Mô hình hoá và điều khiển tối ưu cho hệ xe hai bánh tự cân bằng

22 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
MÔ HÌNH HOÁ VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 
CHO HỆ XE HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG 
MODELLING AND OPTIMAL CONTROL 
 FOR TWO-WHEELED SELF-BALANCING ROBOT 
Nguyễn Minh Tâm, Nguyễn Văn Đông Hải, Nguyễn Phong Lưu, Lê Văn Tuấn 
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
Ngày tòa soạn nhận bài 01/3/2016, ngày phản biện đánh giá 16/6/2016, ngày chấp nhận đăng 15/8/2016 
TÓM TẮT 
Hệ xe hai bánh tự cân bằng là một hệ thống được áp dụng nhiều trong các thí nghiệm 
điều khiển tự động. Đây là một hệ thống MIMO (multi-input and multi-output) mang tính lý 
thuyết và thực tiễn cao, đã được áp dụng trong cuộc sống. Tuy nhiên, đa phần các nghiên cứu 
chỉ xoay quanh việc điều khiển cân bằng dùng các giải thuật tìm kiếm thử sai hoặc phương 
trình toán học đơn giản. Các nghiên cứu chi tiết về phương trình toán học hệ thống và giải 
thuật ứng dụng chính trên sự hiểu biết mô hình là không nhiều. Bài báo phân tích phương 
trình toán học của một hệ xe hai bánh tự cân bằng. Qua đó, tác giả áp dụng thành công giải 
thuật điều khiển tối ưu cho hệ trên. Giải thuật điều khiển tối ưu được thử nghiệm với các 
trường hợp di chuyển khác nhau của xe. Kết quả điều khiển là tốt trên cả mô phỏng 
Matlab/Simulink và thực nghiệm. 
Từ khóa: xe hai bánh tự cân bằng; điều khiển tối ưu; LQR; Matlab/Simulink; MIMO; thực 
nghiệm. 
ABSTRACT 
Two-wheeled Self-balancing Cart is a popular model in automatic experiments. This is a 
MIMO system (multi-input and multi-output) which is theoretical, practical and has been 
applied in normal life. Anyway, most research just focuses on balancing this model through 
try-on experiments or simple form of mathematical model. There are still so few research 
works focusing on modelling algorithm and designing a mathematical model-based controller 
for this system. This paper developed all mathematical equations of the system. Then, the 
authors successfully applied optimal control for this system. Optimal controller was tested 
with different cases of cart motion. Controlling results was proved to work well through both 
experiments and simulation on Matlab/Simulink. 
Keywords: Two-wheeled Self-balancing Robot/Cart; optimal control; LQR; Matlab/Simulink; 
MIMO; experiment. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hệ xe hai bánh tự cân bằng là một đối 
tượng quen thuộc trong các bài toán lý thuyết 
điều khiển. Thế nhưng, phần lớn các nghiên 
cứu chỉ dựa trên phương trình toán học dạng 
đơn giản với ngõ vào hệ thống là momen 
bánh trái hoặc momen bánh phải và chỉ hoàn 
thành trên mô phỏng[1], [2], [3] trong khi mô 
hình thực tế thì ngõ vào là điện áp cấp cho 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
23 
động cơ bánh trái hoặc bánh phải (phương 
trình toán học hệ thống phức tạp hơn). Nhiều 
nghiên cứu lại áp dụng các giải thuật điều 
khiển thử sai (PID, FUZZY,), không dựa 
trên mô hình toán học của hệ thống nên tính 
ổn định của hệ thống không được đảm bảo 
nhờ toán học [4], [5], [6]. Do đó, việc thiết 
lập một mô hình toán học chi tiết với ngõ vào 
điều khiển điện áp là cần thiết. Và khi 
phương trình toán học chi tiết đã được thành 
lập, một giải thuật điều khiển tối ưu (LQR) 
được thiết kế để điều khiển hệ thống. Việc ổn 
định của hệ thống được đảm bảo nhờ phương 
trình Riccati. Nhờ đó, bộ điều khiển tối ưu ổn 
định được hệ thống trên mô phỏng cũng đảm 
bảo việc áp dụng được trên thực tế. 
Các mục tiếp theo của bài báo được trình 
bày như sau: Mục II sẽ đề cập cách thức mô 
hình hóa đối tượng hệ xe hai bánh tự cân 
bằng. Tiếp đó, mục III, sẽ trình bày giải thuật 
điều khiển tối ưu áp dụng cho hệ xe này. Sau 
đó, mục IV và V lần lượt trình bày các kết 
quả điều khiển trên mô phỏng và thực 
nghiệm. Cuối cùng, mục VI đưa ra kết luận 
về điều khiển LQR cho hệ thống trên. 
2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC 
Sơ đồ và hệ quy chiếu hệ xe hai bánh tự 
cân bằng được thể hiện như ở hình 1, 2, 3 ở 
dưới: 
Hình 1. Hình ảnh mô tả hệ 
xe hai bánh tự cân bằng 
Hình 2. Hệ xe hai bánh tự 
cân bằng nhìn nghiêng 
Hình 3. Hệ xe hai bánh tự cân 
bằng nhìn từ trên xuống 
Trong đó, các thành phần của hệ được liệt kê ở bảng 1: 
Bảng 1. Ký hiệu và ý nghĩa của các đại lượng 
Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa 
m kg Khối lượng của bánh xe 
M kg Khối lượng của robot 
R m Bán kính bánh xe 
W m Chiều rộng của robot 
D m Chiều ngang của robot 
H m Chiều cao của robot 
L m 
Khoảng cách từ trọng tâm 
robot đến trục bánh xe 
w
f 
Hệ số ma sát giữa bánh xe 
và mặt phẳng di chuyển 
Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa 
m
f 
Hệ số ma sát giữa robot và 
động cơ DC 
m
J 2k g m 
Moment quán tính động 
cơ DC 
m
R  Điện trở động cơ DC 
b
K V s ra d Hệ số EMF của động cơ DC 
t
K N m A 
Moment xoắn của động cơ 
DC 
N Tỉ số giảm tốc 
G 2
m
s
 Gia tốc trọng trường 
24 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa 
 ra d 
Góc trung bình của bánh 
trái và phải 
,l r
 ra d Góc của bánh trái và phải 
 ra d 
Góc nghiêng của phần 
thân robot 
 ra d Góc xoay của robot 
l
x ,
l
y ,
l
z m Tọa độ bánh trái 
r
x ,
r
y ,
r
z m Tọa độ bánh phải 
Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa 
m
x ,
m
y ,
m
z m Tọa độ trung bình 
F

