Mô phỏng trường nhiệt khi hàn liên kết ống chữ K bằng phương pháp phần tử hữu hạn

42
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018
Mô phỏng trường nhiệt khi hàn liên kết ống chữ K 
bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Simulation of temperature field welding of K pipe joint 
by finite element method
Ngô Hữu Mạnh, Mạc Văn Giang
Email: manh.nh.1981@gmail.com
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 8/6/2018 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 21/10/2018 
Ngày chấp nhận đăng: 27/12/2018
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để mô phỏng số trường nhiệt độ khi hàn 
liên kết ống chữ K với đường kính ống chính là 219 mm và đường kính ống nhánh là 102 mm; chiều 
dày lần lượt tương ứng là 12,7 mm và 8 mm. Sự biến thiên nhiệt độ tại một điểm (node) trong quá trình 
nguồn nhiệt di động cũng được khảo sát. Công nghệ hàn sử dụng chế tạo liên kết dạng này đang được 
sử dụng rộng rãi không riêng gì ở Việt Nam mà trên cả thế giới trong chế tạo kết cấu thép là quá trình 
hàn điện cực nóng chảy trong môi trường khí bảo vệ (GMAW). Mô hình hóa và mô phỏng trường nhiệt 
độ khi hàn liên kết ống chữ K được thực hiện trên cơ sở mô hình Solid (3D) sử dụng gói phần mềm 
SYSWELD của hãng ESI [5]. Đây là công cụ mô phỏng rất hữu ích vì nó có thể giải được các bài toán 
phức tạp về cơ nhiệt và quá trình luyện kim khi hàn bao gồm cả các bài toán phi tuyến, trạng thái giả 
ổn định, động học,... 
Từ khóa: GMAW; trường nhiệt hàn; liên kết ống; liên kết chữ K; mô phỏng số.
Abstract
This paper studies the finite element method (FEM) to simulate the temperature field of K welded joint 
connection with diameter of main pipe is 219 mm and branch pipe is 102 mm; The thickness are respectivety 
12.7 mm and 8 mm. Temperature variations at a point (node) in the movement heat source are examined. 
The welding technology is widely used not only in Vietnam but also in the world in steel fabrication is gas 
metal arc welding (GMAW) process. The modeling and simulation of the temperature field when welding 
K joint connection made on the basis of the model solid (3D) using SYSWELD of ESI group [5]. This is a 
simulation tool is useful because it can solve the complex problems of thermomechanical and metallurgical 
as welding including nonlinear problems, pseudo steady state, kinetics,...
Keywords: GMAW; temperature field; piping joint; K pipe joint; numerical simulation.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của 
ngành công nghệ thông tin, các công cụ tính toán 
và mô phỏng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều 
lĩnh vực trong đó có công nghệ hàn. Việc ứng 
dụng kỹ thuật mô phỏng cho phép rút ngắn được 
thời gian nghiên cứu, giảm chi phí thực nghiệm 
mà vẫn cho phép nhận được kết quả tốt.
Mô phỏng số quá trình hàn là một trong những 
phương pháp hữu hiệu nhất để có thể dự đoán 
trường nhiệt độ, ứng suất và biến dạng trong hàn 
bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Như chúng 
ta đã biết, chu trình nhiệt có ảnh hưởng trực tiếp 
đến sự ứng xử của kết cấu trong quá trình hàn 
như cơ tính và tổ chức tế vi. Trong quá trình hàn, 
vật hàn bị nung nóng cục bộ ở nhiệt độ cao [1]. 
Theo tính chất lý hóa của kim loại và hợp kim khi 
nóng sẽ giãn nở và co lại khi được làm nguội. Sự 
giãn nở này bị hạn chế bởi các vùng có nhiệt độ 
thấp hơn hoặc bị gá kẹp [4]. Điều này dẫn đến sự 
xuất hiện ứng suất nhiệt tức thời trong vật hàn 
và ứng suất dư sau khi vật hàn được làm nguội. 
