Luật số lớn dạng hội tụ mosco cho mảng các biến ng u nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng

TAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 19 - Thaùng 2/2014 
82 
LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG 
CÁC BIẾN NG U NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG 
DƯƠNG XUÂN GIÁP(*) 
NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA(**) 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật số lớn dạng hội tụ osco cho mảng tam 
giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian 
Banach khả li. Kết quả của chúng tôi thu được không cần giả thiết kì vọng bị chặn và c n 
mở rộng một kết quả của Inoue và Taylor. 
Từ khoá: luật số lớn dạng hội tụ osco, biến ngẫu nhiên đa trị, không gian Banach 
khả li 
ABSTRACT 
In this paper, we establish the law of large numbers for triangular array of row-wise 
exchangeable random sets in a separable Banach space in the Mosco sense. The results 
are obtained without bounded expectation conditions and improve the results by Inoue and 
Taylor. 
Keywords: the law of large numbers in the Mosco sense, random sets, separable 
Banach space 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
Trong mấy thập kỉ gần đây, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị dẫn tới nhiều 
ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hoá và điều khiển, hình học ngẫu nhiên, 
toán kinh tế, thống kê, y học,... Năm 2006, H. Inoue và R. L. Taylor thiết lập luật số lớn 
dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng trên 
không gian Banach khả li [4, tr. 271]. Gần đây, trong bài báo [5], Nguyễn Văn Quảng và 
Dương Xuân Giáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác các biến 
ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Rademacher dạng 
. Đây là bài báo đầu tiên thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho 
mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. Tiếp nối hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã 
thiết lập được luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên 
hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên một không gian Banach khả li. Trong 
bài báo [5], luật số lớn được thiết lập dưới điều kiện kì vọng bị chặn, tuy nhiên trong bài 
báo này chúng ta không cần giả thiết này. Kết quả của chúng tôi còn mở rộng một kết quả 
của Inoue và Taylor. 
2. KIẾN THỨC CHUẨN B 
Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng là một không gian xác 
suất đầy đủ, là không gian Banach khả li thực và là không gian đối ngẫu của 
nó. 
Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach , là 
tập tất cả các số thực. Trên ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán 
được định nghĩa như sau: 
(*)
 ThS.NCS, Trường Đại học Vinh. 
(**)
 Học viên Cao học 19 Toán - Trường Đại học Vinh. 
83 
trong đó 
Ánh xạ được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập con mở U của 
 thì tập con 
thuộc . 
Phần tử ngẫu nhiên được gọi là một lát cắt -đo được (hay nói gọn là lát cắt 
đo được) của X nếu với mọi . 
-đại số Effros trên là -đại số sinh bởi các tập con 
với U là một tập con mở trên . Khi đó, một hàm đa trị là đo được khi và 
chỉ khi là -đo được, nghĩa là với mọi , ta có . 
Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị được gọi là hoán đổi được 
nếu 
với mọi và với mọi phép hoán vị của tập . 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị -đo được X, ta đặt 
Kì vọng của biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như sau 
 với là tích phân Bochner thông thường. 
Cho một -đại số con của -đại số và một biến ngẫu nhiên đa trị -đo được 
 (nghĩa là với mọi tập con mở của ). Với và 
 xác định trên , ta định nghĩa: 
Cho , chúng ta kí hiệu: là bao đóng (theo chuẩn), là bao đóng (theo 
tôpô yếu), là bao lồi, là bao lồi đóng của . 
Hàm khoảng cách , hàm tựa của tương ứng được định nghĩa như sau 
Chúng ta còn định nghĩa 
Cho là một tôpô trên và là một dãy nhận giá trị trên . Đặt: 
với là một dãy con của . Các tập con và tương ứng gọi 
là giới hạn dưới và giới hạn trên của , liên quan đến tôpô . 
Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng . 
Một dãy được gọi là hội tụ tới , theo dạng Kuratowski, tôpô , nếu hai đẳng 
thức sau đây được thỏa mãn 
84 
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết . Rõ ràng, điều này đúng khi và 
chỉ khi 
Chúng ta ký hiệu (tương ứng ) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương ứng, tôpô 
yếu) của . Một tập con được gọi là giới hạn dạng osco của dãy và được 
ký hiệu bởi nếu 
Điều này đúng khi và chỉ khi 
Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên bằng cách thay 
thế bởi và bởi , các phát biểu là đúng hầu chắc chắn (h.c.c.). 
3. KẾT QUẢ CHÍNH 
Cho biến ngẫu nhiên đa trị , ta kí hiệu là -đại số sinh bởi , nghĩa là 
-đại số bé nhất mà đo được. Để chứng minh kết quả chính, chúng ta cần bổ đề sau: 
Bổ đ .1. [6] Giả sử là một mảng tam giác các phần tử trên 
không gian Banach thỏa mãn: 
 , 
 tồn tại hằng số C sao cho , với mọi 
Khi đó, ta có khi . 
Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, nếu 
sử dụng kĩ thuật chứng minh như của H. Inoue và R. L. Taylor thì không thu được kết quả. 
Vì thế, chúng tôi phải sử dụng thêm Bổ đề 3.1 và đưa ra phương pháp mới để xây dựng 
mảng các lát cắt, cũng như đưa ra một số kĩ thuật biến đổi khác. 
Định lí .2. Cho là một mảng tam giác các biến ngẫu nhiên 
hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li. Giả sử 
rằng 
với mọi và là một hàm đo được. Khi đó, nếu tồn tại sao 
cho: 
+) Với mỗi , tồn tại mảng tam giác thỏa mãn điều kiện 
hoán đổi được theo hàng, và khi với mỗi và 
 với mọi . 
