Một cách tiếp cận độ tin cậy của kết cấu có đại lượng mờ và đại lượng ngẫu nhiên

 KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 46
BÀI BÁO KHOA H
C 
MỘT CÁCH TIẾP CẬN ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU CÓ 
ĐẠI LƯỢNG MỜ VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 
Nguyễn Hùng Tuấn1, Lê Xuân Huỳnh2 
Tóm tắt: Đánh giá độ tin cậy của kết cấu trong trường hợp các đại lượng đầu vào bao gồm cả các 
đại lượng ngẫu nhiên và đại lượng mờ là bài toán thường gặp trong thực tế, nhưng mang nhiều 
thách thức, do không thể chứng minh được tính đơn nhất về mặt toán học. Có nhiều cách tiếp cận 
để giải bài toán này. Bài báo đề xuất một cách tiếp cận mới, trên cơ sở cải tiến và kết hợp các 
nguyên lý thông tin không đầy đủ và nguyên lý đặc trưng lớn nhất về chuyển đổi giữa đại lượng mờ 
và đại lượng ngẫu nhiên, để xác định các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, tương đương 
với số mờ tam giác cân. Từ các đại lượng ngẫu nhiên này, sẽ chuyển sang các bài toán xác định độ 
tin cậy theo định nghĩa gốc, và có thể vận dụng các phương pháp xác định độ tin cậy ngẫu nhiên 
quen thuộc để tính toán. Đồng thời, đề xuất cách xác định độ tin cậy trung tâm và cận của độ tin 
cậy. Các ví dụ minh họa, so sánh với các kết quả tính toán theo các phương pháp hiện có, bước đầu 
cho thấy độ chính xác và hiệu quả của phương pháp đề xuất. 
Từ khóa: lý thuyết mờ, độ tin cậy mờ, hàm thuộc, nguyên lý thông tin không đầy đủ, nguyên lý đặc 
trưng lớn nhất 
1. ĐẶT VẦN ĐỀ* 
Trong kết cấu xây dựng, phần lớn các đại 
lượng đầu vào: tải trọng tác động, tính chất vật 
liệu, tính chất của liên kết trong và ngoài... đều 
chứa các yếu tố không chắc chắn (uncertainty), 
được gọi là các đại lượng bất định. Theo 
(Kiureghian, et al 2009), các đại lượng bất định 
được chia thành hai loại: bất định ngẫu nhiên 
(aleatory uncertainty), bất định nhận thức 
(epistemic uncertainty). 
Khi các đại lượng đầu vào không chắc chắn 
đủ điều kiện mô tả là các đại luợng ngẫu nhiên, 
trạng thái M kết cấu là đại lượng ngẫu nhiên, 
được xác định theo công thức 
M = R - S (1) 
trong đó, R - sức kháng kết cấu, S - hiệu ứng 
tải trọng. 
Độ tin cậy của kết cấu được xác định theo 
xác suất, bởi công thức (Nowak, et al 2000) 
Ps = Prob(M > 0) (2) 
 Do được xây dựng trên cơ sở lý thuyết xác 
suất - thống kê, là lý thuyết tương đối hoàn chỉnh 
1
 Bộ môn Sức bền - Kết cấu, Trường Đại học Thủy lợi 
2
 Bộ môn Cơ học kết cấu, Trường Đại học Xây dựng 
về toán học, nên đánh giá kết cấu theo chỉ số độ 
tin cậy đã được quy định trong các tiêu chuẩn 
xây dựng của các nước tiên tiến trên thế giới. 
Khi các đại lượng đầu vào không chắc chắn 
thuộc loại hình bất định nhận thức, tùy thuộc 
vào việc mô tả các đại lượng bất định này mà 
hình thành các cách tiếp cận khác nhau để đánh 
giá mức độ an toàn (độ tin cậy mờ), điển hình 
sử dụng lý thuyết mờ (Dong, et al 1989), 
(Szeliga, et al 2004), (Park, et al 2004), lý 
thuyết ngẫu nhiên - mờ (Liu, et al 1997), 
(Möller, et al 2004). 
Trên thực tế, các đại lượng đầu vào trong bài 
toán đánh giá kết cấu thường không chỉ thuộc 
một loại hình bất định, mà là sự kết hợp giữa hai 
loại hình bất định ngẫu nhiên và bất định nhận 
thức. Khi đó, các tính toán được thực hiện trên 
hai loại bất định có sự khác biệt về bản chất, dẫn 
đến sự khác biệt về độ đo giữa hai loại đại lượng. 
