Nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen

56 
HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1059.2018-0005 
Natural Sciences 2018, Volume 63, Issue 3, pp. 56-64 
This paper is available online at  
NGHIÊN CỨU SỰ KHUẾCH TÁN VACANCY TRONG ZrO2 BỀN HÓA BỞI Y2O3 
BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN 
Vũ Văn Hùng1 và Lê Thu Lam2 
1Khoa Công nghệ Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục, Trường Đại học Quốc gia Hà Nội 
2
Khoa Toán - Lí - Tin, Trường Đại học Tây Bắc, Sơn La 
Tóm tắt. Bài báo nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi pha tạp 
Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen. Năng lượng liên kết, năng lượng di 
chuyển, năng lượng kích hoạt, hệ số khuếch tán là một hàm của nồng độ pha tạp. Các 
kết quả tính toán phù hợp tốt với các kết quả lí thuyết khác và thực nghiệm. 
Từ khóa: Khuếch tán vacancy, hệ YSZ, thống kê momen. 
1. Mở đầu 
ZrO2 được làm bền bởi Y2O3 (hệ YSZ) có rất nhiều vacancy sinh ra bởi pha tạp. Bởi vậy, 
YSZ có độ dẫn ion cao hơn rất nhiều so với ZrO2 và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, nổi 
bật nhất là sử dụng làm chất điện phân rắn trong các sensor oxy và các pin oxit rắn [1-5]. Vì thế, 
nghiên cứu độ dẫn ion của hệ YSZ có vai trò rất quan trọng. Nhưng trước tiên, cần phải nghiên 
cứu chi tiết sự khuếch tán vacancy trong mạng tinh thể YSZ. 
Có rất nhiều tác giả đã nghiên cứu cơ chế khuếch tán vacancy trong hệ YSZ. Sử dụng lí 
thuyết hàm mật độ, Eichler et al. [6] thấy rằng sự di chuyển vacancy phụ thuộc vào hàng rào 
khuếch tán khoảng 200 meV từ nút tới nút và năng lượng tương tác giữa các tạp chất và các 
vacancy. Trong đó, năng lượng tương tác này phụ thuộc mạnh vào sự sắp xếp và số lượng các ion 
Y
3+
. A. Kushima et al. đã nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng mạng đối với sự khuếch tán 
vacancy trong hệ YSZ sử dụng lí thuyết hàm mật độ và phương pháp “nudged elastic band” [7]. 
Họ thấy rằng năng lượng di chuyển là một hàm của biến dạng mạng. Sự tăng lên của thể tích di 
chuyển và các liên kết oxy - cation bị yếu đi đã làm giảm năng lượng di chuyển và ngược lại. 
Trong một nghiên cứu khác, F. Pietrucci et al. [8] cho rằng tương tác vacancy-vacancy ảnh hưởng 
mạnh đến quá trình khuếch tán vacancy. Sử dụng thế tương tác Born–Mayer–Huggins, T. Arima 
et al. đã chỉ ra hệ số khuếch tán của các ion O2- lớn hơn nhiều so với của các ion Zr4+ và Y3+, và 
giảm khi nồng độ yttria tăng lên [9]. Từ các số liệu thực nghiệm, M. Weller et al. đã quan sát thấy 
đường Arrhenius bị gián đoạn gây ra bởi các ảnh hưởng của tương tác tầm xa [10]. 
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu cơ chế khuếch tán vacancy trong hệ YSZ bằng 
phương pháp thống kê momen (PPTKMM). Biểu thức tính toán năng lượng liên kết vacancy-tạp 
chất, năng lượng di chuyển vacancy được trình bày chi tiết. Sự phụ thuộc mạnh của năng lượng 
liên kết, năng lượng di chuyển, năng lượng kích hoạt, hệ số khuếch tán vào nồng độ pha tạp cũng 
được tính toán và thảo luận chi tiết. 
Ngày nhận bài: 15/1/2018. Ngày sửa bài: 14/3/2018. Ngày nhận đăng: 22/3/2018. 
Tác giả liên hệ: Lê Thu Lam. Địa chỉ e-mail: lethulamtb@gmail.com. 
Nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen 
57 
2. Nội dung nghiên cứu 
ZrO2 có năng lượng hình thành vacancy cao nên có rất ít vacancy. Khi pha tạp với Y2O3, các 
vacancy được sinh ra để suy trì sự cân bằng điện tích của mạng tinh thể với tỉ lệ giữa số vacancy 
và số lượng các ion Y3+ là 0.5 [11]. Do đó, nếu nồng độ pha tạp là x thì công thức hóa học của 
YSZ được viết là Zr1-2xY2xO2-x. Gọi N là tổng số các cation trong hệ YSZ thì số lượng các ion Zr
4+
, 
Y
3+
, O
2-
 và các vacancy tương ứng là ZrN = N 1-2x , YN = 2Nx , O
x
N 2N 1-
2
 và Nva = Nx. 
2.1. Năng lƣợng tự do 
Từ biểu thức năng lượng tự do của ZrO2 [12], năng lượng tự do của hệ YSZ được xác định 
theo phân bố nồng độ bằng biểu thức sau 
 Zr Zr Y Y O O CΨ = C Ψ +C Ψ +C Ψ -TS , (1) 
với Sc là entropy cấu hình, 
Zr
Zr
N 1-2x
C = =
3N 3
, Y
Y
N 2x
C = =
3N 3
 và O
O
N 2 x
C = = 1-
3N 3 2
 tương ứng là 
nồng độ của các ion Zr4+, Y3+ và O2- trong hệ YSZ. Các đại lượng 
Zr Y O
Ψ ,Ψ ,Ψ là năng lượng tự 
do của các ion Zr4+, Y3+, O2- và được xác định bằng các biểu thức [13] 
Zr
Zr2
-2xZr R 2 2 Zr1
Zr 0 Zr Zr Zr 2 Zr Zr 12
Zr
2
2 2
Zr Zr Zr Zr Zr Zr Zr
2 1 Zr Zr 1 1 2 1 14
Zr
2γθ
Ψ = U + 3N θ x + ln 1-e +3N γ x coth x - a
k 3
2θ 4
+ γ a x cothx - 2 γ +2γ γ a 2a 1
k 3
 
