Nghiên cứu tạo hình biên dạng răng của hệ bánh răng không tròn thường bằng thanh răng sinh và bánh răng sinh Novikov

Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
11 
Nghiên cứu tạo hình biên dạng răng của hệ bánh răng không tròn thường 
bằng thanh răng sinh và bánh răng sinh Novikov 
Shaping Tooth Profile of Common Non-Circular Gears Using Rack and Novikov Tooth Profile 
Nguyễn Hồng Thái1,*, Nguyễn Thành Trung1,3 
 Nguyễn Thùy Dương1, Nguyễn Hoàng Việt1 
1
 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1 Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội. 
2
 Viện nghiên cứu Cơ khí - Số 4, Phạm Văn Đồng, Cầu Giấy, Hà Nội. 
Đến Tòa soạn: 17-5-2019; chấp nhận đăng: 20-01-2020 
Tóm tắt 
Hệ bánh răng không tròn thường đã và đang được ứng dụng trong các hệ thống truyền động có tỉ số truyền 
biến đổi như: cần gạt nước ô tô, hộp biến đổi tốc độ CVT hay cơ cấu đánh lái của các dòng ô tô thế hệ mới 
v.v Cho đến hiện nay, khi nghiên cứu về các hệ bánh răng này hầu hết các nhà khoa học trong và ngoài 
nước đều chỉ tập trung vào các loại bánh răng không tròn với biên dạng là đường thân khai của đường tròn 
hoặc đường hypebol còn biên dạng kiểu Novikov chưa được đề cập đến. Trong bài báo này các tác giả ứng 
dụng thanh răng sinh và bánh răng sinh Novikov để tạo hình biên dạng cho các bánh răng cấu thành lên hệ 
bánh răng không tròn thường với biên dạng kiểu Novikov. Để giải quyết vấn đề này trong từng cặp bánh 
răng của hệ, thì bánh răng chủ động sẽ được tạo hình biên dạng răng bằng phương pháp bao hình thông 
qua thanh răng sinh Novikov, còn biên dạng bánh răng bị động sẽ được tạo hình từ bánh răng sinh Novikov 
(bánh răng được hình thành từ thanh răng sinh Novikov) để đảm bảo điều kiện ăn khớp đối tiếp và tránh 
được hiện tượng cắt lẹm chân răng. Trên cơ sở đó nghiên cứu này đưa ra quy trình tổng hợp các hệ bánh 
răng không tròn thường với biên dạng răng kiểu Novikov. 
Từ khóa: Bánh răng Novikov, bánh răng không tròn, hệ bánh răng thường, thiết kế biên dạng răng. 
Abstract 
Non-circular gear units have been used in variable transmissions such as car wipers, CVT speed variants or 
steering mechanism in new car generations, etc. Until now, most scientists are only focused on non-circular 
gears with involute profile of a circle or a hyperbola when researching these gears. The Novikov-type 
profiles have not been mentioned. In this work, the authors use the Novikov gears and racks to generate the 
tooth profile of non-circular gears. To solve this problem for each pair of gears in a gear train, the tooth 
profile of the driving gear is formed by finding the envelope of a Novikov rack, while the tooth profile of the 
drive gear is formed using gear shaping method (with the driving gear used as the cutter) to ensure meshing 
ratio and to prevent undercutting. Based on that, the study provides a general procedure for the synthesis of 
Novikov non-circular gears. 
Keywords: Novikov gears, noncircle gears, simple gear train system, profile design. 
1. Đặt vấn đề1 
Bánh răng Novikov hay còn gọi là bánh răng W-
N (Wildhaber - Novikov) được đề xuất bởi Wildhaber 
(1926) và Novikov (1956) đây là loại bánh răng trụ 
tròn răng xoắn với tỷ số truyền không đổi, có biên 
dạng là các cung tròn lồi, lõm [1, 2]. Sự khác biệt của 
hai phát minh này là ở đặc điểm tiếp xúc trong quá 
trình ăn khớp, cặp bánh răng (BR) được đề xuất bởi 
Wildhaber là tiếp xúc đường, còn cặp BR được đề 
xuất bởi Novikov là tiếp xúc điểm [3]. Ưu điểm của 
loại biên dạng W-N là khả năng chịu tải và chịu mài 
mòn cao hơn biên dạng thân khai và thường được ứng 
* Địa chỉ liên hệ: Tel.: (+84) 913530121 
Email: thai.nguyenhong@hust.edu.vn 
dụng ở dải tốc độ thấp. Chính vì vậy, bánh răng W-N 
là chủ đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế 
giới như: ứng dụng biên dạng thanh răng sinh W-N 
để tạo hình biên dạng của cặp bánh răng hypôít [4], 
hay cải tiến biên dạng W-N bằng cung parabol để 
nâng cao khả năng tải [5]. Đó là các nghiên cứu về 
BR có tỷ số truyền không đổi, còn ứng dụng biên 
dạng cung tròn cho bánh răng không tròn (BRKT) có 
tỷ số truyền thay đổi thì cho đến nay, chưa có một 
nghiên cứu nào mặc dù BRKT cũng là một chủ đề 
nghiên cứu được nhiều nhà khoa học trên thế giới 
quan tâm, tiêu biểu là Litvin và Dooner [6, 7]. Do đó, 
việc ứng dụng biên dạng W-N làm biên dạng của 
răng BRKT để nâng cao khả năng tải và chịu mài mòn 
cho các ứng dụng cần mô men và tải lớn là cần thiết. 
Đây chính là nội dung nghiên cứu của bài viết . Để 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
12 
giải quyết vấn đề này nhóm tác giả bài viết sử dụng 
thanh răng sinh và BR sinh Novikov để tạo hình biên 
dạng cho các cặp BRKT. Để minh họa cho phương 
pháp nghiên cứu, trong bài viết này chúng tôi lấy một 
ví dụ minh họa là hệ BRKT thường có lược đồ cho 
trên Hình 1. 
2. Thiết kế đường lăn của hệ BRKT thường 
2.1. Cơ sở lý thuyết thiết kế 
Theo [8] và cơ sở lý thuyết mà chúng tôi đã trình 
bày chi tiết ở [9], trong nội dung này chúng tôi tóm 
tắt lại để có tính lôgíc và làm cơ sở thiết kế đường lăn 
của hệ BRKT. Do đó, trong trường hợp tổng quát hàm 
truyền của cặp BRKT được cho: 
))((
))(()1(
)(
1,
1,
 
