Nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán mô hình hóa trạm điện

Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 112 
NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI 
PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN 
MÔ HÌNH HÓA TRẠM ĐIỆN 
Nguyễn Khắc Điệp1*, Viktor Filimonovich Chystyakov2 
Tóm tắt: Bài báo xem xét các hệ phương trình vi phân (PTVP) cải tiến đạo hàm 
riêng phụ thuộc vào một biến không gian. Giả thiết rằng, các ma trận dưới đạo hàm 
của hàm số véc tơ cần tìm đều suy biến trên tất cả miền xác định. Những hệ như vậy 
được gọi là hệ PTVP đại số đạo hàm riêng. Trong bài báo còn giới thiệu khái niệm 
về hệ chia tách. Từ hệ này ta có thể tìm ra cấu trúc nghiệm chung của PTVP đại số 
và xác định tính có nghiệm của bài toán biên ban đầu trong nhiều trường hợp. Và 
cuối cùng là giới thiệu mô hình mô tả trạm điện với thành phần cụ thể là bộ trao đổi 
nhiệt bức xạ, đối lưu, được viết bằng PTVP đại số đạo hàm riêng. 
Từ khóa: Phương trình vi phân đại số; Đạo hàm riêng; Hyperpolic; Hệ suy biến; Chỉ số; Mô hình hóa. 
1. MỞ ĐẦU 
Xem xét hệ phương trình đạo hàm riêng 
 (1) 
Trong đó, A(x,t,u), B(x,t,u), C(x,t,u) là các ma trận có kích thước ( n n ) , 
và lần lượt tương ứng là hàm véc tơ cần tìm và cho trước. 
Giả sử rằng, hệ (1) thỏa mãn 
det 0, det 0, det( ) 0 ( , ) , , ,U RnA B A B x t u     (2) 
trong đó λ- tham số vô hướng (trong trường hợp tổng quát là tham số phức). 
Trong bài báo cũng xem xét các điều kiện biên ban đầu 
( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , )0 0 ,Uu x t x u x t t x t  (3) 
trong đó, các hàm véc tơ cho trước ( ), ( )x t  là những hàm khả vi liên tục. 
Hệ phương trình dạng (1) thỏa mãn điều kiện (2) được gọi là hệ suy biến không 
thuộc dạng Cauchy–Kowalevski. Trong các tài liệu toán học quốc tế thường sử 
dụng thuật ngữ “PTVP đại số đạo hàm riêng” [4]. Ở các trường hợp đặc biệt, hệ 
phương trình dạng (1) có mối quan hệ lẫn nhau với các phương trình đạo hàm 
riêng, PTVP thường và phương trình đại số. Vào nửa sau của thế kỷ XX, các công 
trình nghiên cứu của Sergei Lvovich Sobolev [1] bắt đầu xuất hiện. Các nghiên 
cứu này đã chiếm một vị trí quan trọng trong lý thuyết PTVP, cho nên những hệ 
như vậy còn được gọi là hệ phương trình dạng Sobolev [2]. Hệ này có ý nghĩa lý 
thuyết và thực tiễn vô cùng to lớn. Hiện nay trong hầu hết các tài liệu chuyên sâu 
( , , ) ( , , ) C( , , ) ( , ),
u u
A x t u B x t u x t u f x t
t x
 
