Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB với cấu tröc lập phương tâm diện ở áp suất không

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1059.2016-0003 
Natural Sci. 2016, Vol. 61, No. 4, pp. 15-20 
This paper is available online at  
Ngày nhận bài: 24/2/2016. Ngày nhận Ďăng: 25/3/2016. 
Tác giả liên lạc: Nguyễn Quang Học, Ďịa chỉ e-mail: hocnq@hnue.edu.vn 
15 
NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA HỢP KIM THAY THẾ AB 
VỚI CẤU TRÖC LẬP PHƢƠNG TÂM DIỆN Ở ÁP SUẤT KHÔNG 
Nguyễn Quang Học1, Hoàng Văn Tích1, Nguyễn Thị Hòa2 và Nguyễn Đức Hiền3 
1Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 
2 Phòng Khảo thí và Đảm bảo chất lượng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Hà Nội 
3Trường Trung học phổ thông Mạc Đĩnh Chi, Chu Pah, Gia Lai 
Tóm tắt. Bài báo nghiên cứu sự biến dạng Ďàn hồi của hợp kim thay thế AB với cấu trúc lập 
phƣơng tâm diện ở áp suất không. Kết quả nghiên cứu Ďã rút ra Ďƣợc các biểu thức giải tích của 
năng lƣợng tự do, khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử, các môĎun Ďàn hồi 
nhƣ môĎun Young, môĎun nén khối. môĎun trƣợt và các hằng số Ďàn hồi Ďối với hợp kim thay thế 
AB với cấu trúc LPTD ở áp suất không phụ thuộc vào nhiệt Ďộ và nồng Ďộ nguyên tử thay thế bằng 
phƣơng pháp thống kê mômen. Trong trƣờng hợp khi nồng Ďộ nguyên tử thay thế bằng không, 
ta thu Ďƣợc lí thuyết Ďàn hồi của kim loại chính A. 
Từ khóa: Hợp kim thay thế, môĎun Young, môĎun nén khối, môĎun trƣợt, hằng số Ďàn hồi. 
1. Mở đầu 
Hợp kim nói chung và hợp kim thay thế nói riêng là những vật liệu phổ biến trong khoa học và 
công nghệ vật liệu. Việc nghiên cứu biến dạng của vật liệu nói chung, kim loại và hợp kim nói riêng 
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu [1-5]. 
Có nhiều phƣơng pháp lí thuyết khác nhau trong nghiên cứu biến dạng Ďàn hồi của vật liệu nhƣ 
phƣơng pháp Ďộng lực học phân tử, phƣơng pháp mô phỏng Ďộng lực học phân tử, phƣơng pháp phần 
tử hữu hạn, phƣơng pháp ab-initio, phƣơng pháp mômen thống kê,... Mỗi phƣơng pháp Ďều có những 
ƣu và nhƣợc Ďiểm riêng, việc sử dụng phƣơng pháp nào tốt hơn chỉ có thể Ďƣợc Ďánh giá tuỳ vào từng 
bài toán cụ thể. Phƣơng pháp thống kê mômen (TKMM) Ďã Ďƣợc áp dụng trong nghiên cứu tính chất 
cấu trúc, nhiệt Ďộng, Ďàn hồi, chuyển pha và khuếch tán của kim loại và hợp kim [6]. 
Trong bài báo này, bằng phƣơng pháp TKMM chúng tôi rút ra các biểu thức giải tích của năng 
lƣợng tự do, khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử, các môĎun Ďàn hồi nhƣ 
môĎun Young, môĎun nén khối. môĎun trƣợt và các hằng số Ďàn hồi Ďối với hợp kim thay thế AB với 
cấu trúc lập phƣơng tâm diện (LPTD) ở áp suất không phụ thuộc vào nhiệt Ďộ và nồng Ďộ nguyên tử 
thay thế. 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Năng lƣợng tự do của hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD 
Xét mô hình hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD. Đối với hợp kim trật tự xuất hiện hai loại 
nút. Nút loại a là nút “quen” với nguyên tử A và nút loại b là nút “quen” với nguyên tử B. Trong tập 
hợp N nguyên tử, có NA nguyên tử loại A và NB nguyên tử loại B. Nồng Ďộ của các thành phần A và B 
trong hợp kim lần lƣợt là cA và cB Ďƣợc xác Ďịnh bởi: 
Nguyễn Quang Học, Hoàng Văn Tích, Nguyễn Thị Hòa và Nguyễn Đức Hiền 
16 
,c .A BA B
N N
c
N N
(1) 
Năng lƣợng tự do trong vật lí thống kê Ďƣợc Ďịnh nghĩa bởi công thức 
ln ,AB B ABk T Z (2) 
trong Ďó ABZ là tổng thống kê của hợp kim AB và có dạng 
exp ,nAB
n B
E
Z
k T
 
