Nghiên cứu sự tăng cường phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức bậc thang có mở rộng doppler

V. N. Sáu, P. Tuệ / Nghiên cứu sự tăng trưởng phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức 
 40 
NGHIÊN CỨU SỰ TĂNG CƯỜNG PHI TUYẾN KERR 
CỦA MÔI TRƯỜNG EIT BA MỨC BẬC THANG 
CÓ MỞ RỘNG DOPPLER 
Vũ Ngọc Sáu (1), Phạm Tuệ (2) 
1 Trường Đại học Vinh 
2 Trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh 
Ngày nhận bài 18/12/2018, ngày nhận đăng 16/02/2019 
Tóm tắt: Chúng tôi nghiên cứu sự tăng cường của hệ số phi tuyến Kerr (tự biến 
điệu pha) trong môi trường nguyên tử ba mức năng lượng cấu hình bậc thang bằng 
phương pháp giải tích. Các kết quả được áp dụng cho hệ nguyên tử 85Rb cho thấy rằng, 
khi xẩy ra hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (electromagnetically induced 
transparency - EIT) thì hệ số phi tuyến Kerr được tăng cường vài bậc (có biên độ cỡ 10-5 
cm
2
/W) xung quanh miền phổ trong suốt. Trên đồ thị hệ số phi tuyến Kerr xuất hiện hai 
miền giá trị âm - dương hai bên tần số cộng hưởng. Biên độ và dấu của hệ số phi tuyến 
Kerr điều khiển được theo cường độ hoặc tần số của trường laser điều khiển. Ảnh hưởng 
của mở rộng Doppler hay nhiệt độ môi trường làm giảm đáng kể biên độ của hệ số phi 
tuyến Kerr. Kết quả giải tích là hữu ích cho quan sát thực nghiệm và nghiên cứu các ứng 
dụng liên quan. 
I. MỞ ĐẦU 
Sự ra đời của nguồn sáng laser với tính chất kết hợp cao, độ đơn sắc cao và công 
suất lớn đã tạo ra nhiều hiệu ứng quang cực kỳ thú vị mà trước đây các nguồn sáng thông 
thường không có. Thí nghiệm của Franken 1961 đã trở thành điểm mốc lịch sử đánh dấu 
sự ra đời lĩnh vực nghiên cứu mới cho “Quang học phi tuyến”. Lĩnh vực này đang khẳng 
định vị thế của mình với những thành tựu khoa học nổi bật và sẽ là lĩnh vực đầy triển 
vọng cho những ứng dụng công nghệ trong tương lai. 
Có hai hiệu ứng phi tuyến Kerr thường gặp đó là phi tuyến Kerr tự điều biến pha 
(Self-Kerr) và phi tuyến Kerr biến điệu pha chéo (Cross-Kerr). Đối với vật liệu truyền 
thống, do hệ số phi tuyến thường rất nhỏ (cỡ 10-10 - 10-20 cm
2
/W) nên các hiệu ứng quang 
phi tuyến chỉ khả thi với các nguồn sáng có cường độ lớn. Để khắc phục điều này, các 
nhà nghiên cứu đã đề xuất biện pháp tăng cường hệ số phi tuyến của môi trường bằng 
cách sử dụng ánh sáng có bước sóng nằm trong lân cận cộng hưởng nguyên tử của môi 
trường 1 . Theo cách này, ch ng ta có thể tạo được hệ số phi tuyến Kerr tăng lên hàng 
chục triệu lần so với trường hợp xa cộng hưởng 2 . Do đó, chúng ta có thể tăng được độ 
nhạy hay giảm được cường độ t n hiệu quang hàng triệu lần (giảm ngưỡng phi tuyến so 
với khi sử dụng môi trường truyền thống. Tuy nhiên, việc sử dụng vật liệu Kerr trong 
miền phổ cộng hưởng sẽ gặp trở ngại lớn là hệ số hấp thụ lại tăng vọt làm suy hao t n 
hiệu, gây ra hiệu ứng nhiệt cho các thiết bị. vậy, các nhà khoa học luôn tìm kiếm các 
giải pháp làm giảm hấp thụ của nguyên tử trong lân cận cộng hưởng. 
