Khảo sát mức độ đan rối và quá trình viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon chẵn

TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
105 
KHẢO SÁT MỨC ĐỘ ĐAN RỐI VÀ QUÁ TRÌNH VIỄN TẢI 
LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1, 1) 
THÊM HAI VÀ BỚT MỘT PHOTON CHẴN 
Bùi Thị Thủy
1 
Trương Minh Đức
1 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát tính chất đan rối và định lượng độ rối với 
trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon chẵn bằng tiêu 
chuẩn đan rối Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn đan rối Entropy tuyến tính. Kết quả 
khảo sát cho thấy trạng thái này là một trạng thái đan rối mạnh. Sau đó, bằng việc 
sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon chẵn để 
thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp, chúng tôi nhận thấy 
rằng quá trình viễn tải lượng tử là thành công với độ trung thực avF nằm trong 
khoảng từ 0,5 đến 1. 
Từ khóa: Trạng thái hai mode kết hợp, tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, tiêu 
chuẩn đan rối Entropy tuyến tính, độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải 
1. Mở đầu 
Cùng với sự phát triển của khoa học - 
kỹ thuật, lĩnh vực thông tin liên lạc 
cũng không ngừng phát triển. Con 
người không ngừng cải tiến cách thức 
liên lạc trong cuộc sống và vấn đề làm 
thế nào để truyền thông tin đi xa, đặc 
biệt là thông tin lượng tử mà vẫn đảm 
bảo tính lọc lựa cao và giảm được thăng 
giáng đến mức thấp nhất là vấn đề cấp 
thiết cho các nhà vật lý lý thuyết cũng 
như thực nghiệm. 
Năm 1963, Glauber và Sudarshan 
đưa ra trạng thái kết hợp [1], ký hiệu 
là , đây là trạng thái ứng với thăng 
giáng lượng tử nhỏ nhất suy ra từ hệ 
thức bất định Heisenberg. Vào năm 
1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý 
tưởng về trạng thái kết hợp thêm 
photon [2]. Việc thêm và bớt photon 
vào một trạng thái vật lý là một 
phương pháp quan trọng để có thể tạo 
ra một trạng thái phi cổ điển mới. 
Trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) 
thêm hai và bớt một photon chẵn được 
định nghĩa như sau: 
 (1) 
trong đó 
ab
 là trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) [3], †ˆ ˆ,a a và †ˆ ˆ,bb là toán 
tử sinh (hủy) photon của mode a và mode b. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) 
ab
 có dạng như sau: 
 (2) 
1Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế 
Email: tmduc2009@gmail.com 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
106 
Khai triển theo trạng thái Fock, trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai và 
bớt một photon chẵn được viết lại như sau: 
(3) 
Khi m = n = 2k + 1 thì [1 + (−1)2k+1 ]= 0 nên N = 0. Xét trường hợp m = n = 2k 
và thực hiện chuẩn hóa ta có: 
 (4) 
Vậy: 
 (5) 
Việc truyền tải thông tin thông qua 
việc sử dụng tính chất đan rối được gọi 
là viễn tải lượng tử. Đó là một quá trình 
dịch chuyển thông tin cũng như vật chất 
tức thời, mà không phải dịch chuyển 
qua không gian, được thực hiện bằng 
cách giải mã một vật ở địa điểm này rồi 
gửi thông tin tới địa điểm khác, nơi vật 
sẽ được tái tạo lại cấu trúc giống như 
ban đầu. Viễn tải lượng tử có thể được 
khai thác để làm cho máy tính lượng tử, 
mạng lưới viễn thông trở nên nhanh, 
mạnh và bảo mật hơn. Để nghiên cứu 
viễn tải lượng tử, các nhà khoa học 
đang tập trung khai thác rối lượng tử. 
Việc nghiên cứu tính đan rối đóng vai 
trò quan trọng trong quá trính tạo ra 
nguồn tài nguyên đan rối, từ đó tìm ra 
nguồn đan rối có độ trung thực trung 
bình cao nhất. Nhận thấy các khảo sát 
về trạng thái đan rối và viễn tải lượng tử 
là một vấn đề thú vị, vì vậy trong bài 
báo này chúng tôi tiến hành định lượng 
độ đan rối và viễn tải lượng tử một 
trạng thái kết hợp với nguồn đan rối là 
trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) 
thêm hai và bớt một photon chẵn. 