, 
F

, F

N m 
Moment phát động theo 
các phương khác nhau 
,l r
F N m 
Moment phát động của 
động cơ bánh trái, phải 
l
i , 
r
i A 
Dòng điện động cơ bánh 
trái, phải 
l
v , 
r
v V 
Điện áp động cơ bánh trái, 
phải 
Ta sử dụng phương pháp 
Euler-Lagrange để xây dựng mô hình động 
học. Giả sử tại thời điểm t = 0, robot di 
chuyển theo chiều dương trục x, ta có góc 
tịnh tiến trung bình của hai bánh xe và góc 
xoay của robot được xác định như sau: 
1
2
l r
l r
R
W
 


 
 (1) 
Trong đó tọa độ trung bình của Robot 
trong hệ qui chiếu: 
m
m
m m
m
x
x
y y
z R
 (2) 
Và 
c o s
s in
m
m
x R
y R
 
 
 (3) 
Tọa độ bánh trái trong hệ qui chiếu: 
s in
2
c o s
m
l
l m
l
m
W
x
x
W
y y
W
z
z


 (4) 
Tọa độ bánh phải trong hệ qui chiếu: 
s in
2
c o s
m
r
r m
r
m
W
x
x
W
y y
W
z
z


 (5) 
Tọa độ tâm đối xứng giữa hai động cơ 
trong hệ qui chiếu: 
s in co s
s in co s
co s
b m
b m
b m
x x L
y y L
z z L
 
 

 (6) 
Phương trình động năng của chuyển 
động tịnh tiến: 
2 2 2
1
2 2 2
2 2 2
1
2
1
2
1
2
l l l
r r r
b b b
T m x y z
m x y z
m x y z
 (7) 
Phương trình động năng của chuyển 
động quay: 
2 2 2
2
2
2 2
2
2
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
1
2
w l w r w
m l
m r
T J J J
J n J
n J

  
  
 
 (8) 
Với 
2
21
2
m l
n J   ; 
2
21
2
m r
n J   (9) 
là động năng quay của phần ứng động cơ trái 
và phải. 
Phương trình thế năng: 
l r b
U m g z m g z m g z (10) 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
25 
Phương trình Lagrange: 
1 2
L T T U (11) 
d L L
F
d t