 
2
( , ) = ,
[ , ], , ,0 1 0 1
U Rx t X T
X x x T t t
 
( , ), ( , )u u x t f x t 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 113
đều đề cập đến vấn đề về tính giải được của bài toán biên ban đầu đối với hệ suy 
biến, tuy nhiên phần lớn là xem xét các trường hợp của hệ có ma trận là hằng số và 
vấn đề luận chứng cho các phương pháp giải số chưa được nghiên cứu chuyên sâu. 
Bên cạnh đó, việc tìm phương pháp giải số cho các hệ cụ thể không thuộc dạng 
Cauchy–Kowalevski sẽ có ý nghĩa thực tiễn vô cùng to lớn trong nhiều lĩnh vực 
như: thủy động lực học (phương trình Navier-Stokes), nhiệt lực học, kỹ thuật điện, 
v.v..(xem [1- 3, 9, 14]) . 
Trong hơn thập kỉ qua, việc áp dụng phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết hệ 
PTVP thường với ma trận suy biến dưới đạo hàm bậc cao của hàm véc tơ cần tìm 
(gọi là PTVP đại số) trở nên phổ biến và ngày càng phát triển [5, 7, 11, 13]. 
Trong khuôn khổ bài báo này, nhóm nghiên cứu sẽ trình bày khái niệm về 
PTVP đại số đạo hàm riêng chia tách. Qua đó từ hệ này, giúp ta tìm ra cấu trúc 
nghiệm chung của PTVP đại số và xây dựng tính có nghiệm của bài toán biên ban 
đầu trong nhiều trường hợp. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu các mô hình trong kỹ 
thuật được biểu diễn dưới dạng PTVP đại số đạo hàm riêng, đó là mô hình của bộ 
trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu. 
Các kí hiệu, khái niệm, định nghĩa được sử dụng theo các tài liệu chuẩn chung 
từ các nhà nghiên cứu của Nga trong lĩnh vực PTVP [1, 6-15]. 
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ĐẠO HÀM RIÊNG CHIA TÁCH 
Dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm và khẳng định cần thiết cho các phần 
sau. Xem xét hệ 
1 : A( , ) B( , ) ( , ), ( , ) ,Utx x t D u x t u f x t x t (4) 
trong đó, A( , ), B( , ) ( )x t x t n n - các ma trận, biến x được xem như là tham số. 
Định nghĩa 1. Toán tử 
0
: ( , )
k
j
k j t
j
L x t D
  có tính chất 
  1A( , ) B( , ) [B] ( ),C Ukk t t kx t D x t u D u u u
     
trong đó ( , ) ( )jL x t n n - các ma trận từ ( )C U , gọi là toán tử chính quy trái 
của hệ (4), số k nhỏ nhất có thể được gọi là chỉ số của hệ (4). 
Bổ đề 1. Nếu như xác định được chỉ số k của hệ (4) thì xảy ra một trong 2 
trường hợp sau: det A( , ) 0 ( , ) Ux t x t  khi 0k hoặc 
det A( , ) 0, ( , ) Ux t x t khi 0k . 
Định lý 1. Giả sử: 1) trong hệ (4) thỏa A( , ),x t 2 1B( , ) ( ), ( );C U C Un kx t f 
2) với hệ (4) tồn tại toán tử chính quy trái. Khi đó hệ có nghiệm với bất kì ( , )f x t 
và nghiệm tổng quát có thể được viết dưới dạng sau 
Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 114 
0
1
0
( , ) ( ) ( , ), ( , )
( , , ) ( , ) ( , ) ,
t k
j
j t
jt
u V x t c x Wf x t Wf x t
K x t s f x s ds C x t D f
  
 (5) 
trong đó ( , )V x t là ma trận có kích thước ( ( ))n d x , ( , , ), ( , )jK x t s C x t các 
ma trận có kích thước ( )n n , 0, 1j k , đều khả vi liên tục theo t , 
rank ( , ) ( )V x t d x t T  , ( )c x - hàm véc tơ bất kì. 
Định lí được xem như khẳng định đã được chứng minh trong [15] với trường 
hợp A( , )x t A( ), B( , ) B( ), ( , ) ( )t x t t f x t f t . 
Xem xét lớp ( , , , )t xZ x t D D Z - các ma trận có kích thước ( )n n , chứa các 
phần tử là toán tử vi phân dạng ( , ) , , 1,
ij
ij t x
m
z x t D D i j n 
 
  . Giả thiết rằng, với 
mỗi ma trận thuộc Z tồn tại toán tử ma trận duy nhất ( , , , )t xZ x t D D Z 
 , có mối 
quan hệ với ma trận ban đầu như sau 
( , , , ) ( , ) ( , ), ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ).C Ut x t xZ x t D D x t x t Z x t D D x t x t x t    
   
Nếu như hệ số của các toán tử ijw là hằng số thì lớp Z tạo thành ma trận đơn 
modula ( , )t xZ D D , được xác định bởi điều kiện 0det ( , )t xZ D D w const . 
Tiếp theo ta sẽ làm quen với một lớp, được chúng tôi gọi là chia tách. Giả sử hệ 
(1) tuyến tính: ( , , ) ( , ), ( , , ) ( , ), ( , , ) ( , )A u x t A x t B u x t B x t C u x t C x t   . Giả thiết rằng tồn 
tại các ma trận ( , , , ), ( , , , )t x t xP x t D D Q x t D D Z với tính chất sau 
( [ ] [ ] )t tP AD Qz BD Qz CQz 
Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D fx x x xt t t t11 12 13 14 1
0 Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) Λ (D ,D ) fx x xt t t22 23 24 2
z=
f0 0 Λ (D ,D ) Λ (D ,D )x xt t 333 34
f0 0 0 Λ (D ,D )xt 444
)
,
 (6) 
trong đó: 
, ( , , , ), ( , , , ),u Qz P P x t D D Q Q x t D Dx xt t   ( , )1 2 3 4f f f f Pf x t 
    
