Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 38 
Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa 
Vũ Vinh Quang – Tr−ơng Hà Hải (Khoa Công nghệ Thông tin - ĐH Thái Nguyên) 
Mở đầu 
Ph−ơng pháp chia miền giải bài toán song điều hoà đ đ−ợc một số tác giả trên thế giới 
và trong n−ớc quan tâm. Trên cơ sở các kết quả đạt đ−ợc khi nghiên cứu ph−ơng pháp chia miền 
đối với các bài toán biên elliptic cấp hai, trong [1, 2] đ đề xuất sơ đồ chia miền giải bài toán 
song điều hoà, các kết quả này đ đ−ợc chứng minh chặt chẽ bằng lý thuyết và kiểm tra bằng 
thực nghiệm tính toán. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả khi cải tiến sơ đồ chia 
miền đối với bài toán song điều hoà với mục đích tăng tốc độ hội tụ của ph−ơng pháp. 
1. Ph−ơng pháp chia miền giải bài toán song điều hoà 
 Xét bài toán 
2
0
1,
, 0, ,
, ,
u c u du f c x
u g x
u g x
∆ − ∆ + = ≥ ∈Ω = ∈∂Ω
 ∆ = ∈∂Ω
 (1) 
trong đó 
nRΩ ∈ , ∂Ω là biên Lipschitz, 
2 ( )f L⊂ Ω , 0 1,g g là các hàm số cho tr−ớc. Bài toán 
(1) đ−ợc gọi là bài toán song điều hoà tổng quát. Tuỳ thuộc vào các hệ số ,c d chúng ta xét hai 
dạng bài toán cơ bản: 
Bài toán biên thứ nhất: 
2
0
1,
, 0, ,
, ,
.
u c u f c x
u g x
u g x
∆ − ∆ = ≥ ∈Ω
= ∈∂Ω
 ∆ = ∈∂Ω (2) 
Bài toán biên thứ hai: 
2
0
1,
, 0, 0, ,
, ,
.
u c u du f c d x
u g x
u g x
∆ − ∆ + = ≥ ≠ ∈Ω
= ∈∂Ω
 ∆ = ∈∂Ω (3) 
Trên cơ sở của ph−ơng pháp chia miền giải ph−ơng trình elliptic cấp hai với t− t−ởng xác 
định giá trị đạo hàm trên biên phân chia kết hợp với ph−ơng pháp phân r bài toán song điều hoà 
về hai bài toán biên elliptic cấp hai, trong [1, 2] đ đ−a ra ph−ơng pháp chia miền giải bài toán 
song điều hoà nh− sau: Xét bài toán (1), chia miền 1 2 1 2,Ω = Ω ∪ Ω Ω ∩ Ω = ∅ , kí hiệu 
1 2 1 1 2 2, \ , \Γ = ∂Ω ∩ ∂Ω Γ = ∂Ω Γ Γ = ∂Ω Γ , iu là nghiệm trong miền iΩ , i iduϕ = − , 
( 1,2)i iv u i= ∆ = , 1 1
1 1
,
v u
ξ η
ν νΓ Γ
∂ ∂
= =
∂ ∂
 trong đó iν là vectơ pháp tuyến ngoài của miền Ωi, 
(Hình 1) 
Ω2 Γ
 Ω1 Ω2 
Γ
Ω1 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 39
Nghiệm iu của hai bài toán cần phải thoả mn các điều kiện chuyển dịch qua biên Γ nh− sau: 
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
, ,
, ,
, ,
, .
u u x
u u
x
u u x
u u
x
ν ν
ν ν
= ∈Γ ∂ ∂ = − ∈Γ ∂ ∂
 ∆ = ∆ ∈Γ∂∆ ∂∆ = − ∈Γ ∂ ∂∆ (4) 
Nếu xác định đ−ợc các giá trị ,ξ η trên đ−ờng biên phân chia thì hiển nhiên việc giải bài 
toán trong miền Ω đ−ợc đ−a về việc giải hai bài toán trong hai miền ( 1,2)i iΩ = . Xuất 
phát từ mục đích xác định các giá trị ,ξ η , việc tìm nghiệm bài toán biên thứ nhất và thứ hai 
đ−ợc thực hiện bằng các thuật toán chia miền nh− sau: 
1.1 Bài toán biên thứ nhất 
B−ớc 1: Xuất phát từ 
(0) 0, 0,1,2,...kξ = ∀ = thực hiện giải các bài toán 
1.1 Giải bài toán với 
( )
1
kv 
( ) ( )
1 1 1
( )
1 1 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
k k
k
k
k
v cv f x
v g x
v
xξ
ν
∆ − = ∈Ω = ∈Γ
 ∂ = ∈Γ ∂ (5) 
1.2 Giải bài toán với 
( )
2
kv 
( ) ( )
2 2 2
( )
2 1 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
k k
k
k k
v cv f x
v g x
v v x
∆ − = ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ (6) 
1.3 Hiệu chỉnh 
( )
( 1) ( ) 2
1 1
2
(1 ) , .