 
  
  
 (12) 
d L L
F
d t

 
  
  
 (13) 
d L L
F
d t

 
  
  
 (14) 
Lấy đạo hàm L theo các biến ta được: 
2
2
2
2
2
2 2
c o s 2
s in
w m
m
m M R
J n J
M L R n J
M L R F


 
 
 (15) 
2
2 2
2 2
2 2m m
M L JM L R c o s
n J n J
M g L s in M L s in c o s F



 
   
 (16) 
2
2
2 2
2
2 2
2
1
2
2
2 
w m
m W J
W
J n J
R
M L s in
M L s in c o s F




   
 (17) 
Momen động lực do động cơ DC sinh ra: 
l r
l r
F F F
F F
F W
F F
R

 

 (18) 
Và: 
 l t l m l w lF n K i f f   (19) 
 r t r m r w rF n K i f f   (20) 
t l t r m l
m r
F n K i n K i f
f

 
 
 (21) 
Sử dụng phương pháp PWM để điều 
khiển động cơ nên chuyển từ dòng điện sang 
điện áp động cơ: 
 , , , ,m l r l r b l r m l rL i v K R i  (22) 
Xem điện cảm phần ứng tương đối nhỏ 
(gần bằng 0), có thể bỏ qua, suy ra: 
 , ,
,
l r b l r
l r
m
v K
i
R
  
 (23) 
Từ đó, các moment lực sinh ra: 
 2 2l r wF v v f    (24) 
 2 2l rF v v    (25) 
Với t
m
n K
R
 và t b
m
m
n K K
f
R
 (26) 
2
2
( )
2 2
r l w
W W
F v v f
R R

   (27) 
Thu được phương trình động lực học 
mô tả chuyển động của robot như sau: 
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
w m
m
l r
w
m M R J n J
M L R c o s n J
M L R s in v v
f

 
  
   
 (28) 
2
2 2
2 2
c o s
2 2
s in s in c o s
2 2
m m
l r
M L JM L R
n J n J
M g L M L
v v


 
   
    
 (29) 
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1
2
2
s in
2 s in c o s
2 2
w m
r l w
m W J
W
J n J
R
M L
M L
W W
v v f
R R



   
  
 (30) 
26 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
3. ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 
Từ (28), (29), (30), ta có hệ phương 
trình mô tả hệ thống xe hai bánh cân bằng có 
dạng sau: 
1 2
2 1 1 2 3 4 5 6
3 4
4 4 1 2 3 4 5 6
5 6
6 6 1 2 3 4 5 6
, , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , , ,
l r
l r
l r
x x
x f x x x x x x v v
x x
x f x x x x x x v v
x x
x f x x x x x x v v
 (31) 
Với: 
 1 2 3 4 5 6
T
T
x x x x x x x
     
 (32) 
Nếu chọn điểm làm việc là: 
 0 0 0 0 0 0 0
T
x ;  0 0 0
T
u (33) 
Ta có thể tuyến tính hoá hệ thống (31) 
về dạng: 
x Ax Bu (34) 
Với:
l
r
v
u
v
;
00
00
00
00
00
00
2 2
4 4
6 6
0 0
0 0
0 0
x xx xl r
u uu u
x xx xl r
u uu u
x xx xl r
u uu u
f f
v v
f fB
v v
f f
v v
  
  
   
  
  
  
 ;
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
4 4 4 4 4 4
1 2 3 4 5 6
6
1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
x x x x x xx x x x x x
u u u u u uu u u u u u
x x x x x xx x x x x x
u u u u u uu u u u u u
x x
u
f f f f f f
x x x x x x
f f f f f fA
x x x x x x
f
x
     
     
      
     


0 00 0 0
0 0 00 0 0
6 6 6 6 6
2 3 4 5 5x x x xx x x x x x
u u u u uu u u u u u
f f f f f
x x x x x 
     