Việc xác định trường nhiệt khi hàn đóng vai trò 
quan trọng trong việc xác định ứng suất dư, biến 
Người phản biện: 1. PGS. TS. Nguyễn Đắc Trung
 2. TS. Trần Hải Đăng
LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018 43
dạng hàn và tổ chức tế vi của các vùng trong liên 
kết hàn.
2. PHÂN TÍCH VÀ MÔ PHỎNG
Trong quá trình thực hiện, nhóm tác giả sử dụng 
phần mềm SYSWELD để tính toán, mô phỏng liên 
kết hàn ống chữ K. Phần mềm SYSWELD của 
tập đoàn ESI được đánh giá là phần mềm chuyên 
dùng trong lĩnh vực mô phỏng quá trình hàn và 
xử lý nhiệt kim loại một cách đầy đủ và sát với 
thực tế nhất. Đồng thời có thể giải quyết được 
các bài toán phức tạp liên quan đến phân tích phi 
tuyến (trong cả truyền nhiệt, biến dạng và chuyển 
biến pha). 
2.1. Mô hình nguồn nhiệt
Sự phân bố nhiệt trong vật hàn chính là nhiệt 
lượng của cột hồ quang hàn, khả năng dẫn nhiệt 
của kim loại cơ bản, sự tỏa nhiệt ra môi trường và 
tính nhiệt của vật liệu đó. Với nguồn nhiệt hàn hồ 
quang, tổng công suất hiệu dụng được xác định 
theo công thức sau [3]:
P = η.Uh.Ih (W) (1) 
trong đó:
Uh là điện áp hồ quang (V);
Ih là cường độ dòng điện hàn (A);
η là hiệu suất hồ quang hàn (0,6÷0,9).
Goldak và cộng sự [6] đã đưa ra mô hình nguồn 
nhiệt có mật độ phân bố ellipsoid kép được xác 
định bằng cách phối hợp hai khối bán ellipsoid 
khác nhau để tạo thành một nguồn nhiệt (hình 
1). Mật độ nhiệt bên trong từng khối bán ellipsoid 
được mô tả bằng hai phương trình riêng.
Hình 1. Mô hình nguồn nhiệt hàn GMAW [6]
Theo [3, 6], với một điểm bất kỳ (x,y,z) bên trong 
khối bán ellipsoid đầu tiên (phía trước hồ quang 
hàn), mật độ nguồn nhiệt được biểu diễn bởi 
phương trình (2).








−−−= 2
2
2
2
2
2
exp.),,,(
c
z
b
y
a
xQtzyxQ
f
fR
 (2)
Với một điểm bất kỳ (x,y,z) bên trong khối bán 
ellipsoid thứ hai (phía sau hồ quang hàn), mật độ 
nguồn nhiệt được biểu diễn bởi phương trình 3.






−−−= 2
2
2
2
2
2
exp.),,,(
c
z
b
y
a
xQtzyxQ
r
rR (3)
Trong hai phương trình trên, af, ar, b và c là các 
thông số hình học của nguồn nhiệt khối ellipsoid 
kép (hình 1); QR là hàm mật độ nguồn nhiệt.
Như vậy có thể thấy rằng nguồn nhiệt khối ellipsoid 
kép phân bố Gauxơ này có thể được biểu diễn 
bằng năm thông số, đó là: hiệu suất hồ quang η 
và bốn thông số hình học của nguồn nhiệt af, ar, 
b và c.
Goldak và các cộng sự [6] đã chỉ ra mối tương 
quan giữa kích thước của nguồn nhiệt và kích 
thước của bể hàn, đồng thời cho rằng có thể nhận 
được những giá trị thích hợp cho af, ar, b và c 
bằng cách đo trực tiếp các thông số hình học của 
bể hàn (bảng 1).