( , ) ( , , , ) , , 1, 4,D D x t D D A D B D C i jx x xt t tij ij ij ij ij   
( , ), ( , ), ( , ),ij ij ij ij ij ijA A x t B B x t C C x t   
với các khối chéo vuông có kích thước lần lượt tương ứng là 1 2 3 4, , ,n n n n , 
1 2 3 4n n n n n . Giả sử rằng, hệ (6) thỏa mãn điều kiện sau: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 115
- ( , ) ;44 D D Zxt (7) 
− với các toán tử 
33 33 33 22 22 22: , : ,t xA D C B D C  (8) 
được xác định là toán tử chính quy trái theo định nghĩa 1 tương ứng theo tD và 
xD ; 
− tồn tại ma trận không suy biến khả vi liên tục ( , )R R x t trong miền U có 
tính chất sau 
11
1 1
11 11 1 2( ) diag{ ( , ), ( , ),
, ( , )}, ( , ) .Rn j
R A B R x t x t
x t x t
 
 
 
 (9) 
Theo (7) ta có, 4 44 4( , ) .t xz D D f 
 Tiếp theo, xem xét hệ con 
 33 3 3( , ) ,t xD D z f 
 (10) 
trong đó 3 3 34 4( , ) .t xf f D D z 
 Biến đổi (10) thành dạng 
33 33 3 3 3 33 3( ) ,t xA D C z f B D z 
 (11) 
và vì có sự tồn tại của toán tử chính quy trái đối với các toán tử (8) nên theo (5) 
nghiệm của hệ (10) thỏa mãn 
3
0
1
3 3 3 3 3 3 3 3 3, 3( , ) ( ) , ( , , ) ( , ) ( , ),
t k
j
j t
j ot
z V x t c x W W K x t s t s ds C D x t 
  (12) 
trong đó ( , )V x t là ma trận có kích thước 3 3( )n d , 3 ( )c x - hàm véc tơ tùy úy, 
các ma trận 3 3,( , , ), jK x t s C có kích thước 3 3( )n n từ định lý 1. Sử dụng (12), thực 
hiện quá trình lặp 
3, 1 3 3, 3 3,0 3 3 3 3 33 3 3 3 3, , , ( , ) ( )j j xz z z z W B D z f V x t c x      
 (13) 
Và giả thiết rằng, toán tử 3 lũy linh: bắt đầu với 3 3n , suy ra 
3
3 0
 . 
1 1
3 3( , ) ( ) [ ( , ) ( )] ... [ ( , ) ( )] ... .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3z V x t c x V x t c x V x t c x f f f
  
       (14) 
Với hệ con 22 2 2( , ) ,t xD D z f 
 (15) 
trong đó 2 2 23 3 24 4( , ) ( , )t x t xf f D D z D D z  
 , ta cũng có thể lập luận tương 
tự. Cụ thể, viết (15) dưới dạng 22 22 2 2 2 22 2( ) ,x tB D C z f A D z 
 và xây dựng 
toán tử tương ứng 2 . Sau đó thực hiện quá trình lặp, ở bước cuối cùng ta được 
2 21 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , ) ( ) [ ( , ) ( )] ... [ ( , ) ( )] ... ,z V x t c t V x t c t V x t c t f f f
        (16) 
Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 116 
trong đó 2 2 .n Với hệ con 11 1 1( , ) ,t xD D z f 
 (17) 
trong đó 11 1 12 2 13 3 14 44 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )t x t x t x t xf f D D z D D z D D D D f
     , 
theo điều kiện (9) được gọi là hyperbolic và có họ nghiệm trong miền U [10]. 
Điều kiện (7) được đảm bảo và các toán tử 2 3,  lũy linh nếu như hệ con của 
ma trận có dạng 
44 1 2 3
33 4 5 6 22 7 8 9
( , ) ,
( , ) , ( , ) ,
t x t x
t x t x t x t x
D D N D N D N
D D N D N D N D D N D N D N
 
