Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng năng lượng lên tính chất điện của hạt tải trong mô hình giếng lượng tử pha tạp một phía

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
146 
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG UỐN CONG 
VÙNG NĂNG LƯỢNG LÊN TÍNH CHẤT ĐIỆN CỦA HẠT TẢI 
TRONG MÔ HÌNH GIẾNG LƯỢNG TỬ PHA TẠP MỘT PHÍA 
Nguyễn Quyết Tiến1, Trần Thị Hải2 
TÓM TẮT 
Ảnh hưởng của pha tạp điều biến một phía lên hiện tượng vận chuyển của hạt tải giam 
cầm trong giếng thế vuông góc ở nhiệt độ thấp được nghiên cứu. Bằng việc sử dụng phương 
pháp biến phân và các hàm phụ, các biểu thức mô tả ảnh hưởng của pha tạp lên sự phân bố 
của hạt tải trong giếng lượng tử đã được tác giả đưa ra. Các biểu thức mô tả các cơ chế tán 
xạ tác động lên quá trình vận chuyển của hạt tải cũng được xác định, đồng thời chỉ ra ảnh 
hưởng của pha tạp bất đối xứng một phía lên sự phân bố của hạt tải phụ thuộc vào mức pha 
tạp và độ rộng kênh dẫn. 
Từ khóa: Pha tạp một phía, pha tạp điều biến, phương pháp biến phân, mức pha tạp, 
độ rộng kênh dẫn. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Giếng lượng tử pha tạp điều biến dựa trên Ge và SiGe đã nhận được nhiều sự quan 
tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây vì tầm quan trọng của nó trong việc ứng dụng 
máy móc, thiết bị, nhất là các kênh dẫn loại p với độ linh động cao của hạt tải. Chúng 
được ứng dụng rộng rãi trong các cấu trúc transitor hiệu ứng trường. Để tăng độ linh 
động của khí lỗ trống, các cấu trúc dị chất với các kênh dẫn SiGe đã được quan tâm 
nghiên cứu mạnh mẽ [1,3]. 
Năm 2008, A. Gold [4] đã sử dụng lí thuyết flat-band và thấy rằng độ linh động tăng 
đơn điệu và phụ thuộc vào bề rộng giếng lượng tử. Những giải thích của [4] nhiều điểm chưa 
phù hợp với các nghiên cứu thực nghiệm về sự phụ thuộc của độ linh động vào bề rộng giếng 
lượng tử [6]. Các mô hình này chỉ giải thích được một số kết quả thực nghiệm như độ linh 
động phụ thuộc vào nồng độ hạt tải , nhưng không giải thích được sự phụ thuộc của 
độ linh động vào bề rộng giếng lượng tử L. 
Để khắc phục hạn chế của những tính toán lý thuyết khi sử dụng mô hình flat-band, 
năm 2007 Giáo sư Quang và cộng sự [7] đã đưa ra một lý thuyết bent-band, trong đó 
nhóm tác giả tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng năng lượng lên sự phân 
bố của hạt tải trong giếng, từ đó xác định các cơ chế tán xạ cơ bản ảnh hưởng lên quá 
trình vận chuyển của hạt tải trong mô hình giếng lượng tử pha tạp một phía. Cụ thể là, 
1 Giáo viên Trường Trung học phổ thông Bắc Sơn, huyện Ngọc Lặc, Thanh Hóa 
2 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 
 sp

 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
147 
dưới ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng, các hạt tải trong trường hợp pha tạp một 
phía không còn đối xứng như trong mô hình flat-band mà lệch về phía có pha tạp. Theo 
mô hình này thì việc điều biến bất đối xứng hàm sóng, nghĩa là độ dốc của hàm sóng 
thay đổi, làm tăng tán xạ do độ nhám bề mặt gây nên mà tán xạ này là tán xạ chủ đạo và 
vì thế độ linh động của hạt tải giảm mạnh. 
Mục đính chính của bài báo này là xét đến ảnh hưởng hiệu ứng uốn cong vùng năng 
lượng do pha tạp và đưa ra các cơ chế tán xạ chủ đạo trong giếng lượng tử vuông góc 
SiGe/Ge/ SiGe ở nhiệt độ thấp. Lí thuyết của nhóm tác giả bao gồm tất cả các nguồn tán xạ, 
kể cả thế biến dạng khớp sai. Hơn nữa, lí thuyết được giới thiệu trong bài báo sẽ hoàn thiện 
mô hình thực của giếng lượng tử, với việc xét đến hiệu ứng uốn cong vùng. 
Sơ đồ trình bày bài báo này như sau: Trong mục 2 mô hình giếng lượng tử pha tạp 
một phía được giới thiệu, việc tính toán các cơ chế tán xạ cơ bản ảnh hưởng lên quá trình 
vận chuyển của hạt tải trong giếng được trình bày ở mục 3, phần 4 là một số kết quả tính số 
về ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng do pha tạp và phần 5 là phần tổng kết. 
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
2.1. Mô hình giếng lượng tử vuông góc pha tạp điều biến một phía 
2.1.1. Hàm sóng biến phân 
Đối với giếng lượng tử có chiều cao rào thế là vô hạn, chúng tôi đưa ra hàm sóng bao 
ở trạng thái cơ bản có dạng như sau: [7] 
 // cos / khi / 2
( )
0 khi / 2,
cz LB L z L e z L
z
z L

