Phân loại lớp các MD-đại số năm chiều với ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều

 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
3 
PHÂN LOẠI LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ NĂM CHIỀU 
VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN BỐN CHIỀU 
Lê Anh Vũ* 
1. Lịch sử vấn đề 
1.1 MD-đại số là gì ? Tại sao cần nghiên cứu lớp MD-đại số ? 
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán mô tả cấu 
trúc các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử. 
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark [3] đưa ra khái niệm C*-đại số. Các 
C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học cũng như trong 
Vật lí, Cơ học. Tuy nhiên, chính vấn đề mô tả cấu trúc C*-đại số trong trường 
hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là bài toán mở. 
Năm 1974, Đỗ Ngọc Diệp [2] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều của 
Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số 
C*(Aff  ) của nhóm các phép biến đổi Affine trên đường thẳng thực  . Bởi thế 
phương pháp mô tả cấu trúc C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF còn gọi là 
phương pháp của Đỗ Ngọc Diệp (Diep’s method). Năm 1975, J. Rosenberg [7] 
đã sử dụng phương pháp này để mô tả C*-đại số C*(Aff  ) của nhóm các phép 
biến đổi Affine trên đường thẳng phức  và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải 
được khác. Năm 1977, Đỗ Ngọc Diệp [2] đã cải tiến phương pháp của mình để 
đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng. Đến lúc này, các 
K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc mô tả C*-đại số của các 
nhóm Lie khác cũng như các C*-đại số khác nữa. Một cách tự nhiên nảy sinh hai 
vấn đề lớn. 
 Vấn đề 1 : Tổng quát hoá các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có 
thể mô tả được một lớp rộng hơn các C*-đại số. 
* PGS.TS, Khoa Toán – Tin học Trường ĐHSP Tp.HCM 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
4 
 Vấn đề 2 : Đi tìm lớp các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại 
số của chúng có khả năng mô tả được bằng các K-hàm tử mở rộng. 
Năm 1980, G. G. Kasparov [4] đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành 
công trong việc tổng quát hoá các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán 
tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Ngay sau đó, 
Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử của mình để mô tả C*-đại số C*(H3) của 
nhóm Heisenberg H3. 
Vấn đề thứ hai có liên quan mật thiết với một phương pháp nổi tiếng và 
đóng vai trò then chốt trong lí thuyết biểu diễn nhóm Lie – đó là phương pháp 
quĩ đạo do Kirillov khởi xướng vào năm 1962. Năm 1980, chính phương pháp 
quĩ đạo của Kirillov đã gợi ý để Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp các MD-đại số và 
MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quĩ đạo nên 
nói chung C*-đại số của chúng có thể mô tả được nhờ các KK-hàm tử. 
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số tự nhiên 
dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quĩ đạo của nó hoặc là không 
chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi k = n 
thì G còn được gọi là một MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm 
(tương ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số). 
Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là 
phân loại các MD-đại số đồng thời mô tả C*-đại số của các MD-nhóm bằng 
phương pháp KK-hàm tử. 
Năm 1984, Hồ Hữu Việt [8] đã phân loại triệt để các MD -đại số. Lớp này 
chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n , đại số Lie(Aff  ) và đại số Lie(Aff ). 
Ngay sau đó, Hồ Hữu Việt đã dùng phương pháp KK-hàm tử để mô tả C*(Aff ) 
của Aff , ở đó Aff là phủ phổ dụng của nhóm Aff . Như vậy, cùng với các 
kết quả có trước của Đỗ Ngọc Diệp và Rosenberg, bài toán đối với các MD -đại 
số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để. 
Thế còn các MD-đại số và MD-nhóm thì sao ? Đáng tiếc là đối với chúng, 
vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Chú ý rằng mọi nhóm (tương ứng đại số) Lie 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
5 
thực giải được không quá 3 chiều đều là MD-nhóm (tương ứng MD-đại số), hơn 
nữa chúng đã được liệt kê hết từ lâu trong lí thuyết đại số Lie. Bởi vậy, chúng ta 
chỉ cần bắt đầu từ các MDn-đại số và MDn-nhóm với n 4. 
Ngoài ra, chúng ta quan tâm nghiên cứu các MD-nhóm và MD-đại số còn 
do sự kiện quan trọng sau đây : đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quĩ đạo chiều 
cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes [1]. Các 
phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét. Phân 
lá là khái niệm xuất xứ từ lí thuyết các phương trình vi phân nhưng kể từ công 
trình của G. Reeb [6] năm 1952, lí thuyết các phân lá đã trở thành một nhánh 
thuộc lĩnh vực Tô pô – Hình học và nhanh chóng phát triển. Năm 1982, nghiên 
cứu các đa tạp phân lá, A. Connes [1] đưa ra khái niệm phân lá đo được và gắn 
mỗi phân lá đo được với một C*-đại số mà được gọi là C*-đại số của phân lá đó. 
Lập tức nẩy sinh câu hỏi là liệu các C*-đại số phân lá có thích hợp với phương 
pháp KK-hàm tử hay không ? Câu trả lời là khẳng định. Năm 1985, A. M. Torpe 
[9] đã dùng các KK-hàm tử để mô tả thành công C*-đại số của các phân lá Reeb 
trên xuyến 2 chiều. Đến đây, lại xuất hiện thêm bài toán mô tả C*-đại số của các 
