Một số dạng luật mạnh số lớn trong lí thuyết trò chơi xác suất

TAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 20 - Thaùng 4/2014 
61 
MỘT SỐ DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN 
TRONG LÍ THUYẾT TRÒ CHƠI XÁC SUẤT 
ĐỖ THẾ SƠN(*) 
LÊ HỒNG SƠN(**) 
TÓM TẮT 
 Bài báo cung cấp một số dạng luật mạnh số lớn trong khuôn khổ lí thuyết trò chơi 
xác suất của Shafer và Vovk (2001). Các dạng luật mạnh số lớn trong lí thuyết trò chơi 
được thiết lập với hàng rào bậc hai có sẵn. 
Từ khoá: luật mạnh số lớn, lí thuyết, xác suất, trò chơi xác suất 
ABSTRACT 
 The paper presents some versions of the strong law of large numbers in the 
framework of the game-theoretic probability of Shafer and Vovk (2001). Game-theoretic 
versions of the strong law of large numbers are established under the availability of the 
quadratic hedge. 
Keywords: the strong law of large numbers, theory, probability, probability game 
1. GIỚI THIỆU* 
Trong khuôn khổ của lí thuyết trò chơi 
xác suất, việc chứng minh các nước đi của 
Thực tế (Reality) tuân theo luật mạnh số 
lớn (LMSL) trong trường hợp các nước đi 
này b chặn là khá dễ dàng. Tuy nhiên, khi 
các nước đi của Thực tế không b chặn, 
việc chứng minh trở nên phức tạp hơn. Bên 
cạnh đó, tương ứng với một số dạng phổ 
biến nhất của LMSL trong lí thuyết xác 
suất cần phải được nghiên cứu trong lí 
thuyết trò chơi xác suất (nếu có). 
Bài báo cung cấp một số dạng LMSL 
trong trò chơi dự báo không bị chặn 
(unbounded forecasting game) đã được giới 
thiệu trong chương 4 của [1]. Tiếp theo, khi 
hạn chế nước đi của Thực tế trong trò chơi 
dự báo không b chặn là các số thực dương, 
(*)ThS, Trường ĐH Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, Cơ sở 
Thanh Hóa. 
(**)TS, Khoa Giáo dục đại cương, Trường ĐH Sư phạm 
Kĩ thuật Vinh. 
chúng tôi đưa ra một giao thức mới, gọi là 
trò chơi dự báo không bị chặn một phía 
(One-sided unbounded forecasting game). 
Sau đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả 
dạng LMSL đối với giao thức này. 
 2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ 
SƠ BỘ 
Trong mục này, chúng tôi tóm tắt một 
số khái niệm cơ bản của trò chơi dự báo 
không b chặn. Sau đó, chúng tôi đưa ra hai 
kết quả dạng LMSL đối với trò chơi này. 
Xét trò chơi hoàn hảo thông tin giữa ba 
người: Dự báo (Forecaster), Hoài nghi 
(Skeptic) và Thực tế (Reality). Trước khi bắt 
đầu trò chơi, Hoài nghi công bố số vốn ban 
đầu của mình 0 1K ( 0 0K D trong mục 
2 của [2]). Sau đó, ở mỗi vòng 1,2,...n của 
trò chơi, người chơi lần lượt công bố các nước 
đi (move) của mình theo thứ tự: Dự báo, Hoài 
nghi và Thực tế. Tại mỗi vòng, đầu tiên Dự 
báo công bố nước đi nm và nv của mình, 
 62 
chúng được hiểu lần lượt như là giá cho nước 
đi nx của Thực tế và giá cho bình phương độ 
lệch 2( )n nx m . Căn cứ vào các giá mà Dự 
báo đưa ra, Hoài nghi sau đó sẽ công bố số 
lượng nM và nV mà anh ta đặt cược lần lượt 
cho 
nx và 
2( )n nx m . Cuối cùng, Thực tế 
công bố nước đi 
nx của mình. Số phải trả 
(payoff) cho Hoài nghi tại vòng thứ n là 
2( ) [( ) ]n n n n n n nM x m V x m v và số vốn 
(capital) của Hoài nghi khi kết thúc vòng thứ 
n được cập nhật là: 
2
1: ( ) [( ) ]n n n n n n n n nK K M x m V x m v . 
Giao thức của trò chơi dự báo không b 
chặn được viết như sau 
TRÒ CHƠI DỰ BÁO KHÔNG BỊ CHẶN 
(UNBOUNDED FORECASTING GAME) 
Người chơi: Dự báo, Hoài nghi, Thực tế 
Giao thức: 
0 1K . 
Dự báo công bố nm và 0nv . 
Hoài nghi công bố nM và 0nV . 
Thực tế công bố nx . 
2
1: ( ) [( ) ]n n n n n n n n nK K M x m V x m v . 
Nhiệm vụ ràng buộc: Hoài nghi phải 
giữ nK không âm. 
Thực tế phải giữ nK không tiến đến vô 
cùng. 
Một chiến lược (strategy) 1{P }n nP 
của Hoài nghi xác đ nh nM và nV dựa vào 
các nước đi trước của Dự báo và Thực tế, 
và nước đi hiện tại của Dự báo 
1 1 1 2 2 2 1 1 1( , v , , , v , ,..., , v , , , v )
P
n n n n n n nM M m x m x m x m 
1 1 1 2 2 2 1 1 1( , v , , , v , ,..., , v , , , v )
P
n n n n n n nV V m x m x m x m 
P
nK là số vốn tích lũy (cumulative) của 
Hoài nghi với chiến lược P sau vòng n, 
với 0
PK =0 . 
Chúng ta gọi một dãy hàm giá tr thực 
1 1 1( ,v , ,..., , v , )n n n nS m x m x của các nước đi 
1 1 1, v , ,..., , v ,n n nm x m x , n 0 là một quá 
trình vốn (capital process) nếu Pn nS K đối 
với một chiến lược P nào đó. 
Một dãy vô hạn 
1 1 1 2 2 2( , v , , , v , ,....)m x m x các nước 
đi của Dự báo và Thực tế được gọi là một 
đường đi (path). Tập tất cả các đường đi 
1 1 1 2 2 2{ ( ,v , , , v , ,....), n 1}m x m x  
gọi là không gian mẫu (sample space), tập 
con bất kỳ E  gọi là một biến cố 
(event). Chúng ta nói rằng Hoài nghi có thể 
buộc (force) biến cố E nếu tồn tại một 
chiến lược P của Hoài nghi sao cho 
( ) 1, , n 0PnK      (1) 
và limsup ( )Pn
n
K   
 Chú ý rằng Hoài nghi có thể buộc 
biến cốE , tức là E xảy ra hầu chắc chắn 
(xem [1]). 
 Một chiến lược P của Hoài nghi thỏa 
mãn (1) được gọi là thận trọng (prudent). 
Chúng ta cũng gọi hàm thực ( )n nh x m của 
hiệu các nước đi nx và nm là một hàng rào 
(hedge) nếu 0 (x m )n nh . 
 Cho hai biến cố ,E F  biến cố 
 63 
E F được xác đ nh là cE F E F  . 
Chúng ta cũng nói rằng một quá trình A là 
dự báo được (predictable) nếu với mọi số 
nguyên 1n , 
1 1 1 2 2 2
(m , , ,m , , ,...,m , , )
n n n n
A v x v x v x
 không phụ thuộc vào 
n
x . 
 Một supermartingale T là một quá 
trình có dạng T S B , với S là một quá 
trình vốn và B là một quá trình tăng 
(   
 