Đây thực sự là một vấn đề thách thức, và về mặt 
toán học, không thể chứng minh được tính đơn 
nhất và nghiệm chính xác trong trường hợp này 
(Oberkampf, et al 2004). Sau đây, sẽ phân tích 
một số cách tiếp cận để giải bài toán này. 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 47
Trong (Li, et al 2000), các tác giả đã xây 
dựng công thức tính độ tin cậy mờ trong trường 
hợp ứng suất S là số mờ, cường độ R là hàm 
mật độ phân phối xác suất. Các tác giả (Li, et al 
2000) quan niệm độ tin cậy mờ trong mô hình 
giao thoa mờ - ngẫu nhiên là một số thực, và sử 
dụng khái niệm xác suất mờ của Zadeh để tính 
độ tin cậy mờ. Nhược điểm của cách tiếp cận 
này là hai hàm dưới dấu tích phân của (Li, et al 
2000) không cùng độ đo, diện tích đường cong 
fR(x) với trục hoành bằng đơn vị còn µS(x) thì 
khác. Khác với (Li, et al 2000), với quan niệm 
các lát cắt α của số mờ là các hàm mật độ phân 
phối xác suất, các tác giả trong (Jiang, et al 
2003), (Cui, et al 2011) đã tính độ tin cậy theo 
định nghĩa gốc trên từng lát cắt α, và độ tin cậy 
thu được là giá trị trung bình trên các lát cắt α. 
Xuất phát từ nhận xét các giả thiết khác nhau về 
hàm mật độ phân phối xác suất trên các biến 
khoảng sẽ đưa đến các kết quả khác nhau về độ 
tin cậy, trong (Du, et al 2005) các tác giả đã xác 
định độ tin cậy với các đại lượng đầu vào là tổ 
hợp các biến ngẫu nhiên và biến khoảng, tại các 
tổ hợp bất lợi nhất của các biến khoảng, thông 
qua việc giải bài toán tối ưu độ tin cậy. Các tác 
giả trong (Balu, et al 2014) đã mở rộng quan 
niệm này đối với các đại lượng đầu vào là tổ 
hợp các biến ngẫu nhiên và biến mờ, và đánh 
giá các giá trị max/min độ từ chối trên lát cắt α 
thông qua việc giải các bài toán tối ưu. Khác với 
(Balu, et al 2014), trong (Cui, et al 2015) các tác 
giả đề xuất 3 chỉ số độ tin cậy, và để xác định 
các chỉ số độ tin cậy này, tại mỗi mức thuộc α, 
các biến khoảng được xem là phân bố đều và 
giải bài toán tối ưu độ tin cậy trên các lát cắt α 
(chi tiết xem (Cui, et al 2015)). 
Qua việc phân tích nêu trên, có thể nhận thấy 
việc sử dụng lý thuyết độ tin cậy ngẫu nhiên làm 
nền tảng cho việc đánh giá độ tin cậy mờ, trong 
trường hợp các đại lượng bất định đầu vào bao 
gồm cả đại lượng mờ và đại lượng ngẫu nhiên, 
là cách tiếp cận đúng đắn, do các phương pháp 
xác suất vẫn giữ được tính trội của nó trong 
trường các đại lượng đo (Dubbois, et al 2004) 
và thuận tiện ứng dụng trong bài toán ra quyết 
định (Smets, 1990). Tuy nhiên, việc xác định độ 
tin cậy tại các lát cắt α thông qua việc giải bài 
toán tối ưu, hoặc giả thiết hàm mật độ phân bố 
xác suất tương đương của số khoảng sẽ làm tăng 
khối lượng tính toán các bài toán độ tin cậy. Để 
khắc phục vấn đề này, bài báo đề xuất một cách 
tiếp cận để chuyển đổi số mờ tam giác cân 
thành ba đại lượng ngẫu nhiên tương đương có 
phân phối chuẩn dựa trên việc cải tiến, nhằm 
khắc phục tính không bảo toàn của các nguyên 
lý chuyển đổi giữa đại lượng mờ và đại lượng 
ngẫu nhiên (Dubbois, et al 2006). Các đại lượng 
ngẫu nhiên tương đương được thiết lập trên cơ 
sở giải các bài toán tối ưu, sao cho tổng các sai 
lệch về độ đo khi chuyển đổi từ đại lượng mờ 
sang đại lượng ngẫu nhiên và từ đại lượng ngẫu 
nhiên về đại lượng mờ là nhỏ nhất. Tiếp đó, sẽ 
chuyển bài toán độ tin cậy mờ về các bài toán độ 
tin cậy ngẫu nhiên và đưa ra hai định nghĩa để 
đánh giá về độ tin cậy: (i) độ tin cậy trung tâm, 
tương ứng với giá trị "tin tưởng" của độ tin cậy; 
và (ii) cận của độ tin cậy, thể hiện ước lượng 
khoảng của độ tin cậy [Psmin, Psmax]. Hiệu quả của 
cách tiếp cận này là giảm số lượng tính toán các 
bài toán độ tin cậy ngẫu nhiên, đồng thời vẫn đáp 
ứng được độ chính xác cần thiết theo yêu cầu 
thực tế. Các ví dụ minh họa, so sánh với kết quả 
đã có theo các phương pháp khác, cho thấy hiệu 
quả của phương pháp đề xuất. 