2. Nghiên cứu tính chất đan rối 
và định lượng độ rối của trạng thái 
hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai 
và bớt một photon chẵn 
Trong phần này, chúng tôi khảo sát 
tính đan rối của trạng thái hai mode kết 
hợp SU(1, 1) thêm hai và bớt một 
photon chẵn theo tiêu chuẩn đan rối 
Hillery-Zubairy [4], [5]. Điều kiện đan 
rối tổng quát được biểu diễn bằng bất 
phương trình sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
107 
 (6) 
Theo tiêu chuẩn đan rối Hillery-
Zubairy, một trạng thái bất kỳ bị đan rối 
nếu trung bình trong trạng thái đó thỏa 
mãn bất đẳng thức (6). Nếu m n thì trị 
trung bình ở vế trái trong biểu thức ứng 
với trạng thái SU(1, 1) thêm hai và bớt 
một photon chẵn bằng không, trong khi 
vế trái luôn không âm. Do vậy không có 
đan rối trong trường hợp này. Khi m=n, 
đặt n=2k (chọn k=1) và đưa vào tham 
số rối 1R dưới dạng: 
 (7) 
Trạng thái đan rối nếu 1R 0 , 
trong đó 1R càng âm thì mức độ đan rối 
càng tăng và ngược lại nếu 1R 0 thì 
trạng thái không đan rối. Thực hiện tính 
toán các số hạng trong 1R với trạng thái 
SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon 
chẵn và đặt , 2r  với 0r ta 
được t anhr . Thay các kết quả vào 
biểu thức (7) ta thu được: 
 (8) 
Đồ thị hình 1 thể hiện kết quả khảo 
sát của mức độ đan rối R theo tham số r 
và q. Gía trị q được khảo sát tương ứng 
ở hình 1 là q=1, q=2, q=3 và hình 2 là 
q=6, q=7, q=8. Từ đồ thị ta thấy R<0 
điều kiện đan rối luôn thỏa mãn với mọi 
giá trị của r và q. Các đường cong đi 
xuống cho thấy độ đan rối tăng khi r 
tăng. Vậy trạng thái hai mode kết hợp 
SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon 
chẵn là trạng thái rối hoàn toàn. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
108 
Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy 
chỉ như là điều kiện đủ khi đánh giá độ 
rối, khi đó chúng ta cần kiểm tra lại các 
kết quả trên bằng một phương pháp 
khác độc lập với cách trên. Vì vậy, để 
đánh giá cấp độ đan rối của trạng thái 
hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai và 
bớt một photon chẵn, ta sử dụng tiêu 
chuẩn đan rối Entropy tuyến tính [6]. 
, (9) 
trong đó 2ˆaTr là phép lấy vết ma 
trận mật độ rút gọn bình phương. Một 
trạng thái đan rối càng mạnh nếu M = 1, 
trường hợp M = 0 tương ứng với trạng 
thái không đan rối. Xét trong trường 
hợp tổng quát, ma trận mật ˆ của trạng 
thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai 
và bớt một photon chẵn: 
(10) 
trong đó ˆTr là phép lấy vết ma trận mật độ ˆ của trạng thái hai mode kết 
hợp SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon chẵn lên mode b. Từ đó suy ra 
 (11) 
 (11) 
Cuối cùng, ta thu được kết quả: 
(12) 
Hình 3: Sự phụ thuộc của Entropy tuyến tính M và biên độ kết hợp r 
với giá trị q=1, q=3, q=7 
(3) 
 (2) 
(1) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
109 
Hình 3 thể hiện sự phụ thuộc của 
entropy tuyến tính M vào biên độ kết 
hợp r với giá trị q=1,3,7. Các giá trị q 
này được chọn theo thứ tự tương ứng 
với đường (1), đường (3), đường (2). 
Sau khi khảo sát Entropy tuyến tính của 
trạng thái hai mode kết hợp SU(1, 1) 
thêm hai và bớt một photon chẵn, từ đồ 
thị chúng ta thấy trạng thái này là trạng 
thái đan rối. Khi biên độ r đủ lớn, cấp 
độ đan rối tăng theo giá trị của r, và r 
càng tăng thì giá trị M càng tiến đến 1, 
chứng tỏ trạng thái này càng đan rối. 
