij ij ij ijh
hs s s
ij ij ij ijh
z z z z z Q z i j
z z Q z i j
−
−
= =
= =
∫
∫
A B D E F H
A B D
(11)
và 
0 0
0 0 0
ˆ x xy
xy y
σ τ
τ σ
 
=  
  
ó (12)
Dưới tác động của tải cơ, các ứng suất có dạng
0 00
0 0 0; ;y xyxx y xy
N NN
t t t
σ σ τ= = = (13)
Dưới tác động của tải nhiệt thì
/20 0 0
/2
( )
( ) d ; 0
1 ( )
t
x y xyt
E z
N N k z T z N
zν−
= = ∆ =
−∫ (14)
trong đó, k(z) là hệ số dẫn nhiệt của tấm.
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, miền bài toán Ω sẽ được rời rạc thành eN 
phần tử sao cho 
1
eN
e
e=
Ω = Ω và i jΩ ∩ Ω ≠ ∅ , i j≠ . Trường chuyển vị cho tấm FGM được 
cho bởi 0 0 0[ ]
h T
x y x yu v w β β φ φ=u và được xấp xỉ theo công thức sau
1
diag( , , , , , , )
nN
h
i i i i i i i i
i
N N N N N N N
=
= =∑u d Nd (15)
với nN là tổng số nút trong miền bài toán được rời rạc; iN là hàm dạng tuyến 
tính của phần tử tam giác ba nút tại nút thứ i; [ ]Ti i i i xi yi xi yiu v w β β φ φ=d là 
vector chuyển vị tại nút ith. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ 2 (35) 201486
Thế phương trình (15) vào (3), (6), biến dạng trong công thức (9) có thể ðýợc viết 
lại nhý sau
*
1
nNTh
p i i
i=
 = =  ∑å å ã B d (16)
với *Bi là ma trận biến dạng chuyển vị được cho bởi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 1* T T T TT sb b smi i i i i i =   B B B B B B (17)
trong đó
1
, ,
, ,
, , , ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
i x i x
bm
i i y i i y
i y i x i y i x
N N
N N
N N N N
   
   = =   
      
B , B
0 1
,
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
i x i i is s
i i
i y i i i
N N N N
c
N N N N
   
= =   
  
B B
2
, ,
, ,
, , , ,
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3
0 0 0
i x i x
b
i i y i y
i y i x i y i x
N N
c N N
N N N N
 
 =  
  
B
(18)
với ,i xN và ,i yN là các đạo hàm của hàm dạng theo hướng x và y.
Phương trình rời rạc cho phân tích ổn định của tấm FGM có dạng
( cr gλ =K - K )d 0 (19)
trong đó crλ là tải tới hạn cơ hoặc nhiệt của tấm và gK là ma trận độ cứng hình học 
được tính bởi 
dTg g gΩ= Ω∫K B mB (20)
với m được cho bởi 
3
3
3
3
0
0
0
012
012
012
012
ˆ 0 0 0 0 0 0
ˆ 0 0 0 0 0
ˆ 0 0 0 0
ˆ 0 0 0
ˆ 0 0
ˆ 0
ˆ
t
t
t
t
t
t
t
sym
 
 
 
 
 =  
 
 
 