2. CÁC NGUYÊN LÝ CHUYỂN ĐỔI VÀ 
NỘI DUNG CẢI TIẾN 
2.1. Các nguyên lý chuyển đổi và ý tưởng 
cải tiến 
Như đã nêu trên, đại lượng ngẫu nhiên (hàm 
mật độ phân bố xác suất) và số mờ (hàm phân 
bố khả năng) là hai biểu diễn khác nhau về sự 
bất định. Việc chuyển đổi từ đại lượng mờ sang 
đại lượng ngẫu nhiên và ngược lại có thể hữu 
ích khi bất định không đồng nhất và dữ liệu 
không chính xác cùng được xét đến (Dubbois, et 
al 1993). Các nguyên lý chuyển đổi đã được đề 
xuất bởi (Dubbois, et al 2006) và (Klir, 2006). 
Trong (Dubbois, et al 2006), đã kiến nghị 
chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu 
nhiên theo nguyên lý thông tin không đầy đủ IR 
(insufficient reason), và chuyển đổi từ đại lượng 
ngẫu nhiên sang đại lượng mờ theo nguyên lý 
 KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 48
đặc trưng lớn nhất MS (maximum specifity). 
Nguyên lý IR tìm đại lượng ngẫu nhiên sao cho 
đảm bảo tính bất định trong sự lựa chọn các kết 
quả đầu ra. Nguyên lý MS tìm đại lượng mờ có 
phân phối khả năng mang nhiều thông tin nhất, 
nói cách khác có khoảng hẹp nhất trên các lát 
cắt α. Khác với (Dubbois, et al 2006), trong 
(Klir, 2006) đã đề xuất nguyên lý bất định bất 
biến UI (uncertainty invariance) để chuyển đổi 
từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên và 
ngược lại, từ đại lượng ngẫu nhiên sang đại 
lượng mờ. Ưu điểm của phương pháp này là có 
được tính bảo toàn về thông tin của đại lượng 
mờ và đại lượng ngẫu nhiên tương đương. Tuy 
nhiên, như đã trình bày tại (Dubbois, et al 
1980), khi sử dụng nguyên lý UI, trong một số 
trường hợp, kết quả thu được mâu thuẫn với giả 
thiết toán học về sự đồng nhất độ đo khả 
năng/xác suất. Ngoài ra, khi chuyển đổi từ đại 
lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên, theo 
nguyên lý này cần sử dụng một số giả thiết 
trong khi đó chuyển đổi từ đại lượng mờ sang 
đại lượng ngẫu nhiên theo (Dubbois, et al 2006), 
không cần sử dụng bất kỳ giả thiết nào. Mặc dù 
vậy, đối với đại lượng mờ ban đầu, khi thực 
hiện chuyển đổi sang đại lượng ngẫu nhiên theo 
nguyên lý IR, và từ đại lượng ngẫu nhiên này, 
chuyển đổi ngược sang đại lượng mờ theo 
nguyên lý MS, kết quả thu được đại lượng mờ 
khác đại lượng mờ gốc ban đầu. Do đó, khi thực 
hiện chuyển đổi theo hai nguyên lý này, xuất 
hiện tính không bảo toàn về thông tin, dẫn đến 
kết quả tính độ tin cậy khó định chuẩn để ra 
quyết định. 
2.2. Nội dung cải tiến 
Từ các nhận xét trên, bài báo đề xuất một cải 
tiến để xác định đại lượng ngẫu nhiên có phân 
phối chuẩn, tương đương với đại lượng mờ, sao 
cho tổng các sai lệch (sai lệch về độ đo xác suất 
của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 
với đại lượng ngẫu nhiên được chuyển đổi theo 
nguyên lý IR, sai lệch về độ đo mờ với đại 
lượng mờ gốc ban đầu, khi thực hiện chuyển đổi 
từ đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 
sang đại lượng mờ theo nguyên lý MS), là nhỏ 
nhất. Việc cải tiến được thực hiện cho số mờ 
tam giác cân, là dạng số mờ thường được sử 
dụng để mô tả các đại lượng đầu vào trong bài 
toán phân tích độ tin cậy mờ. Việc sử dụng hàm 
mật độ phân phối xác suất chuẩn là một sự tự 
nhiên, do tính chất thông dụng của nó trong tính 
toán độ tin cậy ngẫu nhiên. Sau đây, sẽ thiết lập 
công thức xác định các hàm mật độ phân phối 
xác suất chuẩn này. 
Hình 1. Phép đổi biến đưa về biến mờ chuẩn 
a. Biến mờ gốc b. Biến mờ chuẩn 
Xét số mờ tam giác cân ( )LRi laX ,~ = (Hình 1), 
trong đó a - giá trị tin tưởng (tại mức thuộc α= 
1) của số mờ, l - độ rộng số mờ, thực hiện phép 
đổi biến (Nguyễn Hùng Tuấn, et al 2015), đưa 
về biến mờ chuẩn ( )LRix 1 ,0~ = 
l
aX
x ii
−
=
~
~
 (3) 
Từ số mờ chuẩn ( )LRix 1 ,0~ = , sử dụng nguyên 
lý IR, thu được hàm mật độ phân phối xác suất 
[ )
( ]



∈−
∈−−
=
1,0; )ln(
2
1
1,0-x; )ln(
2
1
)(
xx
x
xp (4) 
Xét hàm mật độ phân phối xác suất chuẩn 
p1(x) có kỳ vọng µ= 0 (lấy bằng giá trị tin tưởng 
của số mờ chuẩn hóa), phương sai σ2 








−
=
22
2
1 2
1)( σ
σpi
x
exp (5) 
Xét sự kiện {A} : -1≤ xo ≤ x. Do tính đối 
xứng của hai hàm mật độ phân phối xác suất 
p(x) và p1(x) nên chỉ cần xét trường hợp x ≤ 0. 