Như vậy trạng thái hai mode kết hợp 
SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon 
chẵn đạt đến mức độ đan rối cực đại khi 
ta chọn các thông số phù hợp và thỏa 
mãn điều kiện đan rối để thực hiện 
nhiệm vụ quá trình viễn tải lượng tử. 
3. Khảo sát quá trình viễn tải 
lượng tử với trạng thái hai mode kết 
hợp SU(1,1) thêm hai và bớt một 
photon chẵn 
Để thực hiện quá trình viễn tải 
lượng tử theo mô hình Gasbris và 
Agarwal [7], ta sử dụng nguồn đan 
rối là trạng thái hai mode kết hợp 
SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon 
chẵn như sau: 
(13) 
Giả sử mode a được đưa tới Alice, 
mode b được đưa tới Bob và thông tin 
được mã hóa trong trạng thái kết hợp 
được viễn tải là 
c
 . Tiếp theo Alice 
thực hiện một 
phép đo trạng thái Bell tổ hợp lên hai 
mode a và c để đo thông tin đan rối giữa 
c
 và 
ab
 . 
 (14) 
Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, 
trạng thái tích sụp đổ do Bob và Alice 
cùng 
chia sẻ trạng thái rối nên Bob có trạng 
thái như sau 
abc
 
 (15) 
Lúc này, bên Bob tồn tại trạng thái 
ứng với mode b chứa các thông tin về 
mode c. Bob thực hiện dịch chuyển 
 D g để xây dựng lại trạng thái được 
viễn tải ban đầu 
c
 , trạng thái cuối 
cùng thu được trong quá trình viễn tải 
đó là: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
110 
 (16) 
với: 
 (17) 
Quá trình viễn tải lúc này đã hoàn 
thành và để đánh gia mức độ thành 
công của quá trình viễn tải chúng ta dựa 
vào độ trung thực trung bình avF mà 
chúng tôi đưa ra ở phần tiếp theo. 
4. Độ trung thực trung bình của 
quá trình viễn tải lượng tử 
Độ trung thực trung bình trong quá 
trình viễn tải được xác định qua biểu 
thức sau: 
2 2
av in out
F d   
2 2
out
d   (18) 
Quá trình viễn tải thành công nếu 
thỏa mãn điều kiện với độ trung thực 
0,5≤ avF ≤1. Chúng ta tiến hành tính toán 
độ trung thực avF bằng việc sử dụng 
tính chất của toán tử dịch chuyển và 
khai triển trong trạng thái Fork ta được: 
 avF 
 (19) 
Hình 4: Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình avF vào biên độ kết hợp r ứng 
với giá trị  =1,55 và q=0,2,4 
(3) 
(2) 
(1) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
111 
 Dựa vào hình 4, ta thấy khi chúng 
ta chọn giá trị  =1,55, với q=0 tương 
ứng đường (1), độ trung thực trung bình 
avF có giá trị nằm trong khoảng từ 0,5≤ 
avF ≤1 khi 0,35 ≤ 𝑟 ≤ 1,2. Tăng giá trị 
q=2 ứng với đường (2) độ trung thực 
trung bình avF có giá trị nằm trong 
khoảng từ 0,5 ≤ avF ≤ 1 khi 0,27≤ 𝑟 ≤0, 
95. Khi giá trị q=4 ứng với đường (3) 
độ trung thực trung bình avF có giá trị 
nằm trong khoảng từ 0,5≤ avF ≤1 khi 
0,25≤ 𝑟 ≤0,82, ta thấy quá trình viễn tải 
xảy ra trong khoảng r hẹp dần. Điều này 
chứng tỏ khi q bé thì quá trình viễn tải 
xảy ra tốt nhất. Do đó quá trình viễn tải 
lượng tử xảy ra thành công với độ trung 
thực trung bình 0,5≤ avF ≤1 với 0,35 ≤ 𝑟 
≤ 1,2. Khi q bé thì quá trình viễn tải xảy 
ra tốt nhất nên ta xét khi q=0 ứng với 
các giá trị  khác nhau để khảo sát độ 
trung thực trung bình avF như hình 5. 