 
, (2) 
Y
Y2
-2xY Y 2 2 Y1
Y 0 Y Y Y 2 Y Y 12
Y
2
2 2
Y Y Y Y Y Y Y
2 1 Y Y 1 1 2 1 14
Y
2γθ
Ψ = U + 3N θ x + ln 1-e +3N γ x coth x - a
k 3
2θ 4
+ γ a x cothx - 2 γ +2γ γ a 2a 1
k 3
 
 
, (3) 
O2
O O O 2 2 O1
O 0 0 O 2 O O 12
O
2
2 2
O O O O O O O
2 1 O O 1 1 2 1 14
O
2γθ
= U + +3N γ x cth x - a
k 3
2θ 4
+ γ a x cothx - 2 γ +2γ γ a 2a 1
k 3
 
1/2
O O2 O
OO O O 1 O O 1 O
1 O OO 3 2 3
O
β k β a β k a βθ β 2γ
θ -1 + a - + + x cothx -1
6Kγ K K 3K 9K 9K 6Kk
 
  
, (4) 
trong đó, 
2 Zr,Y
Zr,Y 2io
Zr,Y2
i iβ eq
φ1
k = = mω ,
2 u


 Bθ = k T , (5) 
Vũ Văn Hùng và Lê Thu Lam 
58 
Zr,Y
1 Zr,Y Zr,Y
1
a =1+ x cothx ,
2
Zr,Y
Zr,Y
Zr,Y
k
ω m
x = =
2θ 2θ
, (6) 
2 O
O 2io
O2
i iβ eq
φ1
k = = mω ,
2 u


 O1 O O
1
a =1+ x cothx ,
2
O
O
O
k
ω m
x = =
2θ 2θ
, (7) 
3 O
io
O
i iα iβ iγ eq
φ1
β =
2 u u u