1
( ) ( ), n,
n n
B B ). Một quá trình 
 0B có thể xem là tăng nên bản thân một 
quá trình vốn S là một supermartingale. 
Một semimartingale là một quá trình có thể 
viết dưới dạng U T A , với T là một 
supermartingale và A là một quá trình tăng 
dự báo được; quá trình A được gọi là 
compensator đối với U . 
 Bây giờ chúng ta chứng minh đ nh lí 
dưới đây: 
Định lí 2.1. Trong trò chơi dự báo 
không b chặn, Hoài nghi có thể buộc 
1 1
1
lim (x m ) 0
n
n
k k
x
n k
v
n n
   . 
 Trước khi chứng minh đ nh lí này, 
chúng ta thảo luận về ý nghĩa của đ nh lí và 
đặc trưng của giao thức trò chơi dự báo 
không b chặn. 
 Trong giao thức của trò chơi dự báo 
không b chặn, chúng ta xét hàng rào 
phương sai (còn gọi là hàng rào bậc hai 
2(x m ) (x m )n n n nh ). Do đó, giao thức 
này được gọi chính xác là trò chơi dự báo 
không b chặn với hàng rào bậc hai. Trong 
trò chơi này, hàng rào bậc hai được cố đ nh 
sẵn đối với Hoài nghi còn các giá của hàng 
rào nv sẽ được Dự báo công bố ở mỗi vòng, 
trước khi Thực tế công bố nước đi của 
mình. Vì vậy, sẽ rất hữu ích nếu chúng ta 
thay hàng rào bậc hai bởi hàng rào tổng 
quát h còn giá của hàng rào là một hằng số 
dương cố đ nh (xem [3]). 
 Đ nh lí 3.1 của [3] cho thấy rằng 
trong trò chơi dự báo không b chặn với 
hàng rào đơn 1( ) , 0h x x   thì Hoài 
nghi có thể buộc 0nx , với 
1 2 ... n
n
x x x
x
n
 . Mặt khác, Mệnh 
đề 2.1 của [3] cũng khẳng đ nh rằng trong 
trò chơi dự báo không b chặn với hàng rào 
đơn ( ) , r 0rh x x thì Hoài nghi không 
thể buộc 
1 2
1/
...
0n
r
x x x
n
 . 
 Tuy nhiên, cả đ nh lí và mệnh đề này 
đều được phát biểu đối với trò chơi dự báo 
không b chặn với hàng rào đơn h , trong 
đó giá của hàng rào đơn h là hằng số 
dương (tức là: 0, 1nv v n  ). Do vậy, 
khi xem xét trò chơi dự báo không b chặn 
với hàng rào bậc hai, có hai câu hỏi chính 
mà chúng ta cần quan tâm là có thể thay n 
trong Đ nh lí 3.1 của [3] bằng n hay 
không và nếu có thể, thì chúng ta cần phải 
thêm điều kiện gì? Đ nh lí 2.1 đã đưa ra 
một câu trả lời cho hai câu hỏi trên. 
 Việc tiếp theo của chúng ta bây giờ là 
đưa ra chứng minh cho Đ nh lí 2.1. 
Chứng minh. Không mất tính tổng 
quát, chúng ta giả sử rằng 0, nm n  . Đặt 
1
n
k
n
k
x
S
k 
  , 0 0S ; 
1
n
k
n
k
v
A
k 
  , 
1
k
k
v
A
k
  . 
 64 
Xét 
2
2
1
1 1
2
n n
k k k
n n n k
k k
x x v
U S A S
kk
   