 (1) 
Ở đây L là bề rộng của kênh dẫn, B, c là các tham số biến phân. 
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có: 
 (2) 
Ta có: 
(3) 
với 
(4) 
trong đó, là hàm được xác định bởi phương trình (17) 
Vì vậy, ta chỉ cần xác định một tham độc lập c, đó chính là đại lượng đặc trưng cho 
ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng lên sự phân bố hạt tải trong giếng. 
/2
2
/2
( ) 1
L
L
dz z
2
1( ) 1
2
B c
 
 o o
c
k c k L
L
1( )c
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
148 
2.1.2. Thế Hartree 
Trong mô hình bent-band, Hamiltonian xác định bởi phương trình: 
 (5) 
Trong đó, T là động năng, Vb(z) và VH(z) lần lượt là thế rào và thế Hartree. 
Thế Hartree được tạo bởi nguồn tạp bị ion hóa NI(z) và nguồn hạt tải tích điện p(z). 
Biên dạng pha tạp ở phía đỉnh rào có mật độ khối của tạp NI nằm trong miền từ 
zd đến -zs, Với và , Ld và Ls lần lượt là độ dày của lớp pha tạp 
và lớp cách điện. 
Thế Hartree bao gồm tổng của thế tạp và hạt tải: 
 (6) 
Phương trình Poisson cho thế Hartree do khối tạp và khối hạt tải có dạng: 
 (7) 
với 
 (8) 
Phân bố của hạt tải nằm trong miền: với là mật độ lá tạp hai 
chiều và hàm sóng cho bởi phương trình (1). 
Sử dụng điều kiện cân bằng điện tích ta có: 
 (9) 
Tiến hành giải phương trình Poisson cho thế Hartree do khối tạp và khối hạt tải tạo ra, 
kết hợp với điều kiện biên của thế 
 (10) 
trong đó, EI là năng lượng liên kết của tạp bị ion hoá. 
Kết quả ta thu được thế Hartree có dạng như sau: 
 (11) 
( ) ( )b HH T V z V z 
( )
2
L
z 
2
d d s
L
z L L 
2
s s
L
z L 
 H I SV z V z V z 
2 2
2
4
H I
L
d e
V z N z p z
dz

,
( )
0,
I d s
I
N z z z
N z
elsewhere
2
( ) ( )sp z p z sp
s I dp N L 
: ( ) / 0, ( )H H Iz V z V E   
2
2
2 2
2 2
0,
/ 2 ( ) ,
4
( ) / 2 ( ) 2 , / 2
/ 2 ( ) [g(z)-zg -h ] / 2 / 2
/ 2 ( ) [h -h ] / 2 0,
d
I d d s
H I I d s d s s
L
I d s s
I d s s
z z
N z z z z z
e
V z E N z z z z z z z L
N z z p L z L
N z z p L z

 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
149 
Trong đó, là hằng số điện môi của giếng lượng tử. 
g(z) và h(z) được xác định: 
 (12) 
 (13) 
Các kí hiệu ứng với các giá trị tại , trong trường hợp này: 
2.1.3. Năng lượng tổng cộng của hạt 
Năng lượng tổng cộng của hạt ở trạng thái cơ bản: 
(14) 
Năng lượng riêng trong tổng năng lượng được dẫn ra dưới đây. 
Trong đó, động năng trung bình có dạng: 
 (15) 
(16) 
Ở đây, mz là khối lượng hiệu dụng của hạt tải; và được cho bởi phương trình: 
 (17) 
Thế trung bình của tạp cho bởi: 
 (18) 
Thế trung bình của hạt tải: 
 (19) 
Hay 
 (20) 
L
22
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( )cos 2 sin
8 ( )
cz
L
B L z z
g z e c c
c c L L
  