k
k k v xξ θ ξ θ
ν
+ ∂= − − ∈Γ
∂ (7) 
Kí hiệu nghiệm thu đ−ợc sau b−ớc lặp 1 là 
1 2,v v
. 
B−ớc 2: Xuất phát từ 
(0) 0, 0,1,2,...lη = ∀ = thực hiện giải các bài toán 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 40 
2.1 Giải bài toán với 
( )
1u
ℓ
( )
( )
1 1 1
( )
1 0 1
( )
1
1
, ,
, ,
, .
u v x
u g x
u
xη
ν
∆ = ∈Ω = ∈Γ
∂ = ∈Γ ∂
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
 (8) 
2.2 Giải bài toán với 
( )
2u
ℓ
( )
2 2 2
( )
2 0 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
u v x
u g x
u u x
∆ = ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ
ℓ
ℓ
ℓ ℓ
 (9) 
2.3 Hiệu chỉnh 
( )
( 1) ( ) 2
2 2
2
(1 ) , .
u
xη θ η θ
ν
+ ∂= − − ∈Γ
∂
ℓ
ℓ ℓ
 (10) 
Xét sơ đồ chia miền (5)-(10) chúng ta dễ thấy rằng điều kiện liên tục của hàm trong (4) 
luôn luôn thoả mn còn điều kiện liên tục của đạo hàm trong (4) sẽ thoả mn nếu các sơ dồ lặp 
(7) và (10) hội tụ. Sử dụng các kết quả khi nghiên cứu ph−ơng pháp chia miền đối với bài toán 
elliptic cấp hai, trong [1,2] đ chứng minh các sơ đồ lặp (7) và (10) hội tụ. 
1.2. Bài toán biên thứ hai 
B−ớc 1: Xuất phát từ 
(0) (0)
1 2 0, 0,1,2,...kϕ ϕ= = ∀ = thực hiện giải các bài toán 
B−ớc 1.1: Xuất phát từ 
(0) 0, 0,1,2,...lξ = ∀ = 
1.1.1 Giải bài toán với 
( )
1v
ℓ
( ) ( )
1 1 1 1
( )
1 1 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
kv cv f x
v g x
v
x
ϕ
ξ
ν
∆ − = + ∈Ω = ∈ Γ
 ∂ = ∈ Γ ∂
ℓℓ
ℓ
ℓ
ℓ
 (11) 
1.1.2 Giải bài toán với 
( )
2v
ℓ
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
( )
2 1 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
kv cv f x
v g x
v v x
ϕ∆ − = + ∈Ω = ∈ Γ
 = ∈ Γ
ℓ ℓ
ℓ
ℓ ℓ
 (12) 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 41
1.1.3 Hiệu chỉnh 
( )
( 1) ( ) 2
1 1
2
(1 ) ,
v
xξ θ ξ θ
ν
+ ∂= − − ∈Γ
∂
ℓ
ℓ ℓ
. (13) 
Kí hiệu 
( )
1v
ℓ
, 
( )
2v
ℓ
là nghiệm sau b−ớc lặp 1.1 
B−ớc 1.2: Đặt 
(0) 0, 0,1,2,...mη = ∀ = 
1.2.1 Giải bài toán với 
( )
1
mu 
( ) ( )
1 1 1
( )
1 0 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
m k
m
m
m
u v x
u g x
u
xη
ν
∆ = ∈Ω = ∈ Γ
∂ = ∈ Γ ∂ (14) 
1.2.2 Giải bài toán với 
( )
2
mu 
( ) ( )
2 2 2
( )
2 0 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
m k
m
m m
u v x
u g x
u u x
∆ = ∈Ω = ∈ Γ
 = ∈ Γ (15) 
1.2.3 Hiệu chỉnh 
( )
( 1) ( ) 2
2 2
2
(1 ) , .