 =
2
1 12
n n n
n n
x x v
U S
nn
 = 
2
1 ( ).n n n n n nU M x V x v 
Trong đó, 
1
1
1
2 2 n k
n n
k
x
M S
n n k
  và 
1
nV
n
 . Suy ra, nU là một quá trình vốn, 
do đó nU cũng là một supermartingale. 
Từ 
1
1
n
k n
n n
k
x x
S S
k n
  
Chúng ta có nS là một quá trình vốn, với 
1
nM
n
 và 0nV nên nS cũng là một 
supermartingale. 
 Chú ý rằng 2
n n nS U A , do đó nA là 
compensator đối với semimartingale 2
nS . 
Khi đó từ Bổ đề 4.7 của [1], nếu A 
thì nS hội tụ h.c.c, tức là 
1 1
n
n k
n k
v x
n k
   hội tụ h.c.c, khi 
n . 
Kết hợp với bổ đề Kronecker, ta được: 
1 1
1
lim x 0
n
n
k
x
n k
v
n n
   . 
 Trong các giáo trình về lí thuyết xác suất, 
tốc độ hội tụ của LMSL có thể được đánh 
giá bằng một dãy số ( )nb tăng dương 
( 0 nb  ). Tuy nhiên, trong lí thuyết trò 
chơi xác suất, dãy số dương tăng trở nên 
đặc biệt hơn, như trong Đ nh lí 2.2 dưới 
đây. 
Định lí 2.2. Gọi 2
1
n
n k
k
B v
  , trong trò chơi 
dự báo không b chặn, Hoài nghi có thể buộc 
1
n
n
v
  và 2
1 1
1
lim ( ) 0
n
n
k k
x
n kn n
v
x m
B B
   . 
Chứng minh. Chú ý rằng, không mất tính 
tổng quát, chúng ta giả sử 0, nm n  . Xét 
quá trình vốn 
1
n
k
n
k k
x
S
B 
  . Compensator 
của 2nS là 2
1
n
k
n
k k
v
A
B 
  . Từ hai bổ đề 4.6 
và 4.7 của [1] kết hợp với bổ đề Kronecker, 
ta dễ dàng suy ra 
1
1
lim 0
n
k
x
kn
x
B 
  