 

jj
jj
e
jj
jjj
A
i
 (1) 
Trong đó: j là ký hiệu cho BR chủ động ( với j là các 
số nguyên dương); ))((  jj là bán kính cực tại thời 
điểm j ; j là góc quay của BR chủ động tại thời 
điểm đang xét (trong hệ quy chiếu gắn liền với 
giá), là góc cực (tham số) hình thành đường lăn j 
của BR chủ động (trong hệ quy chiếu của BR j); còn e 
là hệ số xét dấu (e = 1 khi cặp BRKT ăn khớp ngoài, 
e = 0 khi cặp BRKT ăn khớp trong); 1, jjA là khoảng 
cách trục của cặp BRKT (j, j+1). 
Như vậy, tương ứng với từng điểm Pj (tâm ăn 
khớp) trên j được cho bởi bán kính cực ))((  jj và 
góc quay j của BR j ta có bộ tham số thiết kế đường 
lăn của BR bị động ăn khớp tương ứng với BR chủ 
động trong trường hợp tổng quát: 
))(()1()))((( 1,11   jj
e
jjjjj A (2) 
)(
0 1,
)(
0
,11
))((
))(()(




jj
jjj
j
jjjjjj
i
d
di (3) 
Mặt khác, do điều kiện lăn không trượt của hai 
đường lăn trên BR chủ động và bị động khi ăn khớp, 
nếu gọi nj là số vòng quay của BR chủ động để BR bị 
động quay hết 1 vòng, khi đó ta có: 
j
n
e
jj
jj
d
A
j