  
 ,
2
O
O O
β
K = k -
3γ
, (8) 
4 Zr,Y,O
Zr,Y,O io
1 4
i iβ eq
φ1
γ =
48 u


 , 
4 Zr,Y,O
Zr,Y,O io
2 2 2
i iβ iγ eq
φ6
γ =
48 u u

 
 , Zr,Y,O Zr,Y,O Zr,Y,O1 2γ = 4 γ + γ , (9) 
với α β γ x, y, hoặc z, m là khối lượng nguyên tử trung bình của hệ và được xác định theo 
biểu thức
Zr Zr Y Y O O
m=C m +C m +C m . Đại lượng 
Zr
io
φ (hoặc 
Y
io
φ , hoặc 
O
io
φ ) là thế tương tác giữa 
ion Zr
4+
 (hoặc ion Y3+, hoặc ion O2-) thứ 0 với ion thứ i (Zr4+, Y3+ hoặc O2-) và chúng xác định các 
tổng thế tương tác 
Zr Y
0 0
U , U và 
O
0
U của các ion Zr4+, Y3+ và O2- tại vị trí cân bằng ri. 
2.2. Hệ số khuếch tán 
Ảnh hưởng của dao động phi điều hòa của mạng tinh thể đối với sự khuếch tán vacancy trong 
kim loại đã được V.V. Hung et al. nghiên cứu [14]. Tương tự như với kim loại, công thức tính 
toán hệ số khuếch tán vacancy của hệ YSZ cũng được tính theo các biểu thức 
 a
0
B
E
D = D exp - ,
k T
 
 
 
 (10a) 
f
2 v
0 1 1
B
S
D = n f r exp ,
k

 
 
 
 (10b) 
với n1 là số lượng các ion O
2-
 nằm ở vị trí gần vacancy nhất, f là thừa số tương quan,  là tần số 
dao động của các ion O2-, r1 là khoảng cách ngắn nhất giữa hai nút mạng có chứa các ion O
2-
, 
f
vS là entropy đối với sự hình thành của một vacancy. 
Các vacancy sinh ra bởi pha tạp hình thành liên kết với các ion tạp chất Y3+. Tuy nhiên, liên 
kết vacancy-tạp chất cản trở khả năng di chuyển của vacancy. Vì thế, nồng độ các vacancy linh 
động phải được xác định qua năng lượng liên kết vacancy-tạp chất. Trong hệ YSZ, năng lượng 
kích hoạt là tổng của năng lượng liên kết vacancy-tạp chất Eass và năng lượng di chuyển vacancy Em 
a ass m
E = E + E . (11) 
Để tính toán được hệ số khuếch tán, cần phải thiết lập các công thức tính toán năng lượng 
liên kết vacancy-tạp chất và năng lượng di chuyển vacancy. 
2.2.1. Năng lƣợng liên kết vacancy-tạp chất 
F. Ye et al. [15] đã sử dụng mô phỏng máy tính để tính toán năng lượng liên kết của đám tích 
điện 
•' ••
Ce O
M V trong ceria pha tạp với các các nguyên tố đất hiếm theo công thức 
Nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen 
59 
ass isolated clusterE E E ,-  (12) 
và M. Nakayame et al. [16] cũng đã sử dụng nguyên lí đầu tiên để tính toán năng lượng liên kết 
vacancy với các tạp chất đất hiếm (được kí hiệu là RE) trong CeO2 pha tạp với RE2O3 theo công thức 
 ' •• ' ••ass tot Ce O tot Ce tot OE = E RE - V - E RE + E V , (13) 
trong đó, ' ••tot Ce OE RE -V , 'tot CeE RE , và ••tot OE V tương ứng là tổng năng lượng của mạng 
tinh thể khi trong mạng tinh thể có một vacancy liên kết với một ion RE3+, có một ion RE3+, và có 
một vacancy. 
Trong hệ YSZ, chúng tôi chọn ra một cặp ion phù hợp gồm một cation Y3+ (kí hiệu là 
3+
i
Y ) 
và một vacancy (kí hiệu là Vi). Tương tự như công thức (13), chúng tôi đề xuất công thức tính 
toán năng lượng liên kết 
3+
i
Y - 
i
V như sau: 
N(1-2x) 2Nx N(1-2x)+1 2Nx-1 N(1-2x)+1 2Nx-1 N(1-2x) 2Nxx x x x
2N 1- 2N 1- 1 2N 1- 2N 1- 1
2 2 2 2
ass R Y O R Y O R Y O R Y OE .
    