Bảng 1. Thông số hình học của nguồn nhiệt [6]
Lớp hàn/
Đường hàn
b
(mm)
c
(mm)
af 
(mm)
ar (mm)
Lớp 1 (1, 2) 7 4 3 5
Lớp 2 (3, 4) 6 4 3 5
Lớp 2 (5, 6) 6 4 3 5
2.2. Các thông số của vật liệu
Vật liệu sử dụng trong chế tạo liên kết ống chữ K 
là thép cacbon kết cấu và vật liệu sử dụng trong 
mô phỏng là thép S355J2G3, tương đương với 
vật liệu để chế tạo kết cấu ống chữ K. Thành 
phần hóa học của thép S355J2G3: C (0,18%), 
Mn (1,6%), Si (0,55%), S (0,035%), P (0,035%) 
và có nhiệt độ nóng chảy là 1500oC [2]. Vật liệu 
S355J2G3 có giới hạn chảy 355MPa, môđun đàn 
hồi E = 210 GPa (tại 20oC), hệ số Poisson là 0,33. 
Mô phỏng quá trình hàn, nhóm tác giả nghiên cứu 
sự biến thiên nhiệt độ từ 20oC đến trạng thái nhiệt 
độ nóng chảy của vật liệu (1500oC).
Kích thước của liên kết nút chữ K được thiết kế 
theo tiêu chuẩn của AISC [7]. Các thông số của 
liên kết ống chữ K được mô tả trong bảng 2.
Hình 2. Liên kết hàn ống chữ K
44
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018
Bảng 2. Thông số của liên kết ống chữ K [7]
Thông 
số
Mô tả Đơn 
vị
Giá trị
D Đường kính ngoài ống chính
mm 219
t Chiều dày ống chính mm 12,7
Dbtens, 
Dbcomp
Đường kính ống nhánh mm 102
tb Chiều dày ống nhánh mm 6
θ Góc giữa ống nhánh và chính
o 50
g Khe hở giữa ống nhánh mm 50
D/t Tỷ số đường kính ống chính với chiều dày - 17,24
Db/tb
Tỷ số đường kính ống 
nhánh với chiều dày - 17
Db/D
Tỷ số đường kính ống 
nhánh với ống chính - 0,47
2.3. Rời rạc hóa mô hình
Để mô phỏng chính xác, ta phải mô tả trên mô 
hình FEM đúng như quá trình hàn diễn ra trong 
thực tế, bao gồm: quỹ đạo đường hàn, đường dẫn 
đầu hàn, điểm bắt đầu và điểm kết thúc đường 
hàn. Với chiều dày ống nhánh là 8 mm, có vát 
mép tiến hành hàn 2 lớp với 3 đường hàn như 
hình 3.
Hình 3. Bố trí các lớp hàn
Liên kết hàn ống chữ K được rời rạc hóa với 
145.126 phần tử (elements) và 115.495 nút 
(nodes). Trong đó, số phần tử solid (hexa, penta, 
tetra) sử dụng trong mô hình là 94.288 (hình 4).
Hình 4. Mô hình lưới (3D) liên kết ống chữ K
Để tăng mức độ chính xác khi mô phỏng, lưới 
được chia mau ở mối hàn và vùng lân cận mối 
hàn (vùng HAZ), các vùng còn lại khoảng cách 
giữa các nút thưa dần để giảm thời gian tính toán 
cũng như số lượng phần tử, số lượng nút của mô 
hình (hình 5). 
Hình 5. Kiểu lưới và vùng chia lưới
2.4. Trình tự hàn 
Với kết cấu ống chữ K như thiết kế, trình tự thực 
hiện các đường hàn, lớp hàn được bố trí như hình 
3. Như vậy, để hàn hoàn thành liên kết này sẽ 
phải thực hiện tất cả 12 đường hàn ngắn (một 
nửa ống). 
Hình 6. Trình tự thực hiện các đường hàn trong 
một lớp hàn
Trong bài báo này, tác giả chọn điểm bắt đầu 
đường hàn từ phía góc hẹp và kết thúc ở phía góc 
rộng. Thứ tự hàn các đường hàn lần lượt là I, II, III, 
IV như hình 6. Các lớp hàn (đường hàn) sau cũng 
áp dụng trình tự và thứ tự hàn như trên. Điểm bắt 
đầu và kết thúc các đường hàn so le nhau một 
khoảng sao cho chúng không trùng nhau.
