Nghiên cứu sai lầm của học sinh trong giải quyết bài toán dựa trên hợp đồng didactic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 14, Số 7 (2017): 116-124 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 14, No. 7 (2017): 116-124
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
116 
NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI QUYẾT 
BÀI TOÁN DỰA TRÊN HỢP ĐỒNG DIDACTIC 
(Minh họa: Trong hình học phẳng) 
Nguyễn Minh Hậu1*, Huỳnh Thị Lựu2 
1 Trường THPT Mạc Đĩnh Chi - An Hóa, Châu Thành, Bến Tre 
2 Trường THPT Nguyễn Trãi - Tân Hào, Giồng Trôm, Bến Tre 
Ngày Tòa soạn nhận được bài: 03-6-2017; ngày phản biện đánh giá: 05-7-2017; ngày chấp nhận đăng: 25-7-2017 
TÓM TẮT 
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng khái niệm “hợp đồng didactic”, được giới thiệu bởi 
Guy Brousseau vào năm 1980, như một trong những mô hình cho phép tìm hiểu nguồn gốc sai lầm 
của học sinh. Để minh họa cho cách tiếp cận này, chúng tôi xét việc giải bài toán: “ Trong mặt 
phẳng, cho ba điểm A, B, C. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành” được đề cập trong sách 
giáo khoa Hình học 10 ban Cơ bản của Việt Nam. Giả thuyết được hình thành từ phân tích thể chế: 
“Tồn tại một quy tắc của hợp đồng didactic: Khi giải quyết bài toán, học sinh không kiểm tra tính 
thẳng hàng của A, B, C. Do đó, các em sẽ mắc sai lầm trong trường hợp	A, B, C thẳng hàng”. Kết quả 
nghiên cứu cho thấy nhiều học sinh mắc lỗi này trong giải quyết bài toán bởi hợp đồng didactic 
trên. 
Từ khóa: hợp đồng didactic, hình học phẳng, sai lầm trong giải quyết bài toán. 
ABSTRACT 
Studying students’ mistakes in solving the problem based on the didactic contract 
In this study, the term ‘didactic contract’ introduced by Guy Brousseau in 1980, was used as 
one of the models for investigating the origins of students’ mistakes. To illustrate the approach, we 
consider solving the problem: “Given 3 points A, B, C in the plane, find the coordinates so that 
ABCD is a parallelogram” in the Vietnamese textbook Geometry for grade 10, standard edition. 
The hypothesis is formed based on institutional analysis: "There exists a rule of Didactic contract: 
When solving the problem, students do not check the linearity of A, B, C. Therefore, they will make 
mistakes in the case of A, B, C alignment." The research results show that many students made the 
mistakes of solving the problem by the above didactic contract." 
Keywords: Didactical contract, plane geometry, mistake in solving a problem. 
1. Giới thiệu 
Trong quá trình giảng dạy môn toán, tìm hiểu nguồn gốc sai lầm của học sinh là rất 
quan trọng, từ đó giáo viên điều chỉnh để giúp học sinh hiểu kiến thức một cách chính xác 
và ngăn ngừa các lỗi mà học sinh mắc phải. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng khái 
* Email: nguyenminhhaumdc@gmail.com.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Minh Hậu và tgk 
117 
niệm “hợp đồng didactic”, được giới thiệu bởi Guy Brousseau vào năm 1980, là một trong 
những mô hình cho phép tìm hiểu nguồn gốc sai lầm của học sinh. 
2. Cơ sở lí thuyết 
2.1. Hợp đồng Didactic 
Hợp đồng didactic là một trong những khái niệm trung tâm của lí thuyết didactic 
được trình bày như sau: 
Trong một buổi học có mục đích là dạy cho học sinh một kiến thức nhất định, học sinh 
hiểu tình huống được giới thiệu, những câu hỏi được đặt ra, những thông tin được cung cấp, 
những ràng buộc áp đặt, tùy theo những gì giáo viên thực hiện, có ý thức hay không, một 
cách lặp đi lặp lại trong thực tiễn giảng dạy của mình. Trong các thói quen này, ta quan tâm 
đặc biệt hơn đến những gì là đặc thù cho kiến thức giảng dạy: ta gọi hợp đồng didactic là tập 
hợp những cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh trông đợi và tập hợp những 
ứng xử của học sinh mà thầy trông đợi. (Guy Brousseau,1980, tr.5). 