  
( ) ( ) ( )h z g z zg z 
2
L
z 
2
/ |
L
z
g g z
  
( ) I sE c T V V 
 T dz z T z 
 
2 2
2 2
1 12
( ) ( ) 2 ( ) ,
4 z
B
T c c c c
m L
   

( )n x ( )n x
2 2 2
2 2 2
( 1)1
( ) sinh
( 1)
( ) sinh ,
[ ]
n
n
n
n
x
x x
x x n
n
x x
x n


2
2 22 ( )II I d s
L
e N
V E z z

24
S s S
L
e
V p dz z V z z
 

 
3 2 4 2 3 2 2
1
12 2 2 2 2 2
4 2 2
2 2
1 2 0 2 12
( )3 ( 1) 1
( )
4 ( ) ( ) ( )
2 (2 ) (2 ) 2 (2 ) [ (2 ) 2 (2 )
2
c cs
s
L
e B p L cc c c
V e c e
c c c c c c
c
c c c c c c c
c
  

 
     
  
  
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
150 
Tại nhiệt độ thấp , năng lượng của cả khối khí là nhỏ nhất. Ta nhận thấy năng 
lượng/số hạt chính là năng lượng trung bình. Tiến hành cực tiểu hóa năng lượng toàn phần 
ứng với một hạt ta sẽ xác định được tham số biến phân , từ đó xác định được hàm sóng. 
2.2. Các thế tán xạ cơ bản trong giếng lượng tử pha tạp điều biến một phía 
2.2.1. Độ nhám bề mặt (SR) 
Ta biết rằng độ lớn của thế tán xạ trong không gian véctơ sóng được xác định bởi giá 
trị cục bộ của hàm sóng tại các vị trí biên , giá trị của thế trong không 
gian véctơ sóng đối với các tán xạ từ bề mặt nhám phía đỉnh có dạng: 
 (21) 
ở đây, là biến đổi Fourier hai chiều của cấu hình bề mặt. 
Tiến hành tính tích phân phương trình Schrodinger 1 chiều với hàm sóng bao cho bởi 
(1) từ tới z = z0 . Ta được: 
 (22) 
ở đây E(c) là năng lượng tổng cộng của hạt ở trạng thái cơ bản. 
2.2.2. Thế biến dạng khớp sai (DP) 
Trong mô hình giếng lượng tử mà ta nghiên cứu ở đây, lớp giếng bị biến dạng với độ 
lệch mạng như sau: 
 (23) 
Các công trình [2], [9] cũng chỉ ra, thế biến dạng khớp sai đối với các loại hạt tải khác 
nhau là khác nhau, đối với điện tử chính là thành phần chéo của tensor trường biến dạng, 
trong khi đó đối với lỗ trống phải bao gồm tất cả các thành phần. 
Sử dụng hàm sóng từ phương trình (1) chúng tôi xác định được biểu thức cho hàm tự 
tương quan cho thế biến dạng khớp sai có dạng: 
 (24) 
 0T 
c
 / 2z L   
2
0( ) ,SR qU q V   
q 
z  0( / 2)z L 
3 2 4
2 2 2
0 0 12 2
2 2
1 2 0
2 1
[ ( ) ( )] (0) ,
2
2
2 , 2 , 2 ,
2
[ ( 2 , ) 2 ( 2 , )]
2
c
s
o
L
e B p e
V E c V z c
cc
c c
c c c
c
c c
  
 
  
 
  
    

   


|| 0
||
0
a a
a
 
3/2 2
||( / ) ( / )
1/22
2 4 4 2 2
44
( , ) ( )
4
3
( 1) (1 n os ) (1 sin os )
2 4
t b t b
DP DP
s
s
B
U q z F t
L
d G
b K si c c
c
  
  
  
 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
151 
Trong đó, thừa số dạng 
 (25) 
2.2.3. Tạp chất bị ion hóa (RI) 
Từ mô hình trên, ta tiến hành xử lý nhiệt trong quá trình nuôi epitaxy chùm phân tử. 
Trước khi bị đông đặc, tại nhiệt độ cao, các tạp chất bị khuếch tán, trong khi khuếch tán 
chúng tương tác Coulomb với nhau. Chính tương tác này làm giảm xác suất cho thăng giáng 
lớn của nồng độ tạp và tạo ra xu hướng phân bố đều, khi đó trường tạp ngẫu nhiên sẽ yếu đi. 
Sự phân bố tạp tại nhiệt độ thấp chính là sự phân bố tức thời của tạp tại nhiệt độ T0 mà tại 
đó quá trình khuếch tán bị đóng băng. Ở nhiệt độ cao, tương quan giữa các ion giảm hơn đi 
so với hàm tự tương quan cho các tạp bị tán xạ bởi một hệ số, vì vậy 
 (26) 
Từ đó ta tìm được hàm tự tương quan cho tạp có dạng [6] 
 (27) 
, (28) 
Như vậy, với việc sử dụng hàm sóng bao ở phương trình (1), chúng ta đã xác định 
được hàm tự tương quan cho tất cả các cơ chế tán xạ của giếng lượng tử pha tạp điều biến 
đối xứng dưới dạng giải tích. Các hàm tự tương quan này đều phụ thuộc vào tham số biến 
phân c, vì vậy chúng ta phải tính đến ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng. 
 Ở nhiệt độ thấp, các hạt tải có thể chịu ảnh hưởng của các cơ chế tán xạ sau: Tạp xa 
(RI), độ nhám bề mặt (SR), thế biến dạng khớp sai (DP). Thời gian sống tổng cộng được xác 
định bởi quy tắc Matthiessen: 
 (29) 
Thời gian sống vận chuyển được biểu diễn qua hàm tự tương quan: 
 (30) 
Như đã biết, độ linh động được xác định bằng 
 (31) 
Với m* là khối lượng hiệu dụng, τ là thời gian sống vận chuyển của điện tử. Công 
thức (32) cho thấy việc một trong các biện pháp nâng cao độ linh động là tìm cách kéo dài 
thời gian sống. Trong nhiều bài toán của hiện tượng vận chuyển, vấn đề trung tâm chuyển 
22
1( ) ( / 2) ( )
t
DP RF t t e c t F t
2 2
( ) ( ) ( ),RI RI C
c
U q U q F qL 
2
32
2 2
( ) ( ),
4
I
RI RI
c
L
N Le
U q F qL
q

( ) ,C c c
c
t
F q t q L
t t
2 2 2
2
( )
( ) ,
2 ( )
st dt
RI
c
R t e e
F t
t t t
1 1 1 1
tot tot
tot RI SR DP   
2
2 2 2
2 2 2 1/2 2
0 0
( )1 1
(2 ) (4 ) ( )
Fk
F F
U qq
dq d
E k q q
 
 
*
e
m

 
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
152 
sang các bài toán nghiên cứu thời gian sống và kết luận về hai đại lượng trên trong nhiều 
trường hợp là đồng nhất. 
2.3. Kết quả tính số ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng năng lượng 
Trước tiên là kết quả tính số cho thấy sự thay đổi của hàm sóng khi có hiệu ứng uốn 
cong vùng năng lượng. 
Hình 1. Hàm sóng bao ζ phụ thuộc vào bề rộng giếng lượng tử L với các giá trị khác nhau của 
Đồ thị được vẽ cho trường hợp L = 150A0 với các giá trị khác nhau của nồng độ hạt 
tải 11 12 12 -2sp = 5.10 , 10 , 5.10 cm . Ta thấy rằng dưới ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng 
năng lượng do pha tạp, hình dạng của hàm sóng biểu thị sự phân bố của hạt tải trong giếng 
có sự thay đổi đáng kể, không còn đối xứng như trong mô hình flat-band mà nó tăng về phía 
có pha tạp và giảm về phía không có pha tạp. Sự thay đổi này phụ thuộc vào mức pha tạp và 
bề rộng kênh dẫn. 
Tiếp theo, chúng tôi vẽ độ linh động của hạt tải do các cơ chế tán xạ SR, DP, RI gây 
ra và độ linh động tổng cộng của hạt phụ thuộc vào nồng độ hạt tải trong giếng Si0.3Ge0.7/Ge/ 
Si0.3Ge0.7 với số liệu thực nghiệm trong [8]. 
Hình 2. Độ linh động gây bởi các cơ chế tán xạ và độ linh động tổng cộng 
phụ thuộc vào nồng độ hạt tải sp 
- 7 5 - 5 0 - 2 5 0 2 5 5 0 7 5
0
5
1 0
1 5
2 0
- 7 5 - 5 0 - 2 5 0 2 5 5 0 7 5
0
5
1 0
1 5
2 0
L ( Å )
 (
z)
 (
1
0
2
 c
m
-1
/2
)
 f la t - b a n d
 a : 5 .1 0
1 1
 c m
2
 b : 1 0
1 2
 c m
2
 c : 5 .1 0
1 2
 c m
2
m = 0 ,1 9 m
*
L
d
= 1 0 0 A
0
L
s
= 1 0 0 A
0
B e n t - B a n d
a
a
b
sp
5 10 15 20 25
2
4

tot

RI DP SR

 (
1
0
4
 c
m
2
/V
s
)
p
s
(10
11
cm
-2
)
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
153 
Ở đây L = 75Å, biên dạng pha tạp có giá trị Ld = 100 Å, Ls = 100 Å, các tham số nhám 
bề mặt Å, Å. Ta nhận thấy độ linh động tổng cộng được tính theo lý thuyết 
do các cơ chế tán xạ RI, DP, SR cho kết quả phù hợp khá tốt với thực nghiệm (các điểm tam 
giác trên hình). 
3. KẾT LUẬN 
Nghiên cứu ảnh hưởng của pha tạp điều biến một phía lên hiện tượng vận chuyển 
của hạt tải giam cầm trong giếng thế vuông góc ở nhiệt độ thấp. Chúng tôi sử dụng 
phương pháp biến phân để nghiên cứu ảnh hưởng của pha tạp điều biến một phía lên 
hiện tượng vận chuyển của hạt tải giam cầm trong giếng thế vuông góc ở nhiệt độ thấp. 
Bằng việc sử dụng các hàm phụ, chúng tôi đã đưa ra biểu thức giải tích mô tả ảnh hưởng 
của pha tạp lên sự phân bố của hạt tải trong giếng, xác định được các cơ chế tán xạ của 
hạt tải. Chúng tôi cũng chỉ ra ảnh hưởng của pha tạp bất đối xứng một phía lên sự phân 
bố của hạt tải phụ thuộc vào mức pha tạp và độ rộng kênh dẫn. Nhóm tác giả đã đưa ra 
một lý thuyết nghiên cứu về ảnh hưởng của hiệu ứng uốn cong vùng năng lượng do pha 
tạp một phía lên quá trình vận chuyển của hạt tải trong mô hình giếng lượng tử vuông 
góc pha tạp một phía. Lý thuyết của nhóm tác giả đã giải thích được một số thực nghiệm 
về hiện tượng vận chuyển của hạt tải trong giếng lượng tử pha tạp một phía ở nhiệt độ 
thấp mà trước đây chưa có lí thuyết nào giải thích được, như: sự phụ thuộc của độ linh 
động vào độ rộng của giếng. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern (1982), Rev. Mod. Phys. 54, 437. 
[2] R.M. Feenstra and M.A. Lutz (1995), J. Appl. Phys. 78, 6091. 
[3] A. Gold (1987), Phys. Rev. B 35, 723. 
[4] A. Gold (2008), J. Appl. Phys. 1033, 043718. 
[5] T. Irisawa, M. Myronov, E. H. C. Parker, K. Nakagawa, M. Murata, S. Koh, and Y. 
Shiraki (2003), Appl. Phys. Lett. 82, 1425. 
[6] M. J. Manfra, L. N. Pfeiffer, K. W. West, and K. W. Baldwin (2005), Appl. Phys. Lett. 
86, 252105. 
[7] D. N. Quang and N. H. Tung (2008), Phys. Rev. B 77, 125335. 
[8] D. N, Quang, N. H. Tung, L. Tuan, D. T. Hien, and Tran Thi Hai (2008), Key 
scattering mechanisms for holes in strained SiGe/Ge/SiGe square quantum wells, 
Journal of Applied physics, 104, 113711 
[9] D. N, Quang, N. H. Tung, L. Tuan, N. T. Hong, and T. T. Hai (2009), Correlation-
length dependence of lifetime ratios: Individual estimation of interface profile 
parameters, Applied Physics Letters, 94, 072106. 
[10] D.N. Quang, V.N. Tuoc, N.H. Tung, and T.D. Huan, Phys. Rev. 
4.8 120 
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 
154 
BEND - BANDING EFFECTS ON TRANSPORT OF CARRIERS 
IN THE SINGLE SIDE DOPED SQUARE QUANTUM WELLS 
Nguyen Quyet Tien, Tran Thi Hai 
ABSTRACT 
The effect from single-side modulation doping on low-temperature transport 
properties of the charge carriers confined in a square infinite quantum well (QW) is given. 
With variational approach and the aid of our auxiliary functions, the expressions for the 
carrier distribution in single-side square QWs are obtained analytically. We obtained their 
roughness-induced scattering in the in-plane. We show that the impact of asymmetric 
modulation due to single-side doping on the carrier distribution depends on the doping level 
and channel width. 
Keywords: Single-side doping, modulation doping, variational method, doping level, 
channel width.