Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp

3 
HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: 10.18173/2354-1075.2018-0056 
Educational Sciences, 2018, Volume 63, Issue 5, pp. 3-8 
This paper is available online at  
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI TIẾP CẬN, 
VẬN DỤNG KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ GIẢI PHÁP 
Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam 
 Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn 
Tóm tắt. Biến ngẫu nhiên (BNN) và các ứng dụng của nó giữ một vai trò quan trọng trong các hoạt 
động thực tiễn và nghiên cứu khoa học. Khái niệm biến ngẫu nhiên là một khái niệm khó tiếp cận, 
trong quá trình dạy học Xác suất - Thống kê sinh viên (SV) thường vấp phải sai lầm khi tiếp cận và 
vận dụng khái niệm này. Hơn nữa, những sai lầm liên quan đến khái niệm của BNN ảnh hưởng đến 
việc xác định luật phân phối xác suất của nó. Bài báo phân tích những sai lầm thường gặp của SV, 
từ đó vận dụng thuyết kiến tạo để nghiên cứu nguyên nhân của các sai lầm và đề xuất các giải pháp 
nhằm giúp SV sửa chữa những sai lầm này. 
Từ khóa: Biến ngẫu nhiên, sai lầm, lí thuyết kiến tạo. 
1. Mở đầu 
Khái niệm BNN là một khái niệm khó và trừu tượng đối với SV. Khi trình bày về kiến thức 
này giáo trình Xác suất thống kê và ứng dụng dành cho SV khối ngành Ngân hàng, Tài chính, 
Kinh tế, Kĩ thuật do tác giả Lê Sĩ Đồng chủ biên đã bắt đầu từ ví dụ “số khách hàng đến mua hàng 
tại một cửa hàng” và quan tâm đến việc con số này sẽ thay đổi như thế nào? Sau đó, tác giả đi đến 
khái niệm BNN: “Biến ngẫu nhiên là một hàm xác định trên không gian các biến cố sơ cấp nhận 
mỗi giá trị tương ứng với một xác suất nào đó” [5]. Khái niệm này rất cô đọng khiến SV gặp khó 
khăn trong việc hiểu và dễ mắc sai lầm khi xác định BNN. 
Có nhiều quan điểm khác nhau về sai lầm và giải pháp sửa chữa sai lầm. Chẳng hạn, thuyết 
hành vi thường quan niệm rằng sai lầm đó là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội 
kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục. Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền 
thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lí; dự đoán và phòng tránh sai lầm; rèn luyện cho SV 
tránh ngộ nhận trực quan, biết sử dụng các quy tắc suy luận. Tuy nhiên, Shaughnessy (1977) cho 
rằng khi học xác suất các quan niệm sai lầm vẫn tiếp tục xuất hiện ngay cả sau khi phương pháp 
tiếp cận đúng đã được giảng dạy. Đôi khi, những quan niệm sai lầm thậm chí còn tồn tại cùng với 
cách tiếp cận đúng (Clement, 1982a). Trong khi đó, thuyết kiến tạo có cái nhìn tích cực hơn về sai 
lầm: “Sai lầm thực sự đóng một vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập”, “Học qua sai lầm là 
điều rất có ý nghĩa” [4, tr.64]. Các quan điểm nền tảng của thuyết kiến tạo đã nhấn mạnh: “tri thức 
được kiến tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, chứ không phải tiếp thu một cách thụ 
động từ bên ngoài...” Glaserfeld (1989) (dẫn theo [11, tr.32]), “nhận thức là quá trình thích nghi 
và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới 
độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức chủ thể” (dẫn theo [11, tr.33]). G. Bachelard (1968) nhấn 
mạnh: Cần phải tổ chức dạy học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm. 
Ngày nhận bài: 19/2/2018. Ngày sửa bài: 19/4/2018. Ngày nhận đăng: 2/5/2018. 