Hình 5: Sự thụ thuộc của độ trung thực trung bình avF vào biên độ kết hợp r ứng với 
giá trị q=0 và  =1,55;  =1,85;  =2,45 
Khi chọn giá trị q=0 với  =1,55 
ứng với đường (1) thì độ trung thực 
trung bình đạt cực đại gần bằng 1. Khi 
tăng  ứng với giá trị  =1,85 ứng với 
đường (2) thì độ trung thực trung bình 
đạt cực đại 0,7 và  =2,45 ứng với 
đường (3) thì độ trung thực trung bình 
đạt cực đại 0,5. Tiếp tục tăng  thì độ 
trung thực trung bình đạt dưới 0,5 nên 
quá trình viễn tải không thành công 
nữa. Vậy nên khi chúng ta chọn  càng 
bé thì quá trình viễn tải sẽ thành công 
hơn. Do đó quá trình viễn tải lượng tử 
xảy ra thành công với độ trung thực 
trung bình 0,5≤ avF ≤1 với 1,55≤𝛾≤2,45. 
Như vậy, quá trình viễn tải lượng tử là 
thành công khi ta chọn các tham số 
trạng thái phù hợp. 
5. Kết luận 
Trong bài báo này, chúng tôi sử 
dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery- 
Zubairy bậc cao và tiêu chuẩn đan rối 
Entropy tuyến tính để khảo sát tính chất 
đan rối của trạng thái hai mode kết hợp 
SU(1, 1) thêm hai và bớt một photon 
chẵn. Kết quả khảo sát cho thấy trạng 
thái hai mode kết hợp SU(1, 1) thêm hai 
và bớt một photon chẵn là một trạng 
thái đan rối hoàn toàn, và cấp độ đan rối 
tương đối mạnh khi tiệm cận đến giá trị 
(3) 
(2) 
(1) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - ĐẠI HỌC ĐỒNG NAI, SỐ 17 - 2020 ISSN 2354-1482 
112 
đan rối cực đại. Sau đó, chúng tôi sử 
dụng trạng thái này làm nguồn đan rối 
để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử 
một trạng thái kết hợp và đánh giá mức 
độ thành công của quá trình viễn tải 
thông qua độ trung thực trung bình. Kết 
quả khảo sát cho thấy quá trình viễn tải 
được thực hiện thành công với độ trung 
thực trung bình của quá trình viễn tải là 
0,5≤ avF ≤1 với trạng thái có giá trị biên 
độ của trường tương đối bé. Tuy nhiên, 
với giá trị biên độ của trường tương đối 
lớn lớn thì độ trung thực trung bình của 
quá trình viễn tải là chưa ổn định và còn 
phụ thuộc vào các tham số đầu vào một 
cách phù hợp. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Glauber. R. J. (1963), Phys. Rev, 131, 2766 
2. Agarwal. G. S. and Tara. K. (1991), Physical Review A, 43, 492 
3. Christopher C. Gerru, Rainer Grobe (1996), Journal of Modern Optics, 44, 41 
4. Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), Phys. Rev. Lett. 96, 050503 
5. Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), Phys. Rev. A 74(3), 032333 
6. Agarwal G. S. and Biswas A. (2005), New Journal of Physics 7, 211 
7. Gasbris A., Agarwal G. S. (2007), Int. Journal of Quant. Inf., 5, 17 
STUDYING THE ENTANGLEMENT AND THE QUANTUM 
TELEPORTATION VIA PLUS OF TWO-PHOTON ADDED AND ONE-
PHOTON SUBTRATED TWO-MODE SU(1,1) EVEN COHERENT STATE 
ABSTRACT 
In this paper, we study the entanglement property of the plus of two-photon 
added and one-photon subtracted to two-mode SU(1,1) even coherent state by using 
the Hillery-Zubairy and the Linear Entropy criteria. The results show that this state 
is strongly entangled, and the degree of the entanglement depends on the adding and 
subtracting photons to the state. When using the plus of two-photon added and one-
photon subtracted to two-mode SU(1,1) even coherent state as an entanglement 
resource for quantum teleportation form a coherent state, we found that the 
teleportation process was successful with the fidelity ranging from 0,5 to 1. 
Keywords: Two-mode SU(1,1) coherent state, Hillery-Zubairy criterion, Linear 
Entropy criterion, Entanglement and teleportation 
(Received: 25/11/2019, Revised: 2/12/2019, Accepted for publication: 3/12/2019)