Xác suất của sự kiện A đối với hàm mật độ 
phân phối xác suất p(x) và p1(x), lần lượt là 
[ ]1)(
2
1)ln(
2
1)(
1
+−−=−∫ −=
−
xxlinxdxxAP
x
(6) 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 49
dxeAP
x
x
∫=
−








−
1
22
2
1 2
1)( σ
σpi
 (7) 
Để hai hàm mật độ phân phối xác suất là 
tương đương, cần có 
min)()( 1 →− APAP , 
hay ( ) min)()( 21 →− APAP , ∀x∈[-1,0) (8) 
Từ (6) ta được 
( ) ( ) min)()( 20
1
11 →∫ −=
−
dxAPAPF σ (9) 
với P(A), P1(A) xác định theo (4), (5). 
Với lưu ý hàm mật độ phân phối xác suất 
p(x) xác định trong [-1,1], trong khi hàm mật độ 
phân phối xác suất p1(x) xác định trong (-∞,+∞), 
nên để xác suất trong (-∞,1) của hàm mật độ 
phân phối xác suất p1(x) là không còn đáng 
kể, cần có 
( )[ ] min
2
11,:*)(
1 22
2
12 →∫=−∞−∈=
−
∞−








−
dxexAPF
x
o
σ
σpi
σ
(10) 
Kết hợp (9) và (10) ta được 
( ) min
2
1)()()()()(
1 22
2
20
1
121 →∫+∫ −=+=
−
∞−








−
−
dxedxAPAPFFF
x
σ
σpi
σσσ
(11) 
Công thức (11) cho ta cách xác định độ lệch 
σ của hàm mật độ phân phối chuẩn p1(x), tương 
đương với hàm mật độ phân phối xác suất p(x) 
được xác định theo nguyên lý IR. 
Từ hàm mật độ phân phối xác suất chuẩn 
p1(x), chuyển về hàm phân bố khả năng (hàm 
thuộc) tương đương, theo nguyên lý MS 
dyypdyypxx
x
x
)()()()(
6
1
6
111 ∫+∫=−=
−−
σ
σ
pipi
(12) 
Do hàm mật độ phân phối xác suất chuẩn 
p1(x) đối xứng nên f(x) = y = -x, và sử dụng quy 
tắc 3σ nên thay cận -∞ và +∞ bằng -6σ và 6σ để 
đảm bảo độ chính xác . 
Hàm thuộc của số mờ chuẩn có dạng 
[ ]
[ ]

∈−
−∈+
=
1,0; 1
0,1; 1)(
xx
xx
xpi
(13) 
Khác với lý thuyết xác suất - thống kê toán 
học, trong lý thuyết mờ các độ đo mờ (độ đo 
khả năng, độ đo cần thiết ...) đều được xác định 
thông qua hàm thuộc (phân phối khả năng) theo 
luật max/min. Do đó, với lý luận tương tự ở trên 
ta thu được 
( ) min )(1)()( 1 210
1
2
1 →∫+∫ −−=
−
∞−−
dxxdxxxG pipiσ
(14) 
Để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu (11) và 
(14), đưa về bài toán tối ưu một mục tiêu sử 
dụng trọng số 
H(σ) = γ.F(σ) + (1-γ).G(σ) → min, trong đó 
γ ∈[0,1]. (15) 
Về ý nghĩa toán học, công thức (15) là sự mở 
rộng có điều chỉnh tính chất tương đương, 
chuyển đổi hai chiều, theo hai nguyên lý: nguyên 
lý IR, khi chuyển từ đại lượng mờ sang đại lượng 
ngẫu nhiên, và nguyên lý MS, khi chuyển từ đại 
lượng ngẫu nhiên sang đại lượng mờ. 
Để giải (15), sử dụng thuật giải di truyền 
GAs trong Matlab R2016. Sau đây, ta xét 3 giá 
trị của γ: 
- Khi γ = 0.5 nhận được σ = 0.476 (16.a) 
- Khi γ = 1.0 nhận được σ = 0.288 (16.b) 
- Khi γ = 0.0 nhận được σ = 0.640. (16.c) 
Giá trị σ = 0.476 ( với γ = 0.5) được sử dụng 
để xác định độ tin cậy trung tâm, với ý nghĩa xét 
đến mức độ quan trọng như nhau, cân bằng giữa 
hai hàm mục tiêu F(σ) và G(σ). Các giá trị σ = 
0.288 (với γ = 1) và σ = 0.640 (với γ = 0) là thể 
hiện vai trò độc lập của mỗi mục tiêu. Các giá trị 
này sẽ được sử dụng để tính cận của độ tin cậy, 
là ước lượng các giá trị max/min của độ tin cậy. 