2.5. Hiệu chỉnh mô hình nguồn nhiệt
Đây là bước rất quan trọng vì dựa vào hình ảnh 
mặt cắt ngang của liên kết hàn so sánh với trường 
nhiệt độ khi mô phỏng để hiệu chỉnh một vài thông 
số chế độ hàn (năng lượng đường, góc nghiêng 
mỏ hàn, các thông số af, ar, b và c) cho phù hợp 
với chiều sâu ngấu cũng như chiều rộng vùng 
HAZ của liên kết hàn.
LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018 45
Bảng 3. Chế độ hàn thực nghiệm liên kết ống chữ K
Lớp hàn/
Đường hàn
Ih
(A)
Uh
(V)
Vh 
(mm/s)
Dd 
(mm)
Năng 
lượng 
đường 
(J/mm)
Lớp hàn 1 
(1, 2) 150 25 5 1,0 720
Lớp hàn 2 
(3, 4) 170 26 5 1,0 880
Lớp hàn 2 
(5, 6) 170 26 5 1,0 880
trong đó: Vh: vận tốc hàn (mm/s); Dd: đường kính 
dây hàn (mm).
Bảng 4. Thông số mô phỏng liên kết ống chữ K
Lớp hàn/ 
Đường hàn
Năng lượng 
đường (J/mm)
Vận tốc hàn 
(mm/s)
Lớp hàn 1 (1, 2) 720 5
Lớp hàn 2 (3, 4) 880 5
Lớp hàn 2 (5, 6) 880 5
Hình 7. Hiệu chỉnh mô hình nguồn nhiệt
Phân tích hình 7 thấy rằng, với thông số mô phỏng 
như bảng 4 cho kết quả của chiều sâu ngấu giữa 
mô phỏng và thực nghiệm gần giống nhau và 
hoàn toàn có thể chấp nhận được. Như vậy, có 
thể sử dụng chế độ nhiệt này để mô phỏng cơ 
nhiệt của toàn bộ quá trình hàn.
2.6. Tạo lớp vỏ trao đổi nhiệt
Trong SYSWELD, người ta sử dụng phần tử 2D 
(2D element) cho điều kiện biên nhiệt độ. Đó chính 
là lớp vỏ trao đổi nhiệt (hình 8). Nó được tạo từ 
mô hình 3D của liên kết, và được thực hiện trên 
phần mềm VisualMesh. Việc tạo lớp vỏ (skin) này 
liên quan đến sự trao đổi và bức xạ nhiệt với môi 
trường xung quanh trong quá trình hàn. Mục đích 
là quá trình mô phỏng được diễn ra với các điều 
kiện gần giống thực nghiệm.
Hình 8. Mô hình vỏ trao đổi nhiệt (2D)
2.7. Điều kiện gá kẹp
Liên kết ống chữ K được ngàm như hình 9, trong 
đó ống chính được ngàm chặt hai đầu theo cả ba 
phương (x,y,z) và hai ống nhánh chỉ bị ngàm theo 
phương z. Mỗi đầu ống chỉ ngàm bốn điểm đối 
xứng nhau đi qua tâm. Thời gian ngàm được duy 
trì trong suốt quá trình mô phỏng (4500 s).
Hình 9. Vị trí ngàm liên kết ống chữ K
2.8. Tính toán và mô phỏng
Để có kết quả mô phỏng chính xác, cần thiết phải 
mô tả trên mô hình FEM các thông số chế độ đúng 
như quá trình hàn diễn ra trong thực tế, bao gồm: 
quỹ đạo đường hàn, đường dẫn đầu hàn, điểm 
bắt đầu và điểm kết thúc đường hàn (hình 10). 
Quá trình thiết lập này được thực hiện trên phần 
mềm Visual Weld.
Hình 10. Quỹ đạo đường hàn, đường dẫn
Quỹ đạo đường hàn được thiết lập (bắt buộc) để 
có thể điều chỉnh nguồn nhiệt theo phương x,y,z. 
Nguồn nhiệt di chuyển theo quỹ đạo của đường 
dẫn và mặt cắt ngang của nguồn nhiệt thuộc mặt 
phẳng chứa đường hàn và đường dẫn.