Hiện nay, ch ng ta có thể điều khiển làm triệt tiêu hệ số hấp thụ và thay đổi hệ số 
tán sắc trong miền cộng hưởng của vật liệu dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ 
- EIT [3]. Cấu h nh cơ bản của môi trường EIT ba mức bao gồm lambda, bậc 
Email: sauvn04@yahoo.com (V. N. Sáu) 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 40-49 
 41 
thang và chữ V. Do sự hấp thụ bị suy giảm nên môi trường thường xuất hiện k m theo 
các hiệu ứng khác như làm chậm/tăng tốc vận tốc nhóm ánh sáng [4], tăng cường t nh phi 
tuyến Kerr [5], [6], [7], tạo hiệu ứng lưỡng ổn định/đa ổn định quang học của nguyên tử 
[8] .v.v. 
Những nghiên cứu ban đầu về phi tuyến Kerr trong môi trường EIT được thực 
hiện bởi nhóm nghiên cứu Schmidt đã cho thấy hệ số phi tuyến Kerr biến điệu pha chéo 
được tăng lên vài bậc khi có mặt của hiệu ứng EIT [5]. Bằng chứng thực nghiệm đầu tiên 
cho thấy sự tăng cường hệ số phi tuyến Kerr tự biến điệu pha dựa vào hiệu ứng EIT của 
hệ ba mức cấu h nh lambda cũng đã được quan sát vào năm 2001 bởi nhóm nghiên cứu 
Xiao ở Mỹ [6]. Kết quả cho thấy khi có EIT thì phi tuyến Kerr được tăng vọt xung quanh 
tần số cộng hưởng (cỡ 7.10-6 cm2/W . Mô h nh này sau đó được phát triển bằng phương 
pháp giải tích và cho thấy sự phù hợp tốt với quan sát thực nghiệm [7]. 
Cho đến nay, phi tuyến Kerr đã được nghiên cứu cả lý thuyết và thực nghiệm 
trong hệ nguyên tử ba mức cấu hình lambda. Trong công trình này, ch ng tôi đề xuất mô 
hình nghiên cứu sự tăng cường hệ số phi tuyến Kerr (tự biến điệu pha) của môi trường 
nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang khi có mặt của mở rộng Doppler. Sử dụng lý 
thuyết bán cố điển, chúng tôi dẫn ra được biểu thức của hệ số phi tuyến Kerr theo các 
tham số của các trường laser và của nhiệt độ môi trường. Từ đó, ch ng tôi khảo sát ảnh 
hưởng của các tham số laser và nhiệt độ môi trường lên hệ số phi tuyến Kerr của môi 
trường nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang. 
II. MÔ HÌNH LÝ THUYẾT 
Xét môi trường nguyên tử ba mức năng lượng được k ch th ch bởi một ch m 
laser d có cường độ yếu (tần số p và cường độ điện trường Ep) và một ch m laser điều 
khiển có cường độ mạnh hơn (tần số c và cường độ điện trường Ec) theo các cấu h nh 
bậc thang như trên hình 1. 
Hình 1: Sự kích thích hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang. 
Dưới tác dụng của các trường laser, sự tiến triển của các trạng thái lượng tử của 
hệ có thể được mô tả thông qua ma trận mật độ ρ theo phương tr nh Liouville [7]: 
 ,
i
H  , (1) 
ở đây,  đặc trưng cho cho các quá tr nh t ch thoát của hệ, H là Hamilton toàn phần 
được xác định bởi: 
 0 I
H H H , (2) 
V. N. Sáu, P. Tuệ / Nghiên cứu sự tăng trưởng phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức 
 42 
trong đó, Ho và HI tương ứng là các Hamilton của nguyên tử tự do và Hamilton tương 
tác: 
 0 1 2 3
1 1 2 2 3 3H    , (3) 
 2 1 1 2 3 2 2 3
2 2
p p c c
i t i tp i t i tc
IH e e e e
    