MD-phân lá. 
Đó chính là các lí do cơ bản để chúng ta quan tâm nghiên cứu lớp các MD-
đại số và MD-nhóm. 
1.2 Các kết quả trước đây liên quan trực tiếp đến bài báo 
 Giải quyết triệt để lớp MD4. Cụ thể là phân loại tất cả các MD4-đại số, 
mô tả hình học K-biểu diễn của các MD4-nhóm liên thông bất khả phân, 
phân loại tô pô tất cả các MD4-phân lá đồng thời mô tả tất cả các C*-đại 
số của các MD4-phân lá bằng phương pháp KK-hàm tử ([10], [11], [12]). 
 Phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán chiều không 
quá 3, mô tả hình học K-biểu diễn của các MD5-nhóm liên thông bất 
khả phân tương ứng và xét các MD5-phân lá tương ứng với các MD5-
nhóm đã xét ([13], [14], [15], [16]). 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
6 
1.3 Tóm tắt kết quả chính của bài báo 
Bài báo sẽ cho một phân loại (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) tất cả các 
MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều. 
Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính, chúng ta sẽ nhắc lại một 
số khái niệm có liên quan để bạn đọc tiện theo dõi. 
2. Nhắc lại vài khái niệm và tính chất cơ bản 
2.1 Biểu diễn phụ hợp, K-biểu diễn và dạng song tuyến Kirillov 
2.1.1. Biểu diễn phụ hợp 
Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và  là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động 
lên  bởi Ad : G Aut được định nghĩa như sau : 
Ad(g) : = 1 *( . ) :g gL R  , g G ; 
trong đó gL (tương ứng 1gR ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G theo 
phần tử g G (tương ứng, g–1 G). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của 
G trong . 
2.1.2. Biểu diễn đối phụ hợp 
Kí hiệu * là không gian đối ngẫu của . Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra 
tác động K : G Aut* của G lên * theo cách sau đây : 
 : = , F *, X , g G ; 
ở đó với mỗi F *, X , kí hiệu chỉ giá trị của dạng tuyến tính F * 
tại trường vectơ (bất biến trái) X  . Tác động K được gọi là K-biểu diễn hay 
biểu diễn đối phụ hợp của G trong *. Mỗi quĩ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi 
là K-quĩ đạo hay quĩ đạo Kirillov của G (trong *). Như vậy, K-quĩ đạo F chứa 
phần tử F được cho bởi 
F : = { K(g)F / g G }. 
Mỗi K-quĩ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số chiều 
chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên (tương thích với 
tác động của G) cảm sinh bởi dạng song tuyến tính phản xứng Kirillov. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
7 
2.1.3. Dạng song tuyến tính Kirillov 
Với mỗi F *, ta xác định dạng BF như sau 
BF(X, Y) : = , X, Y . 
Hiển nhiên BF là dạng song tuyến tính phản xứng vì móc Lie có tính chất đó. 
Kí hiệu GF là cái ổn định hoá của F dưới tác động K của G trong *, tức là 
GF : = {g G / K(g)F = F }. 
Đặt F : = Lie (GF) là đại số Lie của GF. Đại số Lie F và dạng song tuyến 
tính Kirillov BF có quan hệ mật thiết với nhau, hơn nữa chúng rất có ích trong 
việc xác định số chiều của K-quĩ đạo F chứa F. 
2.1.4. Mệnh đề [5] Hạt nhân của BF và số chiều của F được cho bởi các 
hệ thức sau đây : 
KerBF = F và dimF = dim – dimF.  
2.2 Các MD-nhóm và MD-đại số 
2.2.1. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là 
một số tự nhiên dương nào đó). G được gọi là một MDn-nhóm nếu 
các K-quĩ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng 
số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. 
2.2.2. Định nghĩa. Đại số Lie của mỗi MDn-nhóm được gọi là một MDn-
đại số. 
2.2.3. Mệnh đề [8] Điều kiện cần để đại số Lie giải được  thuộc lớp MD-
đại số là ideal dẫn xuất thứ hai 
2 : = [1, 1] = [ [, ], [, ] ] 
của nó giao hoán.  
Chú ý rằng điều kiện cần nêu trên không phải là điều kiện đủ. Nói một cách 
khác, có những đại số Lie giải được với ideal dẫn xuất thứ hai giao hoán, thậm chí 
triệt tiêu nhưng vẫn không phải là MD-đại số. Tuy nhiên, nhờ điều kiện này, để 
phân loại các MD-đại số, ta chỉ cần xét các đại số Lie giải được với 2giao hoán. 
Nói riêng có thể xét lớp con các đại số Lie giải được với 2triệt tiêu, tức là ideal 
dẫn xuất thứ nhất 1giao hoán. Gần đây, trong [Vu4], [Vu5], [Vu-Tr], [Vu-Th] 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
8 
tác giả đã xét các MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất giao hoán không quá 3 
chiều. Bài này sẽ phân loại nốt các MD5-đại số với 1 giao hoán 4 chiều. 
3. Kết quả chính 
3.1 Các kí hiệu 
Từ đây về sau,  sẽ là kí hiệu để chỉ một đại số Lie thực giải được 5 chiều. 
Ta luôn chọn một cơ sở thích hợp 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X trong . Lúc đó, với tư 
cách là một không gian vectơ 5 chiều, 5  . Không gian đối ngẫu của  được 
kí hiệu là *. Ta cũng có đồng nhất thức * 5  với cơ sở đối ngẫu 
1 3 4 5
* * * * *
2( , , , , )X X X X X của cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X . Đối với các MD5-đại số với 
ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có định lí phân loại sau. 
3.2 Định lí 
Giả sử  là một MD5-đại số với  1 : = [ ,  ] 4  (đại số Lie giao hoán 
4 chiều). 
 Nếu  khả phân thì nó có dạng  = h , ở đó h là một MD4-đại số. 
 Nếu  bất khả phân thì ta luôn có thể chọn được một cơ sở thích hợp 
1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X trong  sao cho 
1 = 42 3 4 5, , ,X X X X   , 
1X
ad End(1)( 4( ), Mat và  đẳng cấu với một và chỉ một trong 
các đại số Lie dưới đây. 
1. 5,4,1 ( 1 2 3, ,   ) : 
 