 
2
0
1,
)1(
))((
2 (4) 
Với nj là số dương, từ phương trình (4), nếu cho trước 
hàm tỷ số truyền )(1, jjji  thì khoảng cách trục được 
cho bởi jjjjjjj nifA  ,),(1,1,  , còn khi cho 
trước khoảng cách trục 1, jjA thì xác định được hàm 
truyền )(1, jjji  . 
2.2. Thiết lập phương trình đường lăn của hệ BRKT 
thường 
Từ cơ sở lý thuyết trình bày trong mục 2.1, nhóm 
tác giả tiến hành thiết kế đường lăn của các BRKT 
trong hệ BR thường có lược đồ cho trên Hình 1 với 
giả thiết biết trước: đường lăn 1 của BR1 là đường 
elíp chính tâm và đường lăn 4 của BR4 là elíp lệch 
tâm. 
Bài toán đặt ra là xác định: đường lăn 2 của 
BR2, đường lăn 3 của BR3 và khoảng cách trục A12, 
A34. Để đơn giản trong trường hợp này coi 
jj  )( , khi đó xét: 
 Trường hợp 1: cặp BRKT 1-2 (cặp bánh răng ăn 
khớp trong) 
Theo [10] đường lăn 1 được cho bởi: 
 1111111111 )2cos()()(2)(
  bababa (5) 
Trong đó: 11,ba lần lượt là bán trục lớn và bán trục 
nhỏ của elíp  1; 1 là tham số của  1, thay (5) vào (1 
- 3) ta có: 
1
0
1
111111112
11
12
11111
1
1112112
1112122
2)2cos()()(
2
)(
1)2cos()()()2()(
)())((





  
d
bababaA
ba
bababaAi
A
 (6) 
Thay (6) vào (4) áp dụng tích phân Dwight [6] sau 
khi giải, ta có khoảng cách trục 12A : 
 5.0211121111111112 ))(1(4)()()2(),,( nbababanbaA (7) 
 Trường hợp 2: cặp BRKT 3-4 (cặp bánh răng ăn 
khớp ngoài) 
4 
Trục ra 
Hình 1. Hệ BRKT thường ăn khớp trong 
A
3
4
A
1
2
3 
2 
Trục vào 
1 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
13 
Trong trường hợp này giả thiết BR4 là bánh chủ 
động để tìm đường lăn của BR4, khi đó theo [6] 
phương trình đường lăn 4 của BR4 là elíp lêch tâm 
đươc cho bởi: 
1
4
2
444 )cos1)(1()(
  EEa (8) 
Trong đó: 4a là bán truc lớn của 4, 4 là góc 
tham số của 4, E là tâm sai của 4 và 
5.02
4
2
4 )1(
 abE 
Thay (8) vào từ (1 - 3) ta có: 
 
4
0
4
12
4434
2
443
12
4
2
4443443
4434433
)1()cos1()1(()(
)1(())1(()cos1()(
)())((