2.3. Cách xác định độ tin cậy trung tâm và 
cận của tin cậy 
Xét hàm trạng thái chứa cả đại lượng ngẫu 
nhiên và đại lượng mờ 
 g(x)= g(xF, xR) = 
= ),...,,,~,...,~,~( 2121 mnnnn xxxxxxg +++
(17) 
trong đó xF = ( )nxxx ~,...,~,~ 21 là các đại lượng 
mờ độc lập, có dạng số mờ tam giác cân 
( )LRiii lax ,~ = ; xR = (xn+1, xn+2,.....,xn+m) là các 
đại lượng bất định ngẫu nhiên độc lập. 
Để đưa về cách xác định độ tin cậy theo định 
nghĩa gốc, thực hiện chuyển đổi đại lượng mờ 
( )LRi ... ó 
kỳ vọng µi và độ lệch σi được xác định theo các 
công thức (18.b), (18.c). 
3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
3.1.Ví dụ 1 
Xét hàm trạng thái với 3 biến được đề cập 
trong ví dụ 1 của (Balu, et al 2014) 
 g(x)= ( ) ( )313322221 sin2.0132.00.8 xxxxxx −+−−−
(20) 
trong đó x1, x2 là các đại lượng ngẫu nhiên 
độc lập có phân phối chuẩn tiêu chuẩn, x3 là số 
mờ tam giác cân (0,1)LR. 
Thực hiện tính toán theo phương pháp đề 
xuất, sử dụng chỉ số độ tin cậy Hasofer-Lind 
(Nowak, et al 2000). Kết quả tính toán theo 
phương pháp đề xuất và so sánh với kết quả 
(Balu, et al 2014) được thể hiện ở Bảng 1. 
Bảng 1. Kết quả tính toán độ tin cậy theo phương pháp đề xuất 
và theo ví dụ 1 của (Balu, et al 2014) 
Giá trị γ 
Chỉ số độ tin cậy 
Hasofer - Lind b 
của phương pháp 
đề xuất 
PS của 
phương pháp 
đề xuất 
Chỉ số độ tin 
cậy b theo (Balu, 
et al 2014) 
Ps theo 
(Balu, et al 
2014) 
Độ lệch % 
của Ps 
0 2.300351 0.989286 2.155 0.984419 0.49438 
0.5 2.300482 0.989290 2.28 0.988696 0.060016 
1 2.3006 0.989293 2.42 0.992240 0.296991 
3.2.Ví dụ 2 
Xét ví dụ 2 (Balu, et al 2014), dầm consơn 
chịu lực tập trung như Hình 2. Chiều dài dầm L, 
bề rộng tiết diện b, chiều cao tiết diện h là các 
đại lượng ngẫu nhiên có các giá trị trung bình 
lần lượt là 30 in.(76.2 cm), 0.8359in.(2.123186 
cm) và 2.5093 in.(6.373622 cm), mô đun đàn 
hồi E là đại lượng tất định có giá trị 107 psi 
(68947.5728 MPa). Chiều dài dầm L và chiều 
cao tiết diện h có phân phối loga chuẩn, chiều 
rộng b có phân phối chuẩn với độ lệch lần lượt 
là σL =3.0 in.(7.62 cm), σh = 0.25 in.(0.635 cm), 
σb
= 0.08 in.(0.2032 cm). Lực tập trung P là số 
mờ tam giác cân (80, 20)LR lb ((0.35598, 
0.088995)LR kN). Chuyển vị cho phép là 0.15 in 
(0.381 cm). 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 51
Hình 2. Dầm consơn chịu lực tập trung 
Hàm trạng thái về chuyển vị được xác định 
theo mô hình dầm Euler - Becnuli 
g(x) = 3
3415.0
Ebh
PL
− (21) 
Thực hiện theo phương pháp đề xuất, tính 
toán chỉ số độ tin cậy bậc 2 SORMβ theo công 
thức kinh nghiệm do Zhao và Ono đề xuất (Zao, 
et al 1999). Các kết quả tính toán được so sánh 
với các kết quả tương ứng trong (Balu, et al 
2014), thể hiện ở Bảng 2. 