(14) 
với 
N(1-2x) 2Nx x
2N 1-
2
R Y O
 , 
N(1-2x)+1 2Nx-1 x
2N 1- 1
2
R Y O
 , 
N(1-2x)+1 2Nx-1 x
2N 1-
2
R Y O
 và 
N(1-2x) 2Nx x
2N 1- 1
2
R Y O
 mô tả năng 
lượng tự do của mạng tinh thể trong bốn trường hợp: mạng tinh thể có 
3+
i
Y và Vi, mạng tinh thể 
không có 
3+
i
Y và Vi, mạng tinh thể có ion 
3+
i
Y và không có Vi, mạng tinh thể không có 
3+
i
Y và có Vi. 
2.2.2. Năng lƣợng di chuyển 
Gọi 
1
Ψ là năng lượng tự do của hệ YSZ khi chưa xảy ra quá trình khuếch tán vacancy, 
2
Ψ là 
năng lượng tự do của hệ YSZ sau khi có một ion O2- rời khỏi nút mạng A và di chuyển đến điểm 
yên ngựa B (Hình 1). 
Hình 1. Sự di chuyển của ion O2- từ nút mạng A, qua điểm yên ngựa B 
và di chuyển tới nút mạng C 
Năng lượng di chuyển vacancy Em của hệ được xác định bằng biểu thức sau [17]: 
m 1 2
E = Ψ -Ψ . (15) 
Theo các công thức (1) - (4), để xác định được 
1
Ψ và 
2
Ψ thì cần xác định tổng thế năng tương tác 
của các ion khi ion O2- tham gia khuếch tán nằm ở nút A và sau khi ion này di chuyển đến điểm B. 
Tổng thế năng tương tác của các ion Zr4+, Y3+ và O2- khi ion O2- tham gia khuếch tán nằm ở 
nút A được xác định bằng các biểu thức [18]. 
Vũ Văn Hùng và Lê Thu Lam 
60 
Zr Zr-Zr *Zr-Zr Zr-Y *Zr-Y
0 i i0 i i0
Zr-O *Zr-OZr Y Zr
i i0
i i
N N -1 x
U 1 b φ 1- b φ 1-
N-1 N-1 2
N
= b φ
2 i
   , (16) 
Y Y-Zr *Y-Zr Y-Y *Y-Y Y-O *Y-OY
0 i i0 i i0 i i0
i i i
Y Zr+
N N -1 N x
U = 1- b φ 1- b φ 1- b φ
2 N-1 N-1 2
   , (17) 
 O-Zr *O-Zr O-Y *O-Y O-O *O-OYi i0 i i0 i i0
O O
0
i i i
N
b φ b φ 1- b φ
4N-2
N
U = 1-2x +2x
2
   , (18) 
trong đó, 
R-Zr
i
b (hoặc 
R-Y
i
b , hoặc 
R-O
i
b ) là số nút mạng trên quả cầu phối vị thứ i có tâm là ion R 
(R là kí hiệu chung cho các ion Zr4+, Y3+, O2-) mà các ion Zr4+ (hoặc Y3+, hoặc O2-) có thể chiếm 
giữ, và 
*R-Zr
i0
φ (hoặc 
*R-Y
i0
φ , hoặc 
*R-O
i0
φ ) là thế tương tác giữa ion R thứ 0 với một ion Zr4+ (hoặc Y3+, 
hoặc O2-) trên quả cầu phối vị thứ i. 
Tổng thế năng tương tác của các ion Zr4+, Y3+ và O2- khi ion O2- rời nút A và di chuyển đến 
điểm B được xác định bằng các biểu thức [18] 
Zr Zr
yn 0
B A
O-Zr O-ZrU U
φ - φ
2
 , (19) 
yn 0
B A
Y Y O-Y O-YU U
φ - φ
2
 , (20) 
O
yn 0
* 1 2* *
O O O OZr Zr Y YU U
U Δu ΔuΔu N + Δu N
2 2
 , (21) 
trong đó, 
B A
* O-Zr O-Zr
Zr
Zr
φ - φ
Δu =
N
, 
B A
* O-Y O-Y
Y
Y
φ - φ
Δu =
N
, 
A
O-Zr,Yφ (hoặc 
B
O-Zr,Yφ ) là thế năng tương tác giữa ion 
O
2-
 tại nút A (hoặc điểm B) với các ion Zr4+ và Y3+ xung quanh. 
*
OU là tổng thế năng của ON + 1 ion O
2-
 nếu giả sử bằng cách nào đó, mạng tinh thể có 
thêm một ion O2- chiếm giữ vị trí của vacancy tại nút C. 
1
OΔu là tổng thế năng tương tác qua lại của hai ion O
2-
 tại nút A và C với các ion O2- xung quanh. 
2
OΔu là thế năng tương tác qua lại giữa ion O
2-
 nằm tại điểm B với các ion O2- xung quanh. 
2.3. Kết quả và thảo luận 
Thế tương tác giữa hai ion ijφ r trong hệ YSZ là thế Buckingham [19] 
r
-
i j ijB
ij ij 6
q q C
φ r = + A e -
r r
, (22) 
với qi và qj là điện tích của ion thứ i và thứ j, r là khoảng cách giữa chúng và Aij, Bij, Cij là các 