  
dEaEAEa
EaEaEAi
A
 (9) 
Thay (9) vào (4) áp dung tích phân Dwight và giải ta 
có khoảng cách trục 34A : 
   5.05.024244434 )1)(1(1(1),,( nEanEaA (10) 
2.3. Phân tích động hoc và thiết kế đường lăn của 
hệ BRKT thường 
Trên cơ sở phương trình đường lăn của hệ BRKT 
đã được thiết lập ở mục 2.2 áp dụng cho lươc đồ Hình 
1 với: BR1 có đường lăn là một elíp chính tâm với các 
thông số thiết kế 1a = 43.4 mm, 1b = 35 mm, 1n = 2, 
và BR4 có đường lăn là elíp lệch tâm với các tham số 
thiết kế 4a = 29 mm, 4E = 0.5 mm, 4n = 2.5. Thay 
vào (7 và 10) ta có khoảng cách trục 12A = 58.59 
mm, 34A = 81.264 mm. Như vậy, đường lăn của hệ 
BRKT được tổng hợp được cho trên Hình 2. 
Từ Hình 2, ta có hàm truyền của hệ được cho bởi: 
1
143112114 ))()(()(
  iii (11) 
Với các thông số thiết kế đường lăn như trên, 
Hình 3 là đồ thị hàm truyền )( 114 i của hệ. 
Từ Hình 3 cho thấy sự biến đổi của hàm truyền 
của hệ BRKT lớn hơn từng cặp tương ứng. Điều đó có 
nghĩa dải biến đổi mô men của hệ sẽ lớn hơn từng 
cặp. 
3. Tạo hình biên dạng răng của các BRKT trong 
hệ 
3.1. Thiết lập phương trình biên dạng răng của 
BRKT 1 và 4 
a) Phương trình mô tả biên dạng răng của thanh 
răng sinh Novikov 
Theo tài liệu [8] phương trình biên dạng sinh 
{ S } của thanh răng Novikov được cho bởi: 
{
S
 }: TotttnSotttS ypnx ]sincos[   r (12) 
Trong đó: 
t
 là các bán kính cực cung tròn, với 
),,( agft , còn 
t
 là góc tham số biên dạng thanh 
răng; ),(
otot
yx là tọa độ tâm các cung tròn hình thành 
biên dạng thanh răng (xem Hình 4); 
t
 là tham số góc 
của các cung tròn; 
n
p là bước răng và mp
n
(mm), với m là mô đun tiêu chuẩn (mm); fh là chiều 
cao đỉnh răng (mm); ph chiều cao chân răng (mm) 
với chiều cao răng h = h f + h p (mm); tt’ là đường 
chia (đường trung bình) của thanh răng sinh, khi đó 
chiều dày răng 
v
t bằng chiều rộng rãnh răng 
u
t , tức 
vt = 2nu pt ; nS là số răng trên thanh răng. 
b) Xác định mối quan hệ giữa chuyển động tịnh tiến 
của thanh răng sinh Novikov và góc quay của BRKT 
khi tạo hình biên dạng răng 
Xét một cặp BRKT 1-2 ăn khớp với nhau, với giả 
thiết bán kính vòng lăn ))(( 122  , khi đó BR2 
suy biến thành thanh răng S và đường lăn 2 (2) suy 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Hình 3. Hàm truyền của hệ BRKT được tổng hợp 
i12 
i34 
i14 
[rad] 
T
ỷ
 s
ố
 t
ru
y
ề
n
4 
Hình 2. Đường lăn của hệ BRKT thường sau khi tổng 
hợp 
A
1
2
1 
3 
 2 
Trục ra 
Trục vào 
A
3
4
 1 
 3 
3 
 4 
 2 
O2  O3 
O4 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
14 
biến thành đường thẳng tt’ (đường chia S) của thanh 
răng sinh Novikov S . 
Như vậy, tại điểm tâm ăn khớp P đường thẳng 
(S) luôn lăn không trượt trên đường lăn 1. Dẫn đến 
vận tốc tương đối 0
1
SPP
V (vận tốc tương đối giữa 
điểm P1 thuộc 1 và điểm PS thuộc S), do đó: 
01 PSP VV (12) 
Trong đó: 
 
 ))(())(('))((
)(
1
1
0
5.0
11111
1
1


  


h
dt
d
V
dt
dS
V
P
PS
 (13) 
Với: )sin())(())(( 1111   h 
Hình 4. Chuyển động tạo hình giữa thanh răng sinh 
Novikov s và BRKT 
Thay (13) vào (12) ta có mối quan hệ giữa chuyển 
động tịnh tiến )( 1S của thanh răng Novikov với góc 
quay 1 của BRKT: 
  ))(())(('))(()( 11
0
5.0
11111
1
  