m
m m u xη θ η θ
ν
+ ∂= − − ∈Γ
∂ (16) 
Kí hiệu 
( )
1
ku , 
( )
2
ku là nghiệm sau b−ớc lặp 1.2 
B−ớc 2: Hiệu chỉnh 
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
( ), ,
( ), .
k k k k
k k k k
du x
du x
ϕ ϕ τ ϕ
ϕ ϕ τ ϕ
+
+
= − + ∈Ω
= − + ∈Ω
 (17) 
Xét sơ đồ lặp (11)-(13) và (14)-(16), đây chính là các sơ đồ lặp độc lập giải các bài toán 
biên elliptic cấp hai với điều kiện biên Dirichlet bằng ph−ơng pháp chia miền, sự hội tụ và tham 
số lặp tối −u đ đ−ợc khẳng định trong [1,2]. các sơ đồ lặp (17) đ−ợc viết lại d−ới dạng 
( ) ( )
( 1) ( )
( ) 0, , ( 1,2)
k k
k ki i
i i i
i
du x i
ϕ ϕ
ϕ
τ
+ −
+ + = ∈Ω =
. (18) 
Trong [3] đ chứng minh các sơ đồ lặp hội tụ. 
Nhận xét: Khi nghiên cứu các sơ đồ lặp (5)-(10) giải bài toán biên thứ nhất và sơ đồ (11)-(17) 
giải bài toán biên thứ hai, chúng ta nhận thấy việc thiết kế các sơ đồ lặp trong thuật toán chia 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 42 
miền giải bài toán song điều hoà thực chất là việc thực hiện thuật toán chia miền giải lần l−ợt các 
bài toán biên elliptic cấp hai trong các miền. Điều này sẽ tận dụng đ−ợc các kết quả lý thuyết 
của thuật toán chia miền đối với bài toán elliptic cấp hai để chứng minh sự hội tụ cho thuật toán 
chia miền đề xuất đối với bài toán song điều hoà. Tuy nhiên khi thực hiện giải tuần tự các bài 
toán cấp hai thì khối l−ợng tính toán có thể sẽ tăng lên. Vì vậy, chúng tôi sẽ đề xuất việc cải tiến 
hai sơ đồ lặp trên với mục đích tăng tốc độ hội tụ của hai sơ đồ chia miền đ trình bày. 
2. Đề xuất việc cải tiến sơ đồ chia miền 
2.1 Bài toán biên thứ nhất 
Đặt 1
u
u
η
ξν Γ
∆   ∂Φ = =   ∂     . (19) 
Xuất phát từ 
(0)
(0)
(0)
0
, 0,1,2,...
0
k
η
ξ
   Φ = = ∀ =   
   tiến hành giải các bài toán 
B−ớc 1: Giải các bài toán trong miền 1Ω 
( ) ( )
1 1 1
( )
1 1 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
k k
k
k
k
v cv f x
v g x
v
xη
ν
∆ − = ∈Ω = ∈Γ
 ∂ = ∈Γ ∂ (20) 
( ) ( )
1 1 1
( )
1 0 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
k k
k
k
k
u v x
u g x
u
xξ
ν
∆ = ∈Ω = ∈Γ
 ∂ = ∈Γ ∂ (21) 
B−ớc 2: Giải các bài toán trong miền 2Ω 
( ) ( )
2 2 2
( )
2 1 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
k k
k
k k
v cv f x
v g x
v v x
∆ − = ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ (22) 
( ) ( )
2 2 2
( )
2 0 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
k k
k
k k
u v x
u g x
u u x
∆ = ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ (23) 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 43
B−ớc 3: Hiệu chỉnh 
( )
2( 1) ( )
( )
2 2
(1 ) , .
k
k k
k
x
u
υ
θ θ
ν
+
 ∂Φ = Φ − − ∈Γ  ∂   (24) 
Hay 
( )
( 1) ( ) 2
2
( )
( 1) ( ) 2
2
(1 ) , ,
(1 ) , .
k
k k
k
k k
x
u
x
υη θη θ
ν
ξ θξ θ
ν
+
+
 ∂
= − − ∈Γ ∂
 ∂
= − − ∈Γ
 ∂ (24’) 
2.2 Bài toán biên thứ hai 
Đặt 1
, ( 1,2)i i
u
du i
u
η ϕξν Γ
∆   ∂Φ = = = − =   ∂     , (25) 
Xuất phát từ 
(0)
(0) (0) (0)
1 2(0)
0
, 0, 0,1,2,...
