Nghiên cứu mô phỏng các hệ thống hàng đợi

Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ VIII về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Hà Nội, ngày 9-10/7/2015 
DOI: 10.15625/vap.2015.000186 
NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CÁC HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI 
Phan Đăng Khoa (1), Lê Quang Minh (1), Nguyễn Thế Tùng (2), Nghiêm Thị Hoa (3) 
(1) Viện CNTT – ĐHQGHN, (2) Trường ĐH Công nghệ - ĐHQGHN, (3) Trường Trung cấp Cảnh sát Nhân dân VI 
quangminh@vnu.edu.vn, tungdongt29@gmail.com 
TÓM TẮT - Lý thuyết hàng đợi đã đưa ra các mô hình toán học để có thể tính toán một số tham số đặc điểm của hệ thống, 
tuy nhiên các mô hình toán đó thường gặp nhiều hạn chế trong việc tính toán các tham số trung gian trong quá trình hệ thống hàng 
đợi vận hành. Để giải quyết vấn đề đó, có thể tiếp cận theo hướng mô phỏng hoạt động của hệ thống hàng đợi thông qua một 
chương trình mô phỏng, các tham số của chương trình ở đầu ra sẽ cung cấp những thông tin theo khả năng và sự quan tâm của 
người lập trình. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiên cứu về công cụ mô phỏng GPSS và đưa ra quy trình, cách thức dùng công 
cụ GPSS để xây dựng mô phỏng toán học các bài toán mô phỏng hàng đợi. 
Từ khóa - Lý thuyết hàng đợi, mô phỏng hệ thống hàng đợi, công cụ GPSS. 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hiện nay, bài toán “Lý thuyết hàng đợi” hay “Lý thuyết phục vụ đám đông” [1] được ứng dụng khá rộng rãi 
trong thực tế. Trong các hệ thống hàng đợi thường xuyên diễn ra hai quá trình: Quá trình phát sinh yêu cầu và quá trình 
phục vụ yêu cầu ấy. Song trong quá trình phục vụ của hệ thống, do nhiều nguyên nhân khác nhau, thường xảy ra các 
tình trạng sau: Quá trình phục vụ không đáp ứng được các yêu cầu đặt ra và do đó dẫn đến nhiều yêu cầu phải đợi để 
được phục vụ; ngược lại, có thể xảy ra tình trạng khả năng phục vụ của hệ thống vượt quá yêu cầu sử dụng dịch vụ, kết 
quả là hệ thống không được sử dụng hết phương tiện phục vụ. Yêu cầu đặt ra là phải đánh giá được hiệu quả hoạt động 
của hệ thống, tính toán hay dự báo được khả năng khả năng phát triển của hệ thống để có thể có những đầu tư một cách 
phù hợp để vừa nâng cao chất lượng dịch vụ, vừa tránh lãng phí do đầu tư không hợp lý. 
Để giải bài toán trên, chúng ta có thể tìm kiếm và giải quyết bằng các mô hình toán học, hoặc tìm ra các giải 
thuật và sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền thống (như C++, Pascal, Java,) để xây dựng chương trình và đưa ra 
các kết quả cần tìm. Tuy nhiên, việc sử dụng các công thức toán học mà lý thuyết hàng đợi cung cấp để tính toán, cũng 
như mô phỏng hệ thống bằng cách sử dụng các ngôn ngữ lập trình truyền thống là khá phức tạp, khó khăn, vì khi lập 
trình chúng ta phải quản lý các sự kiện theo một mô hình nhiều sự kiện xảy ra đồng thời và cần xây dựng các hàm ngẫu 
nhiên sinh các sự kiện. Do đó, có một số công cụ mô phỏng (như GPSS, Petri Nets, MatLab,) phục vụ cho việc mô 
phỏng và tính toán trên các mô hình hàng đợi trở nên thuận tiện và trực quan hơn. 