Ta nói hợp đồng didactic là tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm 
của mỗi bên, học sinh, giáo viên, đối với một tri thức được giảng dạy. 
2.2. Sai lầm 
Học thuyết hành vi quan niệm rằng, sai lầm của học sinh là hiện tượng tiêu cực, có 
hại cho việc lĩnh hội kiến thức, do đó cần tránh và cần khắc phục khi gặp phải. Nguyên 
nhân của sai lầm là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học, thiếu hụt kiến 
thức, do cẩu thả, không cẩn trọng Đôi khi lại quy cho giáo viên trình bày không chính 
xác, dạy nhanh, không rõ ràng 
Nhưng học thuyết kiến tạo lại xem sai lầm và phát hiện ra sai lầm là một yếu tố quan 
trọng trong việc xây dựng hoạt động nhận thức của học sinh bởi khi tạo ra sự mất cân bằng 
trong hệ tư duy của chủ thể, việc nhận ra sai lầm tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua nó và 
làm nảy sinh một thế cân bằng gia tăng mới: 
Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên của 
những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn là hậu quả của những 
kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, 
nhưng lại là sai hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. 
Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được và chúng tạo nên chướng 
ngại. Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể 
sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này. (Guy Brousseau, 1983, 
tr.7). 
2.3. Vấn đề nghiên cứu và giả thuyết nghiên cứu 
Ở nội dung hình học phẳng trong sách giáo khoa Hình học 10 ban Cơ bản, học sinh 
được tìm hiểu cách giải nhiều dạng toán liên quan đến tìm tọa độ một điểm. Trong nghiên 
cứu này, chúng tôi quan tâm đến yêu cầu bài toán sau: “Trong mặt phẳng tọa độ ܱݔݕ, cho 
ba điểm ܣ,ܤ,ܥ. Tìm tọa độ điểm ܦ để ܣܤܥܦ là hình bình hành.”(chúng tôi gọi bài toán 
này là E). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 7 (2017): 116-124 
118 
Trong sách giáo khoa và sách bài tập thì ba điểm ܣ,ܤ,ܥ trong bài toán không thẳng 
hàng. Với (ܧ) học sinh có thể dùng các chiến lược giải sau: 
* Chiến lược (ܵ1): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ và ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ (hoặc ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ và ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ ) 
Bước 2. Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ = ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ (hoặc ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ = ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ ) để tìm (ݔ஽,ݕ஽) 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ2): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ ,ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ ,ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ 
Bước 2. Sử dụng quy tắc hình bình hành và tính chất hai vectơ bằng nhau ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ +
ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ = ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ để tìm (ݔ஽,ݕ஽) 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ3): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ , ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ , ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ , ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ 
Bước 2. Sử dụng tính chất hình bình hành và tính chất cùng phương: 
൜
ܣܤ	ݏ݋݊݃	ݏ݋݊݃	ܥܦ
ܣܦ	ݏ݋݊݃	ݏ݋݊݃	ܤܥ ⟺
ቐ
௫ಲಳሬሬሬሬሬሬ⃗
௫಴ವሬሬሬሬሬሬ⃗
= ௬ಲಳሬሬሬሬሬሬ⃗
௬಴ವሬሬሬሬሬሬ⃗
௫ಲವሬሬሬሬሬሬ⃗
௫ಳ಴ሬሬሬሬሬሬ⃗
= ௬ಲವሬሬሬሬሬሬ⃗
௬ಳ಴ሬሬሬሬሬሬ⃗
 để tìm (ݔ஽,ݕ஽) 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ4): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ , ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ , ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ , ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ 
Bước 2. Sử dụng tính chất hình bình hành : ቄܣܤ = ܥܦ
ܣܦ = 	ܤܥ và công thức tính độ dài 
vectơ để tìm(ݔ஽ ,ݕ஽) 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ5): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ , ܥܦሬሬሬሬሬ⃗ 
Bước 2. Sử dụng tính chất hình bình hành ቊ
ܣܤ	ݏ݋݊݃	ݏ݋݊݃	ܥܦ
หܣܤሬሬሬሬሬ⃗ ห = หܥܦሬሬሬሬሬ⃗ ห , viết phương trình 
tổng quát của CD và công thức tính độ dài vectơ để tìm ܦ 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ6): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
Bước 1. Viết phương trình tổng quát ܣܦ và ܥܦ 
Bước 2. Tìm (ݔ஽ ,ݕ஽)là giao điểm của ܣܦ và ܥܦ 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ7): gọi (ݔ஽ ,ݕ஽) là toạ độ điểm D cần tìm 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Minh Hậu và tgk 
119 
Bước 1. Sử dụng tính chất trung điểm của hình bình hành ቄ
ݔ஺ + ݔ஼ = ݔ஻ + ݔ஽
ݕ஺ + ݕ஼ = ݕ஻ + ݕ஽ hoặc 
tìm tọa độ trung điểm của ܣܥ. 