 
 . (4) 
với p và c tương ứng là tần số Rabi của trường laser d và laser điều khiển được liên 
hệ với cường độ điện trường theo hệ thức: 
21 p
p
d E
 và 32 cc
d E
 . (5) 
với, d21 và d23 là các mômen lưỡng cực điện của các dịch chuyển |2|1 và |2|3 
tương ứng. 
Sử dụng gần đ ng lưỡng cực điện và gần đ ng sóng quay, các phần tử ma trận 
của hệ nguyên tử ba mức trong phương tr nh (1 được viết thành: 
 11 21 22 21 12
2 2
p p
i i
    , (6) 
 22 21 22 32 33 12 21 32 23
2 2 2 2
p p c c
i i i i
       , (7) 
 33 32 33 32 23
2 2
c c
i i
    , (8) 
 12 21 12 22 11 13( ) ( )
2 2
p p c
i i
i    , (9) 
 21 21 21 22 11 31( ) ( )
2 2
p p c
i i
i    , (10) 
 23 32 23 33 22 13( )
2 2
c c p
i i
i    , (11) 
 23 32 32 33 22 31( )
2 2
c c p
i i
i    , (12) 
 13 31 13 23 12( )
2 2
p p p c
i i
i    , (13) 
 31 31 31 32 21( )
2 2
p p p c
i i
i    . (14) 
trong đó, p và c tương ứng là độ lệch tần số của ch m laser d và ch m laser điều 
khiển so với tấn số dịch chuyển được kích thích, ta có: 
 p = p - 21 và c = c - 23. (15) 
Tốc độ suy giảm độ kết hợp giữa các mức |m và |n được xác định bởi: 
 2
m n
mn
 
 , (16) 
ở đây, m và n tương ứng là tốc độ phân rã tự phát của mức |m và |n. 
Bây giờ, chúng ta giải hệ phương tr nh ma trận mật độ (6) - (14) để tìm nghiệm 
bậc cao cho phần tử ma trận mật độ 
21 liên quan đến sự đáp ứng của chùm laser dò. 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 40-49 
 43 
Ch ng ta giả sử rằng, dưới điều kiện trường liên kết mạnh hơn rất nhiều trường d th 
ban đầu (bậc không tất cả các nguyên tử khảo sát đều ở trạng thái 1, tức là (0)
11 1 , 
(0) (0)
22 33 0 và 
(0)
32 0 . Nghiệm cho 
(1)
21 ở bậc nhất là: 
(0) (0) (0) (0)
22 11 22 11
(1)
21 2
21
32
( ) ( )
2 2
| | /4
( )
p p
c
p
p c
i i
F
i
i


  

. (17) 
trong đó: 
2
21
32
| | /4
( )
c
p
p c
F i
i



. (18) 
Các số hạng độ liên kết bậc hai bằng không do t nh đối xứng của hệ nguyên tử đặt 
trong trường kết hợp, tức là (2) (2)
32 21 0 . Nghiệm cho 
(3)
21 trong bậc ba có dạng: 
 (3) (2) (2)
21 22 11( )
2
pi
F

 , (19) 
Như vậy, để xác định được (3)
21 thì chúng ta phải biết 
(2) (2)
22 11( ) trong bậc hai, 
ta được: 
(2) (2) (1) (1)
22 11 21 12
21
( )
pi


2
* *
21 21
1 1
2 22
p p p pi i i
F FF F
    
  
. (20) 
Thay phương tr nh (20 vào (19 ta thu được nghiệm của (3)
21 trong bậc ba là: 
2
(3)
21 *
21
1 1
2 2
p pi
F F F
   