Ngôn ngữ lập trình GPSS (General Purpose Simulation System) [3-6] là một phần mềm dựa trên ngôn ngữ của 
máy tính mô phỏng dùng để mô phỏng các sự kiện rời rạc, được nhận định là hiệu quả nhất hiện nay. GPSS dự đoán 
các hành vi trong tương lai của các hệ thống hàng đợi. Các đối tượng của ngôn ngữ này được sử dụng tương tự như các 
thành phần chuẩn của một hệ thống hàng đợi, như là các yêu cầu đầu vào, các thiết bị phục vụ, hàng đợi Với tập hợp 
đầy đủ các thành phần như vậy cho phép xây dựng các mô phỏng phức tạp trong khi vẫn đảm bảo những thuật ngữ 
thông thường của hệ thống hàng đợi. 
Trong bài báo này, nhóm tác giả sẽ nghiên cứu về công cụ mô phỏng GPSS và đưa ra quy trình, cách thức dùng 
công cụ GPSS để xây dựng và mô phỏng toán học các bài toán hàng đợi. 
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
1) Lý thuyết hàng đợi 
Lý thuyết hàng đợi là một nhánh của xác suất thống kê, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: 
mạng truyền thông, hệ thống bán vé, thanh toán trong siêu thị, làm thủ tục tại sân bay,... Lý thuyết hàng đợi tập trung 
trả lời các câu hỏi như: trung bình thời gian đợi trong hàng đợi, trung bình thời gian phản hồi của hệ thống (thời gian 
đợi trong hàng đợi cộng thời gian phục vụ), nghĩa là sự sử dụng của các thiết bị phục vụ, phân phối số lượng khách 
hàng trong hàng đợi, phân phối khách hàng trong hệ thống. 
Một hệ thống hàng đợi gồm các thành phần cơ bản sau (Hình 1): 
- Tiến trình vào, tiến trình ra khỏi hệ thống; 
- Phân phối thời gian phục vụ; 
- Số các kênh phục vụ; 
496 NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CÁC HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI 
- Khả năng của hệ thống; 
- Qui mô (kích thước) khách hàng; 
- Nguyên tắc phục vụ. 
Hình 1. Mô hình các thành phần của hệ thống hàng đợi 
Vấn đề đặt ra là đối với công cụ toán học, việc các đối tượng có mức độ ưu tiên khác nhau thường sẽ chỉ được 
xem xét như trên cùng 1 hàng đợi có cùng một mức độ ưu tiên với những hệ số tỷ lệ để giải quyết vấn đề cạnh tranh 
giữa các đối tượng, để tính được tỷ lệ này là một vấn đề khó khăn với nhiều bài toán hàng đợi, vì vậy việc sử dụng 
công cụ mô phỏng để giải quyết là một cách tiếp cận phù hợp. 
2) Ngôn ngữ mô phỏng GPSS 
GPSS (General Purpose Simulation System) là ngôn ngữ mô phỏng các sự kiện rời rạc, được Geoffrey Gordon 
(IBM), phát triển chính từ những năm 1960. Với tên khai sinh là GPSS - Gordon's Programmable Simulation System 
sau được đổi thành GPSS - General Purpose Simulation System như ngày nay. 
Các blocks cơ bản trong GPSS: 
- Transactions: có thể xem như là một “yêu cầu”, hay một “sự kiện” trong hệ thống phục vụ đám đông; 
- Facilities: có thể được hiểu là các “thiết bị”, cơ sở vật chất của hệ thống như là các máy phục vụ; 
- Queues: được dùng để lưu giữ thông tin trong quá trình xử lý các “yêu cầu”; 
- Built-in Probability Distributions: công cụ sinh số ngẫu nhiên, hỗ trợ sẵn các hàm cho phép tạo các số ngẫu 
nhiên theo các quy luật phân bố khác nhau như: Beta, Discrete Uniform, Exponential, Gamma, Poisson, 
Để khởi tạo một Transaction trong GPSS sử dụng block GENERATE: 
GENERATE A,B,C,D,E 
Tham biến A xác định khoảng thời gian trung bình xuất hiện một Transaction. Nếu như khoảng thời gian này là 
hằng số thì tham biến B không được sử dụng, ngược lại sử dụng tham biến B để xác định độ thay đổi của khoảng thời 
gian này. Tham biến C xác định thời điểm xuất hiện Transaction đầu tiên. Tham biến D xác định số Transactions mà 
Block GENERATE sẽ tạo ra và độ ưu tiên của các Transaction được thiết lập bởi tham biến E. 