Bước 2. Tìm (ݔ஽ ,ݕ஽) 
Bước 3. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
* Chiến lược (ܵ8): sử dụng hình vẽ để tìm tọa độ điểm ܦ. 
Các chiến lược trên là kết qủa phân tích thể chế. Từ phân tích này, chúng tôi đưa ra 
giả thuyết	ܪ như sau: “Để giải quyết (ܧ), có thể tồn tại một quy tắc của hợp đồng didactic: 
Học sinh không kiểm tra xem ܣ,ܤ,ܥ có thẳng hàng hay không. Do vậy, học sinh sẽ mắc 
sai lầm nếu ܣ,ܤ,ܥ thẳng hàng.” 
3. Phương pháp 
Để kiểm tra giả thuyết trên, chúng tôi yêu cầu học sinh giải quyết các bài toán sau: (ܧ1) Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ ܱݔݕ cho ba điểm ܣ(2;−1),ܤ(1; 2),ܥ(2;−4). 
Tìm tọa độ điểm ܦ để ܣܤܥܦ là hình bình hành. (ܧ2) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ ܱݔݕ	cho ba điểm ܣ(0; 2),ܤ(2; 4)và điểm ܥ	là 
giao điểm của đường thẳng (݀):ݕ = 1	và parabol (ܲ):ݕ = ݔଶ. Tìm tọa độ điểm ܦ để 
ܣܤܥܦ là hình bình hành. 
4. Đối tượng khảo sát 
4.1. Đối tượng: 140 học sinh khối 10 (4 lớp: 10ܣ4, 10ܣ6, 10ܣ7, 10ܣ9 năm học 2016 - 2017) của Trường THPT Lưu Hữu Phước, Ô Môn, Cần Thơ. 
4.2. Thu thập và phân tích dữ liệu: Những đối tượng khảo sát được giao bài toán (ܧ1), (ܧ2). Sau khi học sinh hoàn thành việc giải các bài toán trên, chúng tôi tiến hành 
phân tích các lời giải trên cơ sở của khái niệm “hợp đồng didactic”. 
5. Kết quả và bình luận 
Tổng số học sinh khảo sát: 140. Phần lớn học sinh giải theo chiến lược ܵ1 (“Bài 1” 
có 123 học sinh (chiếm 87,86% ), “Bài 2” có 130 học sinh (chiếm 92,86% )). 
Chiến lược sử dụng để giải quyết bài toán (ܧ1), (ܧ2)	của học sinh được trình bày 
trong Bảng 1, Bảng 2. 