     
 (35)
Lúc này, ta có các ma trận trọng số như sau: 
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
and 
1
2
0
0
R
R
R
Với các thông số 
1
Q , 
2
Q , 
5
Q , 
6
Q , 
R1 và R2 để tinh chỉnh cho bộ điều khiển 
LQR. Trong đó, thông
1
Q , 
2
Q , 
3
Q , 
4
Q , 
5
Q , 
6
Q lần lượt là các trọng số tối ưu tương ứng 
cho các giá trị ,  ,  ,  ,  ,  , tín hiệu 
điều khiển cho góc tiến tới và tín hiệu điều 
khiển cho góc xoay. Nếu muốn biến trạng thái 
nào được ưu tiên trong việc điều khiển thì ta 
cho thông số trọng số tương ứng đó lớn hơn 
tương đối so với các thông số trọng số khác. 
Sau khi chọn được thông số điều khiển 
tương ứng, ta tiến hành xây dựng thông số 
hồi tiếp K với tín hiệu điều khiển u= - K*x 
Thông số K được tính dựa vào phương 
trình Riccati. Tuy nhiên, Matlab đã hỗ trợ ta 
hàm lqr() để tính ra thông số K khi đã biết 
ma trận A, B, Q, R. 
Hình 4. Sơ đồ chi tiết bộ điều khiển LQR cho 
hệ xe hai bánh tự cân bằng 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
27 
4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 
Thông số mô hình được chọn như sau: 
1m ; 5M ; 0.0725R ; 0.24W ; 
0.2D ; 0 .5H ; 0.18L ; 0 .1 8
w
f ; 
0 .0 0 2
m
f ; 0 .0 1
m
J ; 22 3J M L