hdS (14) 
Với:  là góc cực của 1 xác định vị trí của P trong hệ 
quy chiếu của BRKT1 
c) Xác định phương trình biên dạng răng của BRKT 1 
và BRKT 4 
Nếu gọi:f{Ofxfyfzf}, 1{O1x1y1z1}, S{OSxSySzS} lần 
lượt là hệ quy chiếu cố định gắn liền với giá, hệ quy 
chiếu động gắn trên BR1, hệ quy chiếu động gắn trên 
thanh răng sinh Novikov (Hình 4) thì trong quá trình 
tạo hình biên dạng răng 1 của BRKT1: 
 (i) Thanh răng sinh chuyển động tịnh tiến với vận tốc 
SV ; (ii) BRKT1 vừa quay quanh tâm O1 (tâm quay của 
bánh răng), vừa chuyển động tịnh tiến một đoạn 
)( 11  trên trục Ofyf. 
Như vậy, tương ứng với mỗi điểm KS trên s của 
thanh răng Novikov ta có một điểm K1 trên biên dạng 
1 của BRKT1 được cho bởi: 
SKS
f
f
O
OK rMMMr
1
11
1 (15) 
Trong đó: 
1000
0100
)(010
001
1S
S
f

M
;
1000
0100
0010
)(001 11
1

f
O
M
1000
0100
00cossin
00sincos
11
11
1
1


OM
Với: const  , )cos())(()( 11111    
Ngoài ra, do  TKKK yx 111 r là điểm thuộc 1, theo 
định lý đối tiếp [9] phải thỏa mãn: 
y
K
x
K
n
yS
n
x
11)(1 
 
 (16) 
Với:  Tyx nn n : là vector pháp tuyến của 
s ( đường biên dạng thanh răng Novikov). 
Bảng 1. Bộ thông số thiết kế của dao thanh răng 
Novikov 
STT 
Ký 
hiệu 
Đơn vị 
Giá trị 
Thanh răng 1 Thanh răng 4 
1 m mm 2.5 2 
2 f mm 3.5 2.93 
3 a mm 3.75 2.8 
4 g mm 1.3 0.87 
fO 
Đường đỉnh răng 
Đường chia 
xS 
Đường chân răng 
yS 
Og 
a 
a 
ph 
f 
OT 
aO 
g 
g 
f 
h 
2
nP 
Hình 4. Thanh răng sinh Novikov 
fh 
SV 
)( 11  
s 
S 
yf 
xf 
 
Of 
 1 
h
(
1
(
))
S
(
1
 )
s
(
) Ks 
 1(1()) 
xS 
yS OS 
P 
1 
 
y1 
x1 
P0 
1 
O1 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
15 
Áp dụng phương trình biên dạng BRKT đã xác 
định dưới dạng tổng quát ở trên, thiết kế biên dạng 
răng Novikov cho BRKT1 và BRKT4 của hệ BRKT 
thường với thông số thiết kế của dao thanh răng 
Novikov1 và Novikov4 được cho trong Bảng 1 và 
Hình 5. Từ mô đun cho trước theo tiêu chuẩn Bảng 1 
ta xác định được số răng z1=32, z4=27. Trong trường 
hợp số răng 1z , 4z không phải là số nguyên dương thì 
cần phải xác định lại các tham số 4411 ,,, Eaba thông 
qua chu vi 1C , 4C của đường lăn 1 và 4 : 
4
5.0
4
44
2
4444
2
0
2
44
2
44
4
1
5.0
4
11111
2
11111
2
0
2
11111
11
1
)cos1(
sin)1(
cos1
)1(
))2cos()((
)2sin()(8
)2cos()(
2