  
 (18) 
trong đó, , 1, 2,...,9jN j ma trận tam giác trên và 1 2 5 7, , ,N N N N có các phần tử 
trên đường chéo bằng 0, 3 4 6 8 9det 0, det 0, det 0, det 0, det 0 ( , ) .UN N N N N x t  
Trong phương án rút gọn (18) có thể dễ dàng nhận thấy rằng, toán tử 
0
1 1
3 3 5 3 5 4 5( , ) ( , ) ( , ) ,
t
x
t
z x t x s N D z x s ds N N N      (19) 
là toán tử lũy linh. Trong đó, ( , )x t matrizant của hệ 14 6[ ] ,tD v N N v
 là 
ma trận tam giác trên. Đối với toán tử 3 , ta cũng thu được 
4 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 2... , , [ ].t xz f f f n N N D N D
     (21) 
3. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU 
Giả sử trong hệ (1) có các ma trận , ,A B C là ma trận hằng số. 
Định nghĩa 2. Biểu thức A B C  sẽ được gọi là chùm ma trận, trong đó 
,  là tham số vô hướng, , ,A B C là các ma trận vuông. 
Dưới đây ta cần đưa ra một số khẳng định. 
Bổ đề 2. [8] Nếu như trong hệ (5) các ma trận không phụ thuộc vào t : 
A( , ) A( ), B( , ) B( )x t x x t x  thì điều kiện cần và đủ để tồn tại toán tử chính quy trái 
khi cố định x X là hệ thức sau phải được thỏa mãn 
det[ A( ) B( )] 00 x x x X  đối với 0 . Hơn nữa, trong công thức (6) 
( ) deg det[ A( ) B( )]d x x x , trong đó deg chỉ bậc của đa thức, 
1 1( ) min{ : rank ( ) rank ( ), 1,2, , }, ( ) [ A( ) B( )] A( ).0
j j
k x j C x C x j n C x x x x
  
Bổ đề 3. Giả sử chùm ma trận A B C  , xuất phát từ hệ (1), chính quy 
(regular) và 0 0( , ) ( , ),
t x
f x t e x t
  
  trong đó ( , )x t là véc tơ đa thức tùy úy phụ 
thuộc vào x,t. Khi đó hệ (1) có nghiệm trong miền xác định U dưới dạng 
0 0( , ) ( , )1
t x
u x t e x t
  
  , trong đó ( , ),1 x t cũng là véc tơ đa thức cùng bậc. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 117
Tính định thức của toán tử ma trận det ( , ) det( )D D AD BD Cx xt t và phần 
bù đại số ( , ) ( , ) ,, 1
nM D D q D Dx xt tij i j ‖ ‖ trong đó ( , )ij x tq D D là một vài đa thức 
của các toán tử ,x tD D . Giả sử rằng, trong hệ (1) 
0 0( , ) ( , )t xf x t e x t   . Khi đó hệ 
này có nghiệm và đẳng thức sau thỏa mãn 
( , )( ) det ( , ) ( , ) .t x t x t x n t xM D D AD BD C u D D E u M D D f  (20) 
Hệ (20) trở thành tổ hợp của n phương trình vô hướng 
det ( , ) ( , )
1
n
D D u q D D fx xt ti ij ij
 
, 1, 2, ..., ,i n trong đó 
1 2 1 2( , ,..., ) , ( , ,..., ) ,n nu u u u f f f f 
   kí hiệu của chuyển vị. Ta chia ra thành các trường 
hợp: 
а) giả sử 0det ( , ) 0t xD D a const  . Khi đó nghiệm của hệ (20) là duy 
nhất: 
10
1
( , ) , 1, 2,..., ;
n
i ij x t i
j
u q D D f i n
a 
 