3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 
Sau khi mô hình hóa mô hình liên kết hàn, tiến 
hành khai báo thuộc tính vật liệu, công suất nguồn 
nhiệt và thiết lập các điều kiện tính toán như đã 
46
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018
mô tả ở trên. Giải bài toán trên sẽ thu được kết 
quả sau:
3.1. Trường nhiệt độ
Khi nguồn nhiệt hàn di chuyển dọc theo đường 
hàn trong liên kết sẽ xuất hiện một trường phân 
bố nhiệt độ tức thời và ứng suất nhiệt. Trên hình 
11a biểu diễn sự phân bố nhiệt độ của bể hàn và 
vùng HAZ khi hàn đường thứ nhất. Hình 11b là 
kết quả phân bố nhiệt độ của bể hàn và vùng HAZ 
khi hàn đường thứ nhất và thứ hai. Hình 11c là kết 
quả phân bố nhiệt độ bể hàn và vùng HAZ khi hàn 
đường hàn ba với thông số chế độ nhiệt như đã 
nêu ở bảng 4.
Hình 11. Hình dạng kích thước bể hàn
a) Đường hàn 1; b) Đường hàn 2; c) Đường hàn 3
Hình 11 mô tả hình dạng kích thước bể hàn và 
đường bao đẳng nhiệt của từng đường hàn. Ở 
phần này, tác giả sử dụng kỹ thuật tiêu diệt và 
tái sinh phần tử (Element death and born) của 
SYSWELD để thể hiện kích thước bể hàn và 
đường bao đẳng nhiệt một cách đầy đủ nhất.
Hình 12. Đồ thị nhiệt độ tại nút 1449
Trên hình 12 là nhiệt độ tại nút 1449 thuộc vùng 
HAZ trên ống chính. Dựa trên đồ thị mô phỏng xác 
định thời gian nguội từ 800oC xuống 500oC, cho 
giá trị ∆t8/5 ≈ 2,8 s và theo tính toán ở trên ∆t8/5 ≈ 
2,23 s. Như vậy, tốc độ nguội giữa tính toán và mô 
phỏng đều nằm trong phạm vi cho phép với hàn 
GMAW là 2÷50 s [3].
3.2. Chu trình nhiệt
Trên hình 13 là sự phân bố nhiệt độ tại nút 341 
thuộc đường hàn 1 của liên kết hàn ống chữ K với 
công suất nhiệt hữu ích và tốc độ hàn tương ứng. 
Phân tích thấy rằng, tại giây thứ 33,1946, nhiệt 
độ là 2125,14oC là thời điểm bể hàn nóng chảy 
đi qua. Sau khoảng 317 s, nhiệt độ của cả liên 
kết giảm xuống 38oC, lúc đó ta mới tiến hành hàn 
đường tiếp theo.
Tại giây thứ 1435,65, nhiệt độ tại nút này là 
685,3oC, nguyên nhân tăng là do hàn đường thứ 
hai. Tuy nhiên, đường hàn thứ hai nằm bên dưới 
nút này, do đó tại thời điểm này nút 341 chịu tác 
động nhiệt giống như vùng HAZ.
Tại giây thứ 3181,56, nhiệt độ tại nút này là 
1785,97oC vượt qua nhiệt độ nóng chảy của vật 
liệu. Nguyên nhân là bể hàn nóng chảy của đường 
hàn thứ ba tại thời điểm đó đi qua nút này và làm 
nóng chảy một phần đường hàn 1.
Phân tích thấy rằng, đường hàn 1 chịu ảnh hưởng 
nhiệt do hai đường hàn sau gây ra. Đây cũng là 
nguyên nhân ảnh hưởng trực tiếp đến cơ tính, 
quá trình luyện kim và cấu trúc kim loại của mối 
hàn lót.
Hình 13. Chu trình nhiệt tại nút 341
LIÊN NGÀNH ĐIỆN - ĐIỆN TỬ - TỰ ĐỘNG HÓA
Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 4(63).2018 47
Phân tích hình 7 và hình 11 ta thấy với công suất 
nguồn nhiệt như đã chọn liên kết hàn không bị 
cháy thủng hay chưa ngấu.