  
ó
ó
ó
óm
ó
ó
ó
(21)
và K là ma trận độ cứng toàn cục được lắp ghép từ các ma trận độ cứng phần tử K e có 
dạng sau
( )* *
1 1
d d
e e
e e
e
N N
T T
e i j i s j
e e
Ω Ω
= =
= = Ω + Ω∑ ∑ ∫ ∫
K
K K B D B S D S
 (22)
KHOA HỌC KỸ THUẬT 87
VÍ DỤ SỐ
Trong phần này, chúng tôi khảo sát 
độ chính xác và tính hiệu quả của phương 
pháp hiện tại cho phân tích ổn định tấm 
FGM. Tấm có điều kiện biên gối tựa 
(simply supported – S) và ngàm (clamped 
- C). Ký hiệu CCCC và SSSS là điều kiện 
ngàm và gối tựa dọc theo 4 cạnh của tấm 
chữ nhật. 
3.1. Ổn định cơ 
Chúng tôi xét tấm vuông Al/ZrO
2
-2 
có chiều dài mỗi cạnh L = 0.2, chiều dày 
t = 0.01 chịu một tải nén trong mặt phẳng 
Oxy. Hình 2 thể hiện tải tới hạn của tấm 
FGM với điều kiện biên CCCC và SSSS. 
Kết quả cho thấy rằng, nghiệm của phương 
pháp đề xuất rất trùng khớp với nghiệm kp-
Ritz [28] (sử dụng phương pháp Meshfree, 
xấp xỉ trường chuyển vị bậc cao) cho các 
giá trị phân phối thể tích n = 0, 0.2, 0.5, 1, 
2, 5. Ngoài ra, chúng ta có thể thấy rằng, 
tải tới hạn sẽ giảm khi tỉ lệ thể tích n tăng 
lên bởi vì khi n tăng thì độ cứng của tấm 
sẽ giảm. Ngoài ra, bốn dạng dao động ổn 
định đầu tiên của tấm cũng được thể hiện 
ở Hình 3.
trong đó Bi và Si được xác định bởi
( ) ( ) ( )1 2T TT b bmi i i i =   B B B B (23)
( ) ( )0 1T Ts si i i =   S B B (24)
Hình 2. Tải tới hạn ổn định cuả tấm vuông.
(a) Dạng dao động thứ 1 (b) Dạng dao động thứ 2
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ 2 (35) 201488
Hình 3. Bốn dạng dao động ổn định đầu tiên của tấm FGM. 
(a) Dạng 1 (b) Dạng 2
(c) Dạng 3 (d) Dạng 4
3.2. Ổn định nhiệt 
Trong ví dụ này, chúng tôi xét một 
tấm hình vuông Al/Al
2
O
3
 với tỉ lệ L/t = 10 
chịu tác động bởi nhiệt độ phân bố đều dọc 
theo chiều dày của tấm. Hình 4 thể hiện 
nhiệt độ tới hạn của tấm FGM ứng với n = 
0, 1, 5. Từ kết quả ta thấy rằng nghiệm của 
phương pháp hiện tại rất trùng khớp với 
nghiệm dựa trên lý thuyết biến dạng cắt 
bậc nhất (FSDT) và lý thuyết cổ điển được 
nghiên cứu bởi Lanhe [32] (trường chuyển 
vị được xấp xỉ liên tục C1)
Hình 4. Nhiệt độ tới hạn của tấm FGM
KHOA HỌC KỸ THUẬT 89
4. KẾT LUẬN
Bài báo thể hiện một tiếp cận số đơn 
giản và hiệu quả, dựa trên sự kết hợp giữa 
phần tử tam giác ba nút và lý thuyết biến 
dạng cắt bậc cao loại C0 để phân tích ổn 
định cơ nhiệt của tấm FGM. Thuộc tính 
vật liệu FGM phụ thuộc vào tỉ lệ các thành 
phần thể tích của gốm và kim loại và tuân 
theo luật phân bố hàm số mũ. Ảnh hưởng 
số mũ của hàm phân bố, tác động của tải 
cơ và tải nhiệt đến độ ổn định của tấm 
FGM đã được khảo sát và so sánh với kết 
quả các phương pháp khác đã được nghiên 
cứu trước đây. Các kết quả đạt được cho 
thấy độ tin cậy cao của phương pháp hiện 
tại đối với lớp bài toán này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Koizumi M. FGM activities in Japan. Composites, 28 (1997) 1–4.
2. Huang XL, Shen SH 2004, ‘Nonlinear vibration and dynamic response of 
functionally graded plates in thermal environments’. International Journal of 
Solids and Structures, 41, pp. 2403–2427. 
3. Yang J, Shen HS 2002, ‘Vibration characteristics and transient response of 
shear-deformable functionally graded plates in thermal environments’, Journal 
of Sound and Vibration, 255, pp. 579–602. 
4. Najafizadeh MM and Heydari HR 2004. ‘Thermal buckling of functionally 
graded circular plates based on higher order shear deformation plate theory’, 
European Journal of Mechanics - A/Solids, 23, pp.1085–1100. 
5. Vel SS, Batra RC 2004, ‘Three-dimensional exact solutions for the vibration 
of functionally graded rectangular plate’, Journal of Sound and Vibration, 272, 
pp.703–730.
6. Matsunaga H. Free vibration and stability of functionally graded plates 
according to a 2-D higher-order deformation theory. Composite Structures, 82 
(2008) 499–512.
7. Matsunaga H. Thermal buckling of functionally graded plates according to a 
2D higher-order deformation theory. Composite Structures, 90 (2009) 76–86. 
8. Croce LD, Venini P. Finite elements for functionally graded Reissner–Mindlin 
plates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193 (2007) 
705–725. 
9. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C 2012, A cell-
based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static 
and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates’, International Journal 
for Numerical Methods in Engineering, 91(7), pp. 705-741.
10. Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Ngo-Thanh P. 
Static, free vibration and buckling analyses of stiffened plates by CS-FEM-
DSG3 using triangular elements. Computers & Structures, 125 (2013) 100-113.
11. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Thai-Hoang C, Nguyen-Xuan H 2013, ‘A 
cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) using triangular 
elements for static and free vibration analyses of shell structures’, International 
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM - SỐ 2 (35) 201490
Journal of Mechanical Sciences, 74, pp. 32-45.
12. Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Le-Dinh T, Nguyen-Xuan H. Static and free 
vibration analyses and dynamic control of composite plates integrated with 