tham số tương ứng với mỗi loại tương tác ion-ion (được trình bày trong Bảng 1). Để đơn giản hóa 
thế tương tác Coulomb tầm xa, chúng tôi sử dụng phương pháp Wolf [20] 
2 2
cc c
ij i j c c12
c c c2
erfc -α .Rerfc α.r erfc α.R erfc α.R 2α
u r = q q . - + + . . r-R , r R
r R R R
π
, (23) 
Nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen 
61 
với α là tham số tắt dần và Rc là ngưỡng bán kính. Dựa vào phương pháp của P. Demontis et al. [21], 
chúng tôi tìm được cặp giá trị phù hợp 
C
α, R của hệ YSZ là á = 0,34
-1o
A và cR = 10,911 
o
A . 
Từ giá trị của Rc, vùng mạng tinh thể được sử dụng để tính toán gồm 768 nút mạng. Trong đó, 
256 nút mạng là vị trí của các ion Zr4+ và Y3+, và 512 nút mạng là vị trí của các ion O2- và vacancy. 
Bảng 1. Các tham số của thế Buckingham trong hệ YSZ [22] 
Tƣơng tác Aij /eV Bij/
o
A Cij/ eV.
6o
A 
O
2-
- O
2- 9547,96 0,224 32 
Zr
4+
-O
2- 1502,11 0,345 5,1 
Y
3+
- O
2- 1366,35 0,348 19,6 
Hình 2 cho thấy năng lượng liên kết vacancy-tạp chất là một hàm của nồng độ pha tạp ở ba 
nhiệt độ T = 1000 K, 1200 K và 1400 K. Nồng độ pha tạp cao làm số lượng các vacancy sinh ra 
nhiều hơn. Lực đẩy giữa vacancy-vacancy trở nên mạnh hơn làm yếu đi mối liên kết giữa 
vacancy-tạp chất. Do đó, năng lượng liên kết giảm khi nồng độ pha tạp tăng. 
Hình 2. Năng lượng liên kết vacancy-tạp chất là một hàm của nồng độ pha tạp 
ở các nhiệt độ T = 1000 K, 1200 K và 1400 K 
Từ vị trí nút mạng, vacancy trong hệ YSZ có thể di chuyển theo 3 hướng khác nhau là các 
hướng , và . Các kết quả tính toán trước đây của chúng tôi [18] đã chỉ ra rằng, 
vacancy chủ yếu di chuyển theo hướng , hướng cần năng lượng di chuyển cao và 
hướng bị cấm di chuyển. Ngoài ra, khi di chuyển theo hướng , vacancy phải vượt 
qua các hàng rào cation là Zr
4+
 - Zr
4+
, Zr
4+
 - Y
3+
 và Y
3+
 - Y
3+. Các tính toán cũng cho thấy 
vacancy di chuyển qua hàng rào Zr4+ - Zr4+ cần năng lượng di chuyển nhỏ nhất và sự di chuyển 
này đóng góp chủ yếu vào quá trình khuếch tán vacancy trong toàn hệ. Các kết quả tính toán năng 
lượng di chuyển vacancy qua hàng rào Zr4+ - Zr4+ ở ba nhiệt độ T = 1000 K, 1200 K và 1400 K 
được trình bày trong Hình 3. Có thể thấy năng lượng di chuyển tăng nhanh cùng với nồng độ pha 
tạp. Nguyên nhân là bởi khi nồng độ pha tạp tăng lên kéo theo sự xuất hiện các hàng rào cation 
Zr
4+
 - Y
3+
, Y
3+
 - Y
3+
 cản trở quá trình khuếch tán vacancy. 
Vũ Văn Hùng và Lê Thu Lam 
62 
Hình 3. Sự phụ thuộc của năng lượng di chuyển vacancy vào nồng độ pha tạp 
 ở các nhiệt độ khác nhau 
Sự phụ thuộc của năng lượng kích hoạt vào nồng độ pha tạp được trình bày trong Hình 4. Bởi 
năng lượng di chuyển tăng rất nhanh khi nồng độ pha tạp tăng lên nên năng lượng kích hoạt cũng 
tăng cùng với nồng độ pha tạp. Các kết quả tính toán năng lượng kích hoạt của chúng tôi phù hợp 
với các kết quả thực nghiệm (TN) [11]. 
Hình 4. Năng lượng kích hoạt vacancy ở T = 1250 K và được so sánh với các kết quả TN [11] 
Các kết quả tính toán hệ số khuếch tán ở T = 1273 K được trình bày trong Bảng 4. Khi nồng 