b) giả sử 11 0det ( , ) ... , 1 .
l l
t x l t l tD D a D a D a l n
  Khi đó nghiệm của 
hệ (20) được viết dưới dạng sau 
0
1, 1 2, 2 ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
t n
i i i l i l ij x t i
jt
u c x q t c x q t c x q t K t s q D D f x s ds
 (21) 
trong đó 1, 2, ,( ), ( ),..., ( )i i l ic x c x c x hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định, 
1 ( ),q t 2 ( ),q t ..., ( )lq t các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức 
1
1 0... , ( , )
l l
l la a a K t s 
 - nhân của toán tử tích phân Volterra có đường 
chéo chứa các phần tử không, t s tùy úy theo t , tính đến bậc 1l [12]; 
c) giả sử 11 0det ( , ) ... ,1 .
k k
t x k x k xD D b D b D b k n
  Khi đó nghiệm của hệ 
(20) được viết dưới dạng sau 
0
1, 1 2, 2 ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
x n
i i i k i k ij x t i
jx
u c t q x c t q x c t q x K x s q D D f s t ds
  (22) 
trong đó, 1, 2, ,( ), ( ),..., ( )i i k ic t c t c t hàm khả vi liên tục bất kì trong miền xác định 
, 1 ( ),q x 2 ( ),q x ..., ( )kq x - các tựa đa thức số mũ, bằng nghiệm của đa thức 
1
1 0... , ( , )
k k
k kb b b K t s 
 nhân của toán tử tích phân Volterra có đường 
chéo chứa các phần tử không x s bất kì theo x , tính đến bậc 1k ; 
d) giả sử 
1 1
det ( , ) ... , 0, 0,,0 1, ,00 0
nj n jj j
D D D D D Dx x x n nt t tn jj nj j
    
  
và nghiệm của đa thức det( )A B là số thực và khác nhau. Khi đó hệ trở thành 
Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 118 
hyperpolic [10]. Thật vậy, trong trường hợp này 0, ,det ,detn n nA B  và tất cả 
nghiệm của đa thức khác không. 
Tuy nhiên, tập nghiệm của hệ (1) với các ma trận là hằng số và (22) lại không 
trùng nhau. 
Ví dụ 1. Giả sử cho hệ sau diag{1, 0} 0.D u ut Tập nghiệm của hệ (1) có dạng 
( ( ) 0)tu c x e  , còn tập nghiệm của hệ (22) được biểu diễn theo công thức 
1( ( ) ( ) )
t tu c x e c x e  , trong đó 1( ), ( )c x c x hàm vi phân liên tục tùy ý. 
Về vấn đề này, để có thể mô tả được đầy đủ tập nghiệm của hệ (1) với các ma 
trận hằng số thì cần bổ sung thêm một số điều kiện ban đầu. Để giải quyết điều đó, 
ta cần đưa vào một vài khái niệm. 
Giả sử rằng, chùm ma trận A B C  chính quy và tồn tại ma trận đơn 
modula ( , ), ( , )t x t xP D D Q D D , đưa hệ (1) với các ma trận hằng số về dạng (7), 
trong đó 
44 0det ( , ) , t xD D a const  (23) 
1
33 1 0 3det ( , ) ... ,1 ,
l l
t x l t l tD D a D a D a l n
  (24) 
1
22 1 0 2det ( , ) ... , , 1
k k
t x k x k xD D b D b D b k n
  (25) 
1
1
1 1 1 1
1
1
11 0 1, , ,0 ,
0 0
det ( , ) ... , 0, 0,
n
n jj j j
t x j x t n j x t n n n
j j
D D D D D D     
   (26) 
và nghiệm của đa thức 11 11det( )A B là số thực và khác nhau. Theo giả thiết 
đưa ra, chùm ma trận , 1, 2,3, 4ii ii iiA B C i  chính quy. Cho nên có thể xem 
ma trận iiC không suy biến mà không ảnh hưởng đến tính thống nhất. 
Nghiệm của hệ con 44 4 4( , )t xD D z f thuộc hệ (7) khi thỏa mãn điều kiện (25) 
là duy nhất và có dạng 
4 11
4 44 4 4 4 4 4 4 4 4( , ) , ... ,t xz D D f f f f n
     (27) 
Trong đó, 14 44 44 44[ ]t xC A D B D
  . Xem xét hệ con 33 3 3( , )t xD D z f từ 
(7). Biến đổi chúng thành dạng (12) và nhờ tính chính quy của chùm ma trận 
33 33A C nên theo bổ đề 2 nghiệm của nó thỏa mãn (13). Quá trình lặp (14) kết 
thúc, bởi vì theo công thức (23), (26) cấp của đạo hàm theo x của ( , )f x t trong 
công thức của nghiệm không vượt quá n . Do đó, nghiệm của hệ con sẽ được biểu 
diễn ở dạng biểu thức (15). 
Với hệ con 22 2 2( , ) ,t xD D z f 
 trong việc sử dụng (24), (27) có thể đưa ra những 
lập luận tương tự. Nếu như tồn tại sự biến đổi tương tự Z , đưa đồng thời các ma 
trận 1 111 11 11 11,B A B C A C
  thành dạng tam giác trên, thì họ nghiệm của hệ con 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 119
11 1 1( , )t xD D z f 
 có thể biểu diễn một cách rõ ràng trong điều kiện 1f
 khả vi 
liên tục. 
Thật vậy, sau khi biến đổi tương tự hệ phương trình cuối cùng 
1 1 1
1 1( ) ( ) ( , ),t xD v ZBZ D v ZCZ v Zf x t z Z v
  (28) 
sẽ có dạng ( , ),t xD w bD w cw g x t trong đó ,b c là những phần tử trong 
ma trận của hệ, , ( , )w g x t thành phần sau cùng của hàm véc tơ 1, ( , )v Zf x t
 . Công 
thức sau được thừa nhận là đúng 
( )
0
( , ) ( ,0) ( ( ), ) , 
t
ct c t sw x t e x bt e g x b t s s ds (29) 
trong đó ( , )x t hàm tùy ý. Thay (26) vào (25) ta giảm kích thước của hệ 
xuống 1 đơn vị. Thực hiện tương tự sau 1j n bước ( 1j n ) ta xây dựng được 
nghiệm chung của hệ (29), và suy ra 11 1 1( , )t xD D z f 
 . 
Hướng thứ hai để giải quyết vấn đề về tính giải được của hệ con 
11 1 11 1 11 1 1t xA D z B D z C z f 
 là dựa trên giả thiết rằng, nghiệm của đa thức 
11 11det( )A B là số thực và là nghiệm đơn [10]. Khi đó biến đổi tương tự hệ sẽ 
có dạng 
11 1 2
( , ), diag{ , , , }.t x nD v DD v Cv Zf x t D    
  