Trong đó, nhóm tác giả tập trung nhấn mạnh đến điểm ưu việt của việc sử dụng ngôn ngữ mô phỏng GPSS mà 
nếu chúng ta không sử dụng công cụ mô phỏng thì chúng ta phải tự xây dựng bằng các ngôn ngữ lập trình thông 
thường một cách rất phức tạp và tốn nhiều thời gian, công sức: 
1) Hỗ trợ sẵn các hàm cho phép tạo các số ngẫu nhiên theo các quy luật phân bố khác nhau: 
Ví dụ: 
;**************************************************************************** 
GENERATE 1 ;cứ sau mỗi 1 tick thì có 1 “yêu cầu”- transaction 
ADVANCE 5 ;thực hiện trong 5 ticks sau đó chuyển sang block khác 
TERMINATE ;yêu cầu được kết thúc 
;**************************************************************************** 
6. Nguyên tắc 
phục vụ 
2. Phân phối thời 
gian phục vụ 
v
v v
b
c
¡
¡
¡
5. Qui mô khách 
hàng 4. Khả năng của hệ
thống 
3. Số các kênh 
phục vụ 
Tiến trình 
ra 
1.Tiến trình 
vào 
Phan Đăng Khoa, Lê Quang Minh, Nguyễn Thế Tùng, Nghiêm Thị Hoa 497 
GENERATE 100,40 ;tạo transaction sau mỗi khoảng thời gian ngẫu nhiên theo 
;quy luật phân bố đều trong khoảng [60;140] 
;**************************************************************************** 
GENERATE (Exponential(1,0,6.5)) ; sinh số ngẫu nhiên theo hàm mũ 
2) Cho phép dễ dàng mô phỏng các bài toán có nhiều tác vụ với độ ưu tiên khác nhau: 
 Ví dụ: 
GENERATE 10,5,,,2 ; 5'=>15' phút có một máy hạ cánh, có độ ưu tiên 2 
GENERATE 10,2,,,1 ; 8'=>12' có một máy bay cất cánh, có độ ưu tiên 1 
Nghĩa là, nếu tại một thời điểm vừa có yêu cầu máy bay hạ cánh, vừa có yêu cầu máy bay cất cánh thì đường 
băng sẽ ưu tiên việc cất cánh được thực hiện trước. Chúng ta sẽ hiểu kỹ hơn về vấn đề này trong bài toán ví dụ về sân 
bay ở phần sau của bài báo. 
III. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI BẰNG CÔNG CỤ GPSS 
1) Cài đặt công cụ GPSS 
Để mô phỏng một hệ thống hàng đợi, đầu tiên chúng ta cần cài đặt một công cụ cho phép xây dựng chương 
trình trên ngôn ngữ GPSS. Có nhiều phiên bản khác nhau như GPSS World Personal Version, GPSS World 
Commercial Version, GPSS World Student Version, do công ty Minuteman software 
( cung cấp; trong đó phiên bản GPSS World Student Version là phiên bản miễn 
phí; trong bài báo này các tác giả sử dụng phiên bản này để mô phỏng các hệ thống hàng đợi. 
Sau khi tải phiên bản miễn phí GPSS World Student Version về, tiến hành cài đặt như các phần mềm thông 
thường. 
Để mô phỏng một hệ thống hàng đợi, vào menu File và tạo một Project mới, chọn New model, GPSS World sẽ 
tạo cho chúng ta một Model. Thực hiện viết code chương trình bằng ngôn ngữ GPSS cho hệ thống, thực thi lệnh Create 
Simulation từ menu Command để GPSS World tiến hành biên dịch code và tạo một mô phỏng mới. Và lúc này ở menu 
Simulation Window sẽ xuất hiện các cửa sổ như: Blocks Window, Facilities Window, Plot Window, Queues 
Window, cho phép theo dõi quá trình mô phỏng và tính toán. 
Trong menu Command có các lệnh: START, STEP, HALT, CONTINUE,... để điều khiển quá trình mô phỏng. 
Khi quá trình mô phỏng kết thúc theo mặc định cửa sổ báo cáo kết quả REPORT sẽ xuất hiện. 