Bảng 1. Chiến lược giải bài toán 	(ܧ1)	của học sinh 
Bài toán Chiến lược Số học sinh % 
ࡱ૚ 
ܵ1(Đúng (tìm đúng tọa độ điểm ܦ)) 105 75,00 
ܵ1 (Sai) 18 12,86 
Chiến lược khác (Đúng) 10 7,14 
Chiến lược khác (Sai) 6 4,29 
Không có đáp án 1 0,71 
Tổng N=140 100 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 7 (2017): 116-124 
120 
Bảng 2. Chiến lược giải bài toán 	(ܧ2)	của học sinh 
Bài toán Chiến lược Số học sinh % 
ࡱ૛ 
ܵ1(Đúng (có kiểm tra tính thẳng hàng của ܣ,ܤ,ܥ và 
tìm đúng tọa độ điểmܦ)) 
5 3,57 
ܵ1(Sai (xem bảng 3)) 125 89,29 
Chiến lược khác (Đúng) 0 0,00 
Chiến lược khác (Sai) 9 6,43 
Không có đáp án 1 0,71 
Tổng N=140 100 
Ở các chiến lược, tỉ lệ từng nội dung sai khi giải bài toán ܧ2	được trình bày trong 
Bảng 3. 
Bảng 3. Tỉ lệ các nội dung sai khi giải bài toán ܧ2 
Chiến lược 
giải ۳૛ 
Nội dung Số học sinh % 
ࡿ 
Tìm ܥ sai 23 18,40 
Tìm ܦ sai 12 9,60 
Không kiểm tra tính thẳng hàng sau khi tìm đúng tọa 
độ ܦ 
90 72,00 
Tổng cộng N=125 100 
Chiến lược 
khác 
Tìm ܥ sai 1 11,11 
Tìm ܦ sai 3 33,33 
Không kiểm tra tính thẳng hàng sau khi tìm đúng tọa 
độ ܦ 
5 55,56 
Tổng N=9 100 
Thống kê chi tiết từng lớp được trình bày trong Bảng 4 
Bảng 4. Thống kê chi tiết từng lớp 
Lớp 10A4 
Chiến lược 
S1 Khác 
Không đáp án 
Đúng Sai Đúng Sai 
Bài 1 40 1 0 0 0 
Bài 2 0 0 2 38 0 0 1 
Lớp 10A6 
Chiến lược 
S1 Khác 
Không đáp án 
Đúng Sai Đúng Sai 
Bài 1 18 8 3 5 1 
Bài 2 3 0 0 24 0 0 3 5 0 
Lớp 10A7 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Minh Hậu và tgk 
121 
Chiến lược 
S1 Khác 
Không đáp án 
Đúng Sai Đúng Sai 
Bài 1 22 6 2 1 0 
Bài 2 0 23 7 0 0 1 0 0 0 
Lớp 10A9 
Chiến lược 
S1 Khác 
Không đáp án 
Đúng Sai Đúng Sai 
Bài 1 25 3 5 0 0 
Bài 2 2 0 3 28 0 0 0 0 0 
Đối với “Bài 1”: Ba điểm ܣ,ܤ,ܥ không thẳng hàng. 
Có 139 học sinh (chiếm 99,29%) áp dụng các chiến lược để giải (trong đó 50 học 
sinh có vẽ hình bình hành nhưng không có ghi tọa độ các điểm ܣ,ܤ,ܥ,ܦ trong giấy nháp 
hoặc giấy làm bài, điều này có thể cho thấy học sinh vẽ hình để sử dụng trong chiến lược 
giải bài toán chứ không phải để kiểm tra tính thẳng hàng), 1 học sinh để trống (chiếm 
0,71%), 1 học sinh (HS112) có kiểm tra ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ và ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ không song song hay trùng nhau, 115 
học sinh (chiếm 82,14%) trả lời đúng. 
Hình 1. Lời giải bài 1 của học sinh (HS112) có kiểm tra trước khi kết luận ܦ 
 Đối với “Bài 2”: Có chứa trường hợp ba điểm ܣ,ܤ,ܥ thẳng hàng. 