0
k
η ϕ ϕξ
   Φ = = = = ∀ =   
   tiến hành giải các bài toán 
B−ớc 1: Giải các bài toán trong miền 1Ω 
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
( )
1 1 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
k k k
k
k
k
v cv f x
v g x
v
x
ϕ
η
ν
∆ − = + ∈Ω = ∈Γ
 ∂ = ∈Γ ∂ (26) 
( ) ( )
1 1 1
( )
1 0 1
( )
( )1
1
, ,
, ,
, .
k k
k
k
k
u v x
u g x
u
xξ
ν
∆ = ∈Ω = ∈Γ
 ∂ = ∈Γ ∂ (27) 
B−ớc 2: Giải các bài toán trong miền 2Ω 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
( )
2 1 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
k k k
k
k k
v cv f x
v g x
v v x
ϕ∆ − = + ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ (28) 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 44 
( ) ( )
2 2 2
( )
2 0 2
( ) ( )
2 1
, ,
, ,
, .
k k
k
k k
u v x
u g x
u u x
∆ = ∈Ω = ∈Γ
 = ∈Γ (29) 
B−ớc 3: Hiệu chỉnh 
( )
2( 1) ( )
( )
2 2
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
(1 ) , ,
( ), ,
( ), .
k
k k
k
k k k k
k k k k
x
u
du x
du x
υ
θ θ
ν
ϕ ϕ τ ϕ
ϕ ϕ τ ϕ
+
+
+
 ∂Φ = Φ − − ∈Γ  ∂  
= − + ∈Ω
= − + ∈Ω (30) 
Hay 
( )
( 1) ( ) 2
2
( )
( 1) ( ) 2
2
( 1) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
(1 ) , ,
(1 ) , ,
( ), ,
( ), ,
k
k k
k
k k
k k k k
k k k k
x
u
x
du x
du x
υη θη θ
ν
ξ θξ θ
ν
ϕ ϕ τ ϕ
ϕ ϕ τ ϕ
+
+
+
+
 ∂
= − − ∈Γ ∂
 ∂
= − − ∈Γ ∂
 = − + ∈Ω

= − + ∈Ω (30’) 
Nhận xét: 
1. So sánh sơ đồ lặp (5)-(10) với sơ đồ cải tiến (19)-(24) chúng ta thấy việc thực hiện tính 
toán là hoàn toàn khác nhau: trong sơ đồ (5)-(10) phải tiến hành giải xong bài toán với υ bằng thuật 
toán chia miền sau đó mới giải bài toán xác định u bằng thuật toán chia miền trong khi đó đối với sơ 
đồ cải tiến thì thuật toán chia miền đ−ợc thực hiện đồng thời với u và υ trên mỗi b−ớc lặp. 
2. T−ơng tự khi so sánh sơ đồ lặp (11)-(17) với sơ đồ cải tiến (25)-(30) ta cũng thấy việc 
giải bài toán bằng thuật toán chia miền là đ−ợc thực hiện đồng thời đối với ,uϕ và υ trên cùng 
một b−ớc lặp trong khi sơ đồ (11)-(17) phải thực hiện lần l−ợt với 3 vòng lặp. 
3. Trong quá trình tính toán, theo chúng tôi nếu thực hiện các phép tính toán đồng thời sẽ 
huy động đ−ợc dữ liệu trong các lần lặp tr−ớc cho các lần lặp sau, điều đó chắc chắn sẽ tăng tốc 
độ hội tụ của các sơ đồ lặp. 
4. Việc chứng minh các sơ đồ lặp cải tiến (19)-(24) và (25)-(30) hội tụ về ph−ơng diện lý 
thuyết theo chúng tôi là một bài toán khó, tuy nhiên qua các kết quả thực nghiệm có thể khẳng 
định sự hội tụ của các sơ đồ lặp cải tiến cũng nh− tính hữu hiệu hơn so với các sơ đồ lặp cũ. 