2) Sử dụng công cụ mô phỏng GPSS trong bài toán thực tế 
Xét bài toán mô phỏng hoạt động tại một sân bay. Ở một sân bay, luôn luôn ưu tiên cho các máy bay cất cánh, 
như vậy trong trường hợp cùng một thời điểm có một máy bay muốn cất cánh và một bay muốn hạ cánh, thì đường 
băng sẽ dành cho máy bay cất cánh. Thời gian cho một máy bay cất cánh hoặc hạ cánh xuống đường băng mất đúng 3 
phút. Cứ mỗi 10 ±5 phút sẽ có một máy bay hạ cánh và 10±2 phút thì lại có một máy bay được cất cánh. Khi hạ cánh, 
nếu đường băng “tự do” thì máy bay sẽ được hạ cánh, còn nếu như đường băng “bận” thì máy bay phải bay tiếp theo 
một vòng tròn gần sân bay, và sẽ tiếp tục đòi hỏi hạ cánh xuống sân bay đó sau thời gian đúng 4 phút. Nếu như sau 5 
vòng bay trên không liên tục, mà máy bay đó vẫn không nhận được sự đồng ý cho hạ cánh, thì máy bay đó sẽ bay sang 
một sân bay phụ. 
Mô phỏng hoạt động của sân bay trong thời gian một ngày (24 giờ). Đếm số máy bay cất cánh được, số máy 
bay hạ cánh được, số máy bay phải thực hiện hạ cánh ở sân bay phụ. Tính hệ số sử dụng đường băng của sân bay đó. 
• Tính kết quả theo phương pháp thống kê thông thường: 
Hình 2. Phân tính mô hình hệ thống hàng đợi sân bay 
λ1
λ2
µ
498 NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CÁC HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI 
Theo lý thuyết hàng đợi, bài toán trên thuộc hàng đợi M/M/1, với các thông số (Hình 2): 
λ1 = 1/10, λ2 = 1/10, µ = 1/3, do đó: 
•
 Số lượng máy bay hạ cánh thành công trong thời gian một ngày đêm: 144 (=1440 phút / 10 phút một chuyến 
hạ cánh) 
•
 Số lượng máy bay cất cánh thành công trong thời gian một ngày đêm: 144 (=1440 phút / 10 phút một chuyến 
cất cánh) 
•
 Hệ số sử dụng của đường băng cho việc cất cánh - hạ cánh: 60% (ρ1 = λ1/µ = 0,3; ρ2 = λ2/µ = 0,3 => ρ = ρ1 + 
ρ2 = 0,6 = 60%) 
Bằng phương pháp thống kê thông thường, ta không thể tính được số lượt máy bay cất cánh và hạ cánh không 
thành công, số lượt máy bay phải bay vòng trước khi hạ cánh thành công cũng như số lượt máy bay phải chuyển sang 
sân bay phụ. 
• Tính kết quả bằng công cụ mô phỏng GPSS: 
Một số câu lệnh chính: 
;segment 1 – Segment miêu tả cho máy bay hạ cánh 
;DOWN 
;block 1 
GENERATE 10,5,,,1 ; 5'=>15' phút có một máy hạ cánh, có độ ưu tiên 1 
;************************************************************** 
;block 2 
 Busy TEST NE *1,5,term ;Nếu tham số 1 của kênh phục vụ hiện tại bằng 5 
 ;thì đi tới khối term, tức là trong trường hợp này máy 
 ;bay hạ cánh sẽ bay sang sân bay phụ 
;************************************************************** 
;segment 2 – Segment miêu tả cho máy bay cất cánh 
;UP 
GENERATE 10,2,,,2 ; 8'=>12' có một máy bay cất cánh, có độ ưu tiên 2 
;************************************************************** 
;segment 3 
GENERATE 1440 ;1440 = 60*24: nghĩa là thời gian 1 ngày đêm tính bằng phút 
TERMINATE 1 
Kết quả mô phỏng thu được: 
ƒ Số lượng máy bay hạ cánh trong khoảng một ngày đêm : 146 
ƒ Số lượng máy bay hạ cánh thành công trong thời gian một ngày đêm: 146 
ƒ Số lượng máy bay hạ cánh không thành công trong khoảng một ngày đêm: 0 
ƒ Số lượng máy bay hạ cánh, mà phải thực hiện chuyến bay theo đường vòng : 79 
ƒ Số lượng máy bay cất cánh trong khoảng một ngày đêm: 142 
ƒ Số lượng máy bay cất cánh thành công trong khoảng một ngày đêm: 142 
ƒ Hệ số sử dụng của đường băng cho việc cất cánh - hạ cánh: 60% 
Như vậy ta thấy với phần mềm mô phỏng, kết quả tính toán cho ta số máy bay cất cánh và hạ cánh thành công 
có sai khác với kết quả tính toán theo lý thuyết thông thường (146 và 142 so với 144), ngoài ra còn cho ta số lượt máy 
bay phải bay theo đường vòng trước khi hạ cánh thành công (79 lượt). 