 ; 
2 2
1 2J M W D

 ; 5 0
m
R ; 0 .4 6 8
b
K ; 
0 .3 1 7
t
K ; 40n ; 9 .8 1g ; 0.01T 
Ma trận trọng số LQR được chọn như sau: 
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Q
 ; 1 0
0 1
R
Lúc này, ta được ma trận K theo lệnh 
K=lqr(A,B,Q,R) 
0 .7 2 3 6 .3 6 0 6 6 1 3 9 0 .9 0 .7 1 0 .4
0 .7 2 3 6 .3 6 0 6 6 1 3 9 0 .9 0 .7 1 0 .4
K
4.1. Giá trị đặt bằng 0 
Hình 5. Góc bánh xe  (rad) 
Hình 6. Góc nghiêng  (rad) 
Hình 7. Góc xoay  (rad) 
4.2. Giá trị đặt khác 0 
Chọn là  đặt = (rad),  đặt = 2 (rad) (xe tiến tới 1 đoạn bằng chiều quay của một vòng 
hai bánh xe và quay 1 góc 90 độ quanh trục của xe) 
Hình 8. Góc bánh xe  (rad) 
Hình 9. Góc nghiêng  (rad) 
Hình 10. Góc xoay  (rad) 
4.3. Nhận xét 
Như kết quả mô phỏng ở các hình 5-9, ta 
thấy trạng thái xe luôn bám sát tín hiệu đặt, 
bộ điều khiển LQR đáp ứng tốt. Điều này 
chứng tỏ xe có thể đi tới, lui, quẹo phải, trái 
tùy giá trị đặt. Thời gian quá độ còn dài và có 
thể được cải thiện thông qua việc chọn ma 
trận trong số phù hợp. 
5. KẾT QUẢ THỰC TẾ 
Mô hình thực nghiệm được thể hiện ở 
hình 11 như sau: 
Hình 11. Mô hình phần cứng thực nghiệm 
1. Nguồn Pin; 2. Mạch cầu H; 3. Vi điều khiển DSP; 
4. Cảm biến MPU 6050; 5. Bánh xe mô hình 
28 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
Hình 12. Sơ đồ kết nối phần cứng 
Trong khuôn khổ điều khiển LQR, ta chọn 
các ma trận như sau: 
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 .1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
Q
; 2 0 0
0 2 0
R
Như vậy, với thông số hệ thống thực tế, ta 
tính toán ra: 
0 .7 2 3 6 .3 6 0 6 6 1 3 9 0 .9 0 .7 1 0 .4
0 .7 2 3 6 .3 6 0 6 6 1 3 9 0 .9 0 .7 1 0 .4
K
5.1. Điều khiển đứng yên tại vị trí cân bằng 
Hình 13. Giá trị góc tới  (độ) 
Hình 14. Giá trị góc nghiệng  (độ) 
Hình 15. Giá trị góc xoay  (độ) 
5.2. Điều khiển với vị trí đặt khác 0 
Thí nghiệm 1: Điều khiển quẹo trái 
Hình 16. Giá trị góc tới  (độ) 
Hình 17. Giá trị góc nghiên  (độ) 
Hình 18. Giá trị góc xoay  (độ) 
Thí nghiệm 2: Điều khiển quẹo phải 
Hình 19. Giá trị góc tới  (độ) 
Hình 20. Giá trị góc nghiên  (độ) 
Hình 21. Giá trị góc xoay  (độ) 
Thí nghiệm 3: Điều khiển đi lùi 
Hình 22. Giá trị góc tới  (độ) 
Hình 23. Giá trị góc nghiệng  (độ) 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
29 
Hình 24. Giá trị góc xoay  (độ) 
Thí nghiệm 4: Điều khiển đi tới 
Hình 25. Giá trị góc tới  (độ) 
Hình 26. Giá trị góc nghiên  (độ) 
Hình 27. Giá trị góc xoay  (độ) 
5.3. Nhận xét 
Qua các hình 16-27, ta nhận thấy hệ thống 
xe hai bánh cân bằng thực tế đã điều khiển 
được theo các trạng thái đi tới, đi lui, 
quẹo trái, quẹo phải để đạt các giá trị đặt cho 
trước. Tuy nhiên, biến trạng thái trong thực tế 
không bám hoàn toàn các giá trị đặt. Đó là vì 
tính chất thỏa hiệp trong điều khiển LQR- sự 
sai lệch trong một biến trạng thái được bù 
đắp bằng sự sai lệch của một biến trạng thái 
tương ứng khác nhưng đủ để đảm bảo tính 
hiệu điều khiển vẫn đúng giá trị thiết kế. Đây 
là một khuyết điểm của điều khiển LQR so 
với các giải thuật điều khiển phi tuyến khác. 
Tuy nhiên, một giải thuật điều khiển LQR là 
đơn giản rất nhiều và dễ thiết kế cho hệ 
MIMO phức tạp so với các giải thuật điều 
khiển phi tuyến khác vốn chỉ phù hợp với đa 
số các hệ thống SISO. 
6. KẾT LUẬN 
Bài báo đã tính toán mô hình hóa về 
phương trình toán học của một hệ xe hai bánh 
tự cân bằng với ngõ vào là điện áp để có thể áp 
dụng cho đối tượng trên cả mô phỏng và thực 
tế. Từ đó, dựa trên mô hình vừa tính toán ra 
của hệ thống, nhóm tác giả thiết kế giải thuật 
điều khiển tối ưu cho hệ thống trên. Kết quả 
điều khiển cho kết quả tốt ở cả mô phỏng và 
thực tế.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] A. N. K. Nasir, M. A. Ahmad, R. M. T. Raja Ismail, The Control of a Highly Nonlinear 
Two-wheeled Balancing Robot: A Comparative Assessment between LQR and PID-PID 
Control Schemes, International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, 
Mechatronic and Manufacturing Engineering, Vol. 4, No. 10, 2010. 
[2] Nguyen Ngoc Son, Ho Pham Huy Anh, Adaptive Backstepping Self-balancing Control 
of a Two-wheel Electric Scooter, International Journal of Advanced Robotic Systems, 
Vol. 11, No. 1, 2014. 
[3] Ming Yue, Wei Sun, Ping Hu, Sliding Mode Robust Control for Two-wheeled Mobile 
Robot with Lower Center of Gravity, International Journal of Innovative Computing, 
Information and Control, Vol. 7, No. 2, 2011. 
30 
Tạp Chí Khoa Học Giáo Dục Kỹ Thuật Số 37 (09/2016) 
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh 
[4] Samer Miasa, Mohammad Al-Mjali, Anas Al-Haj Ibrahim, and Tarek A. Ttunji, Fuzzy 
Control of a Two-Wheel Balancing Robot using DSPIC, 7th International 
Multi-Conference on Systems, Signals and Devices, 2010. 
[5] Unluturk, A, Aydogdu, O, Guner, U., Design and PID control of two wheeled 
autonomous balance robot, International Conference on Electronics, Computer and 
Computation (ICECCO), (IEEE), pp. 260-264, 2013. 
[6] Congying Qiu, Yibin Huang, The Design of Fuzzy Adaptive PID Controller of 
Two-Wheeled Self-Balancing Robot, International Journal of Information and 
Electronics Engineering, Vol. 5, No. 3, 2015. 
Tác giả chịu trách nhiệm bài viết 
ThS. Nguyễn Phong Lưu 
Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM 
Email: luunp@hcmute.edu.vn