1
1
2
1 2 3 1 2 3 1
3
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 0
0 0 0 1


      

Xad 
2. 5,4,2 ( 1 2,  ) : 1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 1 0
0 0 0 1


   
Xad 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
9 
3. 5,4,3 ( ) : 1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1



Xad 
4. 5,4,4 ( ) : 1
0 0 0
0 1 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1


Xad 
5. 5,4,5 : 
1
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 1 0
0 0 0 1
Xad 
6. 5,4,6 ( 1 2,  ) : 1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , , \ 0,1 , .
0 0 1 1
0 0 0 1


   
Xad 
7. 5,4,7 ( ) : 1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1



Xad 
8. 5,4,8 ( ) : 1
1 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1



Xad 
9. 5,4,9 ( ) : 1
0 0 0
0 1 1 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1


Xad 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
10 
10. 5,4,10 : 
1
1 1 0 0
0 1 1 0
.
0 0 1 1
0 0 0 1
Xad 
11. 5,4,11 ( 1 2, ,  ) : 
  
1 1 2 1 2
1
2
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , \ 0 , , 0, .
0 0 0
0 0 0
    


Xad 
12. 5,4,12 ( , ) :  
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; \ 0 , 0, .
0 0 0
0 0 0
 


Xad 
13. 5,4,13 ( , ) :  
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; \ 0 , 0, .
0 0 1
0 0 0
 


Xad 
14. 5,4,14 ( , ,  ) : 
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , , 0, 0, .
0 0
0 0
   
 
 