Xuất hiện câu hỏi về điều kiện để rút gọn từ hệ (1) sang hệ (7) 
Bổ đề 4. Để rút gọn từ hệ (1) với các ma trận là hằng số sang hệ (7) thì điều 
kiện cần là đa thức đặc trưng của hệ (1) phải thỏa mãn 
1 1
0 1 1 0 1 0det( ) ( ... )( ... )
l l l k k
l l k kA B C a a a a a b b b      
  
1
1
1 1 1 1
1
1
0 1, , ,0 ,
0 0
( ... ), 0, 0.
n
n jj j j
j n j n n n
j j
         
   
Điều kiện đủ đơn giản nhất là 0C . Trong trường hợp này sẽ tồn tại ma trận 
hằng P,Q với tính chất 
32
1 3 25 7 5 7
( ) diag{ , , } diag{ , , }, 0, 0,nnn n nP A B Q E N E J E N N N    
trong đó 1 2 3.n n n n Trường hợp này có thể tham khảo trong [11]. 
Câu hỏi về tính giải được của bài toán (1), (3) đối với hệ có ma trận là hằng số 
bằng giả thiết Q là ma trận biến đổi hằng số. Hiện tại vẫn chưa giải quyết được 
làm sao để biến đổi các điều kiện biên ban đầu khi thay biến ( , )t xu Q D D z trong 
trường hợp chung. Nếu như thừa nhận điều kiện giả thiết về hằng số, thì có thể 
biểu diễn 
 1 10 1 2 3 4 0 1 2 3 4( , ) ( ) ., ( , ) ( )z x t Q t z x t Q x          
 
        (30) 
Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 120 
Theo các công thức (29), (15), (17), ta xây dựng điều kiện cho tính giải được 
qua định lí dưới đây. 
Định lí 2. Giả sử:1) chùm ma trận với các ma trận là hằng số A B C  là 
chính qui và tồn tại ma trận đơn modula ( , )t xP D D và ma trận hằng số không suy 
biến Q chuyển hệ (1) thành dạng (7);. 
2) 2 1 2 1 2 1( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )C C Cn n nf x t U t T x X   , trong đó  bậc cao 
nhất của toán tử vi phân trong ma trận ( , )t xP D D ; 
3) sẽ tìm được hàm véc tơ 2 3( ), ( )c t c x sao cho đối với điều kiện biên ban đầu từ 
công thức (32) thỏa mãn điều kiện sau: 
3 3
0
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ,t tx V t c x V t c x V t c x f f f
     
  
3 2
0
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ;x xt V x c t V t c t V t c t f f f
     