Tác giả liên hệ: Phạm Sỹ Nam. Địa chỉ e-mail: phamsynampbc@gmail.com 
Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam 
4 
Những quan điểm như vậy cho thấy việc phát hiện và sửa chữa sai lầm đòi hỏi sự chủ động, 
tích cực từ người học và việc vận dụng lí thuyết kiến tạo có ưu thế trong việc nghiên cứu và đề ra 
các giải pháp để sửa chữa sai lầm. 
Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào các câu hỏi nghiên cứu sau: 
- Những quy trình (dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào được SV vận dụng đã 
góp phần tạo ra sai lầm khi học về biến ngẫu nhiên và ứng dụng? 
- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay quan niệm đó? 
- Trong dạy học giảng viên cần thực hiện hoạt động gì để giúp SV phát hiện và sửa chữa 
được sai lầm khi học về biến ngẫu nhiên và ứng dụng? 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Cơ sở lí luận 
Lí thuyết kiến tạo (dẫn theo [6]) cho rằng tất cả các tri thức đều nhất thiết là một sản phẩm 
của những hoạt động nhận thức của chính chúng ta. Bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã 
kiến tạo được, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang 
hiểu nó. 
Trí tuệ của người học không bao giờ trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó 
chưa được giảng dạy, thì họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn 
liên quan đến đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của người học 
tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng cũng có những biểu 
tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và thường là nguyên nhân 
dẫn người học tới những sai lầm. 
Theo Brousseau (1976), “Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu 
nhiên sinh ra...mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng hữu ích và đem lại thành 
công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa” (dẫn theo [1, tr.57])... 
Sai lầm còn là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trước) của học sinh, kiến thức 
mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để thay thế nó bởi một kiến thức thích ứng hơn. 
Brousseau (1976) cho rằng: “Trong hoạt động giảng dạy, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình 
thành nên nghĩa của kiến thức thu nhận được” (dẫn theo [1, tr.57]). 
Thuyết kiến tạo chủ trương sửa chữa sai lầm bằng các đặt học sinh (HS) vào những tình 
huống học tập mới gắn liền với sai lầm đó. Tình huống nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột nhận 
thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ sai lầm mà chủ yếu nhận ra rằng các quy trình hay quan 
niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống cũng 
phải tạo thuận lợi cho HS phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng 
kiến thức mới thích ứng. 
2.2. Thiết kế nghiên cứu 
2.2.1. Kế hoạch thiết kế của giảng viên 
- Tập trung vào các hoạt động nhằm đặt SV vào các tình huống dễ phát sinh các sai lầm. 
- Giảng viên cần có kế hoạch cho các hoạt động để ứng phó với câu trả lời sai của SV. 
2.2.2. Ý tưởng thiết kế giảng dạy 
Trong nghiên cứu này, chúng tôi thiết kế ba hoạt động giảng dạy: hoạt động 1, hoạt động 2 
và hoạt động 3. Cả ba hoạt động này đều là những hoạt động dễ vấp sai lầm, qua các hoạt động 
như vậy khi SV bộc lộ sai lầm, chúng tôi tiến hành nhận dạng sai lầm để từ đó phán đoán nguyên 
nhân; trên cơ sở đó tiến hành hoạt động nhằm giúp SV phát hiện sai lầm và sau đó tiến hành các 
hoạt động nhằm giúp SV sửa chữa sai lầm. 
Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp 
5 
Hoạt động 1: xây dựng các câu hỏi nhằm tạo các tình huống mà SV dễ dẫn đến sai lầm khi 
tiếp cận BNN rời rạc. 
Hoạt động 2: xây dựng các câu hỏi nhằm tạo các tình huống mà SV dễ dẫn đến sai lầm khi 
tiếp cận BNN liên tục. 
Câu hỏi 1 được xây dựng nhằm tạo cơ sở để chúng tôi có thể phát hiện ra sai lầm của SV 
thông qua câu hỏi 2. 
Câu hỏi 2 là câu hỏi chúng tôi tạo nên tình huống để SV dễ dàng bộc lộ sai lầm khi cho rằng 
/ ( )F x luôn bằng ( )f x . 
Hoạt động 3: xây dựng câu hỏi vận dụng khái niệm BNN trong thực tiễn. 