+) Với mỗi khi và với mọi , 
thì 
Chứng minh. Đặt . Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng 
 h.c.c. Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 3.1. Với mỗi 
85 
 và , theo Bổ đề 3.6[1], tồn tại (các phần tử 
 chỉ phụ thuộc vào và ) sao cho 
Từ điều kiện , tồn tại một mảng tam giác sao cho với mỗi 
, mảng hoán đổi được theo hàng và 
 khi , với mỗi và . 
Đặt với . Giả sử với . Khi 
đó, ta có 
Đặt , với và . Do mảng tam giác 
 hoán đổi được theo hàng nên 
 cũng là mảng các phần tử ngẫu nhiên hoán đổi được 
theo hàng. 
Từ , với mỗi , ta có khi , nghĩa là 
 khi Chúng ta có 
 (từ tính chất ) 
86 
 khi (theo bất đẳng thức hàm lồi). 
Từ đó, chúng ta có 
Điều này có nghĩa là 
Với mọi , ta có 
 (do là ánh xạ tuyến tính) 
 (theo định nghĩa phần tử ngẫu nhiên) 
 với mọi 
 khi (từ giả thiết ). 
Từ các khẳng định trên, chúng ta thấy rằng với mỗi , mảng tam giác 
 thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lí 1[8]. 
Áp dụng định lí này ta có 
 h.c.c. khi , với mỗi . 
Điều này tương đương với 
 h.c.c. 
Với mỗi chúng ta đặt 
Với mỗi , từ điều kiện hoán đổi được theo hàng và hội tụ 
theo trung bình bậc 2 theo cột tới khi nên chúng có kì vọng bị chặn. Do đó, 
chúng ta suy ra 
với mọi 
Từ , chúng ta suy ra khi , với mỗi (hội tụ theo kéo theo hội 
tụ theo ). Từ đó, ta có khi . 
Kết hợp điều này với , chúng ta nhận thấy rằng thỏa mãn 
tất cả các giả thiết của Bổ đề 3.1, với mỗi . Từ đó, áp dụng bổ đề này 
cho mảng chúng ta thu được 
 khi với mỗi 
Từ đó, ta suy ra 
87 
Từ , chúng ta có 
Tương tự, từ , chúng ta thu được 
Chúng ta có khi . Từ đó, kết hợp với , , và 
chúng ta có 
Điều này kéo theo Vì vậy 
Tiếp theo, giả sử là một dãy trù mật trên . Từ định lí về sự khả li, tồn tại dãy 
 thuộc với sao cho 
Khi đó, khi và chỉ khi với mọi . 
Từ là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo 
hàng, chúng ta suy ra là mảng tam giác các biến ngẫu 
nhiên hoán đổi được theo hàng, với mỗi . Đặt . 
Khi đó cũng là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi 
được theo hàng. 
Lập luận tương tự, chúng ta suy ra rằng mảng tam giác thỏa 
mãn đầy đủ các điều kiện của Định lí 1[8] cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị 
thực, với mỗi . Khi đó, áp dụng bổ đề này, chúng ta có 
 h.c.c. khi , với mọi 
Điều này có nghĩa là 
 h.c.c. khi , với mọi 
Hơn nữa, từ và , chúng ta có 
88 
 khi với mọi 
Từ đó, do tính hoán đổi được theo hàng của mảng tam giác các biến ngẫu nhiên 
, ta suy ra mảng tam giác này có kì vọng bị chặn. 
Áp dụng Bổ đề 3.1, ta có 
Từ đó, với mỗi , h.c.c. khi . Nghĩa là, tồn tại 
, sao cho với mọi khi 
. 
Với mỗi nếu thì khi , trong đó 
. 
Từ đó, chúng ta thu được 
Từ đó suy ra . Vì vậy, h.c.c. 
4. KẾT LUẬN 
Bài báo này đã thiết lập được luật số lớn dạng hội tụ Mosco đối với mảng tam giác các 
biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach 
khả li. Đây là sự tổng quát một kết quả của H. Inoue and R.L.Taylor (2006) đăng trên tạp 
chí Stochastic Analysis and Applications (SCIE). Để chứng minh được kết quả chính, các 
tác giả đã đưa ra được một số kĩ thuật mới mà có thể áp dụng được cho lớp khá rộng các 
bài toán liên quan. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Mosco convergence of strong law of 
large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, 
Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 4, pp. 615-636. 
2. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Various convergence results in 
strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal 
of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 1, pp. 1-20. 
3. Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory, Springer, New York, 1978. 
4. H. Inoue and R.L.Taylor (2006), Law of large numbers for exchangeable random sets 
in Kuratowski-Mosco sense, Stochastic Analisis and Applications, Volume 24, Issue 2, 
pp. 263-275. 
5. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular 
arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, pp. 
1117-1126. 
6. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), SLLN for double array of mixing dependence 
random sets and fuzzy random sets in a separable Banach space, Journal of Convex 
Analisis, Vol. 20, No. 4. 
89 
7. R. L. Taylor, P. Z. Daffer and R. F. Patterson (1985), Limit theorems for sums of 
exchangeable variables, Rowman $\&$ Allanheld Publishers, Totowa N.J. 
8. R. L. Taylor and R. F. Patterson (1985), Strong laws of large numbers for arrays of 
row-wise exchangeable random elements, Internat. J. Math. Math. Sci., Vol. 8, No. 
1, 135-144. 
Bài báo này được tài trợ bởi uỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia Vietnam 
(NAFOSTED). 
* Ngày nhận bài: 4/4/2013. Biên tập xong: 18/2/2014. Duyệt đăng: 24/2/2014.