Bảng 2. Kết quả tính toán độ tin cậy theo phương pháp đề xuất 
và theo ví dụ 2 của (Balu, et al 2014) 
Giá 
trị γ 
Chỉ số độ tin cậy bậc 
2 SORMβ của phương 
pháp đề xuất 
PS của 
phương pháp 
đề xuất 
Chỉ số độ tin cậy 
b theo (Balu, et 
al 2014) 
Ps theo 
(Balu, et al 
2014) 
Độ lệch % 
của Ps 
0 1.8166 0.965361 1.38 0.916207 5.364961 
0.5 1.8528 0.968044 1.89 0.970621 0.265452 
1 1.8843 0.970238 2.57 0.994915 2.480340 
Nhận xét : Từ kết quả tính toán theo phương 
pháp đề xuất tại ví dụ 1 và ví dụ 2, so sánh với 
kết quả tại (Balu, et al 2014) cho thấy các sai 
lệch giữa độ tin cậy Ps là tương đối bé, sai lệch 
lớn nhất là 5.36% tại ví dụ 2. Sai lệch này xuất 
phát từ hai nguyên nhân: i) quan điểm về xác 
định độ tin cậy của kết cấu bao gồm cả đại 
lượng mờ và đại lượng ngẫu nhiên của phương 
pháp đề xuất và (Balu, et al 2014), ii) độ chính 
xác của các phương pháp xác định độ tin cậy 
truyền thống. Quan điểm của phương pháp đề 
xuất là biểu diễn đại lượng mờ bằng họ các đại 
lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Khác với 
quan điểm này, trong (Balu, et al 2014) tìm các 
tổ hợp bất lợi nhất của các biến khoảng, để xác 
định các giá trị Psmin và Psmax. Do vậy bề rộng 
khoảng tin cậy thu được theo (Balu, et al 2014) 
bao giờ cũng lớn hơn cận của độ tin cậy theo 
phương pháp đề xuất. Vì vậy, theo nguyên lý 
MS, kết quả theo phương pháp đề xuất mang 
nhiều thông tin hơn kết quả (Balu, et al 2014). 
Nguyên nhân thứ 2 tạo nên sai lệch là do việc sử 
dụng phép chuyển đổi Rosenblatt tại ví dụ 2 làm 
tăng tính phi tuyến của hàm trạng thái trong 
không gian chuẩn tiêu chuẩn, dẫn đến độ tin cậy 
bậc 2 SORM sẽ có sai lệch so với sử dụng mô 
phỏng Monte Carlo trong (Balu, et al 2014). 
Thật vậy, nếu với phương pháp đề xuất, ta sử 
dụng mô phỏng Monte Carlo để tính độ tin cậy, 
thì khi lấy số lượng mẫu Ns = 30000, độ tin cậy 
Psmin = 0.9590, sai lệch giữa hai phương pháp 
chỉ còn 4.67% (giảm 0.69%). Trong (Balu, et al 
2014), do phải tính toán theo mô hình xấp xỉ bậc 
cao của hàm trạng thái tại các điểm xác suất lớn 
nhất MPP (Most Probable Point) trên các lát cắt 
α của các biến mờ,và phải sử dụng nhiều phép 
chuyển đổi : chuyển đổi từ biến mờ gốc thành 
biến can thiệp (intervening variables), chuyển 
đổi Fourier (xuôi và ngược) để tính tích phân 
chập xác định độ tin cậy, nên khối lượng và thời 
gian tính toán sẽ lớn hơn so với phương pháp đề 
xuất. Cụ thể, trong ví dụ 2, để tính một giá trị độ 
tin cậy tại biến trên (hoặc biên dưới) của mỗi lát 
cắt α, (Balu, et al 2014) tính toán 19 hàm xấp 
xỉ đối với các biến ngẫu nhiên trong không gian 
chuẩn tiêu chuẩn. 
3.3.Ví dụ 3 
Xét hàm trạng thái với 4 biến được đề cập 
trong ví dụ 1 của (Cui, et al 2015) 
g(x) = 200108725 424323222121 −−+−++++ xxxxxxxx (22) 
trong đó x1, x2 là các đại lượng ngẫu nhiên có 
phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ = 10.0 
 KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 52
và độ lệch σ = 2.0. Các đại lượng x3 và x4 là các 
số mờ tam giác cân (10,5)LR. 
Thực hiện tính toán, sử dụng chỉ số độ tin cậy 
Hasofer-Lind (Nowak, et al 2000). Kết quả tính 
toán độ tin cậy trung tâm Psc, cận của độ tin cậy 
[Psmin, Psmax] lần lượt được so sánh với kết quả tính 
toán trị số độ tin cậy số )(IIIrP , chỉ số khoảng tin 
cậy )(IrP (Cui, et al 2015) theo phương pháp 
Monte Carlo, được thể hiện ở Bảng 3. 
Bảng 3. Kết quả tính toán độ tin cậy theo phương pháp đề xuất 
 và theo ví dụ 1 của (Cui, et al 2015) 
Giá trị γ 
Chỉ số độ tin cậy 
Hasofer - Lind b của 
phương pháp đề xuất 
PS của phương 
pháp đề xuất 
Ps theo phương pháp 
Monte Carlo 
(Cui, et al 2015) 
Độ lệch % 
của Ps 
0 2.645614471 0.995923 0.999364 0.34433 
0.5 2.520677325 0.994144 0.996130 0.19942 
1 2.421615044 0.992274 0.985445 0.69300 
3.4.Ví dụ 4 
Xét ví dụ 2 của (Cui, et al 2015), hệ dàn mái 
như Hình 3. Tải trọng phân bố đều q (đơn vị 
N/m) tác dụng trên cánh thượng dàn là số mờ 
tam giác cân q~ = (20000, 1000)LR . Diện tích 
tiết diện Ac, As; mô đun đàn hồi Ec, Es; chiều dài 
nhịp dàn l là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, 
có phân phối chuẩn được cho trong Bảng 4. 