2.2.3. Thiết kế và tiến hành thực hiện các hoạt động cụ thể 
Trong phần này, chúng tôi yêu cầu SV thực hiện các hoạt động theo ý tưởng thiết kế giảng 
dạy nêu trên. Khi thực hiện các hoạt động SV bộc lộ các sai lầm, từ các sai lầm đó chúng tôi dự 
đoán nguyên nhân. Các nguyên nhân sai lầm là cơ sở quan trọng để chúng tôi tiến hành tổ chức 
các hoạt động tiếp theo nhằm giúp SV phát hiện ra các sai lầm và từ đó đặt ra các yêu cầu mới 
nhằm giúp SV sửa chữa các sai lầm đó. Việc tổ chức các hoạt động nhằm giúp SV phát hiện ra sai 
lầm được dựa trên đề xuất cách thức để ứng phó với các câu trả lời sai SV của Pham Sy Nam, 
Max Stephens [7], đó là: Nêu quan niệm sai trước lớp và yêu cầu tất cả các nhóm kiểm chứng. 
Giảng viên có thể sử dụng các cách sau để hỗ trợ việc kiểm chứng của SV: 
- Giảng viên đưa ra một phản ví dụ và yêu cầu SV kiểm tra đối chứng với câu trả lời. 
- Giảng viên yêu cầu SV thực hiện thêm hoạt động để thông qua hoạt động đó HS nhận ra 
được sai lầm. 
- Giảng viên yêu cầu SV sử dụng kiến thức đã học để kiểm tra kết quả của mình. 
Những cách thức như trên tạo cơ hội để SV tự nhận ra được sai lầm. Việc tự nhận ra được sai 
lầm nhằm giúp SV ý thức được lỗi sai và đây là một trong những điều quan trọng để SV không 
lặp lại sai lầm cũ. 
Hoạt động 1: Thực hiện phép thử tung một đồng xu đồng chất một lần. Nếu đồng xu xuất 
hiện mặt ngửa thì được thưởng 5000 đồng. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp thì mất 2000 đồng. 
Hãy xác định biến ngẫu nhiên của phép thử trên? 
Khi thực hiện hoạt động này, SV bộc lộ sai lầm sau đây: 
Sai lầm 1: Trong câu hỏi 1, phần lớn SV chọn biến cố của phép thử chính là BNN. 
Nhằm tạo cơ hội để SV phát hiện sai lầm, chúng tôi tiến hành nêu quan niệm này ra trước lớp 
và yêu cầu SV giải thích, thì họ cho rằng: “Biến là cái có thể thay đổi, ngẫu nhiên là khi người ta 
chưa xác định được cái gì đó, thì người ta gọi đó là ngẫu nhiên”. Vì vậy, hầu hết sinh viên đều cố 
gắng sử dụng vốn kiến thức có sẵn của họ để giải thích cho một khái niệm mới. 
Dự đoán nguyên nhân sai lầm 1: Sinh viên đã vận dụng dạng thức của hành động khi bị ảnh 
hưởng bởi kiến thức cũ “biến cố ngẫu nhiên” đã được học trước đó. Khi thực hiện phép thử để 
quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không, hiện tượng có xảy ra hoặc không trong kết cục của 
phép thử được gọi là “biến cố ngẫu nhiên”. Vì vậy, SV chỉ quan tâm đến kết quả xuất hiện một 
cách ngẫu nhiên của phép thử chính là mặt Sấp hoặc mặt Ngửa. Do đó, SV sẽ dễ dàng mắc sai lầm 
khi cho rằng kết quả phép thử chính là biến ngẫu nhiên. Sai lầm này là do SV chưa có sự điều tiết 
thích ứng với định nghĩa mới đó là họ phải thực hiện một quy tắc cho tương ứng giữa không gian 
biến cố sơ cấp và không gian giá trị thực nhận được cùng với xác suất tương ứng. Vì thế, khi gặp 
tình huống mới, SV sẽ có thói quen lặp lại dạng thức hành động cũ mà không có sự điều tiết thích 
ứng. Điều này là nguyên nhân chủ yếu sai lầm 1. 