• Thay đổi thông số bài toán: 
o Thay đổi thời gian mô phỏng: 
Phan Đăng Khoa, Lê Quang Minh, Nguyễn Thế Tùng, Nghiêm Thị Hoa 499 
Thay vì mô phỏng hoạt động của sân bay trong khoảng thời gian 01 ngày, ta mô phỏng hoạt động của sân bay 
trong khoảng thời gian 10, 20, 30, ..., 100 ngày đêm để so sánh kết quả thu được (Bảng 1) (Hình 3): 
Nhận xét: 
Khi thay đổi thông số bài toán từ mô phỏng hoạt động của sân bay trong thời gian 01 ngày đêm sang mô phỏng 
hoạt động của sân bay trong các khoảng thời gian từ 10 ngày đêm đến 100 ngày đêm, ta thấy các kết quả thu được cho 
ta các số liệu trung gian như số lượt máy bay cất cánh và hạ cánh không thành công, số lượt máy bay phải bay vòng 
trước khi hạ cánh thành công cũng như số lượt máy bay phải chuyển sang sân bay phụ; và hệ số sử dụng đường băng 
ngày càng tiệm cận gần hơn đến kết quả tính toán theo lý thuyết thông thường. 
Bảng 1. Kết quả mô phỏng 
Thời gian 
(ngày) 
Số hạ cánh Số hạ cánh 
thành công 
Số phải bay vòng Số phải sang 
sân bay phụ 
Số cất cánh 
thành công 
Hệ số sử 
dụng đường 
băng 
10 1.448 1.445 760 3 1.442 0,601 
20 2.868 2.865 1.490 3 2.882 0,599 
30 4.305 4.299 2.311 6 4.322 0,599 
40 5.752 5.743 3.093 8 5.768 0,600 
50 7.197 7.189 3.922 8 7.204 0,600 
60 8.662 8.650 4.682 12 8.645 0,601 
70 10.099 10.084 5.484 14 10.092 0,600 
80 11.536 11.518 6.256 17 11.539 0,600 
90 12.963 12.944 6.977 19 12.981 0,600 
100 14.408 14.388 7.759 20 14.416 0,600 
Hình 3. Đồ thị mô tả kết quả mô phỏng 
o Thay đổi thời gian phục vụ để giảm thiểu số lượt bay vòng, tiết kiệm chi phí: 
Như ta đã thấy, với thời gian mô phỏng từ 10 đến 100 ngày cho ta số lượt máy bay phải bay vòng là từ 760 đến 
7.749 lượt; số lượt máy bay phải chuyển sang sân bay phụ là từ 03 đến 20 lượt. Như vậy chi phí tiền xăng để máy bay 
bay vòng và thậm chí phải chuyển sang sân bay phụ là rất lớn. 
Để giảm thiểu chi phí tiền xăng phát sinh khi máy bay phải bay vòng hay phải chuyển sang sân bay phụ, ta có 
thể nâng cao khả năng phục vụ, tức là có thể giảm thời gian máy bay lăn bánh trên đường băng, hoặc tăng số lượng 
đường băng phục vụ. Để đạt hiệu quả kinh tế, ta phải tính toán và cân đối chi phí giữa việc giảm chi phí từ giảm số lượt 
máy bay bay vòng với việc tăng chi phí khi nâng cao khả năng phục vụ. Phương án nào có hiệu quả kinh tế tốt hơn thì 
ta lựa chọn để thực hiện. 