Hình 14 mô tả sự biến thiên nhiệt độ của nút 
48128 vùng HAZ và nút 51720 không thuộc vùng 
HAZ nằm trên ống chính. Phân tích thấy rằng nút 
48128 gần tâm nguồn nhiệt khi hàn đường hàn 
3 (xem hình 3) nên có nhiệt độ cao hơn (550oC), 
nút 51720 xa nguồn nhiệt nên có nhiệt độ thấp 
hơn (90oC). Như vậy, nút 48128 và 51720 chịu tác 
động nhiệt của tất cả các đường hàn. Tuy nhiên, 
nhiệt độ đỉnh của nút 48128 khi đường hàn 1 và 
3 chỉ vào khoảng 200oC và hầu như không ảnh 
hưởng gì tới cơ tính cũng như tổ chức tế vi.
Hình 14. Chu trình nhiệt tại nút 48128 và 51720
Hình 15. Chu trình nhiệt của các nút theo chiều 
dày thành ống chính
Hình 15 mô tả sự phân bố nhiệt theo chiều dày 
thành ống chính của liên kết hàn nút giàn dạng 
ống chữ K. Phân tích đồ thị thấy rằng, nhiệt độ 
giảm dần theo chiều dày thành ống từ trên bề mặt 
xuống dưới.
Hình 16. Bể hàn và đường đẳng nhiệt khi hàn
Hình 16 mô tả hình dáng, kích thước bể hàn và 
các đường bao đẳng nhiệt khi hàn đường hàn thứ 
ba đối với liên kết hàn nút giàn dạng ống chữ K. 
Nhiệt độ lớn nhất tại nút 67981 là 3039oC.
4. KẾT LUẬN
Trong bài báo này, nhóm tác giả sử dụng phần 
mềm SYSWELD mô phỏng được trường nhiệt độ 
cho liên kết ống chữ K hàn nhiều đường nhiều lớp 
(hai lớp, ba đường) bằng quá trình hàn GMAW. 
Dựa vào kết quả mô phỏng trường nhiệt độ liên 
kết ống chữ K, nhóm tác giả rút ra được một số 
kết luận như sau:
- Có thể thay đổi thông số chế độ hàn để tìm ra bộ 
thông số phù hợp khi hàn liên kết nút giàn dạng 
ống chữ K;
- Mô hình hóa bể hàn nóng chảy và sự phân bố 
nhiệt độ trong quá trình hàn;
- Phân tích đầy đủ cơ sở dữ liệu về sự phân bố 
nhiệt độ trên ống chính và ống nhánh. Đây là 
cơ sở quan trọng và là dữ liệu cho quá trình mô 
phỏng ứng suất – biến dạng sau này.
Với sự hỗ trợ của phần mềm SYSWELD, nhóm 
tác giả đã mô phỏng và phân tích sự biến thiên 
nhiệt độ tại một thời điểm bất kỳ trong liên kết ống 
chữ K. Quá trình mô phỏng cho phép nhận được 
kết quả nhanh, chính xác, hướng đến tối ưu hóa 
các thông số chế độ hàn nhằm kiểm soát tốt chất 
lượng mối hàn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Tiến Dương (2008). Mô phỏng quá trình 
truyền nhiệt khi hàn. Hà Nội, năm 2008.
[2]. Trần Văn Địch (2004). Sổ tay thép thế giới. NXB 
Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[3]. Nguyen, N.T., Ohta, A., Matsuoka, K., Suzuki, 
N., and Maeda, Y. (1999). Analytical solutions 
for transient temperature of semi-infinite body 
subjected to 3-D moving heat sources. Welding 
Journal Research Supplement, August, 265-274.
[4]. Zienkiewicz, O.C (1977). The Finite Element 
Method. McGraw-Hill Company, London.
[5]. ESI Group. 99 Rue Des, Solets Silic 112 94513.
Rungis Cedex FRANCE.
[6]. J. Goldak, M. Bibby, J. Moore and B. Patel (1996).
Computer Modling of Heat Flow in Welds.
[7]. Jeffrey Packer (2010). Steel Design Guide (AISC).