 (3) 
trong Ďó nE là năng lƣợng của hệ tƣơng ứng với số lƣợng tử n. Ta biểu diễn nE qua năng lƣợng cấu 
hình iE và năng lƣợng dao Ďộng mE 
,n i mE E E (4) 
trong Ďó một cách gần Ďúng có thể coi mE không phụ thuộc vào cấu hình. 
Thay (4) vào (3) và chuyển tổng theo n thành tổng theo i và m, ta có 
,
exp exp exp .i m m iAB
i m m iB B B
E E E E
Z
k T k T k T
   
(5) 
Trong gần Ďúng bỏ qua hiệu ứng tƣơng quan, ta nhận Ďƣợc năng lƣợng cấu hình iE nhƣ nhau Ďối 
với tất cả các cấu hình và có giá trị bằng E. Thay iE E vào (5) và Ďƣa exp
i
B
E
k T
ra khỏi tổng 
theo i, tổng còn lại cho W các hoán vị khác nhau của nguyên tử theo các nút mạng. Kết quả là 
1 1exp , exp , .
m m
AB m m
m mB B
E E E
Z W Z W Z E E E
k T k T
  
 (6) 
Ở Ďây mE là năng lƣợng của hợp kim. Nó Ďƣợc xác Ďịnh bởi số trạng thái lƣợng tử m của hệ và năng 
lƣợng cấu hình trung bình E. 
Năng lƣợng cấu hình trung bình E của hợp kim Ďƣợc xác Ďịnh theo năng lƣợng cấu hình E của 
các hệ hiệu dụng ,  dƣới dạng 
,
,E P E  
 
  
(7) 
trong Ďó  là nồng Ďộ nút loại ,a b  và P

 là xác suất Ďể nguyên tử ,A B nằm trên 
nút . Nếu xem mE không phụ thuộc vào cấu hình và các hệ hiệu dụng, 
, ,
, .m m m m mE P E E P E E E E
     
  
    
(8) 
Ở Ďây mE

 là năng lƣợng của hệ hiệu dụng , .  Nó Ďƣợc xác Ďịnh bởi số trạng thái lƣợng tử m 
của hệ và năng lƣợng cấu hìnhE . Do Ďó, 
,
1
,
exp , ln .
m
AB B
m B
P E
Z P k T W
k T
 
 
   
 
 


   

  
(9) 
Lƣu ý rằng có thể tính số hạng thứ hai trong (9) theo entrôpi cấu hình cS của hợp kim 
Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD ở áp suất không 
17 
,
ln , ln .B c c Bk T W TS S k N P P
 
 
 
  (10) 
Khi Ďó, năng lƣợng tự do của hợp kim có dạng 
,
.AB cP TS
 
 
 
   (11) 
Nồng Ďộ nút  và xác suất P

 thỏa mãn các hệ thức 
1, , , .a a b b a b a bA BA B A B a A b A A a B b B B A B
N N
P P P P P P c P P c N N N
N N
    
(12) 
P Ďƣợc xác Ďịnh thông qua thông số trật tự xa  trong hợp kim bởi 
 1 .P c    (13) 

  là năng lƣợng tự do của hệ hiệu dụng ,  và có dạng 
 20 03 ln 1 , , ,
6 2
x
i i
i
u
N x e u a x

 
     

 

    
 
2
2
* *
2
1
, . , ,
2
i
A A B B
i i eq
k m x y z m c m c m
u

  

 
 
 
(14) 
trong Ďó 
0u

 là tổng năng lƣợng tƣơng tác giữa các nguyên tử trong hệ hiệu dụng , , Am  và Bm 
là các khối lƣợng của các nguyên tử A và B. Trong hệ hiệu dụng , ,  nguyên tử Ďƣợc chọn 
nằm trên nút loại  và i

 là thế năng tƣơng tác giữa nguyên tử thứ i với nguyên tử , ,i ia u là các 
vectơ xác Ďịnh vị trí cân bằng và Ďộ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ i. Năng lƣợng 
tự do 

  của hệ hiệu dụng ,  phụ thuộc vào khoảng lân cận gần nhất giữa các nguyên tử trong hệ. 
Đối với hợp kim hoàn toàn mất trật tự ( = 0), 
, ,a b a bA A A B B BP P c P P c 
** **, ,a b a bA A A B B B      
(15) 
trong Ďó 
**
A
N

 là năng lƣợng tự do của một nguyên tử A mà xung quanh nó có 1
1
AB
A
A
n P
J
c
 nguyên tử 
B ( ABP là xác suất dể 2 nguyên tử A và B Ďứng cạnh nhau, 1n là số nguyên tử trên quả cầu phối vị 
thứ nhất), 1 1An J nguyên tử A trên quả cầu phối vị thứ nhất, 2 2 2
a
A B BJ n P n c nguyên tử B ( 2n là 
số nguyên tử trên quả cầu phối vị thứ hai) và 2 2An J nguyên tử A trên quả cầu phối vị thứ hai. 
Tƣơng tự 
**
B
N

