Lập chương trình bằng ngôn ngữ pascal tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức simpson

50 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 6 (9/2016) tr 50 - 58 
LẬP CHƯƠNG TRÌNH BẰNG NGÔN NGỮ PASCAL TÍNH GẦN ĐÚNG 
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG CÔNG THỨC SIMPSON 
Đoàn Vĩnh Ngọc, Hoàng Hiến, Trương Quốc Huấn 
Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Sư phạm Điện Biên 
Tóm tắt: Phần lớn các tích phân xác định của một hàm số đều khó có thể tìm được giá trị đúng. Thay 
bằng việc tính giá trị đúng của một tích phân xác định, thì tin học có thể giúp ta tính được gần đúng tích phân 
xác định với một sai số (đủ nhỏ) nào đó. "Lập chương trình bằng ngôn ngữ Pascal tính gần đúng tích phân 
xác định bằng công thức Simpson" là một hướng dùng máy tính và ngôn ngữ lập trình để thay con người giải 
quyết bài toán về tích phân xác định một cách hữu hiệu nhất. 
Từ khóa: Tích phân, gần đúng, hàm số, lập trình, ngôn ngữ Pascal, công thức SIMPSON. 
1. Đặt vấn đề 
Như đã biết, nếu hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] và F ( x ) là một nguyên hàm của 
hàm số f ( x ) trên đoạn [a, b] thì ta có công thức Newton - Leibnitz như sau: 
b
b
a
a
f ( x )d x F ( x ) F ( b ) F (a ), trong đó F '( x ) f ( x ). 
Trong thực tế ta thường phải tính tích phân xác định của hàm số f ( x ) được cho bởi 
bảng giá trị, khi đó khái niệm nguyên hàm không có ý nghĩa. Mặt khác số lớp hàm f ( x ) mà 
ta có thể tính được nguyên hàm của nó là rất ít. Phần lớn các biểu thức giải tích của hàm số 
f ( x ) đã biết nhưng nguyên hàm F ( x ) của nó không thể biểu diễn được bằng hàm số sơ cấp. 
Trong trường hợp ấy không thể dùng công thức Newton - Leibnitz để tính được tích phân xác 
định. 
Với các hàm số không tính được nguyên hàm, hay việc tính nguyên hàm của nó gặp 
nhiều khó khăn, thì thay bằng việc tính chính xác tích phân xác định của hàm số, ta đi tính 
gần đúng tích phân xác định của hàm số đó. 
Để tính gần đúng tích phân xác định của một hàm số ta có thể dùng công thức hình 
thang hoặc công thức Simpson. Nhưng khi dùng công thức Simpson thì độ chính xác cao hơn 
hay sai số nhỏ hơn. Vậy "Lập chương trình bằng ngôn ngữ Pascal tính gần đúng tích phân 
xác định bằng công thức Simpson" không chỉ là cách tính gần đúng tích phân xác định với 
độ chính xác cao mà còn là cách dùng máy tính thay con người giải quyết dạng bài toán này. 
2. Nội dung 
2.1. Một số khái niệm cơ bản 
2.1.1. Định nghĩa tích phân 
Cho hàm số y f ( x ) xác định trên đoạn  a , b . Chia tùy ý đoạn này thành n phần bằng 
các điểm chia (và gọi là một phân hoạch): 
0 1 i i 1 n 1 n
a x x ... x x ... . x x b .
Ngày nhận bài: 5/7/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 
Liên lạc: Đoàn Vĩnh Ngọc, e - mail: doanvinhngocdb@gmail.com 
51 
Ta ký hiệu 
i
x (i 0, n 1) vừa là đoạn 
i i 1
[x , x ]
 vừa là độ dài của đoạn thẳng đó. Trên 
mỗi đoạn 
i
x , ta lấy tùy ý một điểm 
i
 rồi lập tổng (gọi là tổng tích phân): 
n 1
i i
i 0
f ( ) x .