 
. (21) 
Như vậy, nghiệm cho phần tử ma trận mật độ 21 tới gần đ ng bậc ba là: 
2
(1) (3)
21 21 21 *
21
1 1
2 2 2
p p pi i
F F F F
    
 
. (22) 
Khi đó, độ cảm điện của của môi trường đối với chùm dò là: 
2
21 21
21 *
0 0 21
1 1
2 2
2 2 2
p p p
p p
i iNd Nd
E E F F F F
 
 
     
  
  
2 4
221 21
3 *
0 0 21
1 1 1 1
2
p
iNd iNd
E
F F F F 
 
. 
(23)
Mặt khác, (1) 2 (3)3 pE   . (24) 
Đồng nhất thức (23 và (24) và để ý ta được các biểu thức cho độ 
cảm điện bậc một và bậc ba là: 
2
(1) 21
0
1iNd
F


 , (25) 
21 /p pd E 
V. N. Sáu, P. Tuệ / Nghiên cứu sự tăng trưởng phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức 
 44 
4
(3) 21
3 *
0 21
1 1 1 1
3 2
iNd
F F F


 
. (26) 
 Khi đưa vào sự mở rộng Doppler trong cấu hình kích thích này, chúng ta giả thiết 
ch m laser bơm và laser d truyền ngược chiều nhau. Khi đó, nếu nguyên tử chuyển 
động với vận tốc v theo hướng lan truyền của ch m laser d th nguyên tử sẽ “nh n thấy 
tần số ch m laser d tăng lên một lượng ( / ) pv c  và tần số của ch m laser điều khiển 
giảm xuống một lượng ( / ) cv c  . Lúc này, các độ lệch tần số của ch m laser d và ch m 
laser điều khiển được điều chỉnh một lượng tương ứng và trở thành ' ( / )p p pv c  và 
' ( / )c c cv c  . Sử dụng phân bố Maxwell, các độ cảm điện tuyến t nh và phi tuyến của 
các nguyên tử có vận tốc trong khoảng dv là: 
2 22 /
(1) 0 21
0
( )
( )
v uiN d e
v dv dv
F vu

 
 , (27) 
2 24 /
(3) 0 21
*3
210
1 1 1
( )
2 ( ) ( ) ( )3
v uiN d e
v dv dv
F v F v F vu

 
 
, (28) 
trong đó: 
2
21
31
/ 4
( )
( ) ( )
c
p p
p c p c
v
F v i
vc
i i
c
 
  
 
. (29) 
Thực hiện lấy tích phân với v từ các hệ thức (27),(28), thu được: 
2
2
(1) 0 21
0
[1 ( )]
/
z
p
iN d
e erf z
u c

 
 , (30) 
 2
4
(3) 0 21
2
3
210
1
2 1 [1 ( )]
23 /
z
p
iN d
ze erf z
u c
 
  

2 2
[1 ( )] [1 ( )]z ze erf z e erf z
z z
 
 
 
. (32) 
với 
2
21
31
/ 4
( )
c
p
p p c
c
z i
u i

 
 
. (33) 
*z là liên hợp phức của z và erf là hàm bù sai số. Từ đó, hệ số phi tuyến Kerr được t nh 
theo công thức [2]: 
(3)
2 2
0 0
3
Re( )
4
n
n c