 là năng lƣợng tự do của một nguyên tử B mà xung quanh nó có 1
1
AB
B
B
n P
J
c
 nguyên 
tử A, 1 1Bn J nguyên tử B trên quả cầu phối vị thứ nhất, 2 2 2
b
B A AJ n P n c nguyên tử A và 
2 2Bn J nguyên tử B trên quả cầu phối vị thứ hai. 
Trong hợp kim hoàn toàn mất trật tự, xác suất Ďể 2 nguyên tử A, B Ďứng cạnh nhau Ďƣợc xác Ďịnh bởi 
.AB A BP c c (16) 
Khi Ďó, năng lƣợng tự do của hợp kim thay thế AB hoàn toàn mất trật tự 
** ** .AB A A B B cc c TS   
(17) 
Trong gần Ďúng bỏ qua năng lƣợng trật tự của hợp kim, 
1
.
2
AB AA BBr r r 
(18) 
Nguyễn Quang Học, Hoàng Văn Tích, Nguyễn Thị Hòa và Nguyễn Đức Hiền 
18 
Khi Ďó, có thể xác Ďịnh các biểu thức của 
** **,A B  tƣơng ứng với mô hình hiệu dụng trên với các 
thông số 
* *
0 0 ,u u k k
 
   có dạng 
 *0 0 1 21 2 ,BB AA BB AAu u J J 
2 2 2 2
* 1 21
2 2 2 2
1 2
.
4 4
BB AA BB AA
i i i i
J J
k k
u u u u
    
    
(19) 
Ở Ďây, kí hiệu (...)i (i = 1, 2) cho giá trị của các biểu thức trong ngoặc tính tại khoảng cách ai tƣơng 
ứng ở quả cầu phối vị 1 hoặc 2, 1J và 2J có dạng 
 11 2 2, 1 , , .
ABn PJ J n c A B
C
 (20) 
Lƣu ý rằng, dấu “+” trong các biểu thức trên tƣơng ứng với trƣờng hợp = A, còn dấu “–” tƣơng ứng 
với = B. Trong trƣờng hợp khi ,B Ac c ta có gần Ďúng 0 0 , .A A A Au u k k
  
Khi Ďó, năng lƣợng tự 
do của hợp kim thay thế AB mất trật tự với B Ac c có dạng 
.AB A A B B cc c TS   (21) 
Trong một Ďơn vị thể tích, năng lƣợng tự do của hợp kim thay thế AB mất trật tự với 
B Ac c có dạng 
* * * .AB A A B B cc c TS   
 (22) 
2.2. Khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử trong hợp kim thay thế 
AB với cấu trúc LPTD 
Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử trong hợp kim thay thế AB với cấu trúc 
LPTD ở áp suất không và 0 K Ďƣợc xác Ďịnh bởi công thức 
0 0
01 01 01
0 0
.TA TBBAB A A B
T T
r r r
B B
c c
B B
 (23) 
Ở Ďây, 01 01,A Br r tƣơng ứng là các khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử A và giữa 2 nguyên tử B 
ở 0 K, 
2
2
01 1 0
0
2 1
, , ,
3 3
T
T A B
r N r
B 
  
 
 (24) 
0TB là môĎun Ďàn hồi Ďẳng nhiệt của kim loại ,A B ở áp suất không và 0 K, 
0 0 0BT A TA TBB c B c B 
 (25) 
là môĎun Ďàn hồi Ďẳng nhiệt trung bình của hợp kim AB ở áp suất không và 0 K, 1 1,A Br r tƣơng ứng là 
các khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử A và giữa 2 nguyên tử B ở nhiệt Ďộ T. 
Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử trong hợp kim thay thế AB với cấu trúc 
LPTD ở áp suất không và nhiệt Ďộ T Ďƣợc xác Ďịnh bởi 
1 1 1 ,
TA TB
BAB A A B
T T
r r r
B B
c c
B B
(26) 
trong Ďó TB là môĎun Ďàn hồi Ďẳng nhiệt của kim loại ,A B ở áp suất không và nhiệt Ďộ T 
và Ďƣợc xác Ďịnh bởi công thức 
Nghiên cứu biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD ở áp suất không 
19 
3
1
2 2
1
2
3
1
01
2
, ,
2
3
,
3
T
T
r
V Nv v r
r
r
V a
B 
 

(27) 
trong Ďó TB là môĎun Ďàn hồi Ďẳng nhiệt trung bình của hợp kim AB ở áp suất không và nhiệt Ďộ T và 
Ďƣợc xác Ďịnh bởi công thức 
.T B TBA TAB C B C B 
 (28) 
Trong các biểu thức ở trên, 
2
2 2 2
0
2 2 2
31 1
, , .
2 4 2
T
u k k
A B
a a k a k a
 