  
4) các hệ thức sau được thỏa mãn 
3 3
0
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ,x xt V t c x V t c x V t c x f f f
     
  
3 2
0
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 |( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( )] ... [ ( ) ( )] ... } ;t tx V x c t V t c t V t c t f f f
     
   
4
0
1
4 4 4 4 4 4 4 4 |( ) { ... , } ,t tt f f f n
    
4
0
1
4 4 4 4 4 4 4 4 |( ) { ... , } ,x xx f f f n
    
5) hàm véc tơ 1 1( ), ( )t x  thỏa mãn tại điểm 0 0( , )x t , đặc biệt, 1 0 1 0( ) ( )t x  
và tất cả nghiệm của đa thức 11 11det( )A B là nghiệm đơn và số thực, trong đó ở 
công thức (9) tất cả 0j ; 
Khi đó trong miền U xác định được ít nhất một nghiệm của hệ (1), (3). 
Để xây dựng các điều kiện đảm bảo tính duy nhất của nghiệm ta cần bổ sung 
thêm yêu cầu cho các điều kiện ban đầu của bài toán. 
Bổ đề 5. Giả sử các điều kiện của định lí 1 được thỏa mãn và ma trận con ở 
phần bên phải của đẳng thức (7) có dạng (19). Khi đó bài toán (1), (3) có nghiệm 
duy nhất trong miền U . 
4. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BỘ TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ, ĐỐI LƯU 
Vấn đề điều khiển các trạm nhiệt điện là một trong những vấn đề nóng hổi nhất 
hiện nay. Để giải quyết vấn đề này, cần phải tạo ra các mô hình toán học của các 
trạm nhiệt điện. Trong công trình nghiên cứu [6] đã trình bày mô hình tổ hợp của 
trạm nhiệt điện. Các quá trình trao đổi nhiệt trong mô hình này được viết bằng 
PTVP thường. Các tính toán trong mô hình này cũng đã chỉ ra rằng, một số chế độ 
của tổ hợp hoạt động không đúng với yêu cầu thực tế, bởi các phương pháp áp 
dụng mô hình hóa bộ trao đổi nhiệt đã gây ra những sai sót đó. Nhưng do các yêu 
cầu cần mô hình hoạt động trong thời gian thực cũng như những kỹ thuật tính toán 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 121
lúc đó chưa phát triển nên người ta phải lựa chọn giải pháp như vậy. Còn hiện nay 
một trong những mô hình thích hợp nhất là mô hình dựa trên các PTVP đại số đạo 
hàm riêng dạng (1). 
Dưới đây sẽ trình bày mô hình mô tả bộ trao đổi nhiệt bức xạ, đối lưu được viết 
bằng PTVP đại số đạo hàm riêng: nước chảy trong ống được đun bằng khí nóng. 
Theo định luật bảo toàn, ta thu được các phương trình sau: 
1) phương trình năng lượng đối với nước 
 ( , ) ) 0;n nn n n n n n n
I I
f G F t I p
x

 
  
 
 (31) 
2) phương trình cân bằng với thành ngăn cách 
[ ( , ) )] ( , ) 0;
g
k k n n n g g luch
g
I
M c F t I p F Q x
c
 


   

(32) 
3) phương trình năng lượng cho dòng khí 
0;
g g g
g g g g g
g
I I I
f G F
x c

 
  