 . (34) 
trong đó, n0 là chiết suất tuyết t nh được xác định từ phần thực của 
(1) . Dùng biểu thức 
(34 để khảo sát sự tăng cường và điều khiển của hệ số phi tuyến Kerr dưới các điều kiện 
EIT. 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 40-49 
 45 
Chúng ta áp dụng các kết quả tính toán cho hệ nguyên tử 85Rb với các mức năng 
lượng |1, |2 và |3 tương ứng với các trạng thái 2
1/25 , 1S F , 
2
3/25 , ' 2P F và 
2
5/25 , 3D F . Tốc độ phát xạ tự phát của trạng thái 
2
3/25 P là 21 = 6MHz và trạng thái 
2
5/25 D là 32 = 0,97MHz [9]. Các tham số khác được chọn là: N = 4,5 10
11
 nguyên 
tử/cm3, d21= 1,6×10
-29
 C.m và ωp = 3,84×10
8
 MHz. 
Để thấy được sự tăng cường của hệ số phi tuyến Kerr, chúng ta vẽ đồ thị hệ số 
phi tuyến Kerr theo độ lệch tần số của chùm laser dò p trong hai trường hợp không có 
EIT (tức c = 0) và có EIT với c = 5MHz và c = 0. Kết quả được mô tả trên hình 2, 
trong đó đường đứt nét ứng với trường hợp không có EIT còn đường liền nét ứng với khi 
có EIT. 
Hình 2: ự iến thi n của n2 theo p khi c = 0, c = 0 (đường nét đứt) và c = 40MHz. 
Nhiệt độ của môi trường là T = 300K. 
Từ đường liền nét trên hình 2 chúng ta thấy khi có hiệu ứng EIT thì trên công tua 
hệ số phi tuyến n2 xuất hiện một cặp giá trị dương - âm xung quanh tần số cộng hưởng, 
giá trị của các đỉnh này lớn hơn rất nhiều biên độ của phi tuyến khi không có EIT (tức 
của hệ nguyên tử hai mức) và có giá trị cỡ 10-5 cm2/W. Biên độ của đường cong phi 
tuyến phụ thuộc mạnh vào cường độ của laser điều khiển. Để thấy được điều này, chúng 
tôi vẽ đồ thị của hệ số phi tuyến n2 theo tần số Rabi (tức cường độ) của ch m laser điều 
khiển c khi cố định các tham số khác tại c = 0, p = -5MHz và T = 300K, như trên h nh 
3. Từ hình vẽ cho thấy, biên độ của n2 biến thiên theo c. 
V. N. Sáu, P. Tuệ / Nghiên cứu sự tăng trưởng phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức 
 46 
 3: ự iến thi n của n2 theo c hi cố đ nh p = -5MHz, c = 0 và T = 300K. 
Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr n2 theo c khi cố định các tham số khác tại 
c = 40MHz, p = 0 và T = 300K được thể hiện ở h nh 4. Từ h nh 4 ta thấy, không chỉ 
biên độ mà dấu của n2 biến thiên theo độ lệch tần số laser điều khiển, cụ thể có một cặp 
giá trị dương - âm của n2 xung quanh tần số cộng hưởng của ch m laser điều khiển. 
Hình 4: ự iến thi n của n2 theo c khi c = 40MHz, p = 0 và T = 300K 
Cuối cùng, chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ (hay mở rộng Doppler) lên 
hệ số phi tuyến Kerr bằng cách vẽ đồ thị của n2 theo p tại các nhiệt độ T khác nhau, còn 
các tham số của laser điều khiển được giữ cố định tại c = 0 và c = 40MHz. Kết quả 
được mô tả trên hình 5. Rõ ràng, khi nhiệt độ tăng th biên độ của phi tuyến giảm, đồng 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 40-49 
 47 
thời công tua của n2 cũng được mở rộng hơn. Sự giảm biên độ của n2 được giải thích là 
do nhiệt độ tăng th làm giảm hiệu suất giao thoa lượng tử và do đó hiệu ứng EIT trở nên 
kém hơn. Để thấy rõ hơn sự biến thiên của n2 theo nhiệt độ, chúng tôi vẽ đồ thị của n2 
theo T như trên h nh 6. 
Hình 5: ự iến thi n của n2 theo p khi c = 0 à c = 40MHz tại các nhiệt độ khác 
nhau: T = 400K (đường liền nét), T = 200K (đường nét gạch) à T = 100K (đường chấm 