d
E
EEa
E
Ea
C
d
baba
baba
baba
ba
C
 (17) 
Biên dạng răng của BR1 và BR4 sau khi tổng hợp 
được cho trên Hình 6 dưới đây. 
Hình 6. Biên dạng răng Novikov sau khi được tạo 
hình 
3.2. Thiết lập mô hình toán học mô tả biên dạng 
răng của BRKT bị động bằng bánh răng sinh 
Novikov 
Sau khi đã thiết kế được biên dạng răng ( 41, ) 
của BR1 và BR4. Để tạo hình biên dạng BR2 và BR3 
sao cho các cặp BR 1-2 và BR 3-4 cùng mô đun m 
trong phần này coi BR1 và BR4 là BR sinh để tạo hình 
biên dạng răng cho BR2 và BR3 đối tiếp theo từng cặp 
tương ứng của hệ BRKT có lược đồ ở Hình 1. 
Xét cặp BRKT 1-2, để thực hiện tạo hình biên 
dạng răng của BR2 bằng bánh răng sinh Novikov theo 
phương pháp đổi giá [11] ta coi BR2 là giá còn đoạn 
O1O2 là cần mang BR1 thực hiện 2 chuyển động (xem 
Hình 7): (i) Quay quanh tâm quay O1 của BR1 một 
góc 1; (ii) Quay quanh tâm quay O1 của BR2 một 
góc - 2. 
Như vậy, nếu đặt 2{O2x2y2 z2} là hệ quy chiếu gắn 
trên BR2, thì khi đó 2 được coi là hệ quy chiếu cố 
định. Với chuyển động của BR1 như trên ứng với mỗi 
điểm K1 trên 1 khi tham gia ăn khớp với BR2 sẽ hình 
thành một điểm K2 trên 2 của BR2 và được cho bởi: 
11
2
22 1
2
KO
O
OK rMMMr (18) 
Trong đó: 
1000
0100
00cossin
00sincos
11
11
1


M ;
1000
0100
0010
001 12
1
2
A
O
O
M 
1000
0100
00))(cos())(sin(
00))(sin())(cos(
1212
1212
2
2


OM ; 
Đường chia (S) 
x[mm] 
y[mm] 
7.856 
3.928 
2
.5
2
.5
1.35
4 
0
.2
1.78
1 
3.928 
1
.5
7
fO
Og 
a 
a
f
 OT 
aO
g 
g
f 
a) Thanh răng sinh tạo hình bánh răng 1 
(bánh răng Elíp chính tâm) 
x[mm] 
y[mm] 
6.28 
3.14 
1.35 
0
.2
1
3.14 
1.22 
2
0
.2
fO
Og 
a 
a
f
 OT 
aO
g 
f 
b) Thanh răng sinh tạo hình bánh răng 4 
(bánh răng Elíp lệch tâm) 
g
2
1
.3
4
Hình 5. Thông số thiết kế thanh răng Novikov 
a) Bánh răng 1 b) Bánh răng 4 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
16 
Tương tự áp dụng đối với cặp bánh răng 3 – 4 ta 
cũng có phương trình xác định biên dạng 3 của BR3 
theo công thức (17). 
Từ nguyên lý hình thành đường lăn của hệ BRKT 
được xác định trong mục 2 thì các cặp đường lăn 
( 21, ) và ( 43, ) luôn lăn không trượt trên nhau. 
Mặt khác, do bước răng được tính trên vòng lăn vì 
vậy số răng của BR2 và BR4 được cho bởi: 
443
112
znz
znz
 (19) 
Thay 1z và 4z vào (19) ta có: 802 z , 544 z . Hình 
8 là biên dạng răng của BR2 và BR4 sau khi thiết kế. 
Hình 8. Biên dạng răng của BRKT 2 và BRKT3 dau 
khi tạo hình biên dạng 
3.3. Kiểm tra điều kiện cắt lẹm chân răng 
Khi gia công bánh răng phần đỉnh thanh răng ăn 
sâu vào biên dạng của BR làm mất đi một phần chân 
răng của BR đây được gọi là hiện tượng cắt lẹm chân 
răng, lẹm chân răng sẽ làm giảm độ bền răng của 
răng trong quá trình ăn khớp đặc biệt đối với BRKT 
các răng chịu lực và mô men không đều. Vì vậy, khi 
thiết kế biên dạng răng cần phải tránh hiện tượng cắt 
lẹm chân răng, theo [6] để không có hiện tượng cắt 
lẹm chân răng thì phương trình sau phải được thỏa 
mãn: 
0
)()()(
)1(1,