Xad 
3.3 Phép chứng minh của định lí 
3.3.1. Bổ đề 
Mỗi đại số Lie thực 5 chiều với ideal dẫn xuất thứ nhất 1 giao hoán 4 
chiều đều là MD5-đại số. 
3.3.2. Chứng minh bổ đề 
Giả sử là một đại số Lie thực 5 chiều với 1 = 4 . Hiển nhiên là ta luôn 
chọn được một cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X thích hợp trong  sao cho 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
11 
1 = 452 3 4, , ,X X X X   , 1adX End(
1) 4( )Mat  . 
Giả sử 
1
adX = 4( )ija ; i, j {2, 3, 4, 5}. Lấy phần tử 
F = * * * * *1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X  
bất kì của không gian đối ngẫu * 5  với cơ sở đối ngẫu * * * * *1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X 
của cơ sở 1 2 3 4 5( , , , , )X X X X X . Xét K-quĩ đạo F chứa F. Ta cần chứng tỏ rằng F 
hoặc không chiều, hoặc có chiều là một hằng số chẵn nào đó không vượt quá 4. 
Theo mệnh đề 2.1.4, ta có KerBF = F và dimF = dim – dimF. 
Nhớ rằng KerBF = {U  / = 0 ; i = 1, 2, 3, 4, 5}. Do đó ta có
 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 2 3 4 5 FU ( , , , , ) KerBa X a X a X a X a X a a a a a  
 = 0 ; i = 1, 2, 3, 4, 5 
 B 1 2 3 4 5( , , , , )Ta a a a a = 0 ; 
ở đó (.)T chỉ phép lấy chuyển vị ma trận, còn B là ma trận sau đây 
B=
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3
1 4 2 4
,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]
,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]
,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]
,[ , ] ,[ , ]
F X X F X X F X X F X X F X X
F X X F X X F X X F X X F X X
F X X F X X F X X F X X F X X
F X X F X X
 3 4 4 4 5 4
1 5 2 5 3 5 4 5 5 5
 ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ]
,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] 
F X X F X X F X X
F X X F X X F X X F X X F X X
. 
Suy ra dimF = dim – dimF = rank(B). Tính toán trực tiếp ta được 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
12 
B = 
5 5 5 5
2 2 2 2
5
2
5
2
5
2
52 3 4
2
3
4
5
0 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 0 0 0 
i i i i
i
i
i
i i i iii i i
ii
ii
ii
ii
a a a a
a
a
a
a
    