Giảng viên ứng phó với sai lầm 1: nhằm giúp SV phát hiện ra sai lầm, chúng tôi đặt ra yêu 
cầu “Nêu định nghĩa BNN?”. Yêu cầu này nhằm hướng SV nhớ lại khái niệm BNN: “Hàm xác 
Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam 
6 
định trên không gian biến cố sơ cấp và nhận mỗi giá trị thực tương ứng với một xác suất nào đó 
thì hàm đó là biến ngẫu nhiên”. Việc nhắc lại định nghĩa nhằm giúp SV tập trung vào khái niệm, 
sau đó nhằm giúp HS tập trung vào dấu hiệu hàm để đối chiếu với tình huống chúng tôi đặt ra câu 
hỏi như sau: “Hãy căn cứ vào định nghĩa, cho biết hàm này xác định trên không gian nào? Hãy 
nhận xét các giá trị mà hàm này nhận được?”. 
Hoạt động sửa chữa sai lầm 1: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Chúng ta cần thực hiện thêm thao tác 
gì đối với biến cố để có kết luận đúng?” 
Câu hỏi 2: Chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ 10 sinh viên (5 nam, 5 nữ). Gọi X là số sinh viên 
nữ chọn được. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên hay không? Hãy cho biết các giá trị của X có thể 
nhận được. 
Khi tiến hành hoạt động 2, SV đưa ra lời giải sai sau đây: 
X là số sinh viên nữ được chọn. Do giá trị của X có thể bị thay đổi qua các phép thử khác 
nhau nên X là biến ngẫu nhiên. Các giá trị của X có thể nhận được là {1,2,3}. 
Sai lầm 2: Xác định không đầy đủ không gian mẫu của phép thử. 
Dự đoán nguyên nhân sai lầm 2: Sinh viên đã vận dụng dạng thức của hành động khi cho 
rằng tập các số tự nhiên là tập bao gồm các số nguyên dương được bắt đầu bởi số 1 {1,2,3,...}. Vì 
vậy, đối với SV tập các số tự nhiên được dùng với mục đích đếm và họ hiển nhiên bắt đầu đếm từ 1. 
Do đó, số 0 không hề nằm trong nhận thức phép đếm của họ. 
Giảng viên ứng phó với sai lầm 2: Chúng tôi yêu cầu SV thực hiện thêm các hoạt động sau: 
- Hãy liệt kê các trường hợp có khả năng xảy ra của phép thử. 
- Yêu cầu SV thực hiện phép gán và so sánh giá trị nhận được với kết quả. 
Hoạt động sửa chữa sai lầm 2: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Ta cần điều chỉnh kết luận như thế 
nào?”. 
Hoạt động 2 
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất như sau: 
2
0 0
( ) 0 1
1 1.
x
F x x x
x
Câu hỏi 1: Hãy tìm hàm mật độ của X. 
Câu hỏi 2: Hỏi : 0 1x x thì / ( )F x có bằng ( )f x hay không? 
Đối với câu hỏi 1, SV không gặp khó khăn khi hoàn thành. SV vận dụng mối liên hệ giữa 
hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất như sau: nếu cho ( )F x yêu cầu tìm ( ),f x SV sẽ 
lấy đạo hàm của hàm ( )F x , ngược lại nếu cho ( )f x yêu cầu tìm ( )F x SV sẽ lấy tích phân. Vì 
vậy, tất cả SV đều đưa ra hàm mật độ xác suất như sau: 
0 0
( ) 2 0 1
0 1.
x
f x x x
x
Tuy nhiên, sai lầm xuất hiện ở câu hỏi 2 
Sai lầm 3: SV cho rằng: “ : 0 1x x thì / ( ) ( )F x f x .” 
 “ / ( ) ( ),F x f x x  R ”. 