Độ võng tại đỉnh dàn ∆c theo quy định 
không được vượt quá 3 cm. Bằng các phương 
pháp của Cơ học kết cấu, xác định chuyển vị 
∆c theo công thức 






+=∆
sscc
C EAEA
ql 13.181.3
2
2
 (23) 
Hàm trạng thái về độ võng là 
g(x) = 





+−−
sscc EAEA
ql
x
13.181.3
2
103
2
2
 (24) 
Bảng 4. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên của dàn mái 
Đại lượng ngẫu nhiên l (m) As (m2) Ac (m2) Es (N/m2) Ec (N/m2) 
Giá trị trung bình µ 12 9.82x10-4 0.04 1x1011 2x1010 
Biến sai νx 0.01 0.06 0.12 0.06 0.06 
Hình 3. Hệ dàn mái trong ví dụ 2 của (Cui, et al 2015) và sơ đồ tính 
Thực hiện tính toán theo phương pháp đề 
xuất, tính toán chỉ số độ tin cậy bậc 2 
SORMβ theo công thức kinh nghiệm do Zhao và 
Ono đề xuất (Zao, et al 1999). Kết quả tính 
toán độ tin cậy trung tâm Psc, cận của độ tin 
cậy [Psmin, Psmax] lần lượt được so sánh với 
kết quả tính toán trị số độ tin cậy số )( III
r
P , 
chỉ số khoảng tin cậy )( I
r
P (Cui, et al 2015) 
theo phương pháp Monte Carlo được thể hiện 
ở Bảng 5. 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 53
Bảng 5. Kết quả tính toán độ tin cậy theo phương pháp đề xuất 
và theo ví dụ 2 của (Cui, et al 2015) 
Giá trị γ 
Chỉ số độ tin cậy bậc 2 
SORMβ của phương pháp 
đề xuất 
PS của phương 
pháp đề xuất 
Ps theo phương pháp 
Monte Carlo 
(Cui, et al 2015) 
Độ lệch % 
của Ps 
0 5.7754 0.9999999962 0.996573 0.34388 
0.5 6.0937 0.9999999994 0.998780 0.12215 
1 6.3723 0.9999999999 0.999618 0.03821 
Nhận xét : Từ kết quả tính toán theo phương 
pháp đề xuất tại ví dụ 3 và ví dụ 4, so sánh với kết 
quả tại (Cui, et al 2015) cho thấy các sai lệch là 
tương đối bé, sai lệch lớn nhất là 0.7%. Mặc dù khác 
về cách tiếp cận và quan điểm xác định độ tin cậy, 
nhưng các kết quả cho thấy các chỉ số độ tin cậy 
trung tâm Psc và cận của độ tin cậy [Psmin, Psmax] 
mang ý nghĩa tương đồng với chỉ số độ tin cậy số 
)( III
s
P và chỉ số độ tin cậy khoảng )( I
s
P trong (Cui, 
et al 2015). Tuy nhiên, phương pháp đề xuất tính 
toán đơn giản hơn, giảm khối lượng tính toán so với 
(Cui, et al 2015): 3 bài toán để xác định độ tin cậy 
trung tâm và cận của độ tin cậy theo phương pháp 
đề xuất so với 192 bài toán xác định mỗi độ tin cậy 
theo phương pháp PDEM (Cui, et al 2015), mà vẫn 
đạt mức độ chính xác yêu cầu. Nếu tính toán theo 
phương pháp Monte Carlo với số lượng mẫu Ns = 
30000, trong ví dụ 4, độ tin cậy trung tâm Psc = 
0.99793, sai lệch giữa độ tin cậy trung tâm của 
phương pháp đề xuất và phương pháp (Cui, et al 
2015) giảm xuống còn 0.0848%. 
4. KẾT LUẬN 
+ Bài báo đã xây dựng công thức xác định 
phương sai, đặc trưng cơ bản của đại lượng 
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, tương đương 
với số mờ tam giác cân, trên cơ sở kết hợp và 
cải tiến nguyên lý thông tin không đầy đủ và 
nguyên lý đặc trưng lớn nhất. Từ các đại lượng 
ngẫu nhiên này, đã nêu một cách tiếp cận để 
chuyển đổi từ bài toán xác định độ tin cậy của 
hệ có các đại lượng bất định đầu vào gồm có đại 
lượng mờ và đại lượng ngẫu nhiên, về các bài 
toán độ tin cậy theo định nghĩa gốc. 
+ Độ tin cậy trung tâm được đề xuất trong 
bài báo hoàn toàn có thể so sánh được với độ tin 
cậy quy định trong các tiêu chuẩn. Đồng thời, 
cận của độ tin cậy đề xuất có thể được sử dụng 
để ước lượng khoảng giá trị của độ tin cậy. 
+ Các kết quả tính toán theo phương pháp đề 
xuất, được so sánh với kết quả theo các phương 
pháp hiện có, bước đầu cho thấy độ chính xác 
và hiệu quả của phương pháp đề xuất. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh, Phạm Hoàng Anh (2015), "A fuzzy finite element algorithm based 
on response surface method for free vibration analysis of structure", Vietnam Journal of mechanics, 
VAST, Vol.37, No.1, pp. 17-27. 