Có 139 học sinh (chiếm 99,29%) áp dụng các chiến lược để giải (trong đó 1 học sinh 
vẽ hình bình hành có ghi tọa độ các điểm ܣ,ܤ,ܥ,ܦ trong giấy làm bài nhưng chỉ vẽ cho 
trường hợp điểm ܥ(1; 1)), đối với bài này học sinh (HS112) không kiểm tra tính thẳng 
hàng của ܣ,ܤ,ܥ. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 7 (2017): 116-124 
122 
Hình 2. Lời giải Bài 2 của học sinh (HS112) 
sai khi không kiểm tra tính thẳng hàng của ܣ,ܤ,ܥ 
Có 135 học sinh (chiếm 96,43%) không kiểm tra tính thẳng hàng (trong đó 1 học 
sinh để bài làm trống, 15 học sinh sai ở bước 1 của chiến lược giải, 115 học sinh tìm đúng 
tọa độ điểm ܥ, 95 học sinh tìm đúng tọa độ điểm ܦ). Chỉ có 5 học sinh (chiếm 3,57%) có 
kiểm tra tính thẳng hàng trong đó có 4 học sinh tìm và chọn đúng tọa độ điểm ܦ và 1 học 
sinh (HS124) có kiểm tra tính thẳng hàng của ܣ,ܤ,ܥ	nhưng chưa chính xác và kết luận ܦ 
sai. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Minh Hậu và tgk 
123 
Hình 3. Lời giải Bài 2 của học sinh (HS124) có kiểm tra tính thẳng hàng 
 của ܣ,ܤ,ܥ	nhưng chưa chính xác và kết luận ܦ sai 
Trong quá trình giảng dạy giáo viên có thể hạn chế sai lầm của học sinh khi giải dạng 
toán (ܧ) bằng cách điều chỉnh chiến lược ܵ1 như sau: 
Bước 1. Kiểm tra tính thẳng hàng của ܣ,ܤ,ܥ 
- Trường hợp ܣ,ܤ,ܥ thẳng hàng: Kết luận không tồn tại điểm ܦ để ܣܤܥܦ là 
hình bình hành. (Về mặt toán học: khi A, B, C thẳng hàng ta vẫn có 1 hình bình 
hành, gọi là hình bình hành suy biến nhưng ở phổ thông người ta không nghiên 
cứu các hình bình hành suy biến.) 
- Trường hợp ܣ,ܤ,ܥ không thẳng hàng. 
Bước 2. Tìm tọa độ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ và ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ (hoặc ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ và ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ ) 
Bước 3. Sử dụng tính chất hai vectơ bằng nhau ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ = ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ (hoặc ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ = ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ ) để tìm ܦ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 7 (2017): 116-124 
124 
Bước 4. Kết luận tọa độ điểm ܦ. 
Đối với các chiến lược khác giáo viên nên điều chỉnh “Bước 1” của các chiến lược là 
thêm vào kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm để xét sự tồn tại hình bình hành. 
6. Kết luận 
Hợp đồng didactic là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu những sai lầm của học 
sinh có nguồn gốc là những quan hệ ngầm ẩn trong mối tương tác giữa các thành phần 
trong hệ thống dạy học. Nó cho thấy rằng học sinh có thói quen giải quyết bài toán theo 
quy trình mà giáo viên giới thiệu trước đó, nhưng khi các quy tắc ngầm ẩn của hợp đồng 
didactic không còn được đảm bảo, học sinh sẽ mắc phải sai lầm. Từ đó, giáo viên có thể 
điều chỉnh hoạt động dạy học để giúp học sinh hạn chế sai lầm trong giải toán. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. (2009). Những yếu tố cơ bản của 
Didactic Toán. TP Hồ Chí Minh: NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh. 
Guy Brousseau. (2006). Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des 
mathématiques, 1970–1990 (Vol. 19). Springer Science & Business Media. 
Văn Như Cương (Chủ biên). (2009). Bài tập Hình học 10 Nâng cao. NXB Giáo dục. 
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên). (2010). Hình học 10. NXB Giáo dục. 
Nguyễn Mộng Hy (Tổng chủ biên). (2011). Sách bài tập Hình học 10. NXB Giáo dục. 
Nguyễn Phú Lộc, Bùi Phương Uyên. (2016).“Didactical Contract” As a Tool for Finding out 
Student’ Errors in Solving Problem: An Illustration in Analytic Geometry, Scholar Bulletin, 
Vol-2, Iss-4(Apr,2016):182-184. 
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên). (2010). Hình học 10 Nâng cao. NXB Giáo dục.