Dự đoán nguyên nhân sai lầm 3: SV vận dụng định lí: “Nếu X là BNN liên tục thì 
/ ( ) ( )F x f x tại những điểm ( )F x khả vi”. SV nhận thức rằng muốn tìm hàm mật độ khi đã biết 
Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi tiếp cận, vận dụng khái niệm biến ngẫu nhiên và giải pháp 
7 
hàm phân phối thì họ sẽ lấy đạo hàm. Tuy nhiên, không phải lúc nào hàm ( )F x cũng tồn tại đạo 
hàm. Vì vậy, SV chỉ chú ý đến kết quả / ( ) ( )F x f x mà không quan tâm đến ( )F x có khả vi tại 
điểm đó hay không. 
Giảng viên ứng phó với sai lầm 3: SV cho rằng: “ / ( ) ( ),F x f x x  R ”, nhằm giúp SV nhận 
ra sai lầm chúng tôi đặt câu hỏi: “Xét tính khả vi của hàm số ( )F x tại 0 1x ”. Do đó, hàm mật độ 
( )f x chính xác sẽ là: 
0 0
( ) 2 0 1
0 1.
x
f x x x
x
Như vậy, tại 1x thì giá trị hàm ( )f x sẽ như thế nào? Ta sẽ tự quy ước (1) 0f hoặc 
(1) 2f . 
Hoạt động sửa chữa sai lầm 3: Chúng tôi đặt câu hỏi: “Chúng ta cần điều chỉnh giả thiết của 
câu trả lời trên như thế nào để có kết luận đúng?” 
Thông qua sai lầm trên cho giảng viên kinh nghiệm đó là: khi dạy các định lí cần chú trọng 
đến các điều kiện đủ của định lí. Các định lí toán học nói chung và XSTK nói riêng thường được 
diễn đạt theo cấu trúc A B . A là điều kiện đủ cho biết dùng định lí khi nào, B sẽ cho biết kết 
luận suy ra được gì khi có A . Định lí: “Nếu X là BNN liên tục thì / ( ) ( )F x f x tại những điểm 
( )F x khả vi”. Đối với định lí này ta có thể diễn đạt lại như sau: “Nếu X là BNN liên tục và tại 
những điểm ( )F x khả vi thì / ( ) ( )F x f x ”. Do đó, “tại những điểm ( )F x khả vi” được coi như là 
một điều kiện của định lí. Vì vậy, giảng viên cần cho ví dụ có nội dung tương tự hoạt động 2 
nhằm giúp SV nhận ra rằng khi muốn áp dụng định lí cần kiểm tra các điều kiện đủ của định lí. 
Hơn nữa, trong quá trình dạy, định lí phát biểu dạng A B , nhằm giúp SV nhận ra chiều 
ngược lại B A không đúng, giảng viên cần cho các phản ví dụ nhằm tạo ấn tượng sâu sắc. Ví 
dụ xét mệnh đề sau: “Nếu ( )F x là hàm phân phối xác suất của BNN X thì 0 ( ) 1,F x x  R”. 
Như vậy, ta sẽ tìm hàm thỏa 0 ( ) 1,F x x  R nhưng hàm đó không là hàm phân phối xác suất 
của BNN X nào đó. Ví dụ hàm ( ) 1,F x x  R . 
Hoạt động 3: Thực hiện phép thử tung một đồng xu đồng chất một lần. Nếu đồng xu xuất 
hiện mặt ngửa thì được thưởng 5000 đồng. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp thì mất 2000 đồng. Hỏi 
ta có nên tham gia trò chơi này nhiều lần hay không? Giải thích. 
Khi thực hiện hoạt động, SV bộc lộ sai lầm sau đây: 
Sai lầm 4: Gọi Y là số tiền trung bình nhận được khi tham gia trò chơi. 
Y = (5000 - 2000)/2 = 1500, Y > 0, vậy ta nên tham gia trò chơi nhiều lần. 
Dự đoán nguyên nhân sai lầm 4: Do thói quen khi tính trung bình cộng của những giá trị cố 
định. SV lấy tất cả giá trị xuất hiện của BNN cộng lại rồi chia số giá trị xuất hiện. 