5
2
 0 
i 

. 
Dễ thấy rằng rank(B) {0, 2}. Do đó Fchỉ hoặc không chiều hoặc 2 
chiều. Vậylà một MD5-đại số.  
3.3.3. Chứng minh định lí 
Bây giờ phép chứng minh định lí dựa vào phân loại đồng dạng của ma trận 
thực cấp bốn 
1
adX . Chú ý rằng trong dạng chuẩn tắc của ma trận 1adX , ta luôn có thể 
đổi cơ sở một cách thích hợp để cho một trong các giá trị riêng thực hoặc mô đun của 
giá trị riêng phức của 
1
adX bằng một. Từ đó ta nhận được đúng 14 dạng khác nhau 
của 
1
adX như đã liệt kê trong định lí 3.2. Hơn nữa hai đại số ứng với hai dạng khác 
nhau của 
1
adX không đẳng cấu. Định lí 3.2 được chứng minh hoàn toàn.  
3.4 Nhận xét 
Nhắc lại rằng, mỗi đại số Lie thực  xác định duy nhất một nhóm Lie liên 
thông đơn liên G sao cho Lie(G) = . Do đó ta cũng nhận được 14 họ MD5-
nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong định 
lí 3.2. Chẳng hạn, G=G5,4,1 ( 1 2 3, ,   ) là MD5-nhóm liên thông đơn liên tương 
ứng với MD5-đại số =5,4,1 ( 1 2 3, ,   ). Các họ MD5-nhóm này đều bất khả 
phân. Trong bài báo khác, chúng tôi sẽ mô tả K-biểu diễn của 14 họ các MD5-
nhóm này và xét họ các MD5-phân lá tương ứng với chúng. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
13 
3.5 Vài bài toán mở cần tiếp tục nghiên cứu 
3.5.1. Đối với tất cả các MD5-đại số và MD5-nhóm liên thông đơn liên đã 
xét, cần phân loại tô pô các MD5-phân lá tương ứng và mô tả C*-đại 
số của các kiểu MD5-phân lá không phải phân thớ bằng phương 
pháp KK-hàm tử. 
3.5.2. Xây dựng lượng tử hoá biến dạng trên các MD5-nhóm đã phân loại. 
3.5.3. Phân loại các MD5-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất không giao 
hoán để hoàn thành việc phân loại triệt để toàn bộ lớp MD5-đại số. 
3.5.4. Giải quyết các vấn đề tương tự như đã làm cho các MD5-đại số và 
MD5-nhóm đã xét cho các MD5-đại số và MD5-nhóm còn lại. 
3.5.5. Tiếp tục xét lớp MDn với n 6 đồng thời xét trường hợp n tổng 
quát. 
Một số kết quả tiếp theo bài báo của tác giả liên quan đến các vấn đề nêu ở 
3.5.1 và 3.5.2 sẽ được đăng ngay trong quyển tạp chí này, đó là các bài của 
Dương Minh Thành và bài của tác giả cùng với Dương Quang Hòa. 
Lời cảm ơn : Kết quả chính của bài này đã được tác giả báo cáo tại Hội 
thảo quốc tế lần thứ hai về Đại số và Tổ hợp (ICAC–07) ở Bắc kinh, Trung quốc 
trong các ngày 6-10 tháng 7 năm 2007. Tác giả hân hạnh được cám ơn Ban tổ 
chức Hội thảo, đặc biệt là giáo sư Shangzhi Li đã tài trợ cho tác giả tham dự và 
đọc báo cáo tại Hội thảo. 
TÀI LIỆUTHAM KHẢO 
[1]. A. Connes (1982), A Survay of Foliations and Operator Algebras, Proc. Symp. 
Pure Math., 38, 512 – 628, Part I. 
[2]. Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for Group C*-
algeras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, 
#416. 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Lê Anh Vũ 
14 
[3]. I. Gelfand and A. Naimark (1943), On the imbedding of normed rings into the 
ring of operators in Hilbert space, Mat. Sbornik, 12, 197 -213 (In Russian). 
[4]. G. G. Kasparov (1981), The operator K-functor and extensions of C*-algebras, 
Math. USSR Izvestija, 16, No 3, 513 – 572. 
[5]. A. A. Kirillov (1976), Elements of the Theory of Prepresentations, Springer – 
Verlag, Berlin – Heidenberg – New York. 
[6]. G. Reeb (1952), Sur certains proprie’te’s topologiques de varie’te’s 
feuillete’es, Actualite’ Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris. 
[7]. J. Rosenberg (1976), The C*-algebras of some real p-adic solvable groups, 
Pacific J. Math, 65, No 1, 175 – 192. 
[8]. V. M. Son et H. H. Viet (1984), Sur la structure des C*-algebres d’une classe 
de groupes de Lie, J. Operator Theory, 11, 77 – 90. 
[9]. A.M. Torpe (1985), K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb 
Component, J. Func. Anal., 61, 15-71. 
[10]. Le Anh Vu (1990), On the Structure of the C*- algebra of the Foliation Formed 
by the K–orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group, J. 
Operator Theory, 24, 227 – 238. 
[11]. Le Anh Vu (1990), On the Foliations Formed by the Generic K– orbits of the 
MD4–Groups, Acta Math.Vietnam, N0 2, 39 – 55. 
[12]. Le Anh Vu (1993), Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the 
Co– adjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest. Moscow 
Uni., Math. Bulletin, Vol. 48, N0 3, 24 – 27. 
[13]. Le Anh Vu (2003), Foliations Formed by K – orbits of Maximal Dimension of 
Some MD5–Groups, East–West Journal of Mathematics, Vol. 5, NO 3, pp. 159 
– 168. 
[14]. Le Anh Vu (2005), On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 
3-dimensional Commutative Derived Ideals, East-West J. Math, 7 No 1, 13-22. 
[15]. Lê Anh Vũ, Nguyễn Công Trí (2006), Vài ví dụ về các MD5-đại số và các 
MD5-phân lá đo được liên kết với các MD5-nhóm tương ứng, Tạp chí Khoa 
học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 42 No 8, 14-32. 
[16]. Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), The Geometry of K-orbits of a 
Subclass of MD5-groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits, 
 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 
15 
Contributions in Math. And App., Proceeding of the International Conference 
in Math. And App., December 2005, Bangkok, Thailand, A special Volume 
Published by East-West J. Math., 169-184. 
Tóm tắt 
Phân loại lớp các MD-Đại số năm chiều 
với Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều 
Bài báo này xét một lớp con các MD5-đại số, tức là các đại số Lie thực 
giải được 5 chiều mà nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng chỉ có các quĩ 
đạo trong biểu diễn đối phụ hợp (K-quĩ đạo) hoặc không chiều hoặc chiều cực 
đại. Kết quả cơ bản mà bài báo đưa ra là phân loại (chính xác đến đẳng cấu 
đại số Lie) tất cả các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều. 
Abstract 
Classification of 5-dimensional md-algebras which 
have 4-dimensional commutative derived ideals 
The paper presents a subclass of the class of MD5–algebras, i.e., five 
dimensional solvable Lie algebras that K-orbits of corresponding connected 
and simply connected Lie groups are orbit of zero or maximal dimension. 
The article is about the classification (exact to an isomorphism) of all 5-
dimensional MD–algebras which have 4-dimensional commutative derived 
ideal.