độ pha tạp tăng, năng lượng kích hoạt tăng lên làm giảm hệ số khuếch tán. Hình 5 chỉ ra sự phụ 
thuộc của hệ số khuếch tán vào nhiệt độ ở nồng độ pha tạp x = 0,1. Các kết quả của chúng tôi phù 
hợp với các kết quả tính toán bằng mô phỏng động học phân tử (MD) ở các nhiệt độ và nồng độ 
pha tạp khác nhau [23]. 
Bảng 4. Hệ số khuếch tán D (.10-11 m2/s) của hệ YSZ ở T = 1273 K 
x 0.06 0.1 0.12 0.15 0.18 0.25 
PPTKMM 3,16
2,33
1,51
0,97
0,77
0,32
MD [23] 2,28
1,52
1,24
0,79
0,62
0,27
Nghiên cứu sự khuếch tán vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen 
63 
Hình 5. Hệ số khuếch tán của hệ YSZ ở các nhiệt độ khác nhau tại x = 0,1 
được tính toán bằng PPTKMM và MD [23] 
3. Kết luận 
Sự khuếch tán vacancy trong hệ YSZ đã được nghiên cứu bằng PPTKMM. Năng lượng liên 
kết vacancy-tạp chất, năng lượng di chuyển, năng lượng kích hoạt, hệ số khuếch tán phụ thuộc 
mạnh vào nồng độ pha tạp. Nồng độ pha tạp tăng làm tăng khả năng xuất hiện các hàng rào cation 
Zr
4+
 - Y
3+
, Y
3+
 - Y
3+
 cản trở sự khuếch tán vacancy. Do đó, hệ số khuếch tán giảm khi nồng độ pha 
tạp tăng lên. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Lei Zhang, Liangzhu Zhu, Anil V. Virkar, 2016. Electronic conductivity measurement of yttria-
stabilized zirconia solid electrolytes by a transient technique. Journal of Power Sources 302, p. 98 
[2] R. Krishnamurthy, Y.-G. Yoon, D. J. Srolovitz, R. Car, 2004. Oxygen Diffusion in Yttria- Stabilized 
Zirconia: A New Simulation Model. J. Am. Ceram. Soc. 87, p. 1821. 
[3] Xin Xia, 2010. Computational Modelling Study of Yttria-stabilized Zirconia. Thesis submitted for 
the degree of Doctor of Philosophy, University College London. 
[4] Martin Kilo, R.A. Jackson, 2005. Oxygen Transport and Association in Yttria Stabilised Zirconia, 
Diffusion Fundamentals 2, pp.23.1. 
[5] U. Brossmann, G. Knoner, H.-E Schaefer, R. Wurschum, 2004. Oxygen diffusioin in nanocrystalline 
ZrO2, Rev.Adv.Mater.Sci. 6, p.7. 
[6] A. Eichler, 2011. Tetragonal Y-doped zirconia: Structure and ion conductivity. Physical review B 64, 
p.174103. 
[7] A. Kushima, B. Yildiz, 2010. Oxygen ion diffusivity in strained yttria stabilized zirconia: where is 
the fastest strain? J. Mater. Chem. 20, p. 4809. 
[8] F. Pietrucci, M. Bernasconi, A. Laio, M. Parrinello, 2008. Vacancy-vacancy interaction and oxygen 
diffusion in stabilized cubic ZrO2 from first principles. Physical review B 78, p. 094301. 
[9] T. Arima, K. Fukuyo, K. Idemitsu, Y. Inagaki, 2004. Molecular dynamics simulation of yttria-
stabilized zirconia between 300 and 2000 K. Journal of Molecular Liquids 113, p. 67. 
[10] M. Weller, R. Herzog, M. Kilo, G. Borchardt, S. Weber, S. Scherrer, 2004. Oxygen mobility in 
yttria-doped zirconia studied by internal friction, electrical conductivity and tracer diffusion 
experiments, Solid State Ionics 175, p. 409. 
Vũ Văn Hùng và Lê Thu Lam 
64 
[11] R. Pornprasertsuk, P. Ramanarayanan, C.B. Musgrave, F.B. Prinz, 2005. Predicting ionic 