   
Rõ ràng tổng này phụ thuộc vào phép chia đoạn [a , b ] và cách chọn điểm 
i
 . Độ dài lớn 
nhất của các đoạn 
i
x (i 0, n 1) (ký hiệu là  ) được gọi là đường kính của phân hoạch. Để 
cho độ dài của tất cả các đoạn 
i
x tiến tới 0 chỉ cần 0 . 
Khi đó giới hạn của tổng tích phân khi 0 : 
0
I lim
 
  
có nghĩa là: 
Với mọi 0 tìm được 0 sao cho chỉ cần   (tức là mọi phân hoạch có đường 
kính nhỏ hơn  ), bất đẳng thức I  được thỏa mãn với bất kỳ cách chọn các điểm 
i
. 
Định nghĩa: 
Giới hạn I của tổng tích phân  khi 0 , nếu có, được gọi là tích phân xác định - 
hoặc tích phân Riemann - của hàm số f ( x ) trên đoạn [a , b ] và ký hiệu: 
b n 1
i i
0
i 0a
I f ( x )d x lim f ( ) x .
 
   
Khi đó ta nói hàm số f ( x ) khả tích trên đoạn [a , b ] , a và b tương ứng là cận dưới và cận 
trên của tích phân [3, 190]. 
2.1.2. Sai số 
2.1.2.1. Số xấp xỉ 
Định nghĩa: Ta gọi a gọi là số xấp xỉ của số đúng A, ký hiệu a A , nếu a khác A 
không đáng kể và được dùng thay cho A trong tính toán. 
Nếu aA thì a gọi là xấp xỉ thừa của A [1, 5]. 
2.1.2.2. Sai số tuyệt đối 
Định nghĩa: Hiệu a A a (hoặc a a A ) gọi là sai số của số xấp xỉ a. Trị tuyệt 
đối a A a gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a [1, 6]. 
Định nghĩa: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt 
đối của số xấp xỉ a [1, 6]. 
2.1.2.2. Sai số tương đối 
Định nghĩa: Sai số tương đối của số xấp xỉ a, ký hiệu  , là: 
A a
A A
 với giả 
thiết A 0 . 
Từ đó A .  [1, 7]. 
Định nghĩa: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, ký hiệu 
a
 là số không nhỏ hơn 
sai số tương đối của số xấp xỉ a. Do đó: 
a
  nghĩa là 
a
.
A
  
Từ đó: 
a
A .  và có thể chọn 
a a
A .  [1, 7]. 
2.2. Công thức Simpson và sai số 
52 
Để tính gần đúng 
b
a
f ( x )d x ta chia  a , b thành hai đoạn bằng nhau bởi các điểm chia 
0 1 2
b a
x a , x a a h , x b a 2 h
2
 và thay hàm số dưới dấu tích phân f ( x ) bằng đa 
thức nội suy Newton tiến bậc hai (đi qua ba điểm 
00 0
A a , y f( ( x ))x , 
1 1 1
C ( x a h , y f ( x )) và 
2 2 2
B a 2 h b( x , y f ( x )) có hoành độ đều nhau) xuất phát từ 
nút trùng với cận dưới 
0
a x , ta có 
2 2
0 0
x xb
2
a x x
f ( x )d x f ( x )d x P ( x )d x . 
Để tính được tích phân xác định ở vế phải, ta đổi biến số 
0
x x h t . Khi đó dx = hdt, t 
biến thiên từ 0 đến 2 và ta được 
2
0
xb 2
2
0 0 0
a x 0
t 2
2 3 2
2
0 0 0
t 0
t ( t 1)
f ( x )d x f ( x )d x y t y y h d t
2
t 1 t t
h y t y y ,
2 2 3 2
trong đó: 
0 1 0
2
0 1 0 2 1 1 0 2 1 0
y y y ;
y y y y y ( y y ) y 2 y y .