chấm). 
Hình 6: Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr n2 theo nhiệt độ T khi c = 0, c = 
40MHz và p = -7MHz (đường nét liền) và p = 7MHz (đường nét đứt) 
V. N. Sáu, P. Tuệ / Nghiên cứu sự tăng trưởng phi tuyến Kerr của môi trường EIT ba mức 
 48 
IV. KẾT LUẬN 
Trong công tr nh này ch ng tôi đã dẫn ra được biểu thức giải tích cho hệ số phi 
tuyến Kerr tự biến điệu pha (self-Kerr) của môi trường nguyên tử ba mức năng lượng cấu 
hình chữ bậc thang khi kể đến sự mở rộng Doppler. Kết quả được áp dụng cho nguyên tử 
85
Rb và thu được một số kết quả sau: Khi có mặt của hiệu ứng EIT (có mặt của chùm 
laser điều khiển) thì hệ số phi tuyến Kerr được tăng cường vài bậc (có biên độ cỡ 10-5 
cm
2
/W) xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử; biên độ và dấu của hệ số phi tuyến 
Kerr điều khiển được theo cường độ hoặc tần số của trường laser điều khiển. Nghiên cứu 
ảnh hưởng của nhiệt độ lên hệ số phi tuyến Kerr cho thấy, khi nhiệt độ tăng th giá trị của 
phi tuyến Kerr giảm. Các kết quả nghiên cứu là hữu ích cho sự lựa chọn các tham số thực 
nghiệm trong tương lai và định hướng cho các ứng dụng liên quan đến hoạt động của các 
thiết bị quang tử ở các nhiệt độ khác nhau. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Guang S. He and Song H. Liu, Physics of nonlinear optics, World Scientific, 1999. 
[2] R.W. Boyd, Nonlinear Optics 3
rd
, Academic Press, 2008. 
[3] K.J. Boller, A. Imamoglu, S.E. Harris, Observation of electromagnetically induced 
transparency, Phys. Rev. Lett., 66 , 1991, p. 2593. 
[4] R. W. Boyd, Slow and fast light: fundamentals and applications, J. Mod. Opt. 56, 
2009, pp. 1908-1915. 
[5] H. Schmidt and A. Imamoglu, Giant Kerr nonlinearities obtained by 
electromagnetically induced transparency, Opt. Lett., 21, 1996, p. 1936. 
[6] H. Wang, D. Goorskey, and M. Xiao, Enhanced Kerr Nonlinearity via Atomic 
Coherence in a Three-Level Atomic System, Phys. Rev. Lett., 87, 2001. 
[7] L. V. Doai, D. X. Khoa, N. H. Bang, EIT enhanced self-Kerr nonlinearity in the 
three-level lambda system under Doppler broadening, Phys. Scr. 90, 2015. 
[8] A. Joshi, A. Brown, H. Wang, and M. Xiao, Controlling optical bistability in a three-
level atomic system, Phys. Rev. A 67, 2003. 
[9] Steck D A. Rb87 D Line Data ( 
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 40-49 
 49 
SUMMARY 
STUDY OF ENHANCEMENT OF SELF-KERR NONLINEARITY IN 
THREE-LEVEL CASCADE EIT MEDIUM 
WITH DOPPLER BROADENING 
We study enhancement of self-Kerr nonlinearity in three-level cascade EIT 
medium by the analytical method. The results apply to the 
85
Rb atoms and show that, in 
the presence of the EIT effect, the Kerr nonlinear coefficient is enhanced several order of 
magnitudes (about 10
-5
 cm
2
/W) around transparent region. That is, on the Kerr nonlinear 
graph the two positive and negative values are found on both sides of the resonant 
frequency. The amplitude and sign of the Kerr nonlinear coefficient can be controlled 
versus the intensity or frequency of the coupling laser field. Influence of Doppler 
broadening leads to a decrease in the amplitude of the Kerr nonlinear coefficient. 
Analytical results are useful for experimental observation and related applications.