500 NGHIÊN CỨU MÔ PHỎNG CÁC HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI 
Với bài toán này, giả sử thời gian máy bay lăn bánh trên đường băng có thể giảm tối đa xuống còn 2 phút cho 
mỗi lượt cất cánh/hạ cánh. Nhóm tác giả thực hiện mô phỏng hoạt động của sân bay với thời gian phục vụ là 2 
phút/lượt với thời gian mô phỏng tương tự để so sánh kết quả thu được (Bảng 2): 
Nhận xét: 
Với kết quả mô phỏng thu được, ta thấy rằng số lượt máy bay phải bay vòng đã được giảm xuống còn khoảng 
gần một nửa (≈43%), và đã hoàn toàn loại bỏ số lượt máy bay phải chuyển sang sân bay phụ. Như vậy, với việc sử 
dụng công cụ mô phỏng ta đã có thể lựa chọn thông số đầu vào hợp lý (giảm thời gian phục vụ từ 3 phút/chuyến xuống 
còn 2 phút/chuyến) để loại bỏ kết quả trung gian không mong muốn (số lượt máy bay phải bay vòng và số lượt phải 
chuyển sang sân bay phụ) để đạt hiệu quả kinh tế cao hơn. 
Bảng 2. Kết quả mô phỏng 
Thời gian 
(ngày) 
Số hạ cánh Số hạ cánh 
thành công 
Số phải bay 
vòng 
Số phải sang 
sân bay phụ 
Số cất cánh 
thành công 
Hệ số sử dụng 
đường băng 
10 1.448 1.448 302 0 1.442 0,401 
20 2.868 2.868 648 0 2.882 0,399 
30 4.305 4.305 1.004 0 4.322 0,399 
40 5.752 5.752 1.337 0 5.768 0,400 
50 7.197 7.197 1.693 0 7.204 0,400 
60 8.662 8.662 2.031 0 8.645 0,401 
70 10.099 10.099 2.378 0 10.092 0,401 
80 11.536 11.536 2.720 0 11.539 0,401 
90 12.963 12.963 3.049 0 12.981 0,400 
100 14.408 14.408 3.394 0 14.416 0,400 
IV. KẾT LUẬN 
Như vậy, bằng cách sử dụng công cụ mô phỏng GPSS World, ta có thể dễ dàng hơn trong việc mô phỏng các 
bài toán trong thực tế, thu được các thông số mà bằng phương pháp thống kê thông thường ta không thể có được. 
Với thời gian mô phỏng ít, kết quả thu được có những sai khác khá lớn so với kết quả tính toán theo lý thuyết. 
Khi thay đổi thông số bài toán để mô phỏng với thời gian lớn hơn, ta thấy các kết quả thu được ngày càng tiệm cận gần 
hơn đến các kết quả tính toán theo lý thuyết thông thường, nghĩa là công cụ mô phỏng càng phản ánh sát với thực tế. 
Dựa trên các thông số trung gian đó, ta có thể điều chỉnh các giá trị đầu vào sao cho hệ thống hàng đợi hoạt 
động đạt hiệu suất cao nhất để có thể có những đầu tư một cách phù hợp để vừa nâng cao chất lượng dịch vụ, vừa tránh 
lãng phí do đầu tư không hợp lý. 
Trong khuôn khổ bài báo, nhóm tác giả mới chỉ thực hiện mô phỏng với bài toán hàng đợi mô hình M/M/1 để 
làm nổi bật điểm ưu việt của việc sử dụng công cụ mô phỏng GPSS so với phương pháp thống kê thông thường.Tuy 
nhiên, hoàn toàn có thể sử dụng công cụ GPSS để mô phỏng các bài toán hàng đợi phức tạp hơn như M/M/n với các 
thông số đầu vào ngẫu nhiên theo các quy luật phân bố khác nhau và có nhiều độ ưu tiên phục vụ khác nhau. 
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Robert B.Cooper (1981) “IntroToQueueingTheory”, Elserier North Holland. 
[2] Graves, Stephen C. and John D. C. Little (2008), “Little’s Law,” in: Dilip Chhed and Timothy J. Lowe, eds. 
Building Intuition: Insights from Basic Operations Management Models and Principles, (New York, NY: Springer 
Science+Business Media, LLC). 
[3] Alan Pilkington, Royal Holloway; University of London GPSS – Getting Started (online); 
[4] M Peter Jurkat; Short Introduction to GPSS (online) 
[5] GPSS World Reference Manual (online) 
[6] GPSS World Tutorial Manual (onine)