Vậy: 
2
0
xb
0 1 2
a x
h
f ( x )d x f ( x )d x ( y 4 y y )
3
 (1) 
Về mặt hình học, (1) có nghĩa là diện tích hình thang cong a A C Bb ( A C B là cung 
đường cong y f ( x ) đi qua ba điểm A, C, B) được thay xấp xỉ bằng diện tích hình thang 
cong a A C Bb ( A C B là cung parabol 
2
y P ( x ) đi qua ba điểm A, C, B). Nói khác đi, đường 
cong y f ( x ) đi qua ba điểm A, C, B được thay xấp xỉ bởi đường Parabol 
2
y P ( x ) đi qua 
ba điểm A, C, B (Hình 1). 
 Hình 1 
Công thức (1) được gọi là công thức Simpson. 
 y y=f(x) 
 y=P2(x) 
 A C 
 B 
 h h 
 0 x0=a x1 x2=b x 
53 
Để xác định sai số: 
b
0 1 2
a
h
R f ( x )d x ( y 4 y y )
3
 , ta giả thiết rằng hàm số y f ( x ) 
có đạo hàm cấp 4 liên tục trên [a, b]. Cố định điểm giữa x1 và xem R là hàm số của h ( h 0 ): 
1
1
x h
1 1 1
x h
h
R R ( h ) f ( x )d x [ ( f ( x h ) 4 f ( x ) f ( x h ) ] .
3
Đạo hàm ba lần theo h đẳng thức trên, ta có 
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 h
R '( h ) f ( x h ) f ( x h ) [f ( x h ) 4 f ( x ) f ( x h ) ]- [-f '( x h ) f '( x h ) ]
3 3
2 4 h
 = [f ( x h ) f ( x h ) ] f ( x ) [ f '( x h ) f '( x h ) ]
3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 h
R ''( h ) [ f '( x h ) f '( x h ) ] [-f '( x h ) f '( x h ) ]- [-f ''( x h ) f ''( x h ) ]
3 3 3
1 h
 = [-f '( x h ) f '( x h ) ] [f ''( x h ) f ''( x h ) ]
3 3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 h
R '''( h ) [f ''( x h ) f ''( x h ) ] [f ''( x h ) f ''( x h ) ]- [ -f '''( x h ) f '''( x h ) ]
3 3 3
h
 = - [f '''( x h ) f '''( x h ) ] .
3
Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) đối với f '''( x ), ta có 
2
( 4 )
3 3 1 1
2 h
R '''( h ) f ( c ) , c ( x h , x h )
3
Ngoài ra: R(0) = 0; R'(0) = 0; R''(0)=0. 
Từ đó, áp dụng định lý trung bình thứ hai của tích phân xác định, ta nhận được 
h h
2 ( 4 )
3
0 0
h
( 4 ) 2 3 ( 4 )
2 2 2 1 1
0
2
R ''( h ) R ''(0 ) R '''( t )d t t f ( c )d t
3
2 2
f (c ) t d t h f (c ); c [x h , x h ]
3 9
h h
3 ( 4 )
2
0 0
h
( 4 ) 3 4 ( 4 )
1 1 1 1 1
0
2
R '( h ) R '(0 ) R ''( t )d t t f ( c )d t
9
2 1
f (c ) t d t h f (c ); c [x h , x h ]
9 1 8
h h
4 ( 4 )
1
0 0
h
( 4 ) 4 5 ( 4 )
1 1
0
1
R ( h ) R (0 ) R '( t )d t t f ( c )d t
1 8
1 1
f (c ) t d t h f (c ) ; c [x h , x h ] .