dt
dff
V
r
dt
dff
V
r
j
j
j
t
j
yjj
t
yK
j
jt
j
xjj
t
K SSx









 (19) 
Trong đó: 
)1( jjV vận tốc trượt tương đối tại điểm tiếp xúc 
giữa thanh răng Novikov và BRKT khi xét trong hệ 
quy chiếu S{OSxSySzS}: 
 TKjjKjjj SxS rSr ]))(([)1(  V (20) 
 )( jf  xác định từ (16): 
xyKjyxKj nrSnrf SS ))(()(  (21) 
Hình 9. Hệ BRKT thường sau khi hiệu chỉnh và 
hoàn thiện thiết kế 
Những điểm
sS
K  không thỏa mãn hệ định 
thức (19) là những điểm gây ra cắt lẹm chân răng cần 
được kiểm tra. Áp dụng biểu thức toán học đã được 
thiết lập ở mục 2 và mục 3, sau khi kiểm tra điều kiện 
cắt lẹm chân răng Hình 9 là hệ BRKT răng thẳng biên 
dạng Novikov sau khi hiệu chỉnh so với bộ thống số 
thiết kế đường lăn ban đầu cho ở mục 2.3 như sau: 
1 có: 4.441 a mm, 351 b mm; 4 có: 
9.284 a mm, 5.04 E mm; cặp BRKT 1-2 có: 
99.5812 A mm; BRKT 3-4 có 8134 A mm. 
3.4. Quy trình thiết kế hệ BRKT thường biên dạng 
Novikov 
Từ những nghiên cứu đã trình bày ở trên, trong 
mục này đưa ra quy trình tổng quát trong thiết kế hệ 
BRKT có biên dạng Novikov như sau: 
 