3. Các kết quả thực nghiệm 
 Trong phần này, chúng tôi trình bày các kết quả thực nghiệm tính toán kiểm tra sự 
hội tụ và so sánh tốc độ của sơ đồ lặp cải tiến với sơ đồ lặp cũ, ph−ơng pháp chúng tôi 
thực hiện là sử dụng ngôn ngữ lập trình trên môi tr−ờng MATLAB tiến hành lập trình 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 45
đồng thời hai sơ đồ lặp cũ và sơ đồ cải tiến đối với bài toán biên thứ nhất và bài toán biên 
thứ hai trong miền Ω là miền chữ nhật. Trong các ch−ơng trình thực nghiệm, chúng tôi 
đ sử dụng th− viện TK2004 giải số bài toán biên elliptic trong miền chữ nhật [5], điều 
kiện dừng lặp của các sơ đồ lặp là 
*
ij ijmax u u errε = − < trong đó err là sai số cho 
tr−ớc, 
*
1 2( , )u x x là nghiệm đúng. Trong việc xác định nghiệm bằng số chúng tôi luôn lấy 
l−ới chia miền chữ nhật là l−ới 64 64M Nì = ì . Các ch−ơng trình đ−ợc thực hiện trên 
máy tính Pentum IV-Ram 256MB, các kết quả thực nghiệm tính toán đ−ợc cho trong các 
bảng sau: 
Bảng 1: Hàm nghiệm đúng 
*
1 2 1 2( , ) sin sinu x x x x= 
Tham số 
lặp θ 
Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ nhất Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ hai 
Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến 
Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
2.10-4 
8.10-5 
6.10-5 
6.10-5 
3.10-6 
6.10-5 
6.10-5 
9.10-5 
2.10-4 
28 
14.6 
8.7 
5.5 
2 
5.5 
8.8 
14 
28 
1.10-4 
8.10-5 
7.10-5 
3.10-5 
2.10-6 
3.10-5 
7.10-5 
8.10-5 
1.10-4 
24 
11 
7 
4 
1.7 
4.8 
7 
11.7 
24 
9.10-6 
2.10-5 
1.10-5 
1.10-5 
1.10-5 
1.10-5 
2.10-5 
4.10-5 
9.10-5 
64 
32 
20 
13 
7.8 
12.9 
18.2 
25.6 
45 
1.10-4 
6.10-5 
9.10-5 
5.10-5 
1.10-6 
2.10-5 
6.10-5 
7.10-5 
1.10-4 
27 
13.9 
7.9 
5.3 
3.6 
5.3 
8.0 
13.1 
27 
Bảng 2: Hàm nghiệm đúng 
* 2 2
1 2 1 2 2 1( , ) (1 ) sin (1 ) sinu x x x x x x= − + − 
Tham số 
lặp θ 
Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ nhất Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ hai 
Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến 
Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
0.002 
6.10-5 
3.10-5 
5.10-5 
2.10-6 
2.10-5 
9.10-5 
6.10-5 
0.002 
28.5 
18.4 
11.4 
7.2 
1.9 
7.0 
10.4 
18.5 
28.1 
3.10-4 
8.10-5 
7.10-5 
9.10-5 
2.10-6 
9.10-5 
7.10-5 
8.10-5 
3.10-4 
24.5 
13.5 
8.0 
4.8 
1.7 
4.8 
8.0 
13.5 
24.5 
3.10-5 
4.10-5 
4.10-5 
4.10-5 
4.10-5 
4.10-5 
4.10-5 
6.10-5 
8.10-5 
69 
33.4 
20.6 
14 
8.0 
13.7 
19.0 
27.0 
52 
4.10-4 
6.10-5 
9.10-5 
2.10-5 
1.10-6 
7.10-5 
7.10-5 
8.10-5 
3.10-4 
27.5 
15.9 
8.9 
6.4 
3.6 
5.4 
8.9 
15.0 
27 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 46 
Bảng 3: Hàm nghiệm đúng 
1 2*
1 2 2 1( , ) sin sinx xu x x e x e x= + 
Tham số 
lặp θ 
Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ nhất Sơ đồ lặp với bài toán biên thứ hai 
Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến Sơ đồ cũ Sơ đồ cải tiến 
Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) Sai số t(giây) 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
0.002 
6.10-5 
3.10-5 
5.10-5 
2.10-6 
2.10-5 
9.10-5 
6.10-5 
0.002 
30.6 
18 
12.3 
9.9 
2.2 
9.9 
11.2 
18 
30.7 
0.001 
7.10-5 
7.10-5 
4.10-5 
1.10-5 
5.10-5 
7.10-5 
7.10-5 
0.001 
23 
11 
8.5 
5.4 
1.7 
5.4 
8.0 
12 
24.5 
8.10-5 
7.10-5 
7.10-5 
8.10-5 
9.10-5 
8.10-5 
6.10-5 
7.10-5 
8.10-5 
108 
58 
35 
21 
9.5 
21 
36 
60 
109 
1.10-5 
1.10-5 
9.10-5 
7.10-5 
1.10-4 
7.10-5 
8.10-5 
2.10-5 
8.10-4 
53 
22 
11 
6 
3.6 
6 
12 
21 
50 
Kết luận 
 Qua các kết quả thực nghiệm tính toán, chúng tôi có một số kết luận và nhận xét: 
 1. Các sơ đồ lặp cải tiến đều hội tụ với tham số trên các dy lặp trong thuật toán chia 
miền đ−ợc lựa chọn trong khoảng (0, 1) trong đó giá trị tối −u trong khoảng (0.4, 0.5). 