piezoelectric sensors and actuators by the cell-based smoothed discrete shear 
gap method (CS-FEM-DSG3). Smart Materials and Structures, 22 (2013) 
095026.
13. Nguyen-Thoi T, Bui-Xuan T, Phung-Van P, Nguyen-Hoang S, Nguyen-Xuan 
H 2013, ‘An edge-based smoothed three-node Mindlin plate element (ES-
MIN3) for static and free vibration analyses of plates’, KSCE Journal of Civil 
Engineering, (2013) at press.
14. Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Tran V. Loc, Nguyen-Xuan H 2013, ‘A cell-
based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) based on the 
C0-type higher-order shear deformation theory for static and free vibration 
analyses of functionally graded plates’, Computational Materials Science, 79, 
pp. 857-872.
15. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C 2013, 
‘Free and forced vibration analysis using the n-sided polygonal cell-based 
smoothed finite element method (nCS-FEM)’, International Journal of 
Computational Methods, 10(1) (2013) 1340008.
16. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Rabczuk T, Nguyen-Xuan H, Le-Van C. An 
application of the ES-FEM in solid domain for dynamic analysis of 2D fluid-
solid interaction problems. International Journal of Computational Methods, 
10(1) (2013) 1340003.
17. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Ho-Huu V, Le-Anh L 2014, ‘An edge-based 
smoothed finite element method (ES-FEM) for dynamic analysis of 2D fluid-
solid interaction problems’, KSCE Journal of Civil Engineering, (2014) at 
press.
18. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Nguyen-Hoang S, Lieu-Xuan Q 2014, ‘A 
smoothed coupled NS/nES-FEM for dynamic analysis of 2D fluid-solid 
interaction problems’, Applied Mathematics and Computation, 232, pp. 324-
346.
19. Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Luong-Van H, Lieu-Xuan Q 2014, ‘Geometrically 
nonlinear analysis of functionally graded plates using a cell-based smoothed 
three-node plate element (CS-MIN3) based on the C0-HSDT’, Computer 
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 270, pp.15-36.
20. Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Dang-Trung H, Nguyen-Minh N. A cell-based 
smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) using layerwise theory 
based on the C0-type higher-order shear deformation for static and free 
vibration analyses of sandwich and composite plates. Composite Structures, 
(2014), DOI: 10.1016/j.compstruct.2014.01.038.
21. Phung-Van P, Nguyen-Thoi T, Luong-Van H, Thai-Hoang C, Nguyen-Xuan 
H 2014, ‘A cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-FEM-DSG3) 
using layerwise deformation theory for dynamic response of composite plates 
resting on viscoelastic foundation’, Computer Methods in Applied Mechanics 
KHOA HỌC KỸ THUẬT 91
and Engineering, 271, pp. 138-159
22. Phung-Van P, Thai H. Chien, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Xuan H. Static and 
free vibration analyses of composite and sandwich plates by an edge-based 
smoothed discrete shear gap method (ES-DSG3) using triangular elements 
based on layerwise theory. Composites part B Engineering, 60 (2014) 227-238.
23. Nguyen-Thoi T, Luong-Van H, Phung-Van P, Rabczuk T, Tran-Trung D 2013, 
‘Dynamic responses of composite plates on the Pasternak foundation subjected 
to a moving mass by a cell-based smoothed discrete shear gap (CS-FEM-DSG3) 
method’, International Journal of Composite Materials, 3(6A), pp.19-27.
24. Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Luong-Van H, Nguyen-Van H, Nguyen-Xuan H 
2013, ‘A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-MIN3) 
for static and free vibration analyses of plates’, Computational Mechanics, 
50(1), pp. 65-81.
25. Luong-Van H, Nguyen-Thoi T, Liu GR, Phung-Van P. A cell-based 
smoothedfinite element method using three-node shear-locking free Mindlin 
plate element (CS-FEM-MIN3) for dynamic response of laminated composite 
plates on viscoelastic foundation. Engineering Analysis with Boundary 
Elements, (2013) DOI:10.1016/j.enganabound.2013.11.008.
26. Zhen W, Wanji C 2006, ‘A higher-order theory and refined three-node triangular 
element for functionally graded plates’, European Journal of Mechanics A/
Solids, 25, pp. 447–63.
27. Zhao X, Liew KM. Geometrically nonlinear analysis of functionally graded 
plates using the element-free kp-Ritz method. Computer Methods in Applied 
Mechanics and Engineering, 198 (2009) 2796–811. 
28. Zhao X, Lee YY, Liew KM. Mechanical and thermal buckling an analysis of 
functionally graded plates. Composite Structures, 20 (2009) 161–171. 
29. Liew KM, Zhao X, Ferreira AJM. A review of meshless methods for laminated 
and functionally graded plates and shells. Composite Structures, 93 (2011) 
2031–2041.
30. Shankara CA, Iyegar NGR 1996, ‘A C0 element for the free vibration analysis 
of laminated composite plates’, Journal of Sound and Vibration, 191, pp.721–
738.
31. Reddy JN 2000, ‘Analysis of functionally graded plates’, International Journal 
for Numerical Methods in Engineering, 47 (2000) 663–684.
32. Lanhe W. Thermal buckling of a simply supported moderately thick rectangular 
FGM plate. Composite Structures 64 (2006) 211–218.