    
    
(29) 
2.3. Biến dạng đàn hồi của hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD 
Đạo hàm bậc hai hai vế của (22) theo Ďộ biến dạng , ta có 
2 * 2 * 2 *
2 2 2
.AB A BA Bc c
  
     
  
(30) 
Từ Ďó rút ra môĎun Young của hợp kim thay thế AB 
,AB A A B BE c E c E (31) 
trong Ďó ,A BE E là các môĎun Young của các kim loại A, B. 
 MôĎun nén khối ABK và môĎun trƣợt ABG của hợp kim thay thế AB Ďƣợc xác Ďịnh theo môĎun 
Young ABE bởi các công thức 
,
3 1 2
AB
AB
AB
E
K

(32) 
.
2 1
AB
AB
AB
E
G

 (33) 
Các hằng số Ďàn hồi của hợp kim thay thế AB Ďƣợc xác Ďịnh bởi các công thức 
 11
1
,
1 1 2
AB AB
AB
AB AB
E
C

 
(34) 
 12
,
1 1 2
AB AB
AB
AB AB
E
C

 
(35) 
 44
.
2 1
AB
AB
AB
E
C

 (36) 
Trong các công thức trên, hệ số Poisson AB của các hợp kim thay thế AB Ďƣợc xác Ďịnh bởi 
công thức 
,AB A A B Bc c   (37) 
trong Ďó ,A B  là hệ số Poisson của các kim loại A, B. 
Trong trƣờng hợp nồng Ďộ nguyên tử thay thế B bằng không, từ lí thuyết Ďàn hồi Ďối với hợp kim 
thay thế AB ta thu Ďƣợc lí thuyết Ďàn hồi của kim loại chính A. 
Nguyễn Quang Học, Hoàng Văn Tích, Nguyễn Thị Hòa và Nguyễn Đức Hiền 
20 
3. Kết luận 
Bằng phƣơng pháp thống kê mômen, chúng tôi rút ra các biểu thức giải tích của năng lƣợng tự do, 
khoảng cách lân cận gần nhất trung bình giữa hai nguyên tử, các môĎun Ďàn hồi nhƣ môĎun Young, 
môĎun nén khối, môĎun trƣợt và các hằng số Ďàn hồi Ďối với hợp kim thay thế AB với cấu trúc LPTD 
ở áp suất không phụ thuộc vào nhiệt Ďộ và nồng Ďộ nguyên tử thay thế. Trong trƣờng hợp nồng Ďộ 
nguyên tử thay thế B bằng không, từ lí thuyết Ďàn hồi Ďối với hợp kim thay thế AB ta thu Ďƣợc lí 
thuyết Ďàn hồi của kim loại chính A. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] S. Carlsson, P. L. Larsson, 2001. On the determination of residual stress and strain fields by 
sharp indentation testing. Part II: Experimental investigation, Acta mater, 49, pp. 2193-2203. 
[2] M. J. Graf, C. W. Greeff, J. C.Boenger, 2003. Shock compression of condensed matter-2003, 
Proc. of conference of American Physical society topical group on shock compression of 
condensed matter. Portland, Oregon, July 20-25, 2003, p. 65. 
[3] M. E. Kassner, M. T. Pérez-Prado, M. Long, K. S. Vecchio, 2002. Dislocation 
microstructure and internal-stress measurements by convergent-beam electron diffraction on 
creep-deformed Cu and Al. Metallurgical and Materials Transactions A33(2), pp. 311-317. 
[4] E. M. Taleff, C. K. Syn, D. R. Lesuer, 2000. Deformation, processing and properties of 
structural materials. Proc. of the honorary symposium for Prof. Oleg D.Sherby, Nashville, 
Tennessee, March, pp. 14-16. 
[5] S. L. Chaplot, R. Mittal, N,Chouduhry, 2010. Thermodynamic properties of solids: 
experiment and modeling. Wiley-VCH Verlag GmBh & Co. KgaA. 
[6] Vũ Văn Hùng, 2009. Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động 
và đàn hồi của tinh thể. Nxb Đại học Sƣ phạm, Hà Nội. 
ABSTRACT 
Elastic deformation of a binary AB substitutional alloy with FCC structure at zero pressure 
The analytic expressions of free energy, the mean nearest neighbor distance between two atoms, elastic 
moduli such as the Young modulus, the bulk modulus and the rigidity modulus, and the elastic constants for a 
binary AB substitutional alloy with an FCC structure are derived using the statistical moment method. When 
the concentration of B substitution atoms is equal to zero, we obtain the elastic theory of A main metal. 
Keywords. Substitution alloy, Young modulus, bulk modulus, rigidity modulus, elastic constants.