1 8 9 0
Tóm lại, với giả thiết hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp 4 liên tục trên [a , b ] , ta có công 
thức Simpson sau đây 
b
5 ( 4 )
a
h a b 1
f ( x )d x f (a ) 4 f f ( b ) h f (c )
3 2 9 0
 với 
b a
h , c [a , b ]. ( 2 )
2
2.3. Công thức Simpson tổng quát và sai số 
54 
Để tính gần đúng tích phân xác định 
b
a
f ( x )d x , ta chia đoạn  a , b thành n = 2m đoạn 
bằng nhau (nghĩa là n là số nguyên, dương và chẵn): 
 0 1x , x ,  1 2x , x ,...,  2 m 2 2 m 1x , x ,  2 m 1 2 mx , x 
có độ dài là: 
b a b a
h
n 2 m
 bởi các điểm chia: 
0 i n 2 m
x a ; x a ih (i 1, 2 m 1), x x b. 
Ký hiệu: 
i i
y f ( x ), i 0, n , khi đó: 
2 4 2 m
0 2 m 2
x x xb
a x x 2 x
f ( x )d x f ( x )d x f ( x )d x ... f ( x )d x (3)
Đối với mỗi tích phân xác định ở vế phải của (3), ta tính gần đúng bằng công thức 
Simpson (1), ta nhận được: 
b
0 1 2 2 3 4 2 m 2 2 m 1 2 m
a
h h h
f ( x )d x ( y 4 y y ) ( y 4 y y ) ... ( y 4 y y )
3 3 3
b
0 2 m 1 3 2 m 1 2 4 2 m 2
a
h
f ( x )d x [( y y ) 4 ( y y ... y ) 2 ( y y ... y ) ]
3
hay: 
b
0 2 m 1 2
a
h
f ( x )d x [( y y ) 4 2 ] ( 4 )
3
   , 
trong đó 
1 1 3 2 m 1 2 2 4 2 m 2
y y ... y ; y y ... y
  
Công thức (4) được gọi là công thức Simpson tổng quát. 
Nếu hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp 4 liên tục trên  a , b thì do (2), sai số của công 
thức Simpson tổng quát là: 
2 m
0
2 k
2 k 2
x m
2 k 2 2 k 1 2 k
k 1x
x
m
2 k 2 2 k 1 2 k
k 1 x
5 m
( 4 )
k
k 1
h
R f ( x )d x ( y 4 y y )
3
h
f ( x )d x ( y 4 y y )
3
h
f ( c ) (5 )
9 0
 
 

với  k 2 k 2 2 kc x , x . 
Xét trung bình cộng 
m
( 4 )
k
k 1
1
f ( c ).
m 
  Vì hàm f
(4)(x) liên tục trên đoạn [a, b] nên nó đạt 
giá trị nhỏ nhất m2 và giá trị lớn nhất M2 trên [a, b]. Do đó f(4)(ck) nhận giá trị trung gian giữa 
m2 và M2 tức là 
( 4 )
2 k 2
m f (c ) M (k 1, m ). Vì vậy tồn tại điểm c [a , b ] sao cho 
( 4 )
f ( c ) hay 
m
( 4 ) ( 4 )
k
k 1
f ( c ) m . m .f ( c )
   . 
Thay vào (5), ta nhận được 
 
5 4 4
( 4 ) ( 4 ) ( 4 )m h m .( b a ) h ( b a ) h
R f (c ) f ( c ) f ( c ) , c a , b (6 )
9 0 2 .m .9 0 1 8 0
55 
Tóm lại, với giả thiết hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp bốn liên tục trên  a , b và chia 
đoạn lấy tích phân  a , b thành n = 2m đoạn bằng nhau, có độ dài 
b a b a
h
n 2 m
 ta có công 
thức Simpson tổng quát sau: 
b 4
( 4 )
0 2 m 1 2
a
h ( b a ) h
f ( x )d x [( y y ) 4 2 ] f (c ), c [a , b ] (7 )
3 1 8 0
   
trong đó: 
1 1 3 2 m 1 2 2 4 2 m 2
y y ... y ; y y ... y
  . 