3. TRÒ CHƠI DỰ BÁO KHÔNG BỊ 
CHẶN MỘT PHÍA 
Với trò chơi dự báo không b chặn ở 
mục trước, chúng ta thấy rằng nước đi nx 
của Thực tế là một số thực bất kỳ. Trong 
mục này, chúng tôi hạn chế nước đi của 
Thực tế là các số thực dương và đưa ra giao 
thức trò chơi dự báo không bị chặn một phía 
với hàng rào bậc hai (One-sided unbounded 
forecasting game with quadric hedge). Sau 
đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả 
dạng LMSL đối với giao thức này. 
Giao thức trò chơi dự báo không b 
 65 
chặn một phía với hàng rào bậc hai được 
viết như sau: 
ONE-SIDED UNBOUNDED 
FORECASTING (OUF) 
 Người chơi: Dự báo, Hoài nghi, Thực tế 
 Giao thức: 
 0 1K . 
 Với 1,2,... :n 
 Dự báo công bố 0nm và 0nv . 
 Hoài nghi công bố nM và 0nV . 
 Thực tế công bố 0nx . 
2
1: ( ) [( ) ]n n n n n n n n nK K M x m V x m v . 
 Nhiệm vụ ràng buộc: Hoài nghi phải 
giữ 
nK không âm. 
 Thực tế phải giữ nK không tiến đến 
vô cùng. 
Đ nh lí dưới đây được phát triển dựa 
vào Đ nh lí 4.4 của [2] phát biểu cho trò 
chơi dự báo không b chặn. 
Định lí 3.1. Đặt 
1
n
n k
k
B m
  , giả sử 
rằng g là một hàm số dương tăng trên 
[0; ) với ( )g . Trong OUF, Hoài 
nghi có thể buộc 
1
n
n
m
  và 1 1
1
lim ( ) 0.
( ) ( )
n
n
k k
x
n kn n
v
x m
g B g B
  
Chứng minh. Đặt 
1 ( )
n
k k
n
k k
x m
U
g B 
  , 0 0U ; 1
( )
n
k
n
k k
v
A
g B 
  , 
1 (B )
k
k k
v
A
g
  . 
Xét 
2
2
1
1 1
( )
2 ( )
(B )( )
n n
k k k k k
n n n k
k k kk
x m x m v
T U A U
gg B
   
=
2
1 1
( )
2 ( )
( )( )
n n n n n
n n
nn
x m x m v
T U
g Bg B
= 
2
1 ( ) [( ) ]n n n n n n n nT M x m V x m v . 
với 
1
1
1
2 2
( ) ( ) ( )
n
n k k
n
kn n k
U x m
M
g B g B g B
  
và 
1
( )
n
n
V
g B
 . 
 Do đó nT là một quá trình vốn, suy ra 
nT cũng là một supermartingale. Mặt khác 
1
1 ( ) ( )
n
k k n n
n n
k k n
x m x m
U U
g B g B
  , 
suy ra nU cũng là một quá trình vốn với 
1
( )
n
n
M
g B
 và 0nV . 
 Lưu ý rằng 2n n nU T A nên nA là 
compensator đối với 2nU . Khi đó, theo Bổ 
đề 4.7 của [1], ta có 
1 1( ) ( )
n
n k k
n kn k
v x m
g B g B
   
hội tụ h.c.c, khi n . 
 66 
Kết hợp với bổ đề Kronecker, ta được 
1
1
lim ( ) 0
( )
n
k k
x
kn
x m
g B 
  . 
Đ nh lí được chứng minh 
Như chúng ta đã biết trong lí thuyết xác 
suất, luật mạnh số lớn Kolmogorov đã được 
nghiên cứu với các biến ngẫu nhiên độc lập 
cùng phân phối. Trong trường hợp đó, kỳ 
vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên 
đó là những hằng số không phụ thuộc vào n. 
Tương ứng với điều đó, trong lí thuyết trò 
chơi xác suất, ta xét luật mạnh số lớn với 
các nước đi của Thực tế là những hằng số 
và thu được hệ quả dưới đây. 
Hệ quả 3.2. Trong OUF, giả sử rằng 
nm  , 
2
nv  với mọi n, đặt 
1
n
n k
k
S x
  . 
Khi đó, Hoài nghi có thể buộc 
lim n
x
S
n

 . 
Chứng minh. Trong Đ nh lí 3.1, lấy 
hàm 2( )g x x . Khi đó 
2 2
2 2 2 2
1 1 1
1
( )
n
n n nn
v
g B n n
 
 
   
, 
1 1
1 1
(x m ) (x m )
( )
n n
k k k k
k kn
ng B  
  
. 
Do đó 
1
1
lim ( ) 0
n
k
x
k
x
n

  
hay 
lim n
x
S
n

 . 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. Shafer, V. Vovk, Probability and Finance: It's Only a Game! Wiley, 2001. 
2. Kenshi Miyabe, Akimichi Takemura, Convergence of random series and the rate of 
convergence of the strong law of large numbers in game-theoretic probability, 
Stochastic Process. Appl 122 (2012) 1-30. 
3. M. Kumon, A. Takemura, K. Takeuchi, Game-theoretic versions of strong law of 
large numbers for unbounded variables, Stochastic 79 (5) (2007) 449-468. 
* Ngày nhận bài: 6/3/2014. Biên tập xong: 16/5/2014. Duyệt đăng: 22/5/2014