 2. Về tốc độ hội tụ dễ thấy các sơ đồ chia miền cải tiến có tốc độ hội tụ nhanh hơn các sơ 
đồ cũ, đặc biệt là đối với sơ đồ cải tiến đối với bài toán biên thứ hai thì tốc độ hội tụ tăng nhanh 
khoảng gấp hai lần sơ đồ lặp cũ. 
 3. Các sơ đồ cải tiến đều có thể áp dụng cho các bài toán song điều hoà với điều kiện 
biên hỗn hợp cũng nh− khi miền hình học đ−ợc xét là miền phức tạp. 
 H−ớng phát triển tiếp theo là nghiên cứu việc chứng minh bằng lý thuyết sự hội tụ của sơ 
đồ lặp cải tiến đồng thời mở rộng cho các bài toán song điều hoà phức tạp hơn 
 
Summary 
 Vietnamese and global scientists are interested in the domain decomposition method for 
solving biharmonic problem. Based on the achieved result of studying domain decomposition 
method for the second elliptic boundary problem, in [1, 2], domain decomposition scheme for 
solving biharmonic problem was presented, the result was clearly proved by theory and tested by 
calculation. In this paper, improving domain decomposition scheme for biharmonic problem 
with the aim of increasing convergent speed of the method is presented. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition method for solving an elliptic 
boundary value problem, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings of 2004 International 
Conference on Applied Mathematics), SAS International Publications, Delhi, 309-319. 
Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(45) Tập 2/Năm 2008 
 47
[2] Vũ Vinh Quang (2006), Ph−ơng pháp chia miền giải ph−ơng trình elliptic cấp hai và ph−ơng trình 
song điều hoà trong miền hình học phức tạp, Luận án Tiến sĩ Toán học, Th− viện Quốc gia. 
[3] V. V. Quang, Q. A. Dang, Decomposition Method for Solving a Boundary Value Problem for 
Biharmonic Equation, International conference on "High Performance Scientific Computing", Hanoi, 
March 6-10, 2006. 
[4] Vũ Vinh Quang (2005), Các kết quả về việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối l−ợng tính toán giải các 
bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp. Hội thảo Khoa học Toàn quốc "Phát triển công cụ tin học 
trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học", Hà Nội 1-2/04/2005: 247-256. 
[5] Vũ Vinh Quang, “Một số kết quả ứng dụng ph−ơng pháp chia miền giải bài toán biên elliptic với điều 
kiện biên hỗn hợp mạnh”, Tạp chí KH&CN Đại học Thái nguyên, T.4(40): 37-45. 
[6] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang, "Ph−ơng pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh", Tạp chí 
Tin học và Điều khiển học, T.22, S.4: 307-318. 
[7] Đặng Quang á, Vũ Vinh Quang (2006), Một số kết quả nghiên cứu về ph−ơng pháp chia miền giải 
ph−ơng trình elliptic và ph−ơng trình song điều hoà, Hội nghị khoa học “Kỷ niệm 30 năm ngày thành lập 
Viện Công nghệ Thông tin”, 12/2006 
[8] Vũ Vinh Quang (2007), Một số kết quả phát triển ph−ơng pháp chia miền giải bài toán song điều 
hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, Hội thảo khoa học toàn quốc Fair – Nha trang 8/2007.