O2  O3 
O1 
 
 
Hình 7. Chuyển động tạo hình giữa bánh răng sinh 
Novikov và BRKT 
1 
 2 
x2 
y2 
O2 
1 
y1 
x1 
1 
O1 
x1 
y1 
- 2 
P 
K1 
P 
 1 
 1 
P 
K1 K2 
O1 
1 - 2 
 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 011-017 
17 
Bước 1: Thiết kế đường lăn của hệ 
+ Xác định đường lăn  2,  3 theo công thức (6, 9) và 
khoảng cách trục 12A , 34A theo công thức (7, 10). 
Trong trường hợp tổng quát có thể xác định theo công 
thức (2 - 4). 
Bước 2: Thiết kế biên dạng răng của BR chủ động 
bằng thanh răng sinh Novikov 
Từ thông số thiết kế của thanh răng sinh Novikov 
được cho bởi công thức (12), ta có phương trình toán 
học mô tả biên dạng răng của BR chủ động được cho 
bởi công thức (15, 16). Tuy nhiên, khi phân bố răng 
nếu số răng của BR chủ động là số nguyên dương thì 
tiếp tục sang bước 3, còn nếu số răng của BR chủ 
động là số thập phân thì chọn phần nguyên và hiệu 
chỉnh thông số thiết kế đường lăn theo công thức (17) 
và quay về bước 1 để xác định lại bộ thông số thiết 
kế đường lăn của BR chủ động. 
Bước 3: Xác định biên dạng răng của BR bị động 
bằng bánh răng sinh Novikov. Sau khi xác định được 
biên dạng răng của BR bị động, dùng các bánh răng 
này làm BR sinh để tạo hình cho BRKT ăn khớp đối 
tiếp theo công thức (18). Tuy nhiên, cần kiểm tra điều 
kiện cắt lẹm chân răng thông qua công thức (20). Nếu 
không thỏa mãn (tức có hiện tượng cắt lẹm chân răng 
xảy ra) thì phải phân bố lại số răng và hiệu chỉnh 
thông số thiết kế thanh răng mà vẫn không thỏa mãn 
thì quay lại bước 1. 
5. Kết luận 
Điểm mới của nghiên cứu này là ứng dụng thanh răng 
sinh và BR sinh Novikov trong việc tạo hình biên 
dạng răng của các cặp BR trong hệ BRKT thường có 
biên dạng răng kiểu Novikov mà trong quá trình 
nghiên cứu về BRKT chúng tôi chưa thấy một công 
bố nào đề cập đến vấn đề này. Ưu điểm của nghiên 
cứu này là chỉ cần dùng một dao thanh răng để tạo 
hình cho một cặp cho cặp BRKT thay vì phải dùng hai 
dao thanh răng có biên dạng ngược nhau như đã trình 
bày trong [9]. Ngoài ra, nghiên cứu này còn đưa ra 
một quy trình thiết kế các hệ BRKT thường có biên 
dạng là các cung tròn kiểu Novikov trong những ứng 
dụng cần tải lớn. 
Lời cảm ơn 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Bộ giáo dục và 
Đào tạo trong đề tài cấp Bộ, Mã số B2019 - BKA – 
09. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Gang Ye, Xian-You Ye, A new method for seeking 
the optimum gear tooth profiles the theoretical basis 
of Wildhaber–Novikov gearing, Mechanism and 
Machine Theory 37 (2002) 1087–1103. 
[2] Faydor L. Litvin, Alfonso Fuentes, Ignacio Gonzalez-
Perez, Luca Carnevali, Thomas M. Sep, New version 
of Novikov–Wildhaber helical gears: computerized 
design, simulation of meshing and stress analysis. 
Comput, Methods Appl. Mech. Engrg. 191 (2002) 
5707–5740. 
[3] Faydor L. Litvin, Alfonso Fuentes, Gear Geometry 
and Applied Theory, Cambridge University Press 
(2004). 
[4] K. Syzrantseva, V. Syzrantsev, Estimation of 
Novikov Gearing Loading Capacity Based om f 
Novikov Gearing Loading Capaci, Procedia 
Engineering 206 (2017)1081–1086. 
[5] Houjun Chen, Xiaoping Zhang, Xiong Cai, Zhilan Ju, 
Chang Qu, Donghe Shi, Computerized design, 
generation and simulation of meshing and contact of 
hyperboloidal-type normal circular-arc gears, 
Mechanism and Machine Theory 96 (2016) 127–145. 
[6] Faydor L. Litvin, Alfonso Fuentes Aznar, Ignacio 
Gonzalez Perez, Kenichi Hayasaka, Noncircular 
Gears Design and Generation, Published in the 
United States of America by Cambridge University 
Press (2009). 
[7] David B. Dooner, Kinematic geometry of gearing, 
Wiley, (2012). 
[8] F.L. Litvin, Jan Lu. New Methods for Improved 
Double Circular-Arc Helical Gears. Report Army 
Research Laboratory, NASA (1997). 
[9] Nguyễn Thành Trung, Nguyễn Hồng Thái, Đàm 
Công Trưởng, Ứng dụng biên dạng Novikov trong 
thiết kế hệ bánh răng không tròn, Hội nghị Cơ học kỹ 
thuật toàn quốc Kỷ nệm 40 năm thành lập Viện Cơ 
học, Hà Nội 2019. 
[10] Libardo V. Vanegas-Useche, Magd M. Abdel-
Wahab, Graham A. Parker. A New Noncircular Gear 
Pair to Reduce Shaft Accelerations: A Comparison 
with Sinusoidal and Elliptical Gears. Dyna, 83(198) 
(2016), 220-228. 
[11] Đinh Gia Tường, Nguyễn Xuân Lạc, Trần Doãn Tiến, 
Nguyên Lý Máy, Nhà xuất bản Đại học và Trung học 
chuyên nghiệp (1970).