conductivity of solid oxide fuel cell electrolyte from first principles. Journal of Applied Physics 98, 
p.103513. 
[12] V.V. Hung, L.T.M. Thanh, 2010. Thermodynamic properties of zirconia: pressure dependence, 
HNUE Journal of Science 55, p.17. 
[13] V.V. Hung, J. Lee and K. Masuda-Jindo, 2006. Investigation of thermodynamic properties of cerium 
dioxide by statistical moment method. J. Phys. Chem. Solids 67, p. 682. 
[14] V.V. Hung, H.V. Tich, K. Masuda-Jindo, 2000. Study of self-diffusion in metals by statistical 
moment method: Anharmonic effects. Journal of the Physical Society of Japan 69, p. 2691. 
[15] F. Ye, T. Mori, D.R. Ou, A.N. Cormack, 2009. Dopant type dependency of domain development in 
rare-earth-doped ceria: An explanation by computer simulation of defect clusters. Solid State Ionics 
180, p.1127. 
[16] M. Nakayama, M. Martin, 2009. First-principles study on defect chemistry and migration of oxide 
ions in ceria doped with rare-earth cations. Phys. Chem. Chem. Phys. 11, p. 3241. 
[17] M. Matsushita, K. Sato, T. Yoshiie, Q. Xu, 2007. Validity of Activation Energy for Vacancy 
Migration Obtained by Integrating Force–Distance Curve. Materials Transactions 48, p. 2362. 
[18] V.V. Hung, L.T. Lam, 2018. Nghiên cứu năng lượng di chuyển vacancy trong ZrO2 bền hóa bởi 
Y2O3 bằng phương pháp thống kê momen. HNUE Journal of Science, 63, p. 34. 
[19] V.V. Hung, L.T.M. Thanh, K. Masuda-Jindo, 2010. Study of thermodynamic properties of cerium 
dioxide under high pressures. Computational Materials Science 49, p. S355. 
[20] C.J. Fennell, J.D. Gezelter, 2006. Is the Ewald summation still necessary? Pairwise alternatives to 
the accepted standard for long-range electrostatics. J. Chem. Phys. 124, p. 234104. 
[21] P. Demontis, S. Spanu, G.B. Suffritti, 2001. Application of the Wolf method for the evaluation of 
Coulombic interactions to complex condensed matter systems: Aluminosilicates and water. J. Chem. 
Phys. 114, p. 7980. 
[22] P.K. Schelling, S.R. Phillpot, 2001. Mechanism of thermal transport in zirconia and yttria-stabilized 
zirconia by molecular-dynamics simulation. J. Am. Ceram. Soc. 84, p. 2997. 
[23] R. Devanathan, W.J. Weber, S.C. Singhal, J.D. Gale, 2006. Computer simulation of defects and 
oxygen transport in yttria-stabilized zirconia. Solid State Ionics 177, p. 1251. 
ABSTRACT 
Investigation of vacancy diffusion 
 In Yttria-stabilized Zirconia by statistical moment method 
Vu Van Hùng
1
 and Le Thu Lam
2
1
Faculty of Educational Technology, VNU University of Education, Ha Noi 
2
Faculty of Mathematics - Physics - Informatics, Tay Bac University, Son La 
Vacancy diffusion mechanism in yttria-stabilized zirconia is investigated by statistical 
moment method. Association energy, migration energy, activation energy, diffusion coefficient 
are calculated as a function of dopant concentration. Calculated results are in good agreement with 
other theoretical and experimental results. 
Keywords: Vacancy diffusion, yttria-stabilized zirconia, statistical moment method.