Balu A. S., Rao B.N. (2014), "Efficient assessment of structural reliability in presence of random 
and fuzzy uncertainties", Journal of Mechanical Design 136(5), pp. 1-11. 
Cui L., Lu Z., Wang P. (2011), "Reliability sensitivity analysis with mixture of random and fuzzy 
variables", 2011 International Conference on Quality, Reliability, Risk, Maintenance, and Safety 
Engineering, pp.833-838. 
Cui L., Lu Z., Li G. (2015), "Reliability analysis in presence of random variables and fuzzy 
variables", Journal of Applied Mathematics, pp.1-8. 
Dong W., Shan H. (1987), "Vertex method for computing functions of fuzzy variables", Fuzzy Sets 
and Systems 24, pp.65 - 78. 
Dong W., Chiang W.L., Shan H.C. and Wong F.S., Assessment of existing building using fuzzy set 
theory, Icosar’89, The 5th International Conference on Structural Safety and Reliability. 
Du X., Sudjuanto A., Huang B. (2005), "Reliability-based design with the mixture of random and 
interval variables", Journal of Mechanical Design 127(6), pp. 1068-1076. 
 KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 62 (9/2018) 54
Dubois D., Prade H. (1980), Fuzzy Sets and Systems, Academic Press, NewYork. 
Dubois D., Prade H., Sandri S., On Possibility/Probability Transformations, Proceedings of Fourth 
IFSA Conference 1993. 
Dubois D., Foulloy L., Mauris G. and Prade H.(2004),"Probability - Possibility Transformations, 
Triangular Fuzzy Sets, and Probabilistic Inequalities",, Reliable Computing 10, pp.273-297, 
Kluwer Academic Publishers, Printed Netherlands. 
Dubois D.(2006), "Possibility Theory and Staticstical Reasoning", Computational Statistics & Data 
Analysis 51, pp. 47 - 59. 
Jiang Q., Chen C.H. (2003), "A numerical algorithm of fuzzy reliability", Reliability Engineering 
and System Safety 80, pp. 299 - 307. 
Kiureghian A.D., Ditlevsen O.(2009), "Aleatory or epistemic? Does it matter?", Structural Safety. 
Klir G.J. (2006), Uncertainty and Information, Published John Wiley & Sons. 
Li B., Zhu M., Xu K. (2000), "A practical engineering method for fuzzy reliability analysis of 
mechanical structures", Reliability Engineering and System Safety 67, pp. 311 - 315. 
Liu Y., Qiao Z., Wang G.(1997), "Fuzzy random reliability based on fuzzy random variable", Fuzzy 
Sets and Systems 86, pp. 345 – 355. 
Möller B., Beer M.(2004), Fuzzy Randomness - Uncertainty in Civil Engineering and 
Computational Mechanics, Springer, Dresden. 
Nowak A., Collins K.R.(2000), Reliability of Structures, MC.Ctraw Hill. 
Oberkampf W.L., Helton J.C., Joslyn C.A., Wojkiewicz S.F., Ferson S. (2004), "Challenge 
Problems: Uncertainty in system response given uncertainty parameters", Reliability 
Engineering and System Safety 85, pp. 11 - 19. 
Park H.J., Um J.G., Woo I., Kim J.W. (2012), "Application of fuzzy set theory to evaluate the 
probability of failure in rock slopes", Engineering Geology 125, pp. 92 - 101. 
Smets P. (1990), Constructing the pignistic probability function in a context of uncertainty, In: 
Uncertainty in Artificial Intelligence 5 (M.Henrion, R.D.Shachter, L.N.Kanal, J.F.Lemmer, 
eds.), North-Holland, pp. 29-39. 
Szeliga E., Structural reliability – fuzzy sets theory approach, Journal of theoretical and applied 
mechanics 42, 3, pp. 651 – 666, Warsaw 2004. 
Zao Y.G., Ono T. (January 1999), "New Approximations for SORM: Part 1", Journal of Engineering 
Mechanics 85. 
Abstract: 
AN APPROACH TO ASSESS STRUCTURAL RELIABILITY IN PRESENCE 
OF RANDOM AND FUZZY VARIABLES 
Assessment of structural reliability in case of the mixture of random and fuzzy input variables 
always exists in engineering problems, but has a lot of challenge, because there is no unique 
solution in mathematics. A lot of approaches had been proposed to solve this problem. This article 
proposes a new appoach, based on innovating and combining the insufficient reason and the 
maximum specifity principles for transformations between random and fuzzy variables, to 
determine the normal random variables, that are equivalent to the symmetric triangular fuzzy 
number. From these random variables, the original problem is converted to the basis structural 
reliability problems, and can apply the familiar methods of the traditional reliablility theory to 
calculate. Meanwhile, this article proposes the way to determine the central reliability and the 
marginal reliability. Numerical results are compared with the results of the existing method, to 
demonstrate the acuracy and effectiveness of the proposed method. 
Keywords : fuzzy sets theory, fuzzy reliability, membership function, insufficient reason principle, 
maximum specifity principle. 
Ngày nhận bài: 06/8/2018 
Ngày chấp nhận đăng: 30/8/2018