Nhận xét: 
Tính sai số của công thức Simpson tổng quát bằng công thức (7) đòi hỏi phải biết 
( 4 )
f ( x ) , nghĩa là phải biết biểu thức giải tích của hàm số y f ( x ). Nhưng trong thực tế, 
thường chỉ biết hàm số y f ( x ) dưới dạng bảng, do đó người ta thường xác định gần đúng sai 
số của công thức Simpson tổng quát như sau: giả sử trên  a , b đạo hàm 
( 4 )
f ( x ) ít biến đổi, 
do (7), nhận được biểu thức gần đúng của sai số phải tìm là 4R M h , trong đó M xem là hằng 
số. Gọi 
s
I ( h ) và 
s
h
I ( )
2
là giá trị gần đúng của 
b
a
I f ( x )d x nhận được từ công thức Simpson 
tổng quát với bước h và bước 
h
2
, ta có: 
4
s
4
s
I I ( h ) M h
h h
I I ( ) M ( ) .
2 2
Từ đó 4
s s
h 1 5
I ( ) I ( h ) M h
2 1 6
 và 
s s s
h 1 h
I I I I (h ) (8 )
2 1 5 2
Với giả thiết đạo hàm f ''( x ) ít biến đổi trên đoạn  a , b , ta có công thức thực hành tính 
sai số: 
T T T
h 1 h
I I I I ( h ) (9 ),
2 3 2
 trong đó 
T
I ( h ) và 
T
h
I ( )
2
là giá trị gần đúng của 
b
a
I f ( x )d x nhận được từ công thức hình thang tổng quát với bước h và bước 
h
.
2
2.4. Ví dụ: Tính gần đúng tích phân xác định I =
1 2
3
0
s in (1 x )
d x
1 3 x
 , với m = 5. 
Ta có: n=2m=2.5=10;    
1 0
a ; b 0;1 h 0 ,1
1 0
x0 = 0, xn = x10 = 1, xi = x0 + i.h = 0 + i.0,1 ( i 1, 9 ) 
Ta có bảng giá trị của hàm f(x) tại các xi: 
i xi f(xi) 
0 0 0.84147098 
1 0.1 0.84429895 
2 0.2 0.84219163 
3 0.3 0.82019141 
4 0.4 0.76913012 
5 0.5 0.69017063 
6 0.6 0.59336444 
7 0.7 0.49124581 
8 0.8 0.39337791 
9 0.9 0.30484059 
10 1 0.22732436 
56 
Vậy áp dụng công thức Simpson ta có: 
 0 1 0 1 3 9 2 4 8
h
I f ( x ) f ( x ) 4 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) 2 ( f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) 0 , 6 2 8 9
3
 (làm tròn tới bốn chữ số thập phân). 
2.5. Chương trình 
Tính gần đúng tích phân xác định I =
b 2
3
a
s in (1 x )
d x
1 3 x
 , cận a và b tùy ý nhập vào từ bàn 
phím với a , b ; a b . 
PROGRAM PP_SIMPSON; 
USES CRT; 
VAR i,n: integer; 
 a,b,h,s0,s1,s2,i1,i2,epsilon: real; 
 t: boolean; 
 KT: Char; 
{*********************************************************************} 
FUNCTION f(x:real):real; 
BEGIN 
 f:=sin(1+x*x)/(1+3*x*x*x); 
END; 
{*********************************************************************} 
BEGIN 
 CLRSCR; 
 REPEAT 
 Writeln(' Tinh tich phan gan dung theo cong thuc Simpson'); 
 Writeln(' Tinh tich phan gan dung cua ham so 
2
3
s in (1 x )
y
1 3 x
'); 
 Write(' Nhap can duoi a= '); Readln(a); 
 Write(' Nhap tren duoi b= '); Readln(b); 
 Write(' Nhap sai so epsilon = '); Readln(epsilon); 
 s2:=0; 
 n:=2; 
 h:=(b-a)/2; 
 s1:=f(a+h); 
 s0:=f(a)+f(b); 
 i2:=h*(s0+4*s1+2*s2)/3; 
 {Tinh tich phan} 
 t:=false; 
 Repeat 
 i1:=i2; 
 s2:=s1+s2; 
 h:=h/2; 
 s1:=0; 
 FOR i:=1 TO n DO 
 s1:=s1+f(a+(2*i-1)*h); 
 n:=2*n; 
57 
 i2:=h*(s0+4*s1+2*s2)/3; 
 if ABS(i2-i1)<epsilon then 
 begin 
 t:=true; 
 Writeln(' Tich phan I = ',i2:10:2); 
 end; 
 Until t; 
 Writeln; 
 Write(' Ban muon tiep tuc khong (c/k)?'); Readln(KT); 
 UNTIL UPCASE (KT)='K'; 
END. 
