Nhận dạng và xây dựng mô hình sai số thể tích trên trung tâm gia công CNC 3 trục bằng phương pháp biến đổi thuần nhất dựa trên chuỗi động học vật rắn

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 52.2019 38
KHOA HỌC
NHẬN DẠNG VÀ XÂY DỰNG MÔ HÌNH SAI SỐ THỂ TÍCH TRÊN 
TRUNG TÂM GIA CÔNG CNC 3 TRỤC BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
BIẾN ĐỔI THUẦN NHẤT DỰA TRÊN CHUỖI ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 
VOLUMETRIC ERROR IDENTIFICATION AND MODEL CONTRIBUTION 
ON THE THREE AXES VERTICAL MACHINING CENTER USING HOMOGENEOUS TRANSFORMATION 
APPROACH BASED ON RIGID BODY KINEMATICS 
Nhữ Quý Thơ 
TÓM TẮT 
Sai số thể tích bao gồm các sai số hình học và động học là những thành phần 
có ảnh hưởng quan trọng đến độ chính xác gia công chi tiết. Việc nghiên cứu tác 
động của các sai số này lên sai số tổng hợp khi gia công trên máy CNC được đặt ra 
cấp thiết. Bài báo trình bày phương pháp nhận dạng và xây dựng mô hình sai số
thể tích trên trung tâm gia công CNC 3 trục dựa trên giả thiết chuỗi động học vật 
rắn máy công cụ và phương pháp biến đổi thuần nhất. Các phương trình sai số
tổng hợp theo mỗi phương được thiết lập làm cơ sở toán học để đánh giá ảnh 
hưởng của từng sai số thành phần lên độ chính xác gia công cũng như xây dựng 
phương pháp bù sai số. 
Từ khóa: Sai số hình họ, sai số động học, sai số thể tích, biến đổi thuần nhất, 
máy công cụ CNC. 
ABSTRACT 
Volumetric errors including geometric and kinematic errors are the 
components which influence strongly on part cutting accuracy. Thus, researching 
the affect of the errors on total error in CNC machine is indispensable. This paper 
presents a volumetric error identification method as well as model contribution 
on 3 axis CNC machine based on rigid body kinematics assumption and 
homogeneous transformation. The total error equations for 3 axes are 
established to evaluate the affects of each component error on cutting accuracy 
and to build the error compensation method. 
Keywords: Geometric errors, kinematic errors, volumetric errors, homogeneous
transformation, CNC machine. 
Khoa Cơ khí, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội 
Email: thonhuquy@gmail.com 
Ngày nhận bài: 15/01/2019 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 20/4/2019 
Ngày chấp nhận đăng: 10/6/2019 
1. GIỚI THIỆU CHUNG 
Độ chính xác của chi tiết gia công được đánh giá dựa 
trên sự sai khác giữa chi tiết thực và chi tiết thiết kế. Trong 
quá trình gia công cắt gọt thì độ chính xác phụ thuộc vào vị 
trí tương quan tức thời giữa dụng cụ cắt và phôi. Những 
nhân tố gây sai lệch vị trí tương quan này sẽ ảnh hưởng 
trực tiếp đến độ chính xác chi tiết gia công và được phân 
làm các loại như sau: 
+ Các nhân tố liên quan đến biến dạng cấu trúc là những 
nhân tố có liên quan đến tải trọng động như: Lực cắt, rung 
động, mòn dao, mômen quán tính, vận tốc, gia tốc, va 
chạm, hay các yếu tố tải trọng tĩnh như khối lượng chi 
tiết gia công, khối lượng bàn dao, đồ gá và các thành phần 
cấu trúc máy. 
+ Các nhân tố nhiệt độ tác động lên máy, phôi và dụng cụ cắt 
Các nguồn sinh ra nhiệt bao gồm: Nhiệt sinh ra từ quá 
trình cắt; nhiệt sinh ra từ máy; nhiệt thay đổi từ các hệ 
thống như tưới nguội, làm mát; nhiệt thay đổi từ con người 
tiếp xúc với quá trình chế tạo, nhiệt độ môi trường làm việc 
và của các máy móc kề bên. Nhiệt độ gây ra biến dạng 
nhiệt về hình dáng và kích thước các chi tiết cấu thành nên 
hệ thống công nghệ. 
+ Các nhân tố liên quan đến hệ điều khiển chuyển động 
Sai số gia công có thể xảy ra đối với hệ thống điều khiển 
chuyển động liên quan đến: Độ chính xác điều khiển vị trí, 
khe hở truyền động, thao tác điều khiển của người vận 
hành (chẳng hạn xét các điểm gốc phôi, gốc dao,), phần 
mềm điều khiển nội suy, kỹ thuật điều khiển động cơ, sai 
lệch thời gian thực, 
+ Các sai số hình học và động học máy công cụ 
Sai số hình học (Geometric errors) là những sai lệch hình 
học do chế tạo và lắp ráp các chi tiết, bộ phận của máy 
công cụ như sống trượt, ổ đỡ, vít me, hoặc có nguyên 
nhân từ các va chạm hay mòn theo thời gian. Sai số động 
học (Kinematic errors) là những sai lệch về vị trí giữa vị trí 
chuyển động thực so với vị trí lý thuyết. Những sai lệch này 
gắn với các trục dịch chuyển theo thời gian thực dưới sự 
kiểm soát của hệ thống điều khiển. Các sai số động học có 
quan hệ rất gần gũi với sai số hình học, được xác định dựa 
trên cấu trúc động học máy và chuyển động của các trục. 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 52.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 39
Người ta sử dụng thuật ngữ sai số thể tích (Volumetric 
errors) để chỉ chung cho các loại sai số hình học và động 
học vì chúng được xác định dựa trên việc xây dựng một hệ 
tọa độ tham chiếu có tính đến các yếu tố chuyển động theo 
thời gian thực. Việc xác định các sai số hình học và động 
học là rất cần thiết đối với các nhà chế tạo máy. Nhờ đó các 
nhà sản xuất hiệu chuẩn (Calibration) máy để giảm ảnh 
hưởng của các sai số này. 
Các nghiên cứu [1, 2, 3] chỉ ra rằng các sai số hình học, 
động học máy công cụ và nhiệt độ ảnh hưởng đến khoảng 
70% sai số tổng hợp khi gia công trên máy công cụ CNC. 
Độ chính xác hình học máy công cụ đã được nói đến từ 
những năm 1930. Giáo sư Schlesinger - Đức đã đưa ra các 
thông số kỹ thuật về độ chính xác và phương pháp đánh 
giá độ chính xác của máy mà sau này trở thành tiêu chuẩn 
đánh giá quốc gia và quốc tế. Sau đó vào năm 1970, Tlusty 
đề xuất một phương pháp dựa trên việc xác định sai số của 
các chuyển động cắt gọt và ảnh hưởng của chúng lên sai số 
của chi tiết gia công. Việc ra đời hệ thống đo bằng laser đã 
cho phép xác định sai số động học và hình học với độ chính 
xác cao hơn. 
Donmez giới thiệu một phương pháp để nâng cao độ 
chính xác các máy công cụ bằng cách xây dựng mô hình 
toán, xây dựng quan hệ giữa sai lệch tương quan giữa dụng 
cụ cắt và phôi với các sai số các phần tử cấu trúc đơn lẻ của 
máy công cụ. Các sai số hình học và nhiệt độ đều được xem 
xét trong mô hình này. Sử dụng phép biến đổi thuần nhất 
với giả thiết là hệ cơ học rắn. Mỗi một trục chuyển động 
được gắn với một hệ tọa độ, được mô tả trong hệ tọa độ 
tương đối và hệ tọa độ cố định [4]. 
Ferreira và Liu đề xuất 1 mô hình phân tích bậc 4 để dự 
báo các sai số hình học của máy công cụ sử dụng chuỗi 
động học rắn. Mô hình này cho phép sự biến đổi các sai số 
vị trí và góc cũng như vector sai số tương quan tại các vị trí 
điểm trong không gian làm việc của máy tương ứng với 
điểm đó trong các hệ tọa độ về kích cỡ và dạng sai số của 
các khâu, khớp đơn lẻ trong chuỗi động học máy [5]. 
Okafor và Ertekin đã mô hình máy Cincinnati Milacron 
Sabre 750 ba trục CNC VMC bằng cách nhân các ma trận 
chuyển vị theo mỗi trục. Họ chứng minh được rằng sai số 
thể tích tăng lên theo thời gian sử dụng máy và thay đổi 
tùy theo cấu trúc của từng máy [6, 7]. 
Zhenya He đã xây dựng mô hình sai số máy công cụ trên 
quan điểm hệ nhiều vật và sử dụng phép đo véc tơ đường 
chéo để xác định các sai số từ đó đưa ra phương pháp bù. 
Kết quả cho thấy độ chính xác máy tăng lên 63% [2]. 
Hầu hết các nghiên cứu về sai số hình học và động học 
máy công cụ CNC đều coi hệ máy là hệ cơ học vật rắn để 
mô hình hóa các sai số. Từ đó xây dựng các phương trình sai 
số tổng hợp theo các khâu thành phần các thành phần 
chuỗi động học. 
2. SAI SỐ THỂ TÍCH TRÊN MÁY CNC 3 TRỤC 
Nhìn chung, các sai số thể tích được phân tích dựa trên 
cấu trúc từng loại máy, đặc biệt là các trục chuyển động. 
Chúng được xác định theo từng trục đơn lẻ và quan hệ giữa 
các trục với nhau. 
Máy nhiều trục được xây dựng là sự kết nối của các khâu 
tuần tự thông qua các khớp quay hoặc tịnh tiến. Sử dụng 
động học vật rắn, mô hình mỗi trục chuyển động của máy 
gắn với một hệ tọa độ tham chiếu và được chuyển đổi giữa 
các hệ tọa độ bằng các ma trận biến đổi thuần nhất. 
Vị trí của dao và phôi trên máy CNC được xét trên một 
hệ tọa độ cố định và nhờ đó có thể tính toán được sự tương 
quan giữa chúng. Trong quá trình hoạt động, các hệ tọa độ 
tương đối được thiết lập ứng với mỗi chuyển động tạo 
hình. Với trung tâm gia công CNC 3 trục có 3 chuyển động 
tịnh tiến theo phương X, Y, Z thì tương ứng có 3 hệ tọa độ 
tương đối. Vị trí một điểm bất kỳ trên dao (Thường là điểm 
quy ước cắt gọt) hay trên phôi (Điểm cắt gọt tức thời) được 
đặt trong các hệ tọa độ tương đổi và được tính toán về hệ 
tọa độ cố định duy nhất. Việc tính toán này dựa trên các 
chuyển đổi giữa các hệ tọa độ tương đối liên tiếp với nhau 
và với hệ tọa độ cố định, trong đó các biến thay đổi là các 
dịch chuyển theo từng trục chuyển động. 
Xét chuyển động theo một phương xác định chẳng hạn 
tịnh tiến theo trục X. Với yêu cầu dịch chuyển một điểm xác 
định theo phương X giá trị x mô tả như hình 2. Chuyển 
động này gắn với hệ tọa độ tương đối OnXnYnZn. Không 
gian làm việc được gắn với hệ tọa độ cố định OXRYRZR 
Hình 1. Mô hình hóa khớp trượt (trục tịnh tiến) 
Một điểm xác định trong hệ tọa độ OnXnYnZn sẽ có 6 
chuyển động tự do là 3 chuyển động tịnh tiến theo 3 trục 
và 3 chuyển động quay quanh 3 trục. Các chuyển động này 
chính là các sai số hình học và động học, bao gồm: 
+ δx(x) là sai số vị trí tương ứng dọc theo phương X: Đây 
là sai số theo phương chuyển động danh nghĩa, thay đổi 
theo vị trí và thời gian của chuyển động chạy dao tương 
ứng (Chuyển động theo trục X). Nguyên nhân gây ra các sai 
số này không chỉ do yếu tố hình học chế tạo máy mà còn 
do nhiều nguyên nhân khác như độ chính xác điều khiển, 
khe hở truyền động, biến dạng đàn hồi, Vì sai số này gắn 
với chuyển động cơ bản nên còn gọi là sai số động học. 
+ δy(x), δz(x) là các sai số vị trí của trục X so với trục Y và 
Z. Chúng còn gọi là sai lệch về độ thẳng của trục X so với Y 
và Z. Về mặt lý tưởng các sai số này bằng 0. 
+ εx(x), εy(x), εz(x) là các sai số góc giữa các trục X, Y, Z so 
với phương chuyển động X hay còn gọi là sai số roll, pitch, 
yaw theo phương X. 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 52.2019 40
KHOA HỌC
Tương tự đối với các chuyển động theo trục Y, Z có thêm 
6 loại sai số theo mỗi trục. Ngoài ra còn có 3 sai số αxy, αxz, 
αyz là các sai số độ vuông góc giữa trục X so với trục Y, X so 
với trục Z và Y so với trục Z. 
Như vậy đối với trung tâm gia công CNC đứng 3 trục thì 
có các sai số hình học và động học như sau: 
+ 3 sai số động học, vị trí (Position, kinematic errors): 
δx(x), δy(y), δz(z) 
+ 6 sai số về độ thẳng (Straightness errors): δy(x), δz(x), 
δx(y), δz(y), δx(z), δy(z) 
+ 9 sai số về góc (Angular errors):εx(x), εy(x), εz(x), εx(y), 
εy(y), εz(y), εx(z), εy(z), εz(z) 
+ 3 sai số về độ vuông góc (Squareness errors): αxy, αxz, αyz 
Tổng cộng có 21 sai số hình học và động học và được 
gọi chung là các sai số thể tích. 
Để nghiên cứu ảnh hưởng của các sai số thành phần lên 
sai số tổng hợp tác động đến độ chính xác gia công thì 
phương trình động học máy cần được xây dựng với giả 
định cấu trúc máy là chuỗi động học rắn và xấp xỉ góc nhỏ. 
3. XÂY DỰNG MÔ HÌNH SAI SỐ THỂ TÍCH TRÊN MÁY 
CNC 3 TRỤC 
3.1. Biến đổi thuần nhất các chuyển động tịnh tiến 
trong máy 
Máy nhiều trục thông thường được xây dựng là sự kết 
nối của các khâu tuần tự thông qua các khớp quay hoặc 
tịnh tiến. Sử dụng chuỗi động học vật rắn, mô hình mỗi 
trục chuyển động của máy gắn với một hệ tọa độ tham 
chiếu và được chuyển đổi giữa các hệ tọa độ bằng các ma 
trận biến đổi thuần nhất. 
Máy CNC 3 truc được chia thành các thành phần cơ bản 
là các khâu được kết nối với nhau bằng các khớp trượt. Mỗi 
chuyển động tịnh tiến trong hệ tọa độ tham chiếu (cố định) 
được xét với một hệ tọa độ chuyển đổi (tương đối) và sử 
dụng các ma trận chuyển đổi. Đối với một chuyển động 
tịnh tiến theo một trục nào đó, thì các sai số gồm 3 thành 
phần tịnh tiến được mô tả như hình 2. 
Hình 2. Sai số khớp trượt (tịnh tiến) 
Ma trận quay TROT biểu diễn các sai số góc được xác định 
bằng các ma trận chuyển đổi quay theo từng trục đơn lẻ: 
TROT = Tx. Ty .Tz 
y y z z
x x z z
ROT
x x y y
1 0 0 0 cosθ 0 sinθ 0 cosθ sinθ 0 0
0 cosθ sinθ 0 0 1 0 0 sinθ cosθ 0 0
T
0 sinθ cosθ 0 sinθ 0 cosθ 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
(1) 
Từ đó ta có: 
y z y z y
x y z x z x y z x z x y
ROT
x y z x z x y z x z x y
cosθ cosθ cosθ sinθ sinθ 0
sinθ sinθ cosθ cosθ sinθ sinθ sinθ sinθ cosθ cosθ sinθ cosθ 0
T
cosθ sinθ cosθ cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ sinθ cosθ cosθ cosθ 0
0 0 0 1
(2) 
Với giả thiết là các góc quay nhỏ: giá trị cos của các góc 
là 1, tan(α) ≈ α, tích 2 sai số xấp xỉ 0 nên ma trận quay được 
biểu diễn: 
z y
z x
ROT
y x
1 ε ε 0
ε 1 ε 0
T
ε ε 1 0
0 0 0 1
 (3) 
Ma trận sai số tịnh tiến tổng thể TTRANS bao gồm 3 thành 
phần tịnh tiến theo 3 trục. Tương tự ma trận quay, ta có: 
TRANS X Y Z
x
y
z
x
y
TRANS
z
T T T T
1 0 0 δ 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 δ 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 δ
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 δ
0 1 0 δ
T
0 0 1 δ
0 0 0 1
 (4) 
Ma trận tổng hợp sai số E biểu diễn sai số của chuyển 
động tịnh tiến theo 1 trục: 
  = .  
Bỏ qua các giá trị bậc cao khi nhân các sai số, ta có: 
z y x
z x y
y x z
1 ε ε δ
ε 1 ε δ
E
ε ε 1 δ
0 0 0 1
 (5) 
Vì trục tịnh tiến là trục X nên ta biểu diễn lại phương 
trình (5) như sau: 
z y x
z x y
X
y x z
1 ε (x) ε (x) δ (x)
ε (x) 1 ε (x) δ (x)
E
ε (x) ε (x) 1 δ (x)
0 0 0 1
 (6) 
3.2. Mô hình toán máy công cụ 
Việc xây dựng mô hình toán để xác định vị trí tương 
quan giữa dao và chi tiết gia công. Từ đó xác định mà ma 
trận sai số tổng thể dẫn đến sai số gia công. 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 52.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 41
Nhìn chung, đối với máy gia công 3 trục có cấu trúc một 
trong 4 loại là FXYZ, XFYZ, XYFZ và XYZF trong đó ký tự 
trước F biểu thị chuyển động của phôi (bàn máy) theo các 
trục trong hệ tọa độ tham chiếu cố định còn các ký tự sau F 
chỉ hướng trục chuyển động của dao hoặc đầu đo (hình 3). 
Hình 3. Các cấu trúc phổ biến của trung tâm 3 trục 
Mô hình toán phụ thuộc vào cấu trúc máy công cụ và 
khác nhau đối với các cấu trúc khác nhau. 
Trung tâm gia công CNC 3 trục TC500 có kiểu cấu trúc 
XYFZ nghĩa là bàn máy dịch chuyển theo trục X và Y trong 
hệ tọa độ cố định còn dụng cụ cắt dịch chuyển theo trục Z. 
Cấu trúc máy như hình 4. 
Hình 4. Trung tâm phay CNC 3 trục TC500 
Do kiểu máy không có trục xoay nên chỉ các ma trận 
chuyển đổi thuần nhất theo 3 trục tịnh tiến theo phương X, 
Y, Z được sử dụng để xây dựng mô hình toán. 
Các bước xây dựng mô hình toán được thực hiện như sau: 
- Bước 1: Gắn các hệ tọa độ cho mỗi chuyển động tịnh tiến. 
- Bước 2: Xây dựng các chuyển đổi giữa các hệ trục. 
- Bước 3: Xem xét 6 bậc tự do dịch chuyển theo mỗi trục 
từ đó xây dựng ma trận sai số. 
 - Bước 4: Nhân ma trận chuyển đổi hướng tương ứng 
với ma trận sai số để có các chuyển đổi thực tế thể hiện vị 
trí của điểm xác lập trong không gian làm việc trong hệ toạ 
độ tham chiếu cố định. 
Cấu trúc máy được chia thành các ma trận chuyển đổi 
tọa độ với giả thiết là các vật rắn. Các ma trận này mô tả 
mối quan hệ tương quan giữa vị trí của mỗi trục với các hệ 
tọa độ tức thời. Nếu có N khâu nối tiếp nhau và các ma trận 
chuyển đổi xác định được thì vị trí của mũi dao (trục thứ N) 
được xác định trong hệ tọa độ tham chiếu cố định bằng 
cách nhân liên tiếp các ma trận chuyển đổi. 
N
N m 1 2 3 N
0 m 1 0 1 2 N 1
m 1
T T T. T. T... T 
  (7) 
Bằng cách này, ta xác định vị trí tương quan của mũi 
dao cắt và 1 điểm trên phôi tiếp xúc với mũi dao. 
Nếu TTOOL là các ma trận chuyển đổi tổng hợp của dụng 
cụ cắt và TWORK là ma trận chuyển đổi của điểm cắt phôi thì 
chúng phải giống nhau. Tuy nhiên do có các sai số trong 
quá trình cắt gọt, hai ma trận này được biểu diễn trong hai 
hệ tọa độ tách rời. Điều này chính là nguyên nhân gây sai 
số gia công. 
Ma trận sai số được biểu diễn thông qua phương trình: 
 = .  (8) 
Từ đó ta có: 
  = 
  (9) 
Đối với máy gia công kiểu cấu trúc XYFZ, việc gắn các hệ 
tọa độ tương đối sao cho các chuyển đổi là đơn giản nhất. 
Cấu trúc máy bao gồm: dụng cụ cắt, trục chính, thân máy, 
đường trượt và bàn máy. Trục chính kết nối với thân máy 
bằng một khớp trượt lăng trụ. Các đường trượt nằm trên 
thân máy và kết nối với bàn máy bằng các khớp trượt. Cuối 
cùng dụng cụ cắt được gắn cùng với trục chính. 
Hình 5. Mô hình hóa máy công cụ kiểu XYFZ 
Hệ toạ độ tham chiếu cố định gắn với thân máy tương 
ứng điểm góc 0 của máy theo trục Y tại vị trí xuất phát.  là 
chuyển đổi giữa hệ tọa độ tham chiếu và hệ tọa độ đường 
trượt,  là chuyển đổi giữa đường trượt và bàn máy,  là 
chuyển đổi giữa hệ tọa độ trục chính và hệ tọa độ tham 
chiếu,  là chuyển đổi giữa hệ tọa độ gắn với trục chính và 
dụng cụ cắt. 
Giả sử rằng các chuyển động quay và tịnh tiến của dụng 
cụ cắt là không có, khi đó các ma trận chuyển đổi được xác 
định như sau: 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 52.2019 42
KHOA HỌC
Đường trượt trên thân máy chỉ dịch chuyển theo một 
trục Y nên: 
2
1
1 0 0 0
0 1 0 y
T
0 0 1 0
0 0 0 1
 (10) 
Trong đó, y là biến chuyển động dọc theo trục Y. 
Bàn máy dịch chuyển theo một trục X: 
2
1
1
1 0 0 x
0 1 0 0
T
0 0 1 Z
0 0 0 1
 (11) 
Trong đó, x là biến chuyển động dọc theo trục X, Z1 là 
hằng số. 
Trục chính dịch chuyển theo 1 trục Z nên: 
    3
1
2
1 0 0 0
0 1 0 0
T
0 0 1 z Z
0 0 0 1
 (12) 
Trong đó, z là biến chuyển động dọc theo trục Z, Z2 là 
hằng số. 
Đối với dụng cụ cắt: 
t
t4
3
t
1 0 0 X
0 1 0 Y
T
0 0 1 Z
0 0 0 1
 (13) 
Trong đó, Xt, Yt, Zt là các hằng số offset dao theo phương 
X, Y, Z. 
Từ công thức (8) và (10) ta xác định được các ma trận 
chuyển đổi thực tế như sau: 
z y x
1 z x y
0
y x z
1 0 0 0 1 ε y ε y δ y
0 1 0 y ε y 1 ε y δ y
T
0 0 1 0 ε y ε y 1 δ y
0 0 0 1 0 0 0 1
z y x
1 x x y
0
y x z
1 ε y ε y δ y
ε y 1 ε y y δ y
T
ε y ε y 1 δ y
0 0 0 1
(14) 
.
z y x
2 z x y XY
1
1 y x z
1 0 0 x 1 ε x ε x δ x
0 1 0 0 ε x 1 ε x δ x x α
T
0 0 1 Z ε x ε x 1 δ x
0 0 0 1 0 0 0 1
.
z y x
2 z x y XY
1
y x 1 z
1 ε x ε x x δ x
ε x 1 ε x δ x x α
T
ε x ε x 1 Z δ x
0 0 0 1
(15) 
.
.
z y x XY
3 z x y XY
0
2 y x z
1 0 0 x 1 ε z ε z δ z z α
0 1 0 0 ε z 1 ε z δ z z α
T
0 0 1 z Z ε x ε z 1 δ z
0 0 0 1 0 0 0 1
.
.
z y x XY
3 z x y XY
0
y x 2 z
1 ε z ε z δ z z α
ε z 1 ε z δ z z α
T
ε z ε z 1 z Z δ z
0 0 0 1
 (16) 
Sử dụng các ma trận trong phương trình (13) và (16) ta 
có quan hệ giữa dụng cụ cắt và hệ tọa độ tham chiếu cố 
định được mô tả bằng phương trình: 
 = 
 
 (17) 
Tương tự, quan hệ giữa phôi trong hệ tọa độ tham chiếu 
cố định được tính toán: 
 = 
  
 (18) 
Phương trình (9) mô tả mối quan hệ giữa dụng cụ cắt và 
phôi gia công để xác định được ma trận sai số với giả thiết 
sai số các góc lệch là rất nhỏ và tích giữa hai trong số chúng 
bằng 0. 
Từ đó ta có: 
 = 
  = [  ] (19) 
E
E
E
E
P x
P yP
P z
1
 (20) 
x x x t t z z z
t y y y 2 y y
z z xz 1 y
y y y t t z z z
z t x x x 2
E
E
(x) [-x δ (x) δ (y) δ (z) x y ε (x) ε (y) ε (z)
z ε (x) ε (y) ε (z) (z z ) ε (x) ε (y)
y ε (x) ε (y) α z z ε (x)]
(y) [-y δ (y) δ (x) δ (z) y x ε (x) ε (y) ε (z)
xε (x) z ε (x) ε (y) ε (z) (z z
P
P
x x
1 x xz xz
z z z x x y t 1
2 t y y y t x x x
E
) ε (x) ε (y)
z ε (x) xα zα ]
(z) [z δ (z) δ (x) δ (y) y ε (y) ε (x) xε (x) z z
z x ε (y) ε (x) ε (z) y ε (y) ε (x) ε (z) ]
P
(21) 
Thành phần vectơ vị trí trong ma trận sai số xác lập vị trí 
thực của dụng cụ cắt khi nó di chuyển đến các điểm (x, y, z). 
Các lượng bù sai số được tính toán dựa vào vectơ này. 
Sự khác nhau giữa giá trị vị trí thực và giá trị mong 
muốn là các giá trị bù theo các trục chuyển động: 
x x x t z z z
t y y y 2 y y
z z xz 1 y
y y y t z z z
z t x x x 2 x x
(x) [ δ (x) δ (y) δ (z) y ε (x) ε (y) ε (z)
z ε (x) ε (y) ε (z) (z z ) ε (x) ε (y)
y ε (x) ε (y) α z z ε (x)]
(y) [ δ (y) δ (x) δ (z) x ε (x) ε (y) ε
P
(z)
xε (x) z ε (x) ε (y) ε (z) (z z ) ε ( (
P
x) ε
1 x xz xz
z z z x x y
t y y y t x x x
y)
z ε (x) xα zα ]
(z) [δ (z) δ (x) δ (y) y ε (y) ε (x) xε (x)
x ε (y) ε (x) ε (z) y ε (y) ε (x) ε (z) ]
P
(22) 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 52.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 43
Như vậy, khi xác định được các sai số thành phần, ta có 
thể lập được bản đồ sai số tổng hợp theo các trục để từ đó 
xây dựng giải pháp bù sai số trên toàn vùng làm việc 
của máy. 
4. KẾT LUẬN 
Các sai số thể tích ảnh hưởng lớn sai số tổng hợp khi gia 
công trên máy CNC. Vì vậy việc bù các sai số này có ý nghĩa 
quan trọng trong việc nâng cao độ chính xác máy công cụ 
mà nhờ đó nâng cao được chất lượng gia công chi tiết. Các 
sai số hình học và động học sinh ra do quá trình chế tạo, 
lắp ráp, điều khiển và vận hành máy công cụ. Có 21 thành 
phần sai số hình học và động học là các sai số thể tích trên 
máy CNC 3 trục và việc bù sai số là yêu cầu bắt buộc đối với 
các máy CNC hiện đại. 
Xây dựng phương trình sai số tổng hợp theo phương 
pháp giải tích là cơ sở toán học quan trọng để xét các ảnh 
hưởng của từng sai số thành phần lên sai số tổng hợp. Từ 
đó đưa ra các thuật toán bù sai số. 
Để xác định sai số tổng hợp này cần có các kết quả đo 
đạc các sai số hình học và động học thành phần. Việc phân 
tích, đánh giá ảnh hưởng của chúng cũng như phương 
pháp bù sẽ được trình bày ở các bài báo tiếp theo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. JieGu, John S. Agapiou, Sheri Kurgin, 2015.CNC machine tool work offset 
error compensation method. Journal of Manufacturing Systems 37, pp576-585. 
[2]. Zhenya He, Jianzhong Fu,Xinhua Yao, 2009. Volumetric Error 
Identification fo CNC Machine Tool Based on Multi-body System and Vector 
Diagonal Measurement. International Symposium on Precision Engineering and 
Micro. 
[3]. X.B. Chen, A. Geddam, Z.J. Yuan, 1997. Accuracy Improvement of Three-
Axis CNC Machining Centers by Quasi-Static Error Compensation. Journal of 
Manufacturing Systems Vol.16, No.5. 
[4]. M. A. Donmez, D. S. Blomquist, R.J. Hocken, C.R. Liu, M.M. Barash, 
1986.A general methodology for machine tool accuracy enhancement by error 
compensation. Methodology for machine tool accuracy enhancement vol 8 No 4, 
pp 187-196. 
[5]. P.M. Ferreira, C.R. Liu,1986. A Contribution to the Analysis and 
Compensation of the Geometric Error of a Machining Center. Annals of the CIRP 
Vol.35. 
[6]. A.C. Okafor, Yalcin M. Ertekin, 2000.Derivation of machine tool errors 
models and error compensation procedure for three axes vertical machining center 
using rigid body kinematics, Machine Tool and Manufacture vol.40 pp1199-1213. 
[7]. A. C Okafor, Yalcin M. Ertekin, 2000. Vertical machining center accuracy 
characterization using laser interferometer. Joural of Materials Processing 
Technology 105. 
[8]. Mahbubur Rahman, Jouko Heikkala, Kauko Lappalaimen, 
2000.Modeling, measurement and error compensation of multi-axis machine tools. 
Part I: theory. International Journal of Machine Tools & Manufacture 40 pp1535-
1546. 
[9]. WenjieTian, WeiguoGao, Dawei Zhang, Tian, 2014. A general approach for 
error modeling of machine tools. International Jounal of Machine Tools and 
Manufacture 79 pp17-23. 
[10]. MatusKosinar, Ivan Kuric,2012. Geometric errors in CNC machine tools. 
The University of Zilina, pp21-26. 
AUTHOR INFORMATION 
Nhu Quy Tho 
Faculty of Mechanical Engineering, Hanoi University of Industry