 
 (33) 
4) phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa tiêu hao áp suất và cân bằng năng 
lượng 
( , , ) 0;n nI p G (34) 
5) mối tương quan khép kín xác định điều kiện truyền nhiệt và phương trình 
trạng thái. 
 Trong đó  thời gian; x chiều dài thiết bị; *I entanpi của các dòng; 
  ** , , ;n g k t nhiệt độ của các dòng (nước, khí, kim loại); ;  nhiệt độ của 
thành; * mật độ; *G khối lượng lưu lượng; *M khối lượng; *F bề mặt 
đun nóng; *c nhiệt dung; hệ số tỏa nhiệt; p áp lực, luchQ nhiệt bức xạ. 
Các đại lượng cần tìm là , , , , .n g nI I p G 
Các kết quả tính toán cho thấy có sự cải thiện đáng kể về kết quả mô phỏng với 
việc sử dụng hệ có tham số phân bố có dạng (31)- (34). 
5. KẾT LUẬN 
Trong bài báo này tác giả đưa ra các điều kiện về tính giải được của bài toán 
biên ban đầu dạng (1), (3). Các kết quả thu được làm tiền đề cho việc nghiên cứu 
hệ gần tuyến tính và xây dựng phương pháp giải nghiệm số hiệu quả nhất cho bài 
toán (1), (3). Từ đó tạo cơ sở đúng đắn cho việc áp dụng vào các bài toán mô hình 
hóa sử dụng PTVP đại số đạo hàm riêng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật . 
Công nghệ thông tin 
N. K. Điệp, V. F. Chystyakov, “Nghiên cứu tính giải được  mô hình hóa trạm điện.” 122 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. C.Л.Соболев, «Об одной новой задаче математической физики», Изв. 
АН СССР. Сер. мат., т. 18, pp. 3-50, 1954. 
[2]. G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov, Linear Sobolev type equations and degenerate 
semigroups of operators, Utrecht-Boston: VSP, 2003. 
[3]. M. Gunther, P. Rentrop, PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen 
schaltungssimulation, Preprint 99/3. Universitet Karlsruhe, IWRMMM, 1999. 
[4]. S. M. Wade, I.B. Paul, "A differentiation index for partial differential-
algebraic equations", SIAM J. Sci. Comp., vol. 21, no. 6, pp. 2295-2316, 2000. 
[5]. S.L. Campbell, W. Marzalek, "The Index of Infinite Dimensional Implicit 
System", Mathematical and Computer Modelling of System, vol. 5, no. 1, pp. 
18-42, 1999. 
[6]. А.А. Логинов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чистяков, «Алгебро - 
дифференциальная система математической модели энергоблока 
ТЭС», ИСЭМ СО РАН, pp. 119-122, 1998. 
[7]. Ю. Бояринцев, "Применение обобщенных обратных матриц к решению 
и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными 
производными первого порядка", СЭИ СО АН СССР, pp. 123-141, 1984. 
[8]. В.Ф. Чистяков, М. Пешич, "О непрерывной зависимости решений 
линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений от 
параметра", Дифференциальные уравнения, vol. 45, no. 3, pp. 363-372, 
2009. 
[9]. Г.В. Демиденко, С.В. Успенский, Уравнения и системы не разрешенные 
относительно старшей производной, Новосибирск: Науч.кн., 1998. 
[10]. И.Г.Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными, 
Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-
теоретической литературы, 1950. 
[11]. О.В. Бормотова, В.Ф. Чистяков, "О методах численного решения и 
исследования систем не типа Коши-Ковалевской", Журн. вычислит. 
математики и мат. физики, vol. Т.44, no. 8, pp. 1380-1387, 2004. 
[12]. И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных 
уравнений, М: Наука, 1961. 
[13]. С.В. Гайдомак, В.Ф. Чистяков, "О системах не типа Коши-Ковалевской 
индекса (1,k)", Вычислительные технологии, vol. 10, no. 2, pp. 45-59, 
2005. 
[14]. Э.А. Таиров, В.В. Запов, "Интегральная модель нелинейной динамики 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018 123
парогенерирующего канала на основе аналитических решений", ВАНТ. 
Сер. Физика ядерных реакторов, vol. 3, pp. 14-20, 1991. 
[15]. Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков, Алгебро-дифференциальные системы. 
Методы численного решения и исследования, Новосибирск: Наука. Сиб. 
предприятие РАН, 1998. 
ABSTRACT 
STUDY OF SOLVABILITY OF PARTIAL DIFFERENTIAL 
ALGEBRAIC EQUATIONS AND APPLYING IT 
FOR MODELING PROBLEM OF POWER STATION 
This paper considers evolutionary system of partial differential equations 
depending on a space variable. The matrices multiplying the derivatives of 
the sought vector function are assumed to be singular. Such systems are 
commonly called partial algebraic differential equations. In this paper, we 
introduce a notion of split systems. From this system, we can investigate the 
structure of general solutions of differential algebraic equations and, in some 
cases, we can establish solvability of initial-boundary value problems. 
Keywords: Differential-algebraic equations; Partial derivative; Hyperbolic; Singular system, Index; Modeling. 
Nhận bài ngày 27 tháng 6 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 27 tháng 9 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018 
Địa chỉ: 1 Viện CNTT/ Viện KH-CN QS; 
 2 Viện nghiên cứu động lực học và lí thuyết tự động / Viện Hàn lâm KH Nga. 
 * Email: diep62@mail.ru.