* Kết quả khi chạy chương trình với a = 0, b = 1 và sai số của tích phân nhỏ hơn 
0 .00001 : 
Với độ chính xác 0 .00001 , ta có 
1 2
3
0
s in (1 x )
d x 0 .6 2 8 9
1 3 x
Ví dụ trên là cách tính tích phân gần đúng của một hàm số cụ thể. Với các hàm số khác, 
để tính được gần đúng tích phân của nó với cận trên và cận dưới tùy chọn ta có thể sửa phần 
hàm “FUNCTION f(x:real):real;” trong chương trình trên thành các hàm theo mong muốn 
sau đó chạy chương trình bình thường. 
Tương tự với hàm trên ta tính được 
21 x
6
0
e 1
d x 1 .7 4 8 5 2 7 4 1
1 5 x
 với sai số của tích phân 
nhỏ hơn 0 .00001 . Kết quả kiểm tra như sau: 
3. Kết luận 
Phương pháp Simpson chỉ là một trong các cách tính gần đúng tích phân xác định của 
một hàm số mà ta có thể lập trình để máy tính thực hiện thay con người. Ngoài ra còn có các 
phương pháp khác trong việc tính gần đúng tích phân xác định ta cũng có thể lập trình để giải 
quyết. 
Một câu hỏi đặt ra là: Ngoài việc tính gần đúng tích phân xác định của một hàm số, còn 
bài toán nào có thể lập trình để máy tính thay thế con người tính được không? Có nhiều bài 
58 
toán có thể làm như vậy. Từ đây mở ra hướng dùng máy tính và ngôn ngữ lập trình để giải 
quyết các bài toán mà theo cách giải thông thường ta không (hoặc rất khó) làm được. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] PGS. TS. Dương Thủy Vỹ (2007), Giáo trình Phương pháp tính, Nxb Khoa 
học kỹ thuật. 
[2] PGS.TS Lê Khắc Thành (2003), Giáo trình Pascal, Nxb Đại học sư phạm. 
[3] Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Mạnh Quý (2002), Toán cao cấp A2, Nxb Giáo dục. 
[4] Nguyễn Tô Thành (2007), Lập trình nâng cao, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 
[5] Quách Tuấn Ngọc (2002), Ngôn ngữ lập trình Pascal, Nxb Thống kê. 
[6] Volkov E.A. (1986), Numerrical methods, Mir Publishers, Moscow. 
[7] Sastry S. S. (1989), Introductory methods of numerical analysis. Prentice - Hall of 
India Private limited, New Delhi. 
USING PASCAL PROGRAMMING LANGUAGE TO CALCULATE 
APPROXIMATE VALUE OF DEFINITE INTEGRAL 
WITH SIMPSON’S FORMULA 
Doan Vinh Ngoc, Hoang Hien, Truong Quoc Tuan 
Dien Bien College 
Abstract: In fact, it is very difficult to find the correct value of the most definite integral of the function. In 
spite of calculating correct value of definite integral, informatics can help us calculate approximate value of 
definite integral with the so-called acceptable errors . “Pascal programming language calculates approximate 
value of definite integral by Simpson’s rule” is the way to use computer and programming language to solve 
problems of definite integral effectively. 
Keywords: Integral, approximate, function, programming, Pascal language, SIMPSON formula.