Giảng viên ứng phó với sai lầm 4: Chúng tôi yêu cầu SV tính trung bình của dãy số liệu sau: 
2 3 2 2 4 3 2 4 3 2 
Hoạt động sửa chữa sai lầm 4: Nhằm giúp SV sửa chữa sai lầm, chúng tôi đặt ra câu 
hỏi:“Gọi n là số lần thực hiện phép thử, x là số lần mặt sấp xuất hiện, y là số lần mặt ngửa xuất 
hiện. Chúng ta cần thêm điều kiện gì của n để có kết luận đúng?”. 
3. Kết luận 
Khái niệm BNN là một trong những kiến thức quan trọng trong xác suất – thống kê. Việc 
hiểu khái niệm giúp SV biết được quy luật phân phối xác suất, qua đó có thể tính được xác suất. 
Thái Phương Thảo và Phạm Sỹ Nam 
8 
Việc vận dụng Lí thuyết kiến tạo đặt SV vào các tình huống để họ bộc lộ các sai lầm và tạo 
cho SV cơ hội để nhận thức được sai lầm. Bên cạnh các câu trả lời đúng, cũng xuất hiện các câu 
trả lời sai hoặc chưa đầy đủ, đây cũng chính là cơ hội để giảng viên có những hoạt động thích hợp 
giúp SV nhận ra các sai lầm. Việc nghiên cứu sai lầm và nguồn gốc phát sinh các sai lầm cho 
phép ta giải thích được cách ứng xử của giảng viên đối với các câu trả lời sai của SV đồng thời đề 
ra biện pháp giúp SV sửa chữa sai lầm. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009. Những yếu tố cơ bản của 
didactic toán. Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh. 
[2] Lê Thị Hoài Châu, 2000. Những chướng ngại, khó khăn trong dạy học khái niệm xác suất. Tạp 
chí khoa học ĐHSP HCM, số 24, trang 115-121. 
[3] Clement, J, 1982a. Algebra word-problems solutions: Thought processes underlying a common 
misconception. Journal for Research in Mathematics Education, 13, pp.16-30. 
[4] Nguyễn Văn Cường, Bernd Meier, 2010. Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học 
ở trường Trung học phổ thông. Bộ giáo dục và đào tạo, Dự án phát triển THPT. 
[5] Lê Sĩ Đồng, 2012. Xác suất và thống kê ứng dụng. Nxb Giáo Dục Việt Nam. 
[6] Phạm Sỹ Nam, 2012. Tổ chức hoạt động học tập trải nghiệm của học sinh – Khâu then chốt 
trong tiến trình vận dụng Lí thuyết kiến tạo vào dạy học ở trường phổ thông. Tạp chí Khoa học 
Giáo dục, trang 14-17. 
[7] Pham Sy Nam, Max Stephens, 2014. A Teaching Experiments in Constructing the Limit of a 
Sequence. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia 2014, Vol 37 
No. 1, pp. 1-20. 
[8] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng, 2010. Nhập môn hiện đại Xác suất & Thống kê. Nxb Hà Nội. 
[9] Lê Văn Tiến, 2006. Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ các lí thuyết về học tập. Nghiên cứu 
giáo dục số 137. 
[10] Shaughnessy, J. M, 1977. Misconceptions of probability: An experiment with a small group, 
activity-based, model building approach to introductory probability at the college level. 
Educational Studies in Mathematics, 8, 295-316. 
[11] Trần Vui, 2017. Từ các lí thuyết học đến thực hành trong giáo dục Toán. Nxb Đại học Huế. 
ABSTRACT 
Common errors of student in approaching, applying random variable concept and solution 
Thai Phuong Thao and Pham Sy Nam 
Faculty of Mathematics and Applications, Saigon University 
Andom variables and its applications have an important role in varied fields of practical and 
scientific activity. Random variables concept is really hard to approach, in the Probability and 
Statistics teaching process, students often have mistakes related to approach and apply this 
concept. Moreover, these errors affect to define the probability distribution law. This article 
analyzes those common errors thereby, we apply constructivism to research the causes of mistakes 
and propose solutions to correct their errors. 